---
title: "Urutan Operasi Hitung"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 45
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung
---

# Bab 45 — Urutan Operasi Hitung

Berapa $3 + 4 \times 5$? Kalau kamu menghitung dari kiri ke kanan kamu memperoleh $35$; kalau kamu mengalikan lebih dulu kamu memperoleh $23$. Matematika memerlukan satu jawaban saja, jadi ada aturan lalu lintas untuk perhitungan — yaitu urutan pengerjaannya. Bab ini menyatakan aturan itu lalu memperkenalkan kesamaan aljabar yang pertama, yaitu sifat distributif.

## 45.1 Aturan urutan pengerjaan

**Teorema 45.1 (Aturan urutan pengerjaan).**

Pada perhitungan tanpa tanda kurung:

1. perkalian dan pembagian dikerjakan *sebelum* penjumlahan dan pengurangan;
2. operasi yang setingkat dikerjakan dari kiri ke kanan.

Tanda kurung mengalahkan segalanya: yang ada di dalam kurung dihitung lebih dulu, dimulai dari kurung yang paling dalam.

**Contoh 45.2.**

Satu langkah per baris, sambil menggarisbawahi (dalam hati) apa yang dihitung:

$$
\begin{align*}
3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23
&&\text{(perkalian lebih dulu)}\\
20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14
&&\text{(setingkat: kiri ke kanan)}\\
18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12
&&\text{(setingkat: kiri ke kanan)}\\
(3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35
&&\text{(kurung lebih dulu).}
\end{align*}
$$

Perhatikan perangkapnya: $20 - 8 + 2$ itu *bukan* $20 - 10$, dan $18 \div 3 \times 2$ itu *bukan* $18 \div 6$.

**Contoh 45.3 (Kurung bersarang).**

$$
\begin{align*}
50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr)
&= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(kurung terdalam)}\\
&= 50 - 2 \times 9 && \text{(kurung yang tersisa)}\\
&= 50 - 18 && \text{(perkalian)}\\
&= 32 .
\end{align*}
$$

**Catatan 45.4 (Garis pecahan menyembunyikan tanda kurung).**

Garis [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) mengelompokkan [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dan [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def), seolah-olah masing-masing punya tanda kurung yang tidak terlihat:

$$
\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5,
\qquad\text{bukan}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .
$$

**Metode 45.5 (Menghitung dengan aman).**

1. Kenalilah operasi yang harus dikerjakan lebih dulu (kurung terdalam, lalu $\times$ dan $\div$ , lalu $+$ dan $-$ );
2. hitunglah *hanya operasi itu* , lalu tulis ulang seluruh bentuknya dengan hasilnya di tempat itu;
3. ulangi sampai tersisa satu bilangan — satu operasi per baris, tanpa jalan pintas.

## 45.2 Sifat distributif

**Teorema 45.6 (Sifat distributif).**

Untuk semua bilangan $k$, $a$, $b$:

$$
k \times (a + b) = k \times a + k \times b,
\qquad
k \times (a - b) = k \times a - k \times b .
$$

**Pembuktian dengan gambar.** Bilanglah luas persegi panjang selebar $k$ yang dibelah menjadi dua persegi panjang yang lebih kecil dengan panjang $a$ dan $b$: sebagai satu kesatuan luasnya $k \times (a+b)$; dalam dua bagian luasnya $k \times a + k \times b$. Persegi panjang yang sama, luas yang sama. ∎

![Sifat distributif sebagai luas: persegi panjang yang besar k × (a + b) adalah jumlah kedua persegi panjang yang kecil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-priorities/fig-20d5069e21cc.svg)

*Sifat distributif sebagai luas: persegi panjang yang besar $k \times (a + b)$ adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kedua persegi panjang yang kecil.*

**Contoh 45.7 (Kedua arahnya).**

*Menjabarkan* (dari kiri ke kanan) memudahkan hitungan di kepala:

$$
7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721,
\qquad
6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .
$$

*Memfaktorkan* (dari kanan ke kiri) mengumpulkan faktor bersamanya:

$$
23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .
$$

**Contoh 45.8 (Menerjemahkan kata menjadi perhitungan).**

“[Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dari $8$ dan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $5$ dengan $3$” adalah $8 + 5 \times 3 = 23$. “[Hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $5$ dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dari $8$ dan $3$” adalah $5 \times (8 + 3) = 55$: kata “[hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) … dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dari…” memasang tanda kurung di sekeliling [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def).

