---
title: "Segitiga dan Segi Empat"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 41
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat
---

# Bab 41 — Segitiga dan Segi Empat

Segitiga dan [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) adalah bangun dasar dalam geometri. Tujuan bab ini adalah mengenal keluarga istimewanya — [segitiga sama kaki](#def-g6-shapes-triangles), sama sisi, siku-siku; persegi panjang, [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals), persegi — lewat *sifat yang mendefinisikannya*, lalu melukisnya dengan tepat memakai penggaris dan jangka.

## 41.1 Segitiga

**Definisi 41.1 (Segitiga istimewa).**

Segitiga $ABC$ punya tiga [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan tiga sisi. Ia disebut:

- *sama kaki* di $A$ jika $AB = AC$ (dua sisi sama panjang);
- *sama sisi* jika $AB = BC = CA$ (tiga sisi sama panjang);
- *siku-siku* di $A$ jika sudut $\widehat{BAC}$ adalah [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) . Sisi $[BC]$ yang berhadapan dengan [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) itu disebut *sisi miring* .

![Tiga segitiga istimewa. Garis kecil menandai sisi yang sama panjang; persegi kecil menandai sudut siku-siku.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-f7a6b1fced69.svg)

*Tiga segitiga istimewa. Garis kecil menandai sisi yang sama panjang; persegi kecil menandai [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle).*

**Metode 41.2 (Melukis segitiga dari ketiga sisinya).**

Untuk melukis $ABC$ dengan $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

1. gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ sepanjang $5$ cm dengan penggaris;
2. gambarlah busur lingkaran berpusat $A$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm (semua titik yang berjarak $4$ cm dari $A$ );
3. gambarlah busur lingkaran berpusat $B$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm;
4. titik $C$ adalah tempat kedua busur itu berpotongan; hubungkan ia ke $A$ dan $B$ .

![Melukis segitiga dengan jangka: titik sudut C adalah titik potong dua busur. (Pada kamu akan melihat kapan lukisan semacam itu mungkin dilakukan.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-df026e474b4b.svg)

*Melukis segitiga dengan jangka: [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $C$ adalah titik potong dua busur. (Pada [Bab 51](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/51-segitiga-dan-sudut#ch-g7-triangles) kamu akan melihat kapan lukisan semacam itu mungkin dilakukan.)*

## 41.2 Segi empat

**Definisi 41.3 (Segi empat istimewa).**

[Segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) punya empat [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan empat sisi. Ia disebut:

- *persegi panjang* jika keempat sudutnya siku-siku;
- *belah ketupat* jika keempat sisinya sama panjang;
- *persegi* jika ia keduanya sekaligus: empat [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) *dan* empat sisi sama panjang.

**Proposisi 41.4 (Sifat diagonalnya).**

Pada [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) ini, kedua diagonalnya saling memotong di titik tengah bersamanya, dan lebih dari itu:

- pada persegi panjang, diagonalnya *sama panjang* ;
- pada [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) , diagonalnya *saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)* ;
- pada persegi, keduanya sekaligus.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Tiga segi empat istimewa dengan diagonalnya (warna merah). Persegi mewarisi sifat persegi panjang sekaligus sifat belah ketupat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-a4987724c731.svg)

*Tiga [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) istimewa dengan diagonalnya (warna merah). Persegi mewarisi sifat persegi panjang sekaligus sifat [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals).*

**Catatan 41.5.**

Persegi itu otomatis merupakan persegi panjang (ia punya empat [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle)) dan otomatis merupakan [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (empat sisi sama panjang). Jadi “persegi panjang” tidak berarti “bukan persegi”! Dalam matematika, bangun yang lebih istimewa termasuk ke dalam keluarga yang lebih umum.

**Contoh 41.6 (Mengenali bangun dari sifatnya).**

Sebuah [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) punya empat sisi sepanjang $4$ cm dan satu [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle). Bangun apa itu? Empat sisi sama panjang membuatnya [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals). Pada [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals), sudut yang berhadapan sama besar dan keempat sudutnya berjumlah $360^\circ$; satu [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) lalu memaksa keempatnya menjadi siku-siku (hal ini akan dibuktikan bersama jajargenjang pada [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central)). Jadi bangunnya persegi.

