---
title: "Simetri Sumbu"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 42
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu
---

# Bab 42 — Simetri Sumbu

Lipatlah selembar kertas sepanjang sebuah garis: setiap titik mendarat di titik yang lain, yaitu bayangan cerminnya. Lipatan ini adalah *[simetri sumbu](#def-g6-symmetry-def)* (atau pencerminan), transformasi geometri yang pertama dalam buku ini — yang kedua, simetri pusat, menyusul pada [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central).

## 42.1 Pencerminan

**Definisi 42.1 (Titik bayangan).**

Misalkan $d$ sebuah garis. *Bayangan* titik $M$ terhadap $d$ adalah titik $M'$ sedemikian sehingga $d$ menjadi [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[MM']$: [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[MM']$ [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $d$, dan $d$ memotongnya di titik tengahnya. Titik yang terletak *pada* $d$ adalah bayangannya sendiri.

![Pencerminan terhadap garis d: sumbunya tegak lurus terhadap (MM') dan melalui titik tengahnya (tanda garis yang sama). Titik P pada sumbunya tidak berpindah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c8d65390f364.svg)

*Pencerminan terhadap garis $d$: sumbunya [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $[MM']$ dan melalui titik tengahnya (tanda garis yang sama). Titik $P$ pada sumbunya tidak berpindah.*

**Metode 42.2 (Melukis titik bayangan).**

Untuk melukis bayangan $M'$ dari titik $M$ terhadap garis $d$:

1. gambarlah [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $d$ melalui $M$ (dengan penggaris siku); sebutlah $H$ titik potongnya dengan $d$ ;
2. ukurlah $MH$ dengan jangka atau penggaris;
3. letakkan $M'$ pada [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang sama, di sisi lain $d$ , dengan $HM' = MH$ .

Di kertas berpetak caranya lebih cepat: bilanglah petak dari $M$ ke sumbunya, lalu bilanglah sebanyak itu juga di sisi yang lain.

**Contoh 42.3 (Di kertas berpetak).**

Kalau sumbunya garis petak yang tegak dan $M$ berada $3$ petak di sebelah kirinya, maka $M'$ berada $3$ petak di sebelah kanannya, pada baris yang sama. Untuk sumbu yang miring, pembilangannya berjalan sepanjang diagonal — selalu [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap sumbunya.

![Sebuah gambar dan pencerminannya terhadap sumbu tegak: setiap titik sudut dicerminkan petak demi petak, dan kiri serta kanannya bertukar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-d41fa1161579.svg)

*Sebuah gambar dan pencerminannya terhadap sumbu tegak: setiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dicerminkan petak demi petak, dan kiri serta kanannya bertukar.*

**Proposisi 42.4 (Apa yang dipertahankan pencerminan).**

[Bayangan](#def-g6-symmetry-def) sebuah gambar terhadap sebuah garis adalah gambar dengan *bentuk dan ukuran yang sama*: panjang, sudut, [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/28-pengukuran-dan-keliling#def-g4-measure-perimeter) dan luas semuanya dipertahankan. [Bayangan](#def-g6-symmetry-def) [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) adalah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects), bayangan lingkaran adalah lingkaran dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) yang sama, dan bayangan garis adalah garis.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 42.5.**

Satu hal *tidak* dipertahankan: arah hadapnya. Huruf “b” yang dicerminkan menjadi “d” — tulisan cermin. Kalau menjiplak gambarmu lalu membalik kertas kalkirnya menghasilkan bayangan itu, pencerminanmu benar.

## 42.2 Sumbu simetri sebuah gambar

**Definisi 42.6 (Sumbu simetri).**

Sebuah garis $d$ disebut *sumbu simetri* sebuah gambar jika pencerminan terhadap $d$ mengirim gambar itu tepat ke dirinya sendiri — melipat sepanjang $d$ membuat kedua paruhnya berimpit.

![Sumbu simetri bangun yang biasa dikenal. Hati-hati dengan persegi panjang: diagonalnya bukan sumbu simetri (lipatlah sepanjang diagonalnya — kedua paruhnya tidak berimpit kecuali kalau ia persegi).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c4e53a97ce6c.svg)

*[Sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) bangun yang biasa dikenal. Hati-hati dengan persegi panjang: diagonalnya *bukan* [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) (lipatlah sepanjang diagonalnya — kedua paruhnya tidak berimpit kecuali kalau ia persegi).*

**Contoh 42.7.**

Membilang [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis):

- [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) : $1$ (melalui [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) puncak dan tengah alasnya); [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) : $3$ ;
- persegi panjang: $2$ (kedua “garis tengahnya”, *bukan* diagonalnya); [belah ketupat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (yaitu diagonalnya!); persegi: $4$ ;
- lingkaran: setiap garis yang melalui pusatnya — tak hingga banyaknya.