## 45.3 Latihan

**Latihan 45.1 ★.**

Hitunglah, satu operasi per baris:

$$
5 + 3 \times 6, \qquad
(5 + 3) \times 6, \qquad
30 - 12 \div 4, \qquad
(30 - 12) \div 4 .
$$

**Solusi Latihan 45.1.**

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$.

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$.

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$.

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$.

**Latihan 45.2 ★.**

Hitunglah:

$$
24 - 6 + 2, \qquad
24 \div 6 \times 2, \qquad
24 - 6 \times 2, \qquad
24 \div (6 \times 2).
$$

**Solusi Latihan 45.2.**

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (kiri ke kanan).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (kiri ke kanan).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (perkalian lebih dulu).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$.

**Latihan 45.3 ★.**

Hitunglah selangkah demi selangkah:

$$
7 + 3 \times (10 - 6), \qquad
40 - (2 + 3) \times 4, \qquad
60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).
$$

**Solusi Latihan 45.3.**

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$.

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$.

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3)
= 60 \div 6 = 10$.

**Latihan 45.4 ★.**

Hitunglah [pecahannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) (ada kurung yang tidak terlihat!):

$$
\frac{18 + 6}{8}, \qquad
\frac{30}{7 - 2}, \qquad
\frac{5 \times 8}{4 + 6} .
$$

**Solusi Latihan 45.4.**

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$.

**Latihan 45.5 ★.**

Pakailah sifat distributif untuk menghitung di kepala:

$$
8 \times 102, \qquad
25 \times 99, \qquad
14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad
37 \times 45 - 37 \times 35 .
$$

**Solusi Latihan 45.5.**

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$.

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$.

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$.

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 =
370$.

**Latihan 45.6 ★.**

Tulislah perhitungannya dalam satu baris, dengan tanda kurung bila perlu, lalu hitunglah: “[selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) dari $50$ dan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $6$ dengan $7$”; “[hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dari [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $4$ dan $5$ dengan [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) $10$ dan $8$”.

**Solusi Latihan 45.6.**

“[Selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) dari $50$ dan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $6$ dengan $7$”: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (tidak perlu tanda kurung, urutan pengerjaannya sudah bekerja).

“[Hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dari [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $4$ dan $5$ dengan [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) $10$ dan $8$”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$.

**Latihan 45.7 ★.**

Amir membeli $3$ buku tulis seharga $2.50$ masing-masing dan $2$ pena seharga $1.20$ masing-masing. Tulislah seluruh belanjanya dalam satu bentuk, lalu hitunglah.

**Solusi Latihan 45.7.**

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euro.

**Latihan 45.8 ★★.**

Pasanglah tanda kurung pada $4 + 2 \times 5 - 1$ agar hasilnya: (a) $13$; (b) $29$; (c) $24$. (Salah satu dari ketiganya tidak memerlukan tanda kurung sama sekali — yang mana?)

**Solusi Latihan 45.8.**

(a) tanpa kurung: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$.

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$.

(c) $(4 + 2) \times (5 - 1) = 6 \times 4 = 24$.

**Latihan 45.9 ★★.**

Apakah $12 + 4 \times k$ dan $16 \times k$ sama untuk setiap bilangan $k$? Ujilah dengan $k = 1$ dan $k = 2$, lalu simpulkan. Kesalahan urutan pengerjaan yang mana yang membawa dari yang satu ke yang lain?

**Solusi Latihan 45.9.**

$k = 1$: $12 + 4 \times 1 = 16$ dan $16 \times 1 = 16$ — keduanya cocok (itulah sebabnya $k = 1$ adalah uji yang buruk!). $k = 2$: $12 + 4 \times 2 = 20$ tetapi $16 \times 2 = 32$: berbeda. Jadi kedua bentuk itu *tidak* sama secara umum. Kesalahan $12 + 4 \times k = 16 \times k$ datang dari menjumlahkan $12 + 4$ lebih dulu, dengan mengabaikan urutan pengerjaan $\times$.

