---
title: "Keliling, Luas, Volume"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 43
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume
---

# Bab 43 — Keliling, Luas, Volume

Berapa panjang pagarnya, seberapa besar sawahnya, berapa banyak air yang muat di dalam tangki? Tiga pertanyaan yang berbeda, tiga besaran yang berbeda — [keliling](#def-g6-measure-perimeter), [luas](#def-g6-measure-area), [volume](#def-g6-measure-volume) — masing-masing dengan satuannya sendiri. Mencampuradukkannya adalah kesalahan yang paling sering terjadi dalam geometri; bab ini memilahnya untuk selamanya.

## 43.1 Panjang dan keliling

**Definisi 43.1 (Keliling).**

*Keliling* sebuah bangun adalah panjang seluruh tepinya. Ia diukur dengan satuan panjang: milimeter (mm), sentimeter (cm), meter (m), kilometer (km), dengan

$$
1 \text{ km} = 1000 \text{ m}, \qquad
1 \text{ m} = 100 \text{ cm}, \qquad
1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}.
$$

**Contoh 43.2.**

Persegi panjang dengan panjang $L$ dan lebar $w$ punya [keliling](#def-g6-measure-perimeter)

$$
P = L + w + L + w = 2 \times (L + w).
$$

Untuk persegi panjang $7$ cm kali $4$ cm: $P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 =
22$ cm. Persegi dengan sisi $c$ punya [keliling](#def-g6-measure-perimeter) $4c$.

**Proposisi 43.3 (Lingkar sebuah lingkaran).**

[Keliling](#def-g6-measure-perimeter) (atau *lingkar*) sebuah lingkaran berjari-jari $r$ adalah

$$
P = 2 \pi r ,
$$

dengan $\pi \approx 3.14$ adalah bilangan yang sama untuk setiap lingkaran.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 43.4.**

Sebuah kolam berbentuk lingkaran berjari-jari $5$ m. Tepinya berukuran $2 \times \pi \times 5 = 10\pi \approx 31.4$ m. Simpanlah nilai tepatnya $10\pi$ selama mungkin; [bulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) hanya pada akhirnya.

## 43.2 Luas

**Definisi 43.5 (Luas).**

*Luas* sebuah bangun mengukur permukaan yang ditutupinya: berapa persegi satuan yang muat di dalamnya. Satuannya: cm$^2$ (persegi dengan sisi $1$ cm), m$^2$, km$^2$, … Hati-hati:

$$
1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2
$$

— satu meter persegi adalah persegi $100$ cm kali $100$ cm, jadi setiap anak tangga satuannya bernilai $100$, bukan $10$.

![Luas sebuah persegi panjang: 7 kolom yang masing-masing berisi 4 persegi satuan, jadi seluruhnya 7 × 4 = 28 persegi. Inilah sebabnya luas = panjang × lebar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-261fef2bc93c.svg)

*[Luas](#def-g6-measure-area) sebuah persegi panjang: $7$ kolom yang masing-masing berisi $4$ persegi satuan, jadi seluruhnya $7 \times 4 = 28$ persegi. Inilah sebabnya [luas](#def-g6-measure-area) $=$ panjang $\times$ lebar.*

**Proposisi 43.6 (Rumus dasar luas).**

| bangun | [luas](#def-g6-measure-area) |
| --- | --- |
| persegi panjang ($L \times w$) | $A = L \times w$ |
| persegi (sisi $c$) | $A = c^2$ |
| [4pt] [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) (sisi siku-siku $a$, $b$) | $A = \dfrac{a \times b}{2}$ |
| [4pt] cakram ([jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $r$) | $A = \pi r^2$ |

**Pembuktian untuk segitiga siku-siku.** Dua salinan [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi siku-siku $a$ dan $b$, yang direkatkan sepanjang sisi miringnya, membentuk persegi panjang $a \times b$. Jadi [luas](#def-g6-measure-area) segitiganya adalah setengah [luas](#def-g6-measure-area) persegi panjang itu: $\frac{ab}{2}$. (Rumus persegi panjangnya adalah pembilangan persegi satuan di atas; rumus cakramnya diterima tanpa bukti, lihat [Bab 53](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#ch-g7-areas).) ∎