**Contoh 42.8 (Simetri membuktikan kesamaan).**

Mengapa kedua sudut alas [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) sama besar? Lipatlah segitiga itu sepanjang [sumbu simetrinya](#def-g6-symmetry-axis): paruh kirinya mendarat tepat pada paruh kanannya, jadi sudut alas kiri mendarat pada sudut alas kanan — keduanya pasti berukuran sama ([Proposisi 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved): pencerminan mempertahankan sudut).

## 42.3 Garis sumbu

**Definisi 42.9 (Garis sumbu).**

*Garis sumbu* sebuah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ adalah garis yang [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $[AB]$ dan melalui titik tengahnya — ia adalah [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) yang mempertukarkan $A$ dan $B$.

**Proposisi 42.10 (Berjarak sama).**

Sebuah titik $M$ terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ tepat ketika ia berjarak sama dari $A$ dan dari $B$: $MA = MB$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Metode 42.11 (Lukisan dengan jangka).**

Untuk menggambar [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ tanpa mengukur:

1. bukalah jangka lebih dari setengah $AB$ ;
2. gambarlah dua busur berpusat di $A$ , di atas dan di bawah ruas garisnya;
3. dengan bukaan yang *sama* , gambarlah dua busur berpusat di $B$ ;
4. hubungkan kedua titik potongnya: garis inilah [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) (setiap titik potong berjarak sama dari $A$ dan $B$ ).

## 42.4 Latihan

**Latihan 42.1 ★.**

Salinlah di kertas berpetak: sumbu tegak $d$, titik $A$ dua petak di sebelah kirinya, titik $B$ lima petak di sebelah kirinya dan satu petak lebih tinggi. Lukislah titik bayangan $A'$ dan $B'$ terhadap $d$.

**Solusi Latihan 42.1.**

$A'$ berada dua petak di sebelah *kanan* $d$, pada baris yang sama dengan $A$; $B'$ berada lima petak di sebelah kanan, satu petak lebih tinggi — letak yang tercermin.

**Latihan 42.2 ★.**

Gambarlah sebuah garis $d$ dan titik $M$ berjarak $3$ cm dari $d$ (bukan di kertas berpetak). Lukislah bayangan $M'$ dari $M$ terhadap $d$ dengan penggaris siku dan penggaris, mengikuti [Metode 42.2](#met-g6-symmetry-construct). Berapa jarak antara $M$ dan $M'$?

**Solusi Latihan 42.2.**

[Garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $d$ melalui $M$, dengan kaki $H$; lalu $M'$ di sisi yang lain dengan $HM' = MH = 3$ cm. Jarak $MM'$ adalah $3 + 3 = 6$ cm.

**Latihan 42.3 ★.**

Huruf kapital mana dalam abjad, yang ditulis dalam bentuknya yang paling sederhana, yang punya [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) tegak (seperti A)? Yang mendatar (seperti B)? Keduanya?

**Solusi Latihan 42.3.**

Sumbu tegak (seperti A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Sumbu mendatar (seperti B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Keduanya: H, I, O, X. (Jawaban persisnya sedikit bergantung pada cara hurufnya digambar.)

**Latihan 42.4 ★.**

Berapa [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) yang dipunyai: [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles)? persegi panjang (yang bukan persegi)? [belah ketupat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-quadrilaterals) (yang bukan persegi)? persegi? lingkaran? Gambarlah setiap bangun beserta sumbunya.

**Solusi Latihan 42.4.**

[Segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles): $3$ sumbu. Persegi panjang: $2$ ([garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) sisi-sisinya). [Belah ketupat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-quadrilaterals): $2$ (yaitu diagonalnya). Persegi: $4$. Lingkaran: tak hingga banyaknya (setiap garis yang melalui pusatnya).

**Latihan 42.5 ★.**

Benar atau salah? “Diagonal sebuah persegi panjang adalah [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) persegi panjang itu.” Jelaskan dengan alasan lipatan atau dengan gambar.

