---
title: "Bentuk Aljabar"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 48
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/48-bentuk-aljabar
---

# Bab 48 — Bentuk Aljabar

Sebuah huruf dalam perhitungan mewakili bilangan yang belum kita ketahui, atau mewakili *semua* bilangan sekaligus: menulis $P = 4c$ memberi [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) setiap persegi dalam satu rumus. Bab ini mengajarkan aturan penulisannya, cara mengganti nilainya, dan cara menyederhanakan bentuk yang sederhana — awal dari aljabar, yang dilanjutkan pada [Bab 57](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#ch-g8-equations).

## 48.1 Menulis dengan huruf

**Definisi 48.1 (Bentuk aljabar).**

*Bentuk aljabar* adalah perhitungan yang memuat satu huruf atau lebih, masing-masing mewakili sebuah bilangan. Aturan penulisannya:

- tanda $\times$ dibuang di depan huruf atau tanda kurung: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
- tetapi tandanya tetap di antara dua bilangan: $3 \times 5$ tidak boleh ditulis $35$ !
- $a \times a$ ditulis $a^2$ (“ $a$ kuadrat”), $a \times a \times a = a^3$ ;
- $1a$ ditulis $a$ , dan $0a$ adalah $0$ .

**Contoh 48.2.**

Sederhanakan penulisannya:

$$
5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y,
\qquad
a \times 7 = 7a \ \text{(bilangannya di depan)},
\qquad
x \times x \times 4 = 4x^2 .
$$

**Contoh 48.3 (Rumus adalah bentuk aljabar).**

Untuk persegi panjang dengan panjang $L$ dan lebar $w$: [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(L + w)$, luas $A = Lw$. Satu rumus merangkum persegi panjang yang tak hingga banyaknya sekaligus — itulah seluruh gunanya huruf.

![Dua rumus, yang berlaku untuk setiap persegi panjang: gantilah nilai L dan w untuk memperoleh bilangan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-6b29894197b6.svg)

*Dua rumus, yang berlaku untuk setiap persegi panjang: gantilah nilai $L$ dan $w$ untuk memperoleh bilangan.*

## 48.2 Mengganti nilai

**Metode 48.4 (Menghitung nilai sebuah bentuk).**

Untuk menghitung nilai sebuah bentuk pada nilai hurufnya yang diberikan:

1. tulislah ulang bentuknya dengan mengembalikan tanda $\times$ yang tersembunyi: $3a + a^2$ adalah $3 \times a + a \times a$ ;
2. gantilah setiap huruf dengan nilainya, dengan memberi tanda kurung di sekelilingnya bila perlu;
3. hitunglah, sambil menuruti urutan pengerjaan pada [Bab 45](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#ch-g7-priorities) .

**Contoh 48.5.**

Hitunglah nilai $E = 3x + x^2$ untuk $x = 5$:

$$
E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .
$$

Hitunglah nilai $F = 2(a + 3b)$ untuk $a = 4$ dan $b = 0.5$:

$$
F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5
= 11 .
$$

## 48.3 Menyederhanakan bentuk

**Proposisi 48.6 (Mengumpulkan suku sejenis).**

Suku yang memuat bagian huruf yang sama dapat dikumpulkan dengan menjumlahkan bagian bilangannya (inilah sifat distributif, [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#thm-g7-priorities-distributivity), yang dibaca terbalik):

$$
5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,
\qquad
7a - 2a = 5a .
$$

Suku dengan bagian huruf yang berbeda (seperti $3x$ dan $5y$, atau $x$ dan $x^2$) tidak dapat dikumpulkan.

**Contoh 48.7.**

Sederhanakan $E = 4x + 7 + 3x + 2$, dengan memilah sukunya:

$$
E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .
$$

Hati-hati: $7x + 9$ itu *bukan* $16x$! Ujilah dengan $x = 1$: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ dan $7 \times 1 + 9 = 16$ cocok, tetapi $16x$ juga akan bernilai $16$ — ujilah dengan $x = 2$: bentuk aslinya memberi $8 + 7 + 6 + 2 = 23$, dan $7 \times 2 + 9 = 23$, sedangkan $16 \times 2 = 32$. Penyederhanaan $7x + 9$ benar, $16x$ salah.