**Latihan 45.10 ★★.**

Karcis bioskop berharga $9$ euro, tetapi rombongan yang berisi $n$ orang membayar biaya tetap $12$ euro ditambah $6$ euro untuk tiap orang.

1. Tulislah bentuk untuk harga rombongan itu, lalu hitunglah untuk $n = 5$ .
2. Mulai dari berapa orang tarif rombongan lebih murah daripada $n$ karcis satuan? (Cobalah beberapa nilai $n$ .)

**Solusi Latihan 45.10.**

*1.* Harga rombongan: $12 + 6 \times n$. Untuk $n = 5$: $12 + 30 = 42$ euro.

*2.* Harga satuan: $9n$. Bandingkan: $n = 3$: $30$ lawan $27$ (satuan lebih murah); $n = 4$: $36$ lawan $36$ (sama); $n = 5$: $42$ lawan $45$ (rombongan lebih murah). Mulai dari $5$ orang, tarif rombongan menang (setiap orang tambahan berharga $6$ dan bukan $9$, jadi jaraknya hanya bertambah).

**Latihan 45.11 ★★★.**

Dengan memakai masing-masing angka $1$, $2$, $3$, $4$ tepat sekali, keempat operasi dan tanda kurung sesuka hati, tulislah bentuk yang sama dengan $24$, dengan $10$, dan dengan $1$.

**Solusi Latihan 45.11.**

Jawaban yang mungkin (ada banyak):

$$
24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad
10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad
1 = (4 - 3) \times (2 - 1).
$$

## 45.4 Soal: Mengalikan seperti juru tulis Mesir

**Soal 45.1.**

Soal akhir pekan — trik hitung di kepala dari sifat distributif, dan perkalian lipat dua–bagi dua yang dipakai selama empat ribu tahun

Jauh sebelum ada kalkulator — dan sebelum tabel perkalian dihafalkan di sekolah — para juru tulis Mesir dan petani Rusia mengalikan dua bilangan mana pun hanya dengan *melipatduakan, membagi dua dan menjumlahkan*. Caranya tampak seperti sihir; sebenarnya itu sifat distributif ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)) yang bekerja dengan tenaga penuh. Soal ini mengasah hitungan di kepalamu, lalu mengajarkan cara kuno itu, lalu membuka kapnya untuk melihat dengan tepat mengapa ia berhasil.

**Bagian I — Seni tidak menghitung.**

1. Hitunglah di kepala, dengan menjabarkan seperti pada [Contoh 45.7](#ex-g7-priorities-distributivity) : $7 \times 102$ dan $9 \times 98$ .
2. Hitunglah di kepala, dengan memfaktorkan: $17 \times 13 + 17 \times 7$ dan $45 \times 101 - 45$ .
3. Trik “kali $5$ ”: untuk mengalikan dengan $5$ , kalikan dengan $10$ lalu bagi dua. Hitunglah $5 \times 87$ dengan cara ini, lalu jelaskan mengapa triknya sah.
4. Dua trik lagi untuk dijelaskan dan dipakai: mengalikan dengan $25$ dengan cara mengalikan dengan $100$ lalu membagi $4$ (hitunglah $25 \times 32$ ); mengalikan dengan $99$ dengan cara mengalikan dengan $100$ lalu mengurangi sekali (hitunglah $99 \times 47$ ).
5. Sebuah tembakan peringatan: sifat distributif menyebarkan sebuah faktor ke atas sebuah *[jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def)* , tidak pernah ke atas [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) . Bandingkan $8 \times (5 + 3)$ dengan $8 \times 5 + 8 \times 3$ , lalu $8 \times (5 \times 3)$ dengan $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : pasangan mana yang cocok, dan pasangan mana yang tidak?