**Solusi Latihan 42.5.**

*Salah.* Melipat persegi panjang (yang bukan persegi) sepanjang diagonalnya tidak membuat kedua paruhnya berimpit: kedua segitiganya punya bentuk yang sama tetapi duduk berbeda — cobalah dengan selembar kertas. Hanya pada persegi diagonalnya berlaku sebagai sumbu.

**Latihan 42.6 ★.**

Segitiga $ABC$ dicerminkan terhadap garis $d$ menjadi $A'B'C'$. Diketahui $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ dan [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/28-pengukuran-dan-keliling#def-g4-measure-perimeter) $ABC$ adalah $12$ cm: sebutkan, tanpa melukis apa pun, $A'B'$, $\widehat{B'A'C'}$ dan [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/28-pengukuran-dan-keliling#def-g4-measure-perimeter) $A'B'C'$.

**Solusi Latihan 42.6.**

Pencerminan mempertahankan panjang, sudut dan [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/28-pengukuran-dan-keliling#def-g4-measure-perimeter) ([Proposisi 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved)): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$, [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/28-pengukuran-dan-keliling#def-g4-measure-perimeter) $A'B'C' = 12$ cm.

**Latihan 42.7 ★.**

Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ sepanjang $7$ cm lalu lukislah [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) dengan jangka ([Metode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector)). Pilihlah sembarang titik $M$ padanya lalu periksalah dengan penggaris bahwa $MA = MB$.

**Solusi Latihan 42.7.**

Lukisan dengan jangka seperti pada [Metode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector). Untuk sembarang $M$ pada garis itu, penggaris membenarkan $MA = MB$ ([Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**Latihan 42.8 ★★.**

Dua pohon berdiri di titik $A$ dan $B$ sebuah kebun yang datar. Di mana air mancur dapat ditanam agar berjarak sama dari kedua pohon itu? Jelaskan *semua* tempat yang mungkin.

**Solusi Latihan 42.8.**

Semua titik yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ membentuk [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ ([Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)). Air mancurnya dapat diletakkan di mana pun pada garis itu (selama masih di dalam kebun).

**Latihan 42.9 ★★.**

Di kertas berpetak, gambarlah sumbu $d$ (diagonal petak pada $45^\circ$) dan sebuah gambar kecil berbentuk L di salah satu sisinya. Lukislah gambar bayangannya terhadap $d$. (Cerminkan setiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): untuk sumbu $45^\circ$, titik yang berjarak $2$ petak di kanan sumbu mendarat $2$ petak di atasnya.)

**Solusi Latihan 42.9.**

Setiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dicerminkan [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap sumbunya: untuk sumbu $45^\circ$, titik yang berjarak $k$ petak di kanan sumbu mendarat $k$ petak di atasnya (dan sebaliknya) — pergeseran mendatar dan tegaknya bertukar. Cerminkan [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) satu per satu, lalu hubungkan berurutan.

**Latihan 42.10 ★★.**

Gambarlah lingkaran berpusat $O$, garis $d$ yang melalui $O$, dan titik $M$ pada lingkaran. Di mana bayangan $M$ terhadap $d$? Jelaskan mengapa pencerminan itu mengirim lingkarannya ke dirinya sendiri.

**Solusi Latihan 42.10.**

[Bayangan](#def-g6-symmetry-def) $M$ adalah titik potong kedua lingkaran itu dengan [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $d$ melalui $M$ — ia terletak pada lingkaran. Alasannya: pencerminan mempertahankan jarak dan membiarkan $O$ (yang terletak pada $d$) tetap di tempatnya, jadi bayangan setiap titik yang berjarak $r$ dari $O$ tetap berjarak $r$ dari $O$: lingkarannya terpetakan ke dirinya sendiri.

**Latihan 42.11 ★★.**

Dengan memakai sifat berjarak sama ([Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)), jelaskan mengapa kedua titik potong busur pada [Metode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) benar-benar terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$.

**Solusi Latihan 42.11.**

Setiap titik potong $P$ digambar dengan bukaan jangka yang sama $\rho$ dari $A$ dan dari $B$: jadi $PA = \rho = PB$. Menurut [Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), titik yang berjarak sama dari $A$ dan $B$ terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$; dua titik semacam itu menentukan garisnya.