![Segitiga siku-siku adalah setengah persegi panjang: dari sana datang rumus a× b/2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-f9ac2ce89dd4.svg)

*[Segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) adalah setengah persegi panjang: dari sana datang rumus $\frac{a\times b}{2}$.*

**Contoh 43.7 (Bangun gabungan).**

Sebuah ruangan berbentuk L adalah persegi panjang $6$ m $\times$ $4$ m dengan pojok persegi $2$ m $\times$ $2$ m yang dibuang. Luasnya, selangkah demi selangkah:

1. seluruh persegi panjang: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
2. persegi yang dibuang: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
3. [luas](#def-g6-measure-area) yang tersisa: $24 - 4 = 20$ m $^2$ .

*[Kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter)* bukan $20$ apa pun: berjalan mengelilingi huruf L itu, tepinya tetap berukuran $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m — kedua potongan pojoknya menggantikan dua bagian dinding yang sama panjang. Bilangannya sama secara kebetulan, tetapi yang satu meter persegi, yang lain meter!

**Catatan 43.8 (Keliling sama, luas berbeda).**

Dua bangun dapat punya [keliling](#def-g6-measure-perimeter) yang sama dan [luas](#def-g6-measure-area) yang sangat berbeda: persegi $5 \times 5$ dan persegi panjang $9 \times 1$ sama-sama berkeliling $20$, tetapi luasnya $25$ dan $9$. [Keliling](#def-g6-measure-perimeter) dan [luas](#def-g6-measure-area) benar-benar besaran yang saling bebas.

## 43.3 Volume

**Definisi 43.9 (Volume).**

*Volume* sebuah [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) mengukur ruang yang diisinya: berapa [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) satuan yang muat di dalamnya. Satuannya: cm$^3$, m$^3$, … dengan $1$ m$^3 = 1\,000\,000$ cm$^3$ (setiap anak tangga bernilai $1000$). Untuk zat cair orang juga memakai *liter*:

$$
1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3,
\qquad
1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}.
$$

**Proposisi 43.10 (Volume sebuah balok).**

Sebuah [balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) (*prisma persegi panjang*) dengan panjang $L$, lebar $w$ dan tinggi $h$ punya [volume](#def-g6-measure-volume)

$$
V = L \times w \times h .
$$

**Bukti.** Lapisan dasarnya memuat $L \times w$ [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) satuan (gambar [Definisi 43.5](#def-g6-measure-area), dengan [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def)), dan ada $h$ lapisan seperti itu. ∎

![Sebuah balok yang diisi kubus satuan: 4 × 2 kubus per lapisan, dua lapisan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-measure/fig-59d7497a6d32.svg)

*Sebuah [balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang diisi [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) satuan: $4 \times 2$ [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) per lapisan, dua lapisan.*

**Contoh 43.11.**

Sebuah akuarium berukuran $60$ cm kali $30$ cm kali $40$ cm (tinggi). [Volumenya](#def-g6-measure-volume):

$$
V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3 = 72 \text{ dm}^3
= 72 \text{ L}.
$$

Selangkah demi selangkah untuk mengubah satuannya: $1000$ cm$^3$ menjadi satu liter, dan $72\,000 \div 1000 = 72$.

## 43.4 Latihan

**Latihan 43.1 ★.**

Ubahlah: $3.5$ m menjadi cm; $420$ mm menjadi cm; $0.8$ km menjadi m; $25\,000$ m menjadi km.

**Solusi Latihan 43.1.**

$3.5$ m $= 350$ cm; $420$ mm $= 42$ cm; $0.8$ km $= 800$ m; $25\,000$ m $= 25$ km.

**Latihan 43.2 ★.**

Hitunglah [keliling](#def-g6-measure-perimeter): persegi panjang $8$ cm $\times$ $3.5$ cm; persegi dengan sisi $6.2$ cm; segitiga dengan sisi $5$ cm, $7$ cm dan $9$ cm.

