---
title: "Mengalikan Bilangan Negatif"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif
---

# Bab 54 — Mengalikan Bilangan Negatif

Kelas 7 menjumlahkan dan mengurangkan [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) ([Bab 46](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#ch-g7-negatives)); yang tersisa adalah mengalikan dan membaginya. Satu pertanyaan menguasai bab ini: mengapa “minus kali minus” harus menjadi plus? Kita memberi alasannya, bukan sekadar aturannya.

## 54.1 Aturan tanda

**Teorema 54.1 (Tanda sebuah hasil kali).**

[Hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dua [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) punya jarak ke [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) yang sama dengan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) kedua jaraknya, dan tandanya diberikan oleh:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*Tanda yang sama: [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) positif. Tanda yang berlawanan: [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) negatif.* Tabel yang sama berlaku untuk [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder).

**Mengapa $(-1) \times (-1) = +1$.** Pertama, $3 \times (-4)$ berarti $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: positif kali negatif adalah negatif. Sekarang perhatikan polanya:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

Pada tiap langkahnya, faktor pertamanya turun $1$ dan hasilnya *naik* $4$. Dengan melanjutkan polanya satu langkah lagi:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

Pilihan lain apa pun akan merusak keteraturan aritmetika (yaitu sifat distributif). Jadi minus kali minus haruslah plus. ∎

![Alasan polanya dalam satu gambar: titik (k,\ k × (-4)) berjajar, dan melanjutkan garisnya melewati k = 0 memaksa (-1)×(-4) = +4 dan (-2)×(-4) = +8.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*Alasan polanya dalam satu gambar: titik $(k,\ k \times (-4))$ berjajar, dan melanjutkan garisnya melewati $k = 0$ memaksa $(-1)\times(-4) = +4$ dan $(-2)\times(-4) = +8$.*

**Contoh 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(tanda berlawanan)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(tanda sama)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 Hasil kali beberapa faktor

**Proposisi 54.3 (Tanda hasil kali yang panjang).**

Tanda [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) beberapa faktor yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) hanya bergantung pada banyaknya faktor yang negatif:

- banyaknya faktor negatif yang *[genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* memberi [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang positif;
- banyaknya yang *[ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* memberi [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang negatif.

**Bukti.** Faktor negatifnya berpasangan, dan tiap pasangan menyumbang tanda positif ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)); banyaknya yang [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) menyisakan satu faktor negatif tanpa pasangan, yang membuat seluruh [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) negatif. ∎

**Contoh 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: tiga faktor negatif ([ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)), jadi [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) negatif; jaraknya: $2 \times 3 \times 5
\times 1 = 30$. Hasilnya: $-30$. Tentukan tandanya *lebih dahulu*, lalu kalikan jaraknya — dua tugas yang mudah, bukan satu tugas yang rawan galat.

**Contoh 54.5 (Pangkat bilangan negatif).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, dan $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: pangkat [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) memberi nilai yang positif, pangkat [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) mempertahankan tandanya. Hati-hati dengan notasinya: $(-3)^2 = 9$ tetapi $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 Menghitung dengan keempat operasinya

**Metode 54.6 (Menghitung dengan aman memakai bilangan bertanda).**

1. Patuhi prioritas pada [Bab 45](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#ch-g7-priorities) : tanda kurung, lalu $\times$ dan $\div$ , lalu $+$ dan $-$ ;
2. pada tiap perkalian atau pembagian, carilah *tandanya lebih dahulu* , lalu jaraknya;
3. tulislah ulang satu langkah pada tiap barisnya.

**Contoh 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(hasil kalinya dahulu: tanda berlawanan)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(pembilangnya: tanda sama)}\\
&= -15 && \text{(hasil baginya: tanda berlawanan).}
\end{align*}
$$

**Contoh 54.8 (Menyulih nilai yang negatif).**

Hitunglah $E = 3x^2 - 2x$ untuk $x = -5$, dengan tanda kurung mengelilingi nilainya:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

Tanda kurung pada $(-5)^2$ sangat penting: tanpanya kuadratnya hanya akan berlaku untuk $5$ saja.

## 54.4 Latihan

**Latihan 54.1 ★.**

Hitunglah:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**Solusi Latihan 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$; $(-9) \times (-6) = +54$; $(+12) \times (-0.5) = -6$; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (tiga faktor negatif: [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Latihan 54.2 ★.**

Hitunglah:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**Solusi Latihan 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$; $(-8) \div (-16) = +0.5$; $\dfrac{45}{-5} = -9$; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**Latihan 54.3 ★.**

Sebutkan hanya *tanda* tiap [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def), tanpa menghitungnya:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**Solusi Latihan 54.3.**

Tiga faktor negatif: *negatif*. $(-1)^{10}$: sepuluh faktor negatif, [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *positif* (nilainya $1$). $(-2)^