**Metode 41.7 (Program melukis).**

*Program melukis* adalah daftar langkah yang dapat diikuti siapa pun untuk menggambar ulang sebuah gambar dengan tepat. Tulislah satu langkah per baris, namailah setiap titik ketika ia dibuat, dan pakailah hanya: “gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) / garis / lingkaran…”, “letakkan titiknya di tempat … berpotongan”. Ujilah programmu dengan mengikutinya secara harfiah, kata demi kata.

**Contoh 41.8.**

Program untuk persegi $ABCD$ dengan sisi $4$ cm:

1. Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ dengan $AB = 4$ cm.
2. Gambarlah [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(AB)$ di $A$ ; padanya, letakkan $D$ pada jarak $4$ cm dari $A$ (pilihlah satu sisi garis lalu tetaplah di sana).
3. Gambarlah [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(AB)$ di $B$ ; padanya, letakkan $C$ pada jarak $4$ cm dari $B$ , di sisi yang sama dengan $D$ .
4. Hubungkan $C$ dan $D$ .

Periksalah dengan penggaris: $DC$ semestinya juga berukuran $4$ cm.

## 41.3 Latihan

**Latihan 41.1 ★.**

Lukislah segitiga $ABC$ dengan $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm dan $BC = 4$ cm, mengikuti [Metode 41.2](#met-g6-shapes-construct).

**Solusi Latihan 41.1.**

Ikutilah caranya: [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ sepanjang $6$ cm, busur berjari-jari $5$ cm berpusat di $A$, busur berjari-jari $4$ cm berpusat di $B$; titik potongnya adalah $C$.

**Latihan 41.2 ★.**

Lukislah [segitiga sama kaki](#def-g6-shapes-triangles) $DEF$ dengan $DE = DF = 5$ cm dan $EF = 3$ cm. Dua sudut mana pada segitiga ini yang tampak sama besar? Ukurlah untuk memeriksanya.

**Solusi Latihan 41.2.**

Alas $[EF]$ sepanjang $3$ cm, lalu dua busur berjari-jari $5$ cm berpusat di $E$ dan $F$; perpotongannya adalah $D$. Kedua sudut alasnya $\widehat{DEF}$ dan $\widehat{DFE}$ sama besar (kira-kira $72.5^\circ$ masing-masing) — akibat simetri [segitiga sama kaki](#def-g6-shapes-triangles) ([Contoh 42.8](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#ex-g6-symmetry-proves)).

**Latihan 41.3 ★.**

Lukislah [segitiga sama sisi](#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi $4$ cm hanya memakai penggaris dan jangka. Ukurlah salah satu sudutnya.

**Solusi Latihan 41.3.**

[Ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $4$ cm, lalu dua busur berjari-jari $4$ cm berpusat di kedua ujungnya. Setiap sudutnya berukuran $60^\circ$.

**Latihan 41.4 ★.**

Golongkan setiap segitiga dari datanya (sama kaki, sama sisi, siku-siku — beberapa jawaban dapat berlaku sekaligus): (a) sisi $7$, $7$, $7$; (b) sisi $5$, $5$, $8$; (c) sudut $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$; (d) sudut $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

**Solusi Latihan 41.4.**

(a) sama sisi (karena itu juga sama kaki). (b) sama kaki ($5 = 5$). (c) siku-siku dan sama kaki (dua sudut sama besar $45^\circ$ menghadap dua sisi yang sama panjang). (d) sama sisi (tiga sudut sama besar).

**Latihan 41.5 ★.**

Pada [segitiga siku-siku](#def-g6-shapes-triangles), sisi mana yang menjadi sisi miring? Gambarlah segitiga $MNP$ yang siku-siku di $N$, lalu sebutkan sisi miringnya. [Titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) mana yang tidak pernah disentuh sisi miring itu?

**Solusi Latihan 41.5.**

Sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle), dan selalu sisi yang terpanjang. Pada $MNP$ yang siku-siku di $N$, sisi miringnya $[MP]$: ia tidak pernah menyentuh titik [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle), $N$.

**Latihan 41.6 ★.**

Benar atau salah? Berilah alasan untuk tiap jawaban dalam satu kalimat.

1. Setiap persegi adalah persegi panjang.
2. Setiap persegi panjang adalah persegi.
3. Setiap persegi adalah [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) .
4. [Belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) yang punya satu [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) adalah persegi.