**Metode 48.8 (Menguji sebuah kesamaan).**

Untuk memeriksa apakah dua bentuk mungkin sama untuk setiap nilai:

1. gantilah dengan nilai yang sama pada keduanya, sedikitnya dua kali (misalnya $x = 2$ dan $x = 10$ ; hindari $0$ dan $1$ , keduanya menyembunyikan terlalu banyak perbedaan);
2. kalau hasilnya berbeda walau sekali saja, kedua bentuk itu *tidak* sama — satu contoh penyangkal membunuh pernyataan umum;
3. kalau hasilnya cocok, kesamaannya baru *masuk akal* : pembuktiannya memerlukan aljabar (menjabarkan, menyederhanakan).

**Contoh 48.9.**

Apakah $2(x + 3)$ sama dengan $2x + 6$ untuk setiap $x$? Menjabarkan membuktikannya: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. Apakah $(x + 1)^2$ sama dengan $x^2 + 1$? Ujilah $x = 2$: $(2+1)^2 = 9$ tetapi $2^2 + 1 = 5$. Bukan — dan satu contoh penyangkal sudah menjadi bukti lengkap untuk “bukan”.

## 48.4 Menghasilkan bentuk aljabar

**Contoh 48.10 (Dari keadaan menjadi bentuk).**

Sebuah taksi memungut $4$ euro ditambah $2$ euro per kilometer. Untuk perjalanan sejauh $k$ kilometer harganya

$$
p = 4 + 2k \quad\text{euro}.
$$

Untuk $k = 7$: $p = 4 + 14 = 18$ euro. Bentuk itu *adalah* jawaban umumnya; menggantikan nilai menghasilkan setiap jawaban khususnya.

**Contoh 48.11 (Trik bilangan).**

“Pikirkan sebuah bilangan, lipatduakan, tambahkan $10$, bagi dengan $2$, lalu kurangkan bilanganmu tadi.” Sebutlah bilangan itu $n$ lalu ikuti langkahnya:

$$
n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\
n + 5 - n = 5 .
$$

Semua orang memperoleh $5$, berapa pun $n$ tadi — hurufnya menjelaskan sihirnya.

## 48.5 Latihan

**Latihan 48.1 ★.**

Sederhanakan penulisannya:

$$
7 \times x, \qquad
y \times 3, \qquad
a \times b \times 5, \qquad
x \times x, \qquad
2 \times (a + 4).
$$

**Solusi Latihan 48.1.**

$7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$.

**Latihan 48.2 ★.**

Kembalikan tanda $\times$-nya:

$$
5ab, \qquad
3(x + 2), \qquad
x^2 + 4x, \qquad
2a^3 .
$$

**Solusi Latihan 48.2.**

$5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$.

**Latihan 48.3 ★.**

Hitunglah nilainya untuk $x = 3$: $5x + 1$; $x^2$; $2x^2 - x$; $10 - 2x$.

**Solusi Latihan 48.3.**

Untuk $x = 3$: $5 \times 3 + 1 = 16$; $3 \times 3 = 9$; $2 \times 9 - 3 = 15$; $10 - 6 = 4$.

**Latihan 48.4 ★.**

Hitunglah nilai $3a + 2b$ dan $a b + 5$ untuk $a = 4$, $b = 1.5$.

**Solusi Latihan 48.4.**

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$.

**Latihan 48.5 ★.**

Sederhanakanlah:

$$
8x + 5x, \qquad
9a - 4a + a, \qquad
6y + 2 + 3y + 7, \qquad
5t + 3 - 2t - 3 .
$$

**Solusi Latihan 48.5.**

$8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$.

**Latihan 48.6 ★.**

Berikan rumus untuk: [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) persegi dengan sisi $c$; [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan alas $b$ dan kaki $s$; harga $n$ buah roti seharga $1.20$ euro masing-masing.

**Solusi Latihan 48.6.**

Persegi: $P = 4c$. [Segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$. Roti: $p = 1.20\,n$ euro.

**Latihan 48.7 ★.**

Pasangkan setiap bentuk dengan gambarannya: $2n$; $n + 2$; $n^2$; $\frac n2$. Gambarannya: “setengah dari $n$”; “dua kali $n$”; “kuadrat dari $n$”; “dua lebih banyak daripada $n$”.

**Solusi Latihan 48.7.**

$2n$: dua kali lipatnya; $n + 2$: dua lebih banyak daripada $n$; $n^2$: kuadratnya; $\frac n2$: setengahnya.

**Latihan 48.8 ★★.**

Dengan [Metode 48.8](#met-g7-literal-test), putuskan (dengan bukti atau contoh penyangkal) apakah kesamaan berikut berlaku untuk setiap $x$:

$$
3(x + 4) = 3x + 12; \qquad
2x + 5 = 7x; \qquad
x + x = x^2 .
$$

**Solusi Latihan 48.8.**

$3(x+4) = 3x + 12$: *benar* untuk setiap $x$ (sifat distributif — ini sebuah bukti, tidak perlu diuji).