**Solusi Latihan 43.2.**

Persegi panjang: $2 \times (8 + 3.5) = 2 \times 11.5 = 23$ cm. Persegi: $4 \times 6.2 = 24.8$ cm. Segitiga: $5 + 7 + 9 = 21$ cm.

**Latihan 43.3 ★.**

Sebuah lintasan lari berbentuk lingkaran berjari-jari $50$ m. Berapa panjang satu putaran (nilai tepatnya dengan $\pi$, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke meter)? Berapa putaran yang membuat sedikitnya $2$ km?

**Solusi Latihan 43.3.**

Satu putaran: $2\pi \times 50 = 100\pi \approx 314$ m. Untuk $2$ km $= 2000$ m: $2000 \div 314 \approx 6.4$, jadi diperlukan $7$ putaran penuh ($6$ putaran hanya menempuh kira-kira $1\,885$ m).

**Latihan 43.4 ★.**

Hitunglah [luas](#def-g6-measure-area): persegi panjang $9$ cm $\times$ $4$ cm; persegi dengan sisi $7$ m; [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi siku-siku $6$ cm dan $10$ cm; cakram berjari-jari $3$ cm (nilai tepatnya, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke cm$^2$).

**Solusi Latihan 43.4.**

Persegi panjang: $9 \times 4 = 36$ cm$^2$. Persegi: $7^2 = 49$ m$^2$. [Segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles): $\frac{6 \times 10}{2} = 30$ cm$^2$. Cakram: $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28$ cm$^2$.

**Latihan 43.5 ★.**

Ubahlah: $3$ m$^2$ menjadi cm$^2$; $45\,000$ cm$^2$ menjadi m$^2$; $2.5$ L menjadi cm$^3$; $4\,500$ L menjadi m$^3$.

**Solusi Latihan 43.5.**

$3$ m$^2 = 30\,000$ cm$^2$; $45\,000$ cm$^2 = 4.5$ m$^2$; $2.5$ L $= 2\,500$ cm$^3$; $4\,500$ L $= 4.5$ m$^3$.

**Latihan 43.6 ★.**

Sebuah sawah berbentuk persegi panjang, panjangnya $120$ m dan lebarnya $85$ m. Berapa meter pagar yang diperlukan untuk mengelilinginya? Berapa luasnya?

**Solusi Latihan 43.6.**

Pagarnya ([kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter)): $2 \times (120 + 85) = 2 \times 205 = 410$ m. Luasnya: $120 \times 85 = 10\,200$ m$^2$.

**Latihan 43.7 ★.**

Hitunglah [volume](#def-g6-measure-volume) [balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $5$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm, dan [volume](#def-g6-measure-volume) [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dengan [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $3$ cm.

**Solusi Latihan 43.7.**

[Balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): $5 \times 4 \times 10 = 200$ cm$^3$. [Kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$ cm$^3$.

**Latihan 43.8 ★.**

Gambarlah dua persegi panjang berbeda yang berkeliling $16$ cm, lalu hitunglah luasnya. Persegi panjangmu yang mana yang lebih besar luasnya?

**Solusi Latihan 43.8.**

[Keliling](#def-g6-measure-perimeter) $16$ cm berarti panjang $+$ lebar $= 8$ cm. Misalnya $6 \times 2$ (luasnya $12$ cm$^2$) dan $5 \times 3$ (luasnya $15$ cm$^2$) — atau persegi $4 \times 4$ (luasnya $16$ cm$^2$). Makin dekat ke bentuk persegi, makin besar luasnya.

**Latihan 43.9 ★★.**

Sebuah bangun berbentuk huruf T tersusun dari persegi panjang mendatar $10 \times 2$ di atas persegi panjang tegak $2 \times 6$ (ukurannya dalam cm). Hitunglah luasnya, lalu [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) (telusurilah tepinya dengan teliti, sambil menjumlahkan setiap sisinya).

**Solusi Latihan 43.9.**

Luasnya: $10 \times 2 + 2 \times 6 = 20 + 12 = 32$ cm$^2$.

[Kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) (batang tegaknya di tengah bawah batang mendatar): telusurilah,

$$
10 + 2 + 4 + 6 + 2 + 6 + 4 + 2 = 36 \text{ cm}
$$

(atas; ujung kanan batang mendatar; bawah kanan; kanan batang tegak; alas batang tegak; kiri batang tegak; bawah kiri; ujung kiri batang mendatar).

**Latihan 43.10 ★★.**

Sebuah kolam renang berbentuk [balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) sepanjang $25$ m, selebar $10$ m dan sedalam $2$ m.

1. Berapa meter kubik air yang dimuatnya ketika penuh?
2. Berapa liter itu?
3. Kolamnya diisi $50\,000$ L setiap jam. Berapa lama pengisiannya?

**Solusi Latihan 43.10.**

*1.* $V = 25 \times 10 \times 2 = 500$ m$^3$.

*2.* $500$ m$^3 = 500 \times 1000 = 500\,000$ L.

*3.* $500\,000 \div 50\,000 = 10$ jam.

**Latihan 43.11 ★★.**

Sebuah kebun berbentuk persegi dengan sisi $20$ m memuat kolam berbentuk lingkaran berjari-jari $3$ m. Berapa [luas](#def-g6-measure-area) rumputnya (nilai tepatnya, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke m$^2$)?

**Solusi Latihan 43.11.**

Kebun: $20^2 = 400$ m$^2$. Kolam: $\pi \times 3^2 = 9\pi$ m$^2$. Rumput: $400 - 9\pi \approx 400 - 28.3 \approx 372$ m$^2$.

**Latihan 43.12 ★★★.**

Sebatang cokelat berukuran $15$ cm $\times$ $6$ cm $\times$ $1$ cm. Pembuatnya melipatduakan *ketiga* ukurannya.

1. [Volumenya](#def-g6-measure-volume) dikalikan berapa? Periksalah dengan menghitung kedua [volumenya](#def-g6-measure-volume) .
2. Harganya dikalikan $4$ . Apakah batang yang besar lebih menguntungkan daripada yang kecil?

**Solusi Latihan 43.12.**

*1.* Batang kecil: $15 \times 6 \times 1 = 90$ cm$^3$. Batang besar: $30 \times 12 \times 2 = 720$ cm$^3$. [Volumenya](#def-g6-measure-volume) dikalikan $720 \div 90 = 8$ — melipatduakan ketiga ukurannya mengalikan [volumenya](#def-g6-measure-volume) dengan $2 \times 2 \times 2 = 8$.

*2.* Delapan kali cokelatnya untuk empat kali harganya: ya, batang yang besar dua kali lebih menguntungkan per gram.

## 43.5 Soal: Pagar Ratu Dido

**Soal 43.1.**

Soal akhir pekan — dengan panjang pagar yang tetap, bangun mana yang melingkupi tanah paling luas? Persegi mengalahkan setiap persegi panjang, lingkaran mengalahkan persegi, dan sebuah dinding lumbung mengubah segalanya

Legenda mengisahkan bahwa Ratu Dido, ketika mendarat di pesisir Afrika, diberi “tanah seluas yang dapat dilingkupi sehelai kulit sapi” — maka ia memotong kulit itu menjadi satu jalur yang sangat panjang dan tipis lalu melingkupi tanah yang cukup untuk mendirikan kota Kartago. Soalnya kini menjadi soalmu: seorang petani punya tepat $20$ m pagar. [Latihan 43.8](#exo-g6-measure-8) memperlihatkan bahwa dua kandang dengan [keliling](#def-g6-measure-perimeter) yang sama dapat punya [luas](#def-g6-measure-area) yang berbeda; soal ini mencari kandang yang *terbaik* — dan menemukan bahwa jawabannya berubah sama sekali ketika dinding lumbung meminjamkan satu sisi secara cuma-cuma.