**Latihan 42.12 ★★★.**

Sebuah bola bilyar di titik $A$ harus memantul pada dinding lurus $d$ lalu mencapai titik $B$ (keduanya di sisi dinding yang sama). Cerminkan $B$ terhadap $d$ menjadi $B'$, lalu gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Jelaskan mengapa titik pantul yang terbaik adalah tempat $[AB']$ memotong dindingnya. (Gagasannya: jalur $A \to P \to B$ sama panjang dengan $A \to P \to B'$.)

**Solusi Latihan 42.12.**

Untuk sembarang titik pantul $P$ pada dinding, $PB = PB'$ (pencerminan terhadap $d$ mempertahankan jarak), jadi panjang jalurnya $AP + PB = AP + PB'$. Garis patah $A \to P \to B'$ paling pendek ketika ia lurus, yaitu ketika $P$ terletak pada [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Jadi titik pantul terbaik adalah perpotongan $[AB']$ dengan dindingnya.

## 42.5 Soal: Air mancur, piring yang pecah, dan cermin yang berjalan

**Soal 42.1.**

Soal akhir pekan — ketiga garis sumbu sebuah segitiga bertemu di satu titik: lingkaran melalui tiga titik, dan apa yang dikerjakan dua cermin bersama-sama

Pada [Latihan 42.8](#exo-g6-symmetry-8) sebuah air mancur harus berdiri berjarak sama dari *dua* pohon, dan jawabannya adalah satu garis penuh berisi tempat. Soal ini menanam pohon yang *ketiga* — dan seluruh garis itu mengerut menjadi satu titik yang tertentu sempurna. Titik itu menyembunyikan harta karun geometri: ia memungkinkanmu menggambar satu-satunya lingkaran yang melalui tiga titik yang diberikan, membangun kembali seluruh piring dari sekeping [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def), dan ia dimiliki setiap segitiga. Bagian terakhirnya melakukan percobaan dengan dua cermin yang hasilnya mengumumkan geometri tahun depan.

**Bagian I — Dua pohon, lalu peta wilayah.**

1. Gambarlah dua titik $A$ dan $B$ dengan $AB = 6$ cm lalu lukislah [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ dengan jangka ( [Metode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ). Pilihlah sebuah titik $M$ padanya lalu periksalah dengan penggaris bahwa $MA = MB$ .
2. [Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) mengatakan dua hal sekaligus: setiap titik *pada* [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) berjarak sama dari $A$ dan $B$ , dan setiap titik yang berjarak sama *terletak pada* [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) itu. Yang mana di antara keduanya yang menjawab pertanyaan air mancur pada [Latihan 42.8](#exo-g6-symmetry-8) ? Apa yang dikatakan proposisi itu tentang titik yang *tidak* pada [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) ?
3. Ambillah titik $M$ di sisi [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) yang sama dengan $A$ . [Ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[MB]$ memotong [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) itu di titik $P$ . Bandingkan jalur $M \to P \to B$ dengan jalur $M \to P \to A$ , lalu jelaskan mengapa $M$ lebih dekat ke $A$ daripada ke $B$ : [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) membelah kertas menjadi “sisi $A$ ” dan “sisi $B$ ”.
4. Dua sekolah $A$ dan $B$ melayani sebuah kota. Setiap anak berjalan ke sekolah yang lebih dekat. Gambarlah peta kecil dengan $A$ dan $B$ , lalu warnailah daerah kota yang tepat dilayani sekolah $A$ . Garis apa yang menjadi batasnya?
5. Sekolah ketiga $C$ dibuka (letakkan agar ketiga sekolahnya membentuk segitiga). Lukislah [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ dan [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[BC]$ , lalu sebutlah $O$ titik potongnya. Dua kesamaan jarak apa yang dipenuhi $O$ , dan mengapa?