$2x + 5 = 7x$: ujilah $x = 2$: kiri $9$, kanan $14$ — *salah* secara umum (ia hanya berlaku untuk $x = 1$).

$x + x = x^2$: ujilah $x = 3$: kiri $6$, kanan $9$ — *salah* secara umum ($x + x = 2x$).

**Latihan 48.9 ★★.**

Sebuah persegi panjang berlebar $w$ dan panjangnya $3$ cm lebih daripada lebarnya.

1. Nyatakan panjangnya, lalu [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) , dalam $w$ , lalu sederhanakan.
2. Hitunglah [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) untuk $w = 5$ cm, secara langsung dan dengan rumusmu yang sudah disederhanakan. Jawabannya sama?

**Solusi Latihan 48.9.**

*1.* Panjangnya: $w + 3$. [Kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter):

$$
P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .
$$

*2.* Untuk $w = 5$: secara langsung, sisinya $5$ dan $8$, jadi $P = 2 \times 13 = 26$ cm; dengan rumusnya, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Keduanya cocok.

**Latihan 48.10 ★★.**

Ikutilah trik pada [Contoh 48.11](#ex-g7-literal-trick) dengan huruf: “pikirkan sebuah bilangan, tambahkan $6$, kalikan dengan $3$, kurangi $18$, lalu bagi dengan bilangan awalmu” (anggap bilangan itu bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)). Apa yang diperoleh semua orang?

**Solusi Latihan 48.10.**

Mengikuti langkahnya dengan huruf $n$:

$$
n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n
\ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .
$$

Semua orang memperoleh $3$.

**Latihan 48.11 ★★★.**

Gambar di bawah ini adalah persegi dengan sisi $a$ yang pojoknya dipotong berupa persegi dengan sisi $b$ ($b$ lebih kecil daripada $a$). Tulislah dua bentuk yang berbeda untuk luasnya (satu sebagai [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference), satu dengan memotong bangun L itu menjadi dua persegi panjang), lalu periksalah bahwa keduanya cocok untuk $a = 5$, $b = 2$.

**Solusi Latihan 48.11.**

Sebagai [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference): $A = a^2 - b^2$. Dengan memotong huruf L itu menjadi dua persegi panjang: satu jalur selebar penuh setinggi $a - b$ dan, di atasnya, sebuah persegi panjang yang lebih sempit:

$$
A = a(a - b) + b(a - b)
$$

(persegi panjang bawah selebar $a$ dan setinggi $a - b$, persegi panjang atas selebar $a - b$ dan setinggi $b$ memberi ragam $a(a-b) + (a-b)b$ — sama saja). Untuk $a = 5$, $b = 2$: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, dan $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. Kedua bentuknya cocok — dan memang selalu cocok: inilah kesamaan $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ pada [Bab 66](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/66-aljabar-dan-persamaan#ch-g9-algebra) yang sedang menyamar.

## 48.6 Soal: Peramal batang korek api

**Soal 48.1.**

Soal akhir pekan — pola yang bertumbuh dan suku ke-$n$-nya: tiga rumus untuk satu pola, dan pola terkenal yang patah pada langkah keenam

Susunlah batang korek api menjadi sebaris persegi: satu persegi, lalu dua, lalu tiga … Berapa batang yang diperlukan gambar yang keseratus? Membilangnya satu per satu akan memakan seluruh akhir pekan; sebuah *rumus dalam $n$* menjawab seketika untuk setiap gambar sekaligus — persis itulah gunanya huruf ([Contoh 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). Tetapi hati-hati: soal ini ditutup dengan pola termasyhur yang bermain jujur selama lima langkah lalu mengkhianati semua orang yang mempercayainya.

**Bagian I — Sebaris persegi.** Gambar $1$ adalah satu persegi dari batang korek api ($4$ batang); setiap gambar berikutnya menambah satu persegi lagi yang berbagi sisi dengan persegi sebelumnya.