**Bagian II — Cara lipat dua–bagi dua.** Inilah resep untuk $13 \times 24$. Tulislah dua kolom. Kolom kiri: mulailah dari $13$ lalu *bagi dua*, dengan membuang [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder), sampai $1$: $13,\ 6,\ 3,\ 1$. Kolom kanan: mulailah dari $24$ lalu *lipatduakan* sebanyak itu juga: $24,\ 48,\ 96,\ 192$. Coretlah setiap baris yang bilangan *kirinya* [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), lalu jumlahkan bilangan kanan yang selamat.

6. Kerjakan resep itu untuk $13 \times 24$ : baris mana yang dicoret, [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) berapa yang tersisa, dan apakah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) itu sama dengan $13 \times 24$ ?
7. Kalikan $21 \times 17$ dengan cara itu (bagi dua $21$ , lipatduakan $17$ ), lalu periksa jawabannya dengan perkalian biasa.
8. Kalikan $16 \times 25$ dengan cara itu. Berapa baris yang selamat, dan apa istimewanya kolom kiri yang bermula dari $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
9. Sekarang *mengapa* cara itu berhasil, selangkah demi selangkah. Berilah alasan setiap kesamaan dengan sifat distributif: $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24  = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$ Pesan moralnya: membagi dua yang kiri dan melipatduakan yang kanan mempertahankan [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) — tetapi ketika bilangan kirinya *[ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*, satu salinan bilangan kanannya terpisah dan harus ditabung. Bilangan mana yang ditabung baris pertama tabel itu?
10. Lanjutkan pembukuannya menuruni tabel: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , lalu $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , lalu $1 \times 192 = 192$ . Kumpulkan semua yang ditabung di sepanjang jalan, lalu jelaskan mengapa bilangan yang ditabung itu tepat bilangan kolom kanan pada baris yang bilangan kirinya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — yaitu baris yang disimpan resepnya.

**Bagian III — Membuka kapnya: [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dari lipatan dua.**

11. Pada pertanyaan 6, baris yang selamat bernilai $1$ , $4$ dan $8$ kali lipatan dua dari $24$ : caranya diam-diam menulis $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Periksalah bahwa $1 + 4 + 8 = 13$ , lalu carilah lipatan dua mana ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) yang disimpan caranya untuk $21$ pada pertanyaan 7.
12. Tulislah $25$ dan $42$ sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) bilangan dari daftar lipatan dua $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , dengan memakai masing-masing paling banyak sekali.
13. Jelaskan mengapa *setiap* bilangan cacah dapat ditulis dengan cara ini: ambillah bilangan lipatan dua terbesar yang muat, kurangkan, lalu ulangi — mengapa ini pasti berhenti? Tulislah $100$ sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) semacam itu.
14. Para juru tulis Mesir melakukan persis ini, empat ribu tahun yang lalu: untuk mengalikan $19 \times 35$ , mereka membuat tabel lipatan dua dari $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), memilih baris yang berjumlah $19$ , lalu menjumlahkannya. Kerjakan perhitungannya dengan cara mereka.
15. Penutupnya: komputer modern, yang membilang dengan angka $0$ dan $1$ , mengalikan pada dasarnya seperti para juru tulis itu — dengan lipatan dua dan penjumlahan. Tiga penjumlahan yang mana yang akan dilakukan komputer untuk $13 \times 24$ ? (Mengapa setiap bilangan terpecah menjadi lipatan dua, dan apa hubungan angka $0$ dan $1$ dengan hal itu, adalah soal akhir pekan bab Perpangkatan: [Soal 56.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#pb-g8-powers-1) .)

**Solusi Soal 45.1.**

**1.** $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 =
714$; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$.

**2.** $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) =
17 \times 20 = 340$; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101
- 1) = 45 \times 100 = 4\,500$.

**3.** $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$. Kesahihannya: $5 = 10 \div 2$, jadi mengalikan dengan $5$ berarti mengalikan dengan $10$ lalu membagi dengan $2$ (urutan $\times$ dan $\div$ yang setingkat, dari kiri ke kanan, mengerjakan sisanya).