**Bagian II — Tiga pohon, satu titik, satu lingkaran.**

6. Simpulkan dari pertanyaan 5 bahwa $OA = OC$ — dan karena itu $O$ juga terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AC]$ , yang tidak pernah kamu gambar. Simpulkan: *ketiga [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) sisi sebuah segitiga semuanya melalui satu titik.*
7. Jelaskan mengapa lingkaran berpusat $O$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $OA$ juga melalui $B$ dan melalui $C$ : itulah *satu-satunya* lingkaran yang melalui ketiga titik itu — *lingkaran luar* segitiga $ABC$ .
8. Lukislah segitiga dengan sisi $6$ cm, $5$ cm dan $4$ cm ( [Metode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#met-g6-shapes-construct) ), lalu [lingkaran luarnya](#pb-g6-symmetry-1) . Mengapa cukup menggambar *dua* [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) saja untuk menemukan pusatnya?
9. Piring yang pecah: seorang arkeolog menggali sekeping [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang bagian utuhnya hanya sepotong tepi lingkaran piring itu. Jelaskan resep yang memulihkan pusat dan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) piring aslinya — lalu ujilah: gambarlah busur lingkaran dengan jangkamu, “lupakan” pusatnya, tandailah tiga titik pada busurnya, lalu bangunlah kembali.
10. Mungkinkah tiga titik sama sekali *tidak* punya lingkaran yang melaluinya? Andaikan $A$ , $B$ , $C$ segaris. Apa yang dapat dikatakan tentang [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ dan [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[BC]$ ( [Proposisi 40.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#prop-g6-lines-facts) )? Simpulkan.

**Bagian III — Sumbu di mana-mana, dan cermin yang berjalan.**

11. [Contoh 42.7](#ex-g6-symmetry-shapes) membilang $3$ sumbu untuk [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dan $4$ untuk persegi. Terkalah hitungannya untuk [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dan [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan, lalu jelaskan di mana sumbunya lewat pada tiap keadaan (banyak sisi yang [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) melawan yang [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) : kedua keadaannya berbeda).
12. Lipatlah selembar kertas sekali lalu guntinglah sebuah bentuk menembus kedua lapisannya; bukalah lipatannya. Mengapa lubangnya *selalu* punya [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) , apa pun yang kamu gunting, dan garis mana yang menjadi sumbunya?
13. Lipatlah kertasnya dua kali — lipatan kedua [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap yang pertama — guntinglah, lalu bukalah. Berapa [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis) yang paling sedikit dipunyai lubangnya, dan berapa salinan guntinganmu yang kamu lihat? (Kepingan salju kertas adalah gagasan ini yang dilipat lebih jauh.)
14. Cermin yang berjalan: di kertas berpetak, gambarlah sumbu tegak $d_1$ , sebuah bendera kecil $F$ di sebelah kirinya, dan sumbu tegak kedua $d_2$ , $4$ petak di sebelah kanan $d_1$ . Cerminkan $F$ terhadap $d_1$ (bayangannya $F'$ ), lalu cerminkan $F'$ terhadap $d_2$ (bayangannya $F''$ ). Bandingkan $F$ dan $F''$ : arah hadapnya sama atau tercermin? Berapa petak gambarnya berpindah? Bandingkan dengan jarak antara kedua sumbunya.
15. Percobaan yang sama dengan $d_2$ *[tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)* terhadap $d_1$ : cerminkan benderanya terhadap sumbu tegak, lalu bayangannya terhadap sumbu mendatar. Jelaskan letak $F''$ terhadap $F$ dan terhadap titik potong kedua sumbunya. (Kamu baru saja menemukan transformasi tahun depan: [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central) .)

**Solusi Soal 42.1.**

**1.** Lukisannya seperti pada [Metode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector); untuk sembarang $M$ pada garis itu, penggaris membenarkan $MA = MB$ ([Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**2.** Pertanyaan air mancurnya memerlukan arah yang kedua: *semua* titik yang berjarak sama terletak pada [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector), jadi tempat yang mungkin tepatnya garis itu dan tidak ada yang lain. Dan titik yang tidak pada [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) karena itu *tidak* berjarak sama: ia jelas lebih dekat ke salah satu pohonnya.

**3.** Kedua jalurnya berbagi ruas $[MP]$, dan $PB = PA$ karena $P$ terletak pada [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector). Jadi jalur $M \to P \to B$ sama panjang dengan jalur $M \to P \to A$, yaitu $MP + PA$. Sekarang $MB$ adalah rute lurus ke $B$ — di sini ia *memang* jalur lewat $P$, jadi $MB = MP + PA$; dan rute lurus ke $A$ lebih pendek daripada memutar lewat $P$: $MA < MP + PA = MB$. Setiap titik di sisi $A$ dari [garis sumbunya](#def-g6-symmetry-bisector) lebih dekat ke $A$.

**4.** Batasnya adalah [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$: sekolah $A$ tepat melayani paruh kota di sisinya sendiri terhadap garis itu (pertanyaan 3), sekolah $B$ paruh yang lain, dan anak yang tinggal tepat pada garisnya boleh memilih salah satu.