1. Gambarlah gambar $1$ sampai $4$ lalu bilanglah batangnya.
2. Jelaskan mengapa setiap persegi baru memakan tepat $3$ batang tambahan, lalu pakailah hal itu untuk meramalkan hitungan gambar $10$ tanpa rumus apa pun.
3. Berilah alasan untuk rumusnya: gambar $n$ memerlukan $3n + 1$ batang. (Dari mana datangnya “ $+1$ ” yang kesepian itu?) Periksalah dengan pertanyaan 1.
4. Amir bernalar dengan cara lain: “ $4$ batang untuk persegi yang pertama, lalu $3$ batang untuk masing-masing $n - 1$ persegi yang lain”, sehingga memberi $4 + 3(n - 1)$ . Jabarkan lalu sederhanakan bentuknya ( [Proposisi 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): apakah ia sepakat dengan pertanyaan 3?
5. Lina membilang dengan cara ketiga: “ $2n$ batang mendatar, dan $n + 1$ batang tegak.” Tulislah rumusnya, sederhanakan, lalu simpulkan. Setelah itu jawablah pertanyaan pembukanya: berapa batang untuk gambar $100$ ?

**Bagian II — Segitiga, meja, dan berjalan mundur.**

6. Sebaris segitiga dari batang korek api (setiap segitiga baru bersandar pada yang sebelumnya): bilanglah batangnya untuk $1$ , $2$ , $3$ segitiga, lalu berilah alasan untuk rumus $2n + 1$ pada $n$ segitiga.
7. Berjalan mundur: dengan tepat $49$ batang, berapa segitiga yang dapat dibuat sebaris? (Bongkarlah rumusnya selangkah demi selangkah.)
8. Meja jamuan berbentuk persegi menampung satu tamu pada tiap sisi yang kosong. Ketika $n$ meja dirapatkan menjadi satu baris panjang, jelaskan mengapa rumus tempat duduknya $2n + 2$ , lalu periksalah untuk $1$ , $2$ , $3$ meja.
9. Sebuah pesta menantikan $30$ tamu. Berapa meja yang diperlukan satu baris? Penyedia jamuannya malah membelah meja yang sama menjadi *dua* baris berisi tujuh: berapa tamu yang muat sekarang? Jelaskan keuntungannya dengan rumusnya.
10. Pola titik: gambar $n$ adalah huruf L dari titik, setinggi $n$ titik dan selebar $n$ titik (titik pojoknya dibilang sekali). Bilanglah titik gambar $1$ , $2$ , $3$ , carilah rumusnya, lalu namailah bilangan yang dihasilkannya. (Kalau ditumpuk bersama, huruf L ini menutup sebuah persegi — ceritanya dilanjutkan pada [Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1) .)

**Bagian III — Percaya, uji, buktikan.**

11. Seorang teman sekelas menyatakan bahwa gambar $n$ pada Bagian I memerlukan $3(n + 2) - 5$ batang. Selesaikan pernyataannya dengan menjabarkan lalu menyederhanakan — tanpa perlu diuji.
12. “Mengkuadratkan membuat bilangan menjadi lebih besar, jadi $n^2 \geq n$ untuk setiap bilangan $n$ .” Ujilah pernyataan itu untuk $n = 2$ , $3$ , $10$ ; lalu carilah bilangan yang membuatnya gagal. Apa yang dibuktikan ketiga uji yang berhasil tadi, dan apa yang dibuktikan satu kegagalan itu ( [Metode 48.8](#met-g7-literal-test) )?
13. Tandailah titik pada sebuah lingkaran lalu gambarlah *setiap* [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) di antaranya, lalu bilanglah daerah di dalam lingkarannya. Kerjakan untuk $2$ , $3$ , $4$ dan $5$ titik (letakkan titiknya tidak merata, agar tidak ada tiga [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang berpotongan di satu titik dalam). Catatlah hitungannya. Rumus apa yang dibisikkan polanya?
14. Sekarang $6$ titik, digambar besar dan tidak merata, dibilang dengan sangat hati-hati (ada banyak daerah kecil). Berapa daerah yang kamu temukan — dan apa yang terjadi pada dugaannya?
15. Pesan moralnya, dalam dua kalimat: apa yang diperlukan untuk *membuktikan* dugaan pelipatduaan itu, dan mengapa rumus batang korek api pada Bagian I dan II tidak pernah berada dalam bahaya semacam itu? Rayakan dengan ramalan yang terbukti: berapa batang untuk sebaris $2\,026$ persegi?

**Solusi Soal 48.1.**

**1.** Gambar $1$ sampai $4$ memerlukan $4$, $7$, $10$, $13$ batang.

**2.** Persegi yang baru berbagi satu sisi dengan gambar sebelumnya, jadi hanya $3$ dari $4$ sisinya yang berupa batang baru. Dari gambar $4$ ($13$ batang), enam persegi lagi memakan $6 \times 3 = 18$: gambar $10$ memerlukan $13 + 18 = 31$ batang.

