---
title: "Segitiga dan Sudut"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 51
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/51-segitiga-dan-sudut
---

# Bab 51 — Segitiga dan Sudut

Dapatkah kamu menggambar segitiga dengan sisi $10$, $3$ dan $2$? Dengan sudut $80^\circ$, $70^\circ$ dan $50^\circ$? Bab ini menjawab kedua pertanyaan itu dengan dua kenyataan yang paling berguna dalam geometri bidang: ketaksamaan segitiga dan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut $180^\circ$ — ditambah kosakata sudut yang datang bersama garis berpotongan dan [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp).

## 51.1 Sudut di sekitar garis yang berpotongan

**Definisi 51.1 (Pasangan sudut).**

- Dua sudut disebut *berpenyiku* jika [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) ukurannya $90^\circ$ , dan *berpelurus* jika [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $180^\circ$ .
- Ketika dua garis berpotongan, sudut yang saling berhadapan di seberang titik potongnya disebut *bertolak belakang* .
- Ketika sebuah garis memotong dua garis lain, sudut yang letaknya sama pada tiap perpotongan disebut *sudut sehadap* ; sudut di antara kedua garis itu pada sisi yang berlawanan dari garis pemotongnya disebut *sudut berseberangan* .

**Teorema 51.2 (Kesamaan sudut).**

1. Sudut yang [bertolak belakang](#def-g7-triangles-pairs) sama besar.
2. Jika dua [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) , sudut sehadapnya sama besar, dan [sudut berseberangannya](#def-g7-triangles-pairs) sama besar. Sebaliknya, sudut sehadap (atau [sudut berseberangan](#def-g7-triangles-pairs) ) yang sama besar memaksa kedua garis itu [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) .

**Bukti untuk 1.** Kedua sudut $\widehat{1}$ dan $\widehat{2}$ pada satu sisi sebuah garis membentuk sudut lurus: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. Sudut $\widehat 3$ yang [bertolak belakang](#def-g7-triangles-pairs) dengan $\widehat 1$ juga memenuhi $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (dengan alasan yang sama). Jadi $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. Bagian 2 diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

![Kiri: sudut bertolak belakang 1 = 3 (masing-masing berpelurus dengan 2). Kanan: garis sejajar yang dipotong garis ketiga — sudut sehadap a dan b sama besar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg)

*Kiri: [sudut bertolak belakang](#def-g7-triangles-pairs) $\widehat 1 = \widehat 3$ (masing-masing berpelurus dengan $\widehat 2$). Kanan: [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang dipotong garis ketiga — sudut sehadap $\widehat a$ dan $\widehat b$ sama besar.*

## 51.2 Jumlah sudut segitiga

**Teorema 51.3 (Jumlah sudut).**

Pada setiap segitiga, ketiga sudutnya berjumlah $180^\circ$.

**Bukti.** Misalkan $ABC$ sebuah segitiga. Gambarlah garis melalui $A$ yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$. Pada [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $A$, tiga sudut berjajar sepanjang [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) itu dan membentuk sudut lurus, $180^\circ$: yang di tengah adalah $\widehat{A}$, dan kedua yang di luar berseberangan dengan $\widehat B$ dan $\widehat C$ ([garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)!), jadi keduanya sama dengan $\widehat B$ dan $\widehat C$. Karena itu $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎

![Buktinya dalam satu gambar: sepanjang garis sejajar dengan (BC) yang melalui A, sudut B, A, C (sudut berseberangan dengan warna yang cocok) memenuhi sudut lurus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg)

*Buktinya dalam satu gambar: sepanjang [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$ yang melalui $A$, sudut $\widehat B$, $\widehat A$, $\widehat C$ ([sudut berseberangan](#def-g7-triangles-pairs) dengan warna yang cocok) memenuhi sudut lurus.*

**Contoh 51.4.**

Dua sudut sebuah segitiga berukuran $67^\circ$ dan $58^\circ$. Sudut yang ketiga berukuran

$$
180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .
$$

Keadaan khusus yang layak dihafal: setiap sudut [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) adalah $180 \div 3 = 60^\circ$; pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) kedua sudut lancipnya berpenyiku ([jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $180 - 90 = 90^\circ$); sudut alas [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) sama besar, jadi masing-masing $\frac{180 - \text{puncak}}{2}$.

**Contoh 51.5 (Tidak ada segitiga dengan dua sudut siku-siku).**

Segitiga dengan dua sudut $90^\circ$ sudah memakai habis $180^\circ$, sehingga menyisakan $0^\circ$ untuk sudut ketiganya — mustahil. [Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudutnya melarang banyak segitiga sekaligus.