**5.** $O$ terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$, jadi $OA = OB$; dan pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[BC]$, jadi $OB = OC$ ([Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**6.** Dari $OA = OB$ dan $OB = OC$: $OA = OC$. Menurut arah kedua [Proposisi 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector), titik yang berjarak sama dari $A$ dan $C$ terletak pada [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AC]$: [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) ketiga melalui $O$ tanpa diminta. Ketiga [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) sisi segitiga mana pun *berpotongan di satu titik*.

**7.** Lingkaran berpusat $O$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $OA$ terdiri atas semua titik yang berjarak $OA$ dari $O$ ([Definisi 40.5](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-circle)); karena $OB = OA$ dan $OC = OA$, titik $B$ dan $C$ terletak padanya. Satu pusat, satu [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes), tiga titik terlayani: itulah lingkaran yang melalui $A$, $B$ dan $C$.

**8.** Dua [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) sudah cukup karena yang ketiga otomatis (pertanyaan 6): titik potong keduanya sudah memenuhi ketiga kesamaan jarak itu. Lingkarannya digambar dengan pusat $O$ dan jangka yang dibuka dari $O$ ke salah satu [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def).

**9.** Resepnya: tandailah tiga titik $A$, $B$, $C$ pada busur yang selamat; gambarlah [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) tali busur $[AB]$ dan $[BC]$; titik potongnya adalah pusat piring itu, dan jaraknya ke $A$ adalah [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes). Cara ini berhasil karena tepi piringnya adalah lingkaran yang melalui ketiga titik yang ditandai — dan pertanyaan 8 mencari *satu-satunya* lingkaran yang melalui ketiganya. Busur ujinya terbangun kembali dengan tepat.

**10.** Kalau $A$, $B$, $C$ segaris, [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[AB]$ dan [garis sumbu](#def-g6-symmetry-bisector) $[BC]$ sama-sama [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap garis yang sama $(AB) = (BC)$ — jadi keduanya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) satu sama lain ([Proposisi 40.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#prop-g6-lines-facts)) dan, karena berbeda, tidak pernah berpotongan. Tidak ada titik yang berjarak sama dari ketiganya, dan tidak ada lingkaran yang melalui tiga titik yang segaris.

**11.** [Segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan: $5$ sumbu, masing-masing melalui satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan titik tengah sisi di hadapannya (banyaknya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): setiap sumbunya sejenis). [Segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan: $6$ sumbu — tiga melalui [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang berhadapan dan tiga melalui titik tengah sisi yang berhadapan (banyaknya [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): dua jenis, separuh-separuh). Polanya: [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dengan $n$ sisi punya $n$ sumbu.

**12.** Guntingannya menembus kedua lapisan sekaligus, jadi kedua lapisannya kehilangan potongan yang persis sepadan; membuka lipatannya adalah pencerminan terhadap garis lipatnya, yang mengirim tepi tiap lapisan ke tepi lapisan yang lain. Lubangnya adalah bayangan cerminnya sendiri: garis lipatnya adalah [sumbu simetrinya](#def-g6-symmetry-axis) — apa pun yang digunting.

**13.** Lubang yang sudah dibuka punya sedikitnya $2$ [sumbu simetri](#def-g6-symmetry-axis), yaitu kedua garis lipatnya, dan guntingannya muncul dalam $4$ salinan (setiap kali dibuka gambarnya berlipat dua: $1 \to 2 \to 4$). Melipat lebih banyak kali dengan gaya kepingan salju melipatgandakan salinan dan sumbunya lebih jauh lagi.

**14.** $F''$ punya arah hadap yang *sama* dengan $F$ (dua pembalikan cermin saling meniadakan), ukuran yang sama dan ketinggian yang sama — ia sekadar $F$ yang digeser ke kanan. Pergeserannya berukuran $8$ petak: tepat *dua kali* jarak antara kedua sumbunya. Dua cermin yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) bersama-sama sama sekali tidak mencerminkan: keduanya *menggeser*.

**15.** $F''$ lagi-lagi berukuran sama, tetapi kini ia tampak *terbalik*, karena terputar setengah putaran terhadap titik potong kedua sumbunya: setiap titik $F''$ berseberangan diametral dengan titik $F$ yang bersesuaian melalui pusat itu. Dua cermin yang [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) menyusun *setengah putaran* — yaitu simetri pusat pada [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central).