**4.** $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$, karena $25 = 100 \div 4$. Dan $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$: sifat distributif terhadap [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) ([Teorema 45.6](#thm-g7-priorities-distributivity)).

**5.** $8 \times (5 + 3) = 64$ dan $8 \times 5 + 8 \times 3
= 40 + 24 = 64$: keduanya cocok — itulah sifat distributif. Tetapi $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$, sedangkan $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$: tidak cocok. Faktornya menyebar ke atas *suku sebuah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def)*, bukan ke atas faktor sebuah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def).

**6.**

| $13$ | $24$ | disimpan ($13$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| --- | --- | --- |
| $6$ | $48$ | dicoret ($6$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)) |
| $3$ | $96$ | disimpan |
| $1$ | $192$ | disimpan |

[Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) bilangan kanan yang selamat: $24 + 96 + 192 = 312$, dan memang $13 \times 24 = 312$.

**7.** Membagi dua $21$: $21, 10, 5, 2, 1$; melipatduakan $17$: $17, 34, 68, 136, 272$. Yang kirinya [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), $10$ dan $2$, dicoret; yang selamat $17 + 68 + 272 = 357$. Periksa: $21 \times 17 = 357$.

**8.** Membagi dua $16$: $16, 8, 4, 2, 1$; melipatduakan $25$: $25, 50, 100, 200, 400$. Setiap bilangan kirinya kecuali $1$ yang terakhir adalah [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): hanya satu baris yang selamat, dan jawabannya $400$. Kolom kiri yang tersusun dari lipatan dua murni hanya menyimpan baris terakhirnya — caranya menyusut menjadi melipatduakan saja.

**9.** $13 = 12 + 1$, jadi menurut sifat distributif $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$; dan $12 \times 24 = 6 \times 48$ karena membagi dua satu faktor sambil melipatduakan faktor yang lain membiarkan [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) tetap ($12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$). Bilangan kiri $13$ yang [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) memisahkan satu salinan bilangan kanannya: baris pertama menabung $24$.

**10.** $6 \times 48 = 3 \times 96$ (bagi dua–lipat dua, tanpa menabung: $6$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 =
1 \times 192 + 96$: si [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3$ menabung $96$. Akhirnya $1 \times 192 = 192$: si [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $1$ menabung $192$ dan tabelnya berakhir. Seluruh tabungan: $24 + 96 + 192 = 312$. Sebuah baris menabung bilangan kanannya tepat ketika bilangan kirinya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — jadi resep “simpan baris yang kirinya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) lalu jumlahkan” adalah persis pembukuan sifat distributif.

**11.** $1 + 4 + 8 = 13$. Untuk $21$, baris yang selamat adalah baris $17$, $68 = 4 \times 17$ dan $272 = 16 \times 17$: yaitu lipatan dua $1 + 4 + 16 = 21$.

**12.** $25 = 16 + 8 + 1$ dan $42 = 32 + 8 + 2$.

**13.** Ambillah bilangan lipatan dua terbesar yang tidak melebihi sasarannya lalu kurangkan; yang tersisa lebih kecil, dan lebih kecil daripada bilangan lipatan dua yang baru dipakai (kalau tidak, yang lebih besar akan muat). Kalau diulang, sisanya jelas mengecil dan pasti mencapai $0$: prosesnya berhenti, dan lipatan dua yang dipakai semuanya berbeda. Untuk $100$: $64$ muat (tersisa $36$), $32$ muat (tersisa $4$), $4$ muat (tersisa $0$): $100 = 64 + 32 + 4$.

**14.** Tabel lipatan dua dari $35$: $1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$. Karena $19 = 16 + 2 + 1$, pilihlah baris itu: $560 + 70 + 35 = 665$. Periksa: $19 \times 35 = 665$.

**15.** Ketiganya sama seperti milik juru tulis dan petani tadi: $24 + 96 + 192$ — lipatan dua dari $24$ yang dipilih oleh $13 = 1 + 4 + 8$. Menulis bilangan sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) lipatan dua tepat sama dengan menulisnya dengan angka $0$ dan $1$; ceritanya yang lengkap dituturkan pada [Soal 56.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#pb-g8-powers-1).