## 51.3 Ketaksamaan segitiga

**Teorema 51.6 (Ketaksamaan segitiga).**

Pada setiap segitiga, setiap sisinya lebih pendek daripada [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua sisi lainnya: untuk segitiga dengan sisi $a$, $b$, $c$,

$$
a < b + c .
$$

Sebaliknya, tiga panjang yang *terbesarnya* lebih kecil daripada [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua lainnya selalu dapat dibuat menjadi segitiga. Kalau yang terbesar *sama dengan* [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua lainnya, “segitiga” itu menjadi datar: ketiga [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) segaris.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 51.7.**

Dapatkah sisinya $10$, $3$ dan $2$? Ujilah yang terbesar: apakah $10 < 3 + 2 = 5$? Tidak — segitiga seperti itu tidak ada. Jangka memperlihatkan sebabnya: busur berjari-jari $3$ dan $2$ yang digambar dari kedua ujung [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $10$ tidak pernah bertemu.

Sisi $7$, $5$ dan $4$? Yang terbesar: $7 < 5 + 4 = 9$: ya, segitiganya ada (memeriksa sisi terbesarnya sudah cukup).

![Mencoba membangun segitiga dengan sisi 10, 3, 2: kedua busur jangkanya tetap berjauhan tanpa harapan, karena 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-2e7d071381d7.svg)

*Mencoba membangun segitiga dengan sisi $10$, $3$, $2$: kedua busur jangkanya tetap berjauhan tanpa harapan, karena $3 + 2 < 10$.*

**Metode 51.8 (Keberadaan dan pelukisan segitiga).**

Diberikan tiga panjang:

1. bandingkan yang terbesar dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua lainnya; kalau ia tidak benar-benar lebih kecil, berhentilah: segitiganya tidak ada;
2. kalau tidak, lukislah seperti pada [Metode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#met-g6-shapes-construct) ( [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) alas, dua busur jangka);
3. sesudah pelukisan apa pun dari sudut, periksalah dalam hati bahwa sudut yang diberikan berjumlah kurang dari $180^\circ$ — dengan sudut ketiganya melengkapi tepat $180^\circ$ .

## 51.4 Latihan

**Latihan 51.1 ★.**

Sebutkan penyiku (sampai $90^\circ$) dan pelurus (sampai $180^\circ$) dari: $30^\circ$; $45^\circ$; $72^\circ$.

**Solusi Latihan 51.1.**

Penyikunya: $60^\circ$; $45^\circ$; $18^\circ$. Pelurusnya: $150^\circ$; $135^\circ$; $108^\circ$.

**Latihan 51.2 ★.**

Dua garis berpotongan; salah satu dari keempat sudutnya berukuran $35^\circ$. Sebutkan ukuran ketiga sudut lainnya, dengan alasannya masing-masing.

**Solusi Latihan 51.2.**

Sudut yang [bertolak belakang](#def-g7-triangles-pairs) dengannya juga berukuran $35^\circ$ ([Teorema 51.2](#thm-g7-triangles-equalities)); kedua sudut yang tersisa berpelurus dengannya: $180 - 35 = 145^\circ$ masing-masing.

**Latihan 51.3 ★.**

Hitunglah sudut ketiga sebuah segitiga yang dua sudut pertamanya berukuran: (a) $40^\circ$ dan $60^\circ$; (b) $90^\circ$ dan $28^\circ$; (c) $75^\circ$ dan $75^\circ$.

**Solusi Latihan 51.3.**

(a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$.

**Latihan 51.4 ★.**

Sebuah [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) punya sudut puncak $40^\circ$. Hitunglah kedua sudut alasnya. [Segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang lain punya sudut alas $70^\circ$: hitunglah sudut puncaknya.

**Solusi Latihan 51.4.**

Puncak $40^\circ$: kedua sudut alasnya berbagi $180 - 40 = 140^\circ$ sama rata: $70^\circ$ masing-masing.

Sudut alas $70^\circ$: kedua sudut alasnya sama besar, jadi puncaknya $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$.

**Latihan 51.5 ★.**

Tripel mana yang dapat menjadi sisi sebuah segitiga? Berilah alasan dengan ketaksamaan segitiga (sisi terbesarnya!):

$$
(6,\ 8,\ 12); \qquad
(5,\ 5,\ 11); \qquad
(4,\ 9,\ 13); \qquad
(7,\ 7,\ 7).
$$

**Solusi Latihan 51.5.**

$(6, 8, 12)$: $12 < 6 + 8 = 14$: segitiganya ada.

$(5, 5, 11)$: $11 > 5 + 5 = 10$: mustahil.