**3.** Membaca barisnya dari kiri: ia bermula dengan satu batang tegak, lalu masing-masing dari $n$ persegi itu menyumbang sisi atas, sisi bawah dan sisi kanan — $3$ batang untuk tiap persegi. Seluruhnya: $3n + 1$; “$+1$” itu adalah batang tegak yang paling awal. Periksa: $n = 1, 2, 3, 4$ memberi $4, 7, 10, 13$.

**4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: rumus Amir menjabar menjadi bentuk sederhana yang persis sama. Sepakat sepenuhnya.

**5.** Lina: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — sama lagi. Tiga cara memandang, satu bentuk sederhana. Gambar $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ batang.

**6.** Hitungannya: $3$, $5$, $7$ batang. Setiap segitiga baru bersandar pada sisi yang sudah ada dan hanya menambah $2$ batang, mulai dari $3$: gambar $n$ memerlukan $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ batang.

**7.** Bongkarlah $2n + 1 = 49$: membuang batang yang pertama menyisakan $48$, lalu setiap segitiga bernilai $2$: $48 \div 2 = 24$ segitiga.

**8.** Pada sebaris $n$ meja, setiap meja menawarkan sisi atas dan sisi bawahnya ($2n$ tempat duduk), dan kedua meja di ujung menawarkan satu sisi tambahan masing-masing ($+2$): $2n + 2$ tempat duduk. Periksa: $4$, $6$, $8$ untuk $n = 1, 2, 3$.

**9.** Satu baris: $2n + 2 \geq 30$ memerlukan $2n \geq 28$, jadi $14$ meja. Membelah $14$ meja yang sama menjadi dua baris berisi $7$: setiap barisnya menampung $2 \times 7 + 2 = 16$, bersama-sama $32$ — dua lebih banyak daripada satu baris, karena setiap baris baru membawa dua *ujung* yang baru. (Setiap pembelahan menambah $2$ tempat duduk; para penyedia jamuan tahu itu.)

**10.** Huruf L berukuran $n$ punya $n$ titik ke atas dan $n$ titik melintang, dengan titik pojoknya dipakai bersama: $n + n - 1 = 2n - 1$ titik. Gambar $1$, $2$, $3$: $1$, $3$, $5$ titik — yaitu *[bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Kalau disarangkan satu mengelilingi yang lain, huruf L itu mengisi persegi titik $n \times n$: itulah cerita [Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1).

**11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: pernyataannya menyusut menjadi rumus yang sudah dibuktikan, jadi ia benar untuk setiap $n$ — ditegakkan oleh aljabar, bukan oleh contoh.

**12.** Ujinya: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: semuanya lulus. Tetapi $n = 0.5$ memberi $n^2 = 0.25 < 0.5$: pernyataannya gagal. Ketiga uji tadi tidak membuktikan apa pun tentang *semua* bilangan (ketiganya sekadar gagal menemukan masalah); satu contoh penyangkal itulah yang *membuktikan* pernyataan umumnya salah ([Metode 48.8](#met-g7-literal-test)). Sebuah huruf mewakili setiap bilangan — termasuk [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places).

**13.** Daerahnya: $2$ titik $\to 2$; $3$ titik $\to 4$; $4$ titik $\to 8$; $5$ titik $\to 16$. Polanya membisikkan “setiap titik melipatduakan hitungannya”: $32$ daerah yang diharapkan untuk $6$ titik.

**14.** Pembilangan yang teliti memberi $31$ daerah — bukan $32$. Dugaan pelipatduaannya mati: ia selamat empat kali pemeriksaan lalu gagal pada yang kelima. (Contoh penyangkal ini cukup terkenal sehingga punya nama, “perangkap daerah lingkaran”; jangan memakai jalan pintas titik yang merata — tiga tali busur yang bertemu di satu titik akan menggabungkan daerah dan merusak hitungannya.)

**15.** Pembuktiannya memerlukan alasan *struktural* mengapa menambah satu titik melipatduakan daerahnya — dan alasan itu tidak ada: pelipatduaannya hanyalah kebetulan pada kasus yang kecil. Rumus batang korek api aman karena masing-masing dibaca langsung dari susunannya (setiap persegi jelas memakan $3$ batang, setiap meja jelas menawarkan $2$ tempat duduk): struktur, bukan pengujian. Ramalan yang terbukti: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ batang.