---
title: "Bilangan Negatif"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 46
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif
---

# Bab 46 — Bilangan Negatif

Suhu di bawah [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), lantai di bawah tanah, uang yang terutang: banyak besaran turun di bawah $0$. Bilangan negatif memperluas garis bilangan ke kiri dari [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero). Bab ini mengajarkan cara membandingkannya serta cara menjumlahkan dan mengurangkannya — perkaliannya menunggu [Bab 54](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#ch-g8-negprod).

## 46.1 Bilangan bertanda

**Definisi 46.1 (Bilangan bertanda).**

*Bilangan bertanda* tersusun dari sebuah tanda ($+$ atau $-$) dan sebuah *jarak ke [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)*: $+3$ dan $-3$ sama-sama berjarak $3$ dari $0$, di sisi yang berlawanan. Bilangan positif biasanya ditulis tanpa tandanya: $+3 = 3$. Bilangan $+3$ dan $-3$ saling menjadi *lawan*.

![Garis bilangan yang diperpanjang ke kiri: -3 dan +3 adalah bilangan yang saling berlawanan, berjarak sama dari 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-d11f9c05fe48.svg)

*Garis bilangan yang diperpanjang ke kiri: $-3$ dan $+3$ adalah bilangan yang saling berlawanan, berjarak sama dari $0$.*

**Metode 46.2 (Membandingkan bilangan bertanda).**

Pada garis bilangan, makin kecil berarti makin ke kiri. Dalam praktik:

1. bilangan negatif selalu lebih kecil daripada bilangan positif: $-7 < 2$ ;
2. di antara dua bilangan positif, berlaku urutan yang biasa;
3. di antara dua bilangan negatif, yang jaraknya ke [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) *lebih besar* justru *lebih kecil* : $-7 < -2$ .

**Contoh 46.3.**

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $3$; $-5$; $0$; $-1.5$; $2.8$. Yang negatif lebih dulu, yang paling negatif di depan:

$$
-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .
$$

## 46.2 Menjumlahkan bilangan bertanda

Bayangkan [bilangan bertanda](#def-g7-negatives-def) sebagai perpindahan sepanjang garis: $+5$ berarti “berjalan $5$ langkah ke kanan”, $-3$ berarti “berjalan $3$ langkah ke kiri”. Menjumlahkan bilangan berarti merangkai jalannya.

**Metode 46.4 (Menjumlahkan dua bilangan bertanda).**

1. *Tandanya sama* : jumlahkan jaraknya, pertahankan tanda bersamanya: $(-3) + (-4) = -7$ .
2. *Tandanya berlawanan* : kurangkan jarak yang lebih kecil dari yang lebih besar, lalu ambil tanda yang lebih besar: $(-7) + (+2) = -5$ dan $(+7) + (-2) = +5$ .
3. [Lawan](#def-g7-negatives-def) saling meniadakan: $(+4) + (-4) = 0$ .

![Menjumlahkan sebagai berjalan: mulai dari 0, jalan -3.5 lalu jalan +2 mendarat di (-3.5) + 2 = -1.5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-c6e3d0f5b921.svg)

*Menjumlahkan sebagai berjalan: mulai dari $0$, jalan $-3.5$ lalu jalan $+2$ mendarat di $(-3.5) + 2 = -1.5$.*

**Contoh 46.5.**

Selangkah demi selangkah, dikelompokkan sesuai kenyamanan:

$$
\begin{align*}
(-8) + (+3) &= -5 && \text{(tanda berlawanan: } 8 - 3 = 5,
\text{ tanda milik } 8)\\
(-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(tanda sama: jumlahkan jaraknya)}\\
(+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 .
\end{align*}
$$

## 46.3 Mengurangkan bilangan bertanda

**Teorema 46.6 (Aturan pengurangan).**

Mengurangkan sebuah [bilangan bertanda](#def-g7-negatives-def) sama saja dengan *menjumlahkan [lawannya](#def-g7-negatives-def)*:

$$
a - b = a + (-b) .
$$

**Mengapa ini berhasil.** $a - b$ adalah bilangan yang jika ditambahkan pada $b$ memberi $a$. Periksalah bahwa $a + (-b)$ mengerjakan tugas itu: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$. ∎

**Contoh 46.7.**

Setiap pengurangan menjadi penjumlahan, lalu [Metode 46.4](#met-g7-negatives-add) berlaku:

$$
\begin{align*}
5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\
(-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\
(-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 .
\end{align*}
$$

Baris terakhirnya yang terkenal: *mengurangkan bilangan negatif berarti menjumlahkan*. Menghapus utang membuatmu lebih kaya!