$(4, 9, 13)$: $13 = 4 + 9$: “segitiga” yang datar — titiknya segaris, jadi bukan segitiga sungguhan.

$(7, 7, 7)$: $7 < 14$: [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles).

**Latihan 51.6 ★.**

Sebuah segitiga punya sudut $x$, $2x$ dan $3x$. Carilah $x$ dan ketiga sudutnya. Segitiga jenis apakah itu?

**Solusi Latihan 51.6.**

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$, jadi $x = 30^\circ$: sudutnya $30^\circ$, $60^\circ$ dan $90^\circ$ — [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles).

**Latihan 51.7 ★.**

Lukislah segitiga $ABC$ dengan $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ dan $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (busur derajat di $B$ dan di $C$). Sebelum melukis, ramalkan ukuran $\widehat{BAC}$, lalu periksalah pada gambarmu.

**Solusi Latihan 51.7.**

Ramalan: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$; busur derajat pada gambar yang sudah jadi membenarkannya.

**Latihan 51.8 ★★.**

Dua garis yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dipotong garis ketiga, membentuk sudut $54^\circ$ pada perpotongan yang pertama (antara garis pemotongnya dan salah satu [garis sejajarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)). Gambarlah keadaannya lalu sebutkan ukuran kedelapan sudut yang terbentuk.

**Solusi Latihan 51.8.**

Pada perpotongan yang pertama, keempat sudutnya adalah $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$, $126^\circ$ (pasangan [bertolak belakang](#def-g7-triangles-pairs) dan pelurusnya). [Garis sejajarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) mengulang keempat ukuran yang sama pada perpotongan yang kedua (sudut sehadap): seluruhnya delapan sudut, empat berukuran $54^\circ$ dan empat berukuran $126^\circ$.

**Latihan 51.9 ★★.**

Dua sisi sebuah segitiga berukuran $8$ cm dan $3$ cm. Di antara dua nilai berapa sisi ketiganya harus terletak? Sebutkan satu panjang bilangan bulat yang berhasil dan satu yang tidak.

**Solusi Latihan 51.9.**

Misalkan $c$ sisi ketiganya. Ketaksamaan segitiga menuntut $c < 8 + 3 = 11$ dan juga $8 < c + 3$, yaitu $c > 5$. Jadi $5 < c < 11$: panjang $7$ cm berhasil; panjang $12$ cm (atau $4$ cm) tidak.

**Latihan 51.10 ★★.**

Pada segitiga $ABC$, $\widehat A = 2\widehat B$ dan $\widehat C = 90^\circ$. Hitunglah $\widehat A$ dan $\widehat B$.

**Solusi Latihan 51.10.**

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$, dan $\widehat A = 2\widehat B$, jadi $3\widehat B = 90^\circ$: $\widehat B = 30^\circ$ dan $\widehat A = 60^\circ$.

**Latihan 51.11 ★★★.**

Sudut [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ mana pun dapat dipelajari dengan memotongnya sepanjang sebuah diagonal menjadi dua segitiga. Pakailah ini untuk membuktikan bahwa keempat sudut setiap [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) berjumlah $360^\circ$, lalu simpulkan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) (lima sisi).

**Solusi Latihan 51.11.**

Diagonal $[AC]$ membelah $ABCD$ menjadi segitiga $ABC$ dan $ACD$. Keempat sudut [segi empatnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) persis keenam sudut kedua segitiga itu, yang dikelompokkan ulang (sudut di $A$ dan di $C$ masing-masing terbelah dua). [Jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def): $180 + 180 = 360^\circ$. [Segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) terbelah dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) menjadi tiga segitiga: $3 \times 180 = 540^\circ$.

## 51.5 Soal: Berjalan mengelilingi blok

**Soal 51.1.**

Soal akhir pekan — sudut segi banyak mana pun: $(n-2) \times 180^\circ$ di dalam, selalu $360^\circ$ putaran di luar, dan mengapa hanya tiga bangun beraturan yang mengubin lantai

[Latihan 51.11](#exo-g7-triangles-11) memotong [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) menjadi dua segitiga lalu menemukan $360^\circ$. Soal ini mendorong gagasannya ke [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) dengan sisi sebanyak apa pun, lalu menemukan bukti kedua yang sama sekali berbeda — dengan *berjalan* mengelilingi bangunnya dan menjumlahkan belokannya — dan berakhir di lantai kamar mandimu: di antara semua [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan, tepat tiga yang dapat mengubin bidang tanpa celah atau tumpang tindih, dan lebah sudah memilih miliknya.