**Bagian I — Dua puluh meter pagar.**

1. Kandangnya harus berbentuk persegi panjang yang memakai seluruh $20$ m pagar itu. Periksalah bahwa kandang $1 \times 9$ dan kandang $2 \times 8$ sama-sama memenuhi syarat, lalu hitunglah luasnya.
2. Jelaskan mengapa panjang dan lebar setiap kandang yang memenuhi syarat berjumlah $10$ m. Lalu buatlah tabel lengkap kandang dengan sisi bilangan bulat (dari $1 \times 9$ sampai $5 \times 5$ ) beserta luasnya. Mana yang terbaik?
3. Apakah sisi desimal layak dicoba? Hitunglah [luas](#def-g6-measure-area) kandang $4.5 \times 5.5$ dan kandang $4.9 \times 5.1$ , lalu bandingkan dengan persegi $5 \times 5$ . Apa dugaanmu?
4. Pertanyaan 2 mengubah soal pagar itu menjadi soal bilangan yang murni: *di antara semua pasangan bilangan yang berjumlah $10$, pasangan mana yang [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) terbesar?* Jawablah dari tabelmu, lalu nyatakan aturan umum yang kamu amati.
5. Inilah alasan mengapa menjauh dari bentuk persegi selalu merugi, dengan gunting alih-alih aljabar: mulailah dari kandang $5 \times 5$ lalu ubahlah menjadi kandang $6 \times 4$ dengan membuang satu jalur dan merekatkan jalur lain sebagai gantinya. Jalur mana yang dibuang, jalur mana yang ditambahkan, dan mengapa penukaran itu kehilangan tepat satu meter persegi? Jelaskan mengapa langkah berikutnya (ke $7 \times 3$ ) kehilangan lebih banyak lagi.

**Bagian II — Lumbungnya, dan lingkarannya.**

6. Kandangnya sekarang dibangun menempel pada dinding lumbung yang panjang: dindingnya menggantikan satu sisi panjang kandang, dan $20$ m pagarnya hanya menutupi tiga sisi yang lain. Buatlah tabel kandang dengan ukuran bilangan bulat (lebar $w$ , panjang $L$ sepanjang dinding, $w + L + w = 20$ ) beserta luasnya. Kandang mana yang menang sekarang — dan apakah ia persegi?
7. Jelaskan pemenangnya dengan sebuah cermin ( [Bab 42](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#ch-g6-symmetry) ): cerminkan kandangnya terhadap dinding lumbung lalu perhatikan kandang gandanya. Berapa pagar yang dipakai kandang ganda itu, kandang ganda mana yang terbaik menurut Bagian I, dan itu menjadikan kandang aslinya apa?
8. Dido tidak membangun persegi panjang. Lengkungkan $20$ m pagar itu menjadi lingkaran: dengan $\pi \approx 3.14$ , hitunglah [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) (sampai cm), lalu luasnya (sampai m $^2$ ) ( [Proposisi 43.3](#prop-g6-measure-circle) , [Proposisi 43.6](#prop-g6-measure-formulas) ). Bandingkan dengan persegi $5 \times 5$ .
9. Soal kebalikannya: diinginkan kandang seluas tepat $36$ m $^2$ , dengan pagar sesedikit mungkin. Bandingkan persegi panjang $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ dan $6 \times 6$ : berapa [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) ? Bangun mana yang paling murah, dan bagaimana pertanyaan ini menjadi bayangan cermin Bagian I?
10. Dalam satu kalimat: mengapa kaleng, pipa dan tangki air begitu sering *bulat* ?