**Solusi Latihan 41.6.**

*1. Benar*: persegi punya empat [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle), dan itulah definisi persegi panjang.

*2. Salah*: persegi panjang $5 \times 3$ punya sisi yang tidak sama panjang.

*3. Benar*: persegi punya empat sisi sama panjang, dan itulah definisi [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

*4. Benar*: lihat [Contoh 41.6](#ex-g6-shapes-recognize).

**Latihan 41.7 ★.**

Lukislah persegi panjang $ABCD$ dengan $AB = 5$ cm dan $BC = 3$ cm. Ukurlah kedua diagonalnya: apa yang kamu amati?

**Solusi Latihan 41.7.**

Lukisannya memakai [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), seperti pada [Contoh 41.8](#ex-g6-shapes-program). Kedua diagonalnya berukuran kira-kira $5.8$ cm: diagonal persegi panjang sama panjang ([Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)).

**Latihan 41.8 ★.**

Lukislah [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) yang diagonalnya $6$ cm dan $4$ cm. (Pakailah [Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): gambarlah kedua diagonalnya dulu — saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), berpotongan di titik tengahnya — lalu hubungkan keempat ujungnya.)

**Solusi Latihan 41.8.**

Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $6$ cm; titik tengahnya $O$; [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) di $O$; padanya, dua titik berjarak $2$ cm dari $O$ di kedua sisinya. Menghubungkan keempat ujungnya memberi [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (keempat [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) berjarak $3$ cm dan $2$ cm dari $O$ sepanjang garis yang [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), jadi keempat sisinya sama panjang menurut simetri).

**Latihan 41.9 ★★.**

Tulislah program melukis untuk [segitiga sama kaki](#def-g6-shapes-triangles) dengan alas $4$ cm dan kaki $6$ cm, dengan gaya [Contoh 41.8](#ex-g6-shapes-program). Tukarkanlah dengan teman sekelas: dapatkah ia mengikutinya tanpa melihat gambarmu?

**Solusi Latihan 41.9.**

Satu program yang benar: 1. gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[BC]$ dengan $BC = 4$ cm; 2. gambarlah busur berpusat $B$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm di atas $[BC]$; 3. gambarlah busur berpusat $C$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm di atas $[BC]$; 4. namailah $A$ titik potong kedua busur itu; 5. gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ dan $[AC]$.

**Latihan 41.10 ★★.**

Gambarlah lingkaran berpusat $O$ dan salah satu [diameternya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) $[AB]$. Letakkan sembarang titik $M$ pada lingkaran lalu gambarlah segitiga $AMB$. Ukurlah sudut $\widehat{AMB}$. Geserlah $M$ lalu ukur lagi. Apa dugaanmu? (Fakta yang mengejutkan ini dibuktikan pada [Bab 60](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#ch-g8-cosine).)

**Solusi Latihan 41.10.**

Bagaimanapun letak $M$ pada lingkaran, sudut $\widehat{AMB}$ berukuran $90^\circ$: segitiga $AMB$ siku-siku di $M$ setiap kali $[AB]$ menjadi [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle). Pembuktiannya menunggu [Bab 60](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#ch-g8-cosine).

**Latihan 41.11 ★★.**

Sebuah [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) punya diagonal yang sama panjang dan saling memotong di titik tengah bersamanya. Pilahlah bangun apa ia pastinya, dengan memakai [Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): persegi panjang, [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) atau persegi? (Hati-hati: hanya satu sifat yang diberikan.)

**Solusi Latihan 41.11.**

Diagonal yang saling memotong di titik tengahnya dan sama panjang: itulah daftar sifat *persegi panjang* ([Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)). Tidak ada yang memaksa diagonalnya [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), jadi ia tidak harus berupa [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) atau persegi — persegi panjang adalah jawaban yang tepat (persegi juga memenuhinya, tetapi tidak dipaksakan).

**Latihan 41.12 ★★★.**

Pada petak titik $4 \times 4$, berapa persegi berbeda yang dapat kamu gambar dengan pojoknya pada titik petak — termasuk juga persegi yang “miring”? Gambarlah sedikitnya satu persegi miring lalu jelaskan mengapa sisinya sama panjang.