**Contoh 46.8 (Selisih suhu).**

Dalam satu hari suhunya berubah dari $-6$ derajat menjadi $+9$ derajat. Kenaikannya adalah [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference)

$$
9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ derajat}.
$$

Pada garis bilangan: dari $-6$ naik ke $0$ ada $6$ derajat, dari $0$ ke $9$ ada $9$ derajat lagi.

## 46.4 Koordinat pada seluruh bidang

**Definisi 46.9 (Koordinat bertanda).**

Dengan dua sumbu berskala yang saling [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dan berpotongan di titik asal $O$, setiap titik pada bidang memperoleh dua koordinat bertanda $(x, y)$: $x$ yang negatif berarti di kiri sumbu tegak, $y$ yang negatif berarti di bawah sumbu mendatar.

![Satu titik pada setiap perempat bidangnya. Bacalah selalu koordinat mendatarnya lebih dulu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-negatives/fig-e9a527c0178e.svg)

*Satu titik pada setiap perempat bidangnya. Bacalah selalu koordinat mendatarnya lebih dulu.*

## 46.5 Latihan

**Latihan 46.1 ★.**

Sebutkan [lawan](#def-g7-negatives-def) dari: $7$; $-3.5$; $0$; $+12$. Lalu lengkapi: “dua bilangan saling berlawanan jika [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) ?”.

**Solusi Latihan 46.1.**

[Lawannya](#def-g7-negatives-def): $-7$; $+3.5$; $0$ ([lawan](#def-g7-negatives-def) dirinya sendiri); $-12$. Dua bilangan saling berlawanan jika [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $0$.

**Latihan 46.2 ★.**

Salin dan lengkapi dengan $<$ atau $>$:

$$
-4 \;?\; 1, \qquad
-4 \;?\; -7, \qquad
-2.5 \;?\; -2.4, \qquad
0 \;?\; -0.1 .
$$

**Solusi Latihan 46.2.**

$-4 < 1$; $-4 > -7$; $-2.5 < -2.4$; $0 > -0.1$.

**Latihan 46.3 ★.**

Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar: $-3$; $2.5$; $-0.5$; $-3.1$; $0$; $1$.

**Solusi Latihan 46.3.**

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$.

**Latihan 46.4 ★.**

Hitunglah:

$$
(-5) + (-9), \qquad
(-12) + (+7), \qquad
(+3.5) + (-1.5), \qquad
(-6) + (+6).
$$

**Solusi Latihan 46.4.**

$(-5) + (-9) = -14$; $(-12) + (+7) = -5$; $(+3.5) + (-1.5) = +2$; $(-6) + (+6) = 0$.

**Latihan 46.5 ★.**

Ubahlah menjadi penjumlahan, lalu hitunglah:

$$
4 - 11, \qquad
(-5) - (+3), \qquad
(-7) - (-10), \qquad
0 - (-8).
$$

**Solusi Latihan 46.5.**

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$.

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$.

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$.

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$.

**Latihan 46.6 ★.**

Hitunglah dengan mengelompokkan secara cerdik ([lawan](#def-g7-negatives-def) lebih dulu):

$$
(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad
(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).
$$

**Solusi Latihan 46.6.**

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (yang positif bersama-sama, yang negatif bersama-sama).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$.

**Latihan 46.7 ★.**

Suhunya $-3$ derajat pada pagi ini; suhunya naik $8$ derajat pada siang hari, lalu turun $12$ derajat pada malam hari. Tulislah satu perhitungan yang memberi suhu akhirnya, lalu hitunglah.

**Solusi Latihan 46.7.**

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$: suhunya $-7$ derajat pada malam hari.