**Bagian III — [Keliling](#def-g6-measure-perimeter) dan [luas](#def-g6-measure-area) itu orang asing.**

11. Carilah persegi panjang yang [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) melebihi $100$ m tetapi luasnya kurang dari $1$ m $^2$ . (Sangat panjang dan sangat tipis. [Bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places) diperbolehkan.)
12. Benar atau salah: “dari dua bangun, yang [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) lebih besar luasnya juga lebih besar.” Berikan contoh penyangkal dari soal ini.
13. Ambillah persegi panjang $6 \times 4$ lalu potonglah takik persegi $1 \times 1$ di tengah salah satu sisi panjangnya (takiknya menganga ke luar, seperti gigi yang hilang). Hitunglah [luas](#def-g6-measure-area) dan [keliling](#def-g6-measure-perimeter) bangun bertakik itu, lalu bandingkan keduanya dengan bangun aslinya. Apa yang terjadi pada masing-masing?
14. Pembuat peta mengetahui fakta yang aneh: makin rinci petanya, makin *panjang* garis pantainya terukur — setiap perbesaran memunculkan takik kecil yang baru, dan pertanyaan 13 memperlihatkan apa yang dikerjakan setiap takik. Jelaskan dalam satu atau dua kalimat mengapa “panjang garis pantai Bretagne” adalah bilangan yang licin, sedangkan “ [luas](#def-g6-measure-area) Bretagne” tidak.
15. Ujian sang petani. Dengan $36$ m pagar dan dinding lumbung yang tersedia, carilah kandang persegi panjang yang terbaik (pakailah cermin pada pertanyaan 7), sebutkan luasnya, lalu bandingkan dengan kandang terbaik yang dibangun dengan $36$ m di lapangan terbuka. Berapa banyak yang diperoleh petani itu berkat dinding lumbungnya?

**Solusi Soal 43.1.**

**1.** $1 \times 9$: [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (1 + 9) = 20$ m, luasnya $9$ m$^2$. $2 \times 8$: [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times 10 = 20$ m, luasnya $16$ m$^2$.

**2.** [Kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) dua kali (panjang $+$ lebar) ([Contoh 43.2](#ex-g6-measure-perimeter)), jadi panjang $+$ lebar $= 20 \div 2 = 10$ m. Tabelnya:

| kandang | $1 \times 9$ | $2 \times 8$ | $3 \times 7$ | $4 \times 6$ | $5 \times 5$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| [luas](#def-g6-measure-area) (m$^2$) | $9$ | $16$ | $21$ | $24$ | $25$ |

Persegi $5 \times 5$ yang terbaik.

**3.** $4.5 \times 5.5 = 24.75$ dan $4.9 \times 5.1 =
24.99$: makin lama makin dekat ke $25$, tetapi tetap di bawahnya. Dugaan: persegi itu mengalahkan *setiap* persegi panjang yang berkeliling $20$, termasuk yang sisinya desimal.

**4.** Dari tabelnya: [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dua bilangan yang berjumlah $10$ paling besar ketika kedua bilangannya *sama* ($5$ dan $5$). Aturan umumnya: untuk [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang tetap, [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) paling besar untuk bagian yang sama — makin tidak sama pasangannya, makin kecil [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def).

**5.** Dari persegi $5 \times 5$, buanglah baris paling atas — jalur berisi $5$ persegi satuan — sehingga tersisa kandang $5 \times 4$; lalu rekatkan satu kolom berisi $4$ persegi satuan pada salah satu ujungnya, sehingga kandangnya menjadi $6 \times 4$. Lima persegi diambil dan hanya empat yang kembali: jalur yang ditambahkan terletak sepanjang sisi $4$, yang lebih pendek daripada sisi $5$ yang ditutupi jalur yang dibuang tadi. Kerugian bersihnya: satu meter persegi ($25 \to 24$). Langkah berikutnya, dari $6 \times 4$ ke $7 \times 3$, menukar baris berisi $6$ dengan kolom berisi $3$ dan kehilangan tiga lagi ($24 \to 21$): makin jauh kandangnya dari bentuk persegi, makin panjang jalur yang ia lepaskan dan makin pendek jalur yang ia terima kembali.

**6.** Dengan $w + L + w = 20$, yaitu $L = 20 - 2w$:

| $w$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $L$ | $18$ | $16$ | $14$ | $12$ | $10$ | $8$ | $6$ |
| [luas](#def-g6-measure-area) | $18$ | $32$ | $42$ | $48$ | $50$ | $48$ | $42$ |

Pemenangnya adalah $5 \times 10$, dengan [luas](#def-g6-measure-area) $50$ m$^2$ — dua kali lebih panjang (sepanjang dinding) daripada lebarnya: *bukan* persegi.