**Bagian I — Sudut di dalam.**

1. Dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) (enam sisi), gambarlah semua diagonal yang berangkat dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) itu. Menjadi berapa segitiga [segi enamnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) terpotong, dan berapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) *semua* sudut dalamnya ( [Teorema 51.3](#thm-g7-triangles-sum) )?
2. Perumumlah: dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) dengan $n$ sisi, berapa banyak segitiga yang dihasilkan kipas diagonalnya? Simpulkan rumus [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut dalamnya, lalu periksalah untuk $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
3. Hitunglah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut dalam sebuah segi sepuluh ( $10$ sisi) dan sebuah segi dua belas ( $12$ sisi).
4. Pada [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) *beraturan* semua sudut dalamnya sama besar. Hitunglah sudut dalam [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) , persegi, [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan, [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dan [segi delapan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan.
5. Jelaskan, tanpa rumus apa pun, mengapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut itu bertambah tepat $180^\circ$ setiap kali [segi banyaknya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) bertambah satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) .

**Bagian II — Berjalan mengelilingi blok.** Berjalanlah sepanjang tepi sebuah blok bersegi banyak, selalu maju. Di setiap pojoknya kamu *berbelok* sejauh suatu sudut — *sudut luar* pojok itu; belokannya berlanjut sampai kamu kembali ke titik awalmu, menghadap ke arah awalmu.

6. Pada pojok yang sudut dalamnya $\widehat A$ , sejauh berapa kamu berbelok? (Sudut dalam dan sudut luarnya berpelurus.) Hitunglah ketiga belokan segitiga dengan sudut $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
7. Jumlahkan ketiga belokan pertanyaan 6. Kenyataan tentang satu lingkaran penuh apa yang kamu amati?
8. Jelaskan mengapa belokan sepanjang perjalanan lengkap mengelilingi [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) *mana pun* — tiga sisi atau tiga puluh — selalu berjumlah tepat $360^\circ$ . (Apa yang sudah dilakukan hidungmu, dengan seluruh belokan digabungkan, ketika kamu tiba kembali?)
9. Simpulkan rumus sudut dalamnya untuk kedua kalinya: pada setiap dari $n$ pojoknya, sudut dalam $+$ belokan $= 180^\circ$ ; jumlahkan atas semua pojoknya lalu pakailah pertanyaan 8.
10. Pada [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan semua belokannya sama besar, jadi setiap sudut luarnya $\frac{360^\circ}{n}$ . Pakailah ini untuk menjawab seketika: [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan mana yang sudut dalamnya $150^\circ$ ? Dan mengapa *tidak ada* [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan yang sudut dalamnya $155^\circ$ ?

**Bagian III — Mengubin lantai.** Di sekitar setiap titik pada lantai berubin, pojok ubin yang bertemu harus berjumlah tepat $360^\circ$ — tanpa celah, tanpa tumpang tindih ([Soal 40.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#pb-g6-lines-1)).

11. Untuk masing-masing dari [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) , persegi dan [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan: berapa banyak salinan yang bertemu di satu titik pojok pengubinannya? Periksalah $360^\circ$ -nya setiap kali.
12. Tunjukkan bahwa [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan tidak dapat mengubin lantai: berapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tiga pojoknya, dan berapa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) empat pojoknya?
13. Tunjukkan bahwa tidak ada [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dengan *lebih* dari enam sisi yang dapat mengubin: sedikitnya tiga ubin harus bertemu di setiap pojok (setiap sudutnya kurang dari $180^\circ$ ), lalu apa yang terjadi pada tiga pojok berukuran $135^\circ$ atau lebih? Simpulkan daftar lengkap pengubin beraturannya.
14. Lantai kamar mandi sering mencampur [segi delapan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang beraturan dengan persegi kecil. Periksalah bahwa pojok ini berhasil: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Campuran klasik yang lain menggabungkan persegi, [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dan segi dua belas beraturan di setiap pojoknya: periksalah itu juga (sudut dalam segi dua belasnya menyusul dari cara pertanyaan 10).
15. Pilihan lebah: sel sarang lebah berbentuk [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan. Periksalah pojoknya ( $3$ sudut), lalu jelaskan dalam satu kalimat — dengan bantuan penemuan Dido ( [Soal 43.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#pb-g6-measure-1) ) — mengapa, dari ketiga ubin beraturan yang mungkin, [segi enamnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang paling murah lilinnya untuk madu yang ditampungnya.

**Solusi Soal 51.1.**

**1.** Diagonal dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) memotongnya menjadi $4$ segitiga, jadi sudut dalamnya berjumlah $4 \times 180 = 720^\circ$.