**Latihan 46.8 ★.**

Letakkan pada sistem koordinat: $A(2, 3)$; $B(-3, 1)$; $C(-2, -2)$; $D(3, -1)$; $E(0, -3)$. Titik mana yang terletak pada sebuah sumbu?

**Solusi Latihan 46.8.**

Peletakan bebas; $E(0, -3)$ terletak pada sumbu tegak (koordinat pertamanya $0$).

**Latihan 46.9 ★★.**

Hitunglah [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) antara suhu tertinggi dan terendah: Moskwa pada bulan Januari, tertinggi $-4$ derajat, terendah $-13$ derajat; Helsinki, tertinggi $2$, terendah $-9$.

**Solusi Latihan 46.9.**

Moskwa: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ derajat [selisihnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference). Helsinki: $2 - (-9) = 11$ derajat.

**Latihan 46.10 ★★.**

Seorang penyelam berada pada ketinggian $-12$ m (dua belas meter di bawah permukaan). Ia naik $7$ m, lalu turun $4$ m. Pada ketinggian berapa ia sekarang? Berapa lagi ia harus naik untuk mencapai permukaan?

**Solusi Latihan 46.10.**

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$: ia berada di $-9$ m. Untuk mencapai permukaan (ketinggian $0$) ia harus naik $0 - (-9) = 9$ m.

**Latihan 46.11 ★★.**

Letakkan $A(-2, 1)$, $B(2, 1)$, $C(2, -2)$. Carilah koordinat titik $D$ agar $ABCD$ menjadi persegi panjang, lalu hitunglah [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) (bilanglah petaknya untuk panjang sisinya).

**Solusi Latihan 46.11.**

$D(-2, -2)$: koordinat pertamanya sama dengan $A$, koordinat keduanya sama dengan $C$. Sisinya: $AB = 4$ (dari $-2$ ke $2$) dan $BC = 3$ (dari $1$ turun ke $-2$), jadi [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $2 \times (4 + 3) = 14$.

**Latihan 46.12 ★★★.**

Pada persegi ajaib di bawah ini, setiap baris, kolom dan diagonal harus punya [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang sama. Salin dan lengkapilah:

| $?$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $?$ |
| $-4$ | $?$ | $?$ |

(Mulailah dengan mencari [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) ajaibnya lewat diagonal yang hampir lengkap.)

**Solusi Latihan 46.12.**

Diagonal yang lengkap $0, -2, -4$ memberi [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) ajaib $0 + (-2) + (-4) = -6$. Lalu, sel demi sel: kiri-atas $= -6 - (-7) - 0 = 1$; tengah-kanan $= -6 - (-3) - (-2) =
-1$; kanan-bawah $= -6 - 0 - (-1) = -5$; tengah-bawah $= -6 - (-7) - (-2) = 3$.

| $1$ | $-7$ | $0$ |
| --- | --- | --- |
| $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $-4$ | $3$ | $-5$ |

Setiap baris, kolom dan diagonalnya berjumlah $-6$.

## 46.6 Soal: Tahun nol yang tidak pernah ada

**Soal 46.1.**

Soal akhir pekan — bilangan bertanda pada garis waktu sejarah: lama waktu yang melintasi batas era, trik para astronom, dan asas perubahan bersih

Garis bilangan pada bab ini punya kembaran yang terkenal di dunia nyata: garis waktu sejarah, dengan tahun SM memanjang ke kiri dan tahun M memanjang ke kanan. Tetapi garis milik para sejarawan itu menyembunyikan perangkap yang merusak banyak perhitungan: *tidak ada tahun [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)* — tahun 1 SM langsung disusul tahun 1 M. Soal ini menghitung dengan suhu, lift dan rekening bank, lalu memperbaiki [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) sejarah yang rusak itu dengan cara para astronom: dengan [bilangan bertanda](#def-g7-negatives-def).