**Solusi Latihan 41.12.**

Dengan $4 \times 4$ titik ada $3 \times 3$ petak. Persegi yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) petak: sisi $1$, $2$ atau $3$ memberi $9 + 4 + 1 = 14$ persegi. Persegi miring juga ada: yang kecil, yang sisinya diagonal petak $1 \times 1$ (seperti $(1,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,1)$) — ada empat; dan yang lebih besar, yang sisinya diagonal persegi panjang $2 \times 1$, seperti $(1,0)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(0,2)$ — ada dua. Keempat sisi persegi semacam itu sama panjang karena semuanya diagonal persegi panjang yang identik. Seluruhnya: $14 + 4 + 2 = 20$ persegi. (Hitungan mana pun yang menyertakan satu contoh miring yang benar dan $14$ persegi [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) petak sudah merupakan keberhasilan pada tingkat ini.)

## 41.4 Soal: Apa yang diketahui oleh diagonalnya

**Soal 41.1.**

Soal akhir pekan — membangun kembali setiap segi empat istimewa hanya dari diagonalnya, dan membilang diagonal segi banyak mana pun

[Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) membaca sebuah bangun lalu menceritakan diagonalnya. Soal ini memainkan permainan itu *secara terbalik*: diberikan hanya dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang berpotongan — calon diagonalnya — bangun apa yang muncul kalau keempat ujungnya dihubungkan? Kamu akan menyusun “kamus diagonal” yang lengkap, memahami *mengapa* lukisan [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) pada [Latihan 41.8](#exo-g6-shapes-8) berhasil, bertemu bangun yang belum punya nama, lalu menutupnya dengan membilang diagonal [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang sisinya jauh lebih dari empat.

**Bagian I — Kamus diagonal.** Untuk setiap pertanyaan, gambarlah kedua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) seperti yang dijelaskan, hubungkan keempat ujungnya berurutan, lalu kenali [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang kamu peroleh.

1. Dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang masing-masing $6$ cm, saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) , berpotongan di titik tengah bersamanya. Ukurlah keempat sisi dan keempat sudut bangun yang dihasilkan: bangun apa itu?
2. Dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $8$ cm dan $5$ cm, saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) , berpotongan di titik tengah bersamanya. Bangun apa yang muncul ( [Latihan 41.8](#exo-g6-shapes-8) )?
3. Dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang masing-masing $7$ cm — sama panjang tetapi *tidak* saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) — berpotongan di titik tengah bersamanya. Ukurlah sisi dan sudutnya: bangun apa dugaanmu?
4. Dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $8$ cm dan $5$ cm, tidak saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) , berpotongan di titik tengah bersamanya. Bangun yang kamu peroleh bukan salah satu dari ketiga bangun pada [Definisi 41.3](#def-g6-shapes-quadrilaterals) — jelaskan apa yang kamu lihat (sisi mana yang tampak sama panjang? [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) ?). [Segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) ini menerima namanya pada [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central) .
5. Rangkumlah pertanyaan 1–4 menjadi kamus dengan empat baris: diagonalnya *sama panjang / [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) / keduanya / bukan keduanya* (selalu berpotongan di titik tengahnya) $\rightarrow$ nama (atau gambaran) bangunnya.

**Bagian II — Mengapa lukisannya berhasil.**

6. Pada pertanyaan 2, kedua diagonalnya memotong bangun itu menjadi empat [segitiga siku-siku](#def-g6-shapes-triangles) di sekeliling titik potongnya. Berapa panjang kedua sisi siku-siku setiap segitiga itu? Jelaskan mengapa keempat segitiganya adalah salinan persis satu sama lain, lalu simpulkan mengapa keempat sisi bangunnya sama panjang — rahasia [Latihan 41.8](#exo-g6-shapes-8) .
7. Simpulkan sebuah uji yang hanya memakai jangka: setelah membangun bangun apa pun dari diagonalnya, bagaimana kamu dapat memeriksa hanya dengan jangka (tanpa mengukur dengan penggaris) bahwa keempat sisinya sama panjang?
8. Tulislah program melukis ( [Metode 41.7](#met-g6-shapes-program) ) untuk persegi yang *diagonalnya* berukuran $6$ cm — bukan sisinya.
9. Pada persegi di pertanyaan 8, apakah sisinya lebih panjang atau lebih pendek daripada $3$ cm — setengah diagonalnya? Ukurlah untuk mengetahuinya. Setengah jawabannya sudah dapat *dibuktikan* : berjalan dari satu pojok ke pojok berikutnya lewat pusatnya adalah memutar sejauh $3 + 3$ cm, dan jalan lurus selalu lebih pendek daripada memutar — jadi sisinya lebih pendek daripada $6$ cm. (Membuktikan bahwa ia juga mengalahkan $3$ cm, dan menghitungnya dengan tepat, adalah tugas [Bab 58](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#ch-g8-pythagoras) .)
10. Sebuah baris baru untuk kamusnya: gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AC]$ sepanjang $8$ cm; padanya, tandailah titik $H$ berjarak $3$ cm dari $A$ ; melalui $H$ gambarlah ruas [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) $[BD]$ sepanjang $5$ cm dengan $H$ sebagai titik tengah *ruas itu* . Hubungkan $ABCD$ . Bangun ini disebut *layang-layang* (satu diagonalnya membagi dua diagonal yang lain, [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) ). Dengan memakai segitiga pojok seperti pada pertanyaan 6, carilah sisi mana pada [layang-layang](#pb-g6-shapes-1) yang sama panjang dengan sisi mana.