**2.** Dari satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), diagonalnya menuju semua [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) kecuali dirinya sendiri dan kedua tetangganya: $n - 3$ diagonal, yang memotong [segi banyaknya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) menjadi $n - 2$ segitiga. Setiap sudut dalam [segi banyaknya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) terbagi di antara segitiganya, jadi [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def)

$$
(n - 2) \times 180^\circ .
$$

Periksa: $n = 3$: $180^\circ$; $n = 4$: $360^\circ$ ([Latihan 51.11](#exo-g7-triangles-11)); $n = 5$: $540^\circ$; $n = 6$: $720^\circ$.

**3.** Segi sepuluh: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. Segi dua belas: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$.

**4.** Dengan membagi $n$: segitiga $60^\circ$; persegi $90^\circ$; [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $\frac{540}{5} = 108^\circ$; [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $\frac{720}{6} = 120^\circ$; [segi delapan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $\frac{1080}{8} =
135^\circ$.

**5.** Menambah satu [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) menambah satu segitiga lagi pada kipasnya: [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang baru perlu $n - 1$ segitiga sedangkan yang lama perlu $n - 2$. Satu segitiga tambahan, satu $180^\circ$ tambahan.

**6.** Pejalannya berbelok sejauh pelurusnya: $180^\circ - \widehat A$. Untuk segitiga $40$–$60$–$80$, belokannya $140^\circ$, $120^\circ$ dan $100^\circ$.

**7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$: satu putaran penuh.

**8.** Sepanjang seluruh perjalanan, hidungmu bermula dan berakhir menghadap ke arah yang sama, setelah menyapu tepat satu kali [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter): seluruh belokan yang dilakukan di pojoknya berjumlah satu putaran lengkap, $360^\circ$ — berapa pun banyak pojoknya dan apa pun bentuk bloknya. (Kenyataan itu indahnya tidak bergantung pada $n$.)

**9.** Pada setiap pojok, sudut dalam $+$ belokan $= 180^\circ$. Menjumlahkan atas $n$ pojoknya:

$$
\text{(jumlah sudut dalam)} + 360^\circ = 180^\circ \times n,
\qquad\text{jadi}\qquad
\text{jumlah sudut dalam} = (n - 2) \times 180^\circ
$$

— rumus pertanyaan 2, yang dibuktikan ulang dengan berjalan.

**10.** Sudut dalam $150^\circ$ berarti setiap belokannya $30^\circ$, dan $n = \frac{360}{30} = 12$: segi dua belas beraturan. Sudut dalam $155^\circ$ akan berarti belokan $25^\circ$, dan $\frac{360}{25} = 14.4$ bukan banyaknya pojok yang bulat: [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan seperti itu tidak ada.

**11.** Segitiga ($60^\circ$): $6$ bertemu, $6 \times 60 = 360$. Persegi ($90^\circ$): $4$ bertemu. [Segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$): $3$ bertemu, $3 \times 120 = 360$. Ketiganya menutup dengan sempurna.

**12.** Tiga pojok [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon): $3 \times 108 = 324^\circ$ — tersisa celah $36^\circ$. Empat pojoknya: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — tumpang tindih. Tidak ada yang berhasil: [segi lima](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan tidak dapat mengubin bidang.

**13.** Pada satu pojok pengubinan sedikitnya $3$ ubin bertemu. [Segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan dengan lebih dari enam sisi punya sudut dalam yang *lebih besar* daripada $120^\circ$ (pertanyaan 4 dan tumbuhnya sudut itu bersama $n$), jadi tiga pojoknya melampaui $3 \times 120 = 360^\circ$: tumpang tindih, mustahil. Dengan enam sisi tepat, $3 \times 120 = 360$ berhasil; di bawah enam, pertanyaan 11 dan 12 memilah keadaannya. Daftar lengkap pengubin beraturannya: segitiga, persegi, [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon).

**14.** [Segi delapan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) dan persegi: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$: pojoknya menutup — pola jalanan yang klasik. Persegi, [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon), segi dua belas: belokan segi dua belasnya $\frac{360}{12} = 30^\circ$, jadi sudut dalamnya $150^\circ$, dan $90 + 120 + 150 = 360^\circ$: itu berhasil juga.

**15.** Pojok sarang lebah: $3 \times 120 = 360^\circ$, sempurna. Di antara ubin segitiga, persegi dan [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) yang sama luasnya, [segi enamnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) punya [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) terpendek — ia yang paling dekat di antara ketiganya dengan lingkaran Dido ([Soal 43.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#pb-g6-measure-1)) — jadi sel [segi enam](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) menampung madu yang sama dengan lilin paling sedikit: lebah mengubin seperti ahli geometri.