**Bagian I — Pemanasan, dan perangkap yang pertama.**

1. Puncak Mont Blanc berada pada ketinggian $+4\,808$ m; tepi Laut Mati pada $-430$ m. Hitunglah [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) ketinggian keduanya.
2. Sebuah rekening bank memuat $-45$ euro (saldo minus). Pemiliknya menyetor $120$ euro, membayar tagihan $60$ euro, lalu menyetor $15$ euro. Tulislah saldonya sebagai satu rangkaian penjumlahan lalu hitunglah. Setoran tunggal berapa yang akan mengembalikan $-45$ semula tepat ke $0$ ?
3. Julius Caesar lahir pada $100$ SM dan wafat pada $44$ SM. Dengan membilang tahun SM sebagai bilangan negatif ( $100$ SM sebagai $-100$ , $44$ SM sebagai $-44$ ), hitunglah $(-44) - (-100)$ : berapa tahun Caesar hidup?
4. Kaisar Augustus lahir pada $63$ SM dan wafat pada tahun $14$ M. Resep yang sama memberi $14 - (-63) = 77$ tahun — tetapi para sejarawan bersikeras ia wafat pada umur $76$ . Keberatan mereka: hitungan $77$ itu berjalan melewati tahun yang tidak pernah ada. Tahun yang mana?
5. Para astronom memperbaiki garis waktunya dengan menamai ulang: tahun M tetap dengan bilangannya ( $+14$ tetap $+14$ ), tetapi $1$ SM menjadi $0$ , $2$ SM menjadi $-1$ , dan secara umum tahun $n$ SM menjadi $-(n - 1)$ . Ubahlah $63$ SM, lalu ulangi perhitungan pertanyaan 4 dengan bilangan para astronom itu. Apakah jawabannya kini memuaskan para sejarawan?

**Bagian II — Menghitung melintasi era.** Mulai sekarang, pakailah penamaan ulang para astronom untuk setiap perhitungan, lalu ubah kembali ke SM/M pada akhirnya (tahun yang berlabel $0$ atau negatif $-m$ adalah tahun $m + 1$ SM milik sejarawan).

6. Ubahlah menjadi bilangan para astronom: $1$ SM; $10$ SM; tahun $476$ M; dan $753$ SM, yaitu tahun berdirinya Roma menurut legenda.
7. Berapa tahun berlalu sejak berdirinya Roma ( $753$ SM) sampai runtuhnya Kekaisaran Barat (tahun $476$ M)?
8. Sebuah komet kembali setiap $76$ tahun dan muncul pada $12$ SM. Sebutkan tahun sejarawan untuk tiga kemunculannya berikutnya, dan untuk kemunculannya tepat sebelum $12$ SM.
9. Berapa tahun berlalu dari $5$ SM sampai tahun $5$ M? (Jawaban yang menggoda adalah $10$ ; garis waktunya berkata lain.)
10. Anak yang lahir pada $3$ SM berumur sepuluh tahun pada tahun berapa (SM atau M)?

**Bagian III — Asas perubahan bersih.**

11. *Jarak* antara dua bilangan pada garis adalah yang lebih besar dikurangi yang lebih kecil — selalu positif. Hitunglah jarak antara $-7$ dan $-2$ , lalu antara $-3.5$ dan $4.5$ .
12. Sebuah lift bermula dari lantai $0$ lalu melakukan gerakan $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Hitunglah lantai akhirnya dengan mengelompokkan secara cerdik ( [Metode 46.4](#met-g7-negatives-add) , [lawan](#def-g7-negatives-def) lebih dulu bila mungkin). Apakah melakukan gerakannya dengan urutan yang berbeda akan mengubah tujuannya? Mengapa?
13. Hari demi hari, suhunya berubah $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ derajat selama satu minggu. Hitunglah *perubahan bersihnya* . Kalau minggu itu bermula pada $-2$ derajat, di mana ia berakhir? Nyatakan asasnya: nilai akhir $=$ nilai awal $+$ ( [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) semua perubahannya).
14. Perjalanan seorang pendaki membawanya kembali tepat ke ketinggian awalnya. Berapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) semua perubahan ketinggiannya, dan mengapa? Dari enam perubahan yang tercatat, lima di antaranya $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (dalam ratusan meter): carilah yang keenam.
15. Penutupnya, kembali ke Roma. Seorang sejarawan menghitung: “Republiknya berjalan dari $509$ SM sampai $27$ SM, lalu Kekaisarannya sampai tahun $476$ M; seluruhnya, dari $509$ SM sampai $476$ M, yaitu $509 + 476 = 985$ tahun negara Romawi.” Ulangilah perhitungannya dengan bilangan para astronom. Berapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang benar — dan tahun yang mana, sekali lagi, yang menyebabkan kekeliruannya?