**7.** Cerminkan kandangnya terhadap dindingnya: kandangnya beserta bayangan cerminnya membentuk kandang ganda yang memakai pagarnya dua kali, yaitu $40$ m pagar mengelilinginya (sisi dindingnya kini berada di dalam). Menurut Bagian I, persegi panjang terbaik yang berkeliling $40$ adalah persegi $10 \times 10$, dengan [luas](#def-g6-measure-area) $100$ m$^2$. Kandang sebenarnya yang terbaik adalah setengah kandang ganda terbaik itu: $10$ m sepanjang dinding, $5$ m ke dalam, luasnya $50$ m$^2$ — tepat pemenang pada tabelnya, yang kini terjelaskan.

**8.** Lingkarnya $20 = 2 \times \pi \times r$, jadi $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ m. Luasnya: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx
31.8$ m$^2$ — jauh lebih besar daripada $25$ m$^2$ milik persegi. Dido tahu apa yang ia lakukan: untuk panjang tepi yang diberikan, lingkaranlah yang melingkupi paling banyak.

**9.** [Kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter): $1 \times 36$: $74$ m; $2 \times 18$: $40$ m; $3 \times 12$: $30$ m; $4 \times 9$: $26$ m; $6 \times 6$: $24$ m. Persegi lagi — pagar paling sedikit untuk [luas](#def-g6-measure-area) yang diberikan. Inilah Bagian I yang dibalik: [keliling](#def-g6-measure-perimeter) tetap dengan [luas](#def-g6-measure-area) terbesar, atau [luas](#def-g6-measure-area) tetap dengan [keliling](#def-g6-measure-perimeter) terkecil; keduanya menobatkan persegi (dan, di luar semua persegi panjang, lingkaran).

**10.** Dinding yang bulat adalah tepi terpendek untuk ruang yang dilingkupinya (pertanyaan 8), jadi kaleng, pipa atau tangki yang bulat memuat isi paling banyak dengan logam paling sedikit — bahan itu uang.

**11.** Misalnya $50$ m $\times$ $0.01$ m: [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ m, luasnya $50 \times 0.01 = 0.5$ m$^2$. Panjang dan tipis: bertepi berkilo-kilometer, tetapi tanahnya hampir tidak ada.

**12.** Salah. Kandang pada pertanyaan 11 berkeliling $100.02$ m dan berluas $0.5$ m$^2$, sedangkan kandang $5 \times 5$ berkeliling $20$ m dan berluas $25$ m$^2$: [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) lebih besar, luasnya jauh lebih kecil.

**13.** Luasnya: satu persegi satuan hilang, $24 - 1 = 23$ cm$^2$. [Kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter): ketika ditelusuri, takiknya menggantikan $1$ cm dinding lurus dengan tiga sisi persegi kecil, $1 + 1 + 1 = 3$ cm: [kelilingnya](#def-g6-measure-perimeter) bertambah dari $20$ cm menjadi $20 - 1 + 3 = 22$ cm. Membuang bahan justru *memanjangkan* tepinya.

**14.** Setiap perbesaran pada pantai yang sesungguhnya memunculkan teluk, batu dan cerukan yang baru — takik di atas takik, dan pertanyaan 13 memperlihatkan bahwa setiap takik menambah panjang tepi sambil hampir tidak mengubah luasnya. Jadi panjang yang terukur terus bertambah seiring tingkat kerinciannya (“paradoks garis pantai”), sedangkan [luas](#def-g6-measure-area) yang terukur mengendap: [keliling](#def-g6-measure-perimeter) dan [luas](#def-g6-measure-area) benar-benar besaran yang saling bebas.

**15.** Alasan cerminnya: kandang gandanya akan memakai $2 \times 36 = 72$ m pagar, dan persegi panjang terbaik yang berkeliling $72$ adalah persegi $18 \times 18$. Jadi kandang terbaiknya $18$ m sepanjang dinding dan $9$ m ke dalam: periksa pagarnya $9 + 18 + 9 = 36$ m, luasnya $18 \times 9 = 162$ m$^2$. Di lapangan terbuka, yang terbaik adalah persegi $9 \times 9$, luasnya $81$ m$^2$. Dinding lumbung itu tepat *melipatduakan* tanah sang petani.