**Bagian III — Membilang diagonal.** *Diagonal* sebuah [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) menghubungkan dua [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang bukan tetangga.

11. Gambarlah [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) , [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) (lima [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ) dan [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) (enam [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ), lalu gambarlah semua diagonalnya. Bilanglah: ada berapa pada masing-masing?
12. Membilang tanpa menggambar, untuk [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) : dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) , ada berapa diagonal yang berangkat? (Ke berapa dari keenam [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) itu ia *tidak* dapat dihubungkan oleh diagonal?) Mengalikannya dengan keenam [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) membilang setiap diagonal tepat dua kali — mengapa? Perolehlah kembali hitunganmu pada pertanyaan 11. (Pembilangan ganda yang sama muncul pada jabat tangan di [Soal 37.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#pb-g6-wholes-1) .)
13. Pakailah cara pada pertanyaan 12 untuk membilang diagonal [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) dengan $10$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) , lalu dengan $20$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) .
14. Sebuah [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) punya tepat $44$ diagonal. Berapa [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ? (Cobalah cara pada pertanyaan 13 pada beberapa calon.)
15. Ujilah caramu pada [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang paling kecil: berapa diagonal yang dipunyai segitiga, dan apa jawaban cara pembilangan pada pertanyaan 12? Tutuplah dengan satu kalimat tentang persamaan jabat tangan dan diagonal.

**Solusi Soal 41.1.**

**1.** Keempat sisinya berukuran sama (kira-kira $4.2$ cm) dan keempat sudutnya siku-siku: bangunnya sebuah *persegi*. (Diagonal yang sama panjang memberi [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle), seperti pada persegi panjang; diagonal yang [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) memberi sisi yang sama panjang, seperti pada [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals); keduanya sekaligus memberi persegi, yaitu [Proposisi 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) yang dibaca terbalik.)

**2.** Sebuah *[belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals)*: empat sisi sama panjang (kira-kira $4.7$ cm), tetapi tanpa [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) — ini persis lukisan pada [Latihan 41.8](#exo-g6-shapes-8).

**3.** Keempat sudutnya ternyata siku-siku tetapi sisinya terdiri atas dua panjang yang berbeda: sebuah *persegi panjang* — inilah keadaan pada [Latihan 41.11](#exo-g6-shapes-11).

**4.** Tidak ada pernyataan sama panjang yang bertahan setelah diukur dan tidak ada [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) yang muncul; tetapi sisi yang berhadapan sama panjang dua-dua dan tampak [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp). Inilah “persegi panjang yang miring” pada umumnya, yang diagonalnya sekadar saling membagi dua — yaitu *jajargenjang*, yang dinamai dan dipelajari pada [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central).

**5.** Diagonal yang berpotongan di titik tengah bersamanya:

| diagonalnya… | bangunnya |
| --- | --- |
| sama panjang dan [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) | persegi |
| [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) saja | [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) |
| sama panjang saja | persegi panjang |
| bukan keduanya | si tanpa nama (lihat [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central)) |

**6.** Setiap segitiga pojoknya punya satu sisi siku-siku pada tiap diagonal: setengah dari $8$ cm dan setengah dari $5$ cm, jadi sisi siku-sikunya $4$ cm dan $2.5$ cm, dengan [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) di antaranya — data yang sama untuk keempatnya. Segitiga yang dibangun dari dua sisi siku-siku yang sama beserta [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) di antaranya adalah salinan persis satu sama lain (bangunlah: bukaan jangkanya identik). Karena itu keempat sisi miringnya — yaitu sisi bangun itu — sama panjang: bangunnya [belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

**7.** Bukalah jangka sepanjang satu sisi, lalu jalankan ia mengelilingi bangun itu: kalau jarum dan pensilnya mendarat tepat pada tiap pasang pojok yang bertetangga, keempat sisinya sama dengan bukaan itu. Tidak perlu penggaris.

**8.** Programnya:

1. Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AC]$ dengan $AC = 6$ cm lalu letakkan titik tengahnya $O$ (ukurlah $3$ cm dari $A$ ).
2. Gambarlah [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(AC)$ di $O$ .
3. Padanya, letakkan $B$ dan $D$ berjarak $3$ cm dari $O$ , satu di tiap sisi.
4. Hubungkan $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonalnya sama panjang ($6$ cm), [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), dan saling membagi dua: menurut kamusnya, $ABCD$ adalah persegi.

**9.** Pengukurannya memberi kira-kira $4.2$ cm: *lebih panjang* daripada $3$ cm — terkaan yang lazim, “setengah diagonalnya”, ternyata salah. Setengah jawaban yang dapat dibuktikan: untuk pergi dari pojok $A$ ke pojok $B$ berikutnya, kita dapat berjalan lurus pada sisi $[AB]$, atau memutar lewat pusatnya $A \to O \to B$ yang memakan $3 + 3 = 6$ cm; sisi yang lurus lebih pendek, jadi sisinya berukuran kurang daripada $6$ cm. Bahwa ia juga *lebih* daripada $3$ cm adalah yang ditunjukkan penggaris; [Bab 58](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#ch-g8-pythagoras) akan membuktikannya dan memberi nilai tepatnya ($3$ cm dikalikan akar kuadrat $2$, kira-kira $4.24$ cm).

**10.** Keempat segitiga pojok di $H$ sekarang terdiri atas *dua* pasang yang sepadan: dua dengan sisi siku-siku $3$ cm dan $2.5$ cm (sisi miringnya $[AB]$ dan $[AD]$), dua dengan sisi siku-siku $5$ cm dan $2.5$ cm (sisi miringnya $[CB]$ dan $[CD]$). Jadi $AB = AD$ dan $CB = CD$: [layang-layang](#pb-g6-shapes-1) punya dua pasang sisi *bertetangga* yang sama panjang ([belah ketupat](#def-g6-shapes-quadrilaterals) adalah [layang-layang](#pb-g6-shapes-1) istimewa yang keempat sisinya sepadan).

**11.** [Segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonal. [Segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon): $9$.

**12.** Dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon), diagonalnya menuju setiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) kecuali dirinya sendiri dan kedua tetangganya: $6 - 3 = 3$ diagonal. Enam [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) meluncurkan $6 \times 3 = 18$ ujung diagonal — tetapi setiap diagonal sudah terbilang pada *kedua* ujungnya, sekali dari tiap ujungnya, persis seperti jabat tangan yang dibilang oleh kedua orang yang berjabat ([Soal 37.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#pb-g6-wholes-1)). Hitungan yang sebenarnya: $18 \div 2 = 9$. Itu cocok dengan gambarnya.

**13.** Sepuluh [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): $10 - 3 = 7$ dari masing-masing, jadi $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonal. Dua puluh [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonal.

**14.** Cobalah beberapa calon: $10$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) memberi $35$ (pertanyaan 13); $11$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) memberi $11 \times 8 \div 2 = 44$. Ketemu: [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) itu punya $11$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def).

**15.** Segitiga sama sekali tidak punya diagonal: yang “bukan tetangga” dari setiap [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) adalah … tidak seorang pun, karena kedua [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang lain sama-sama tetangganya. Caranya sepakat: $3 - 3 = 0$ dari setiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), seluruhnya $0$. Jabat tangan dan diagonal adalah hitungan yang sama dengan pakaian yang berbeda: pasangan yang dipilih dari sebuah kelompok, tiap pasangan dibilang sekali — matematika mendaur ulang gagasannya yang bagus.