**Solusi Soal 46.1.**

**1.** $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m ([Teorema 46.6](#thm-g7-negatives-sub): mengurangkan bilangan negatif berarti menjumlahkan).

**2.** Saldonya:

$$
(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30
\text{ euro}.
$$

Untuk mengembalikan $-45$ yang semula ke $0$, setorlah [lawannya](#def-g7-negatives-def): $45$ euro.

**3.** $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$: Caesar hidup $56$ tahun. (Tidak ada perangkap di sini: kedua tahunnya berada di sisi batas era yang sama.)

**4.** Tahun $0$: membilang dari $-63$ naik ke $+14$ melewati $0$, tetapi kalender para sejarawan melompat langsung dari $1$ SM ke $1$ M — tahun $0$ tidak pernah ada, jadi hitungan yang naif itu satu tahun terlalu panjang.

**5.** $63$ SM menjadi $-(63 - 1) = -62$. Lalu $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ tahun: tepat angka milik para sejarawan. Pada garis yang dinamai ulang oleh para astronom tidak ada celah, jadi pengurangan biasa memberi lama waktu yang benar.

**6.** $1$ SM $\to 0$; $10$ SM $\to -9$; tahun M $476 \to +476$; $753$ SM $\to -752$.

**7.** $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ tahun.

**8.** $12$ SM adalah $-11$. Kemunculan berikutnya: $-11 + 76 = 65$, lalu $141$, lalu $217$: yaitu tahun $65$ M, $141$ M dan $217$ M. Sebelumnya: $-11 - 76 = -87$, yaitu tahun $87 + 1 = 88$ SM milik sejarawan.

**9.** $5$ SM adalah $-4$, jadi $5 - (-4) = 9$ tahun — bukan $10$. Tahun [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) yang hilang itu menyerang setiap kali lama waktunya melintasi batas era.

**10.** $3$ SM adalah $-2$; sepuluh tahun kemudian adalah $-2 + 10 = +8$: anak itu berumur sepuluh tahun pada tahun $8$ M.

**11.** Antara $-7$ dan $-2$: $(-2) - (-7) = 5$. Antara $-3.5$ dan $4.5$: $4.5 - (-3.5) = 8$.

**12.** Mengelompokkan [lawan](#def-g7-negatives-def) dan kawan-kawannya:

$$
3 + (-5) + 2 + (-1) + 4
= \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4
= 0 + (-1) + 4 = +3 :
$$

liftnya berakhir di lantai $3$. Urutannya tidak berpengaruh: [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) [bilangan bertanda](#def-g7-negatives-def) dapat disusun ulang dengan bebas (setiap gerakan ditempuh sepanjang garis yang sama, dan seluruh jalannya sama).

**13.** Perubahan bersihnya: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ derajat. Mulai dari $-2$: suhu akhirnya $-2 + (-1) = -3$ derajat. Secara umum, nilai akhirnya adalah nilai awal ditambah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) semua perubahannya — tidak perlu mengikuti naik-turunnya satu per satu.

**14.** Kembali ke titik awal berarti perubahan bersihnya $0$: naik dan turunnya harus meniadakan dengan tepat. Kelima perubahan yang diketahui berjumlah $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$, jadi perubahan keenamnya adalah [lawannya](#def-g7-negatives-def): $+3$ (tiga ratus meter naik).

**15.** Menurut para astronom: $509$ SM $\to -508$, dan $476 - (-508) = 984$ tahun. Hitungan sang sejarawan $509 + 476 = 985$ membilang satu tahun terlalu banyak — sekali lagi tahun [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) yang hantu itu, yang diam-diam masuk ke penjumlahannya tetapi tidak ada dalam sejarah. (Sebagai pemeriksaan, kedua eranya: Republik $-508$ sampai $-26$, yaitu $482$ tahun; Kekaisaran $-26$ sampai $+476$, yaitu $502$ tahun; $482 + 502 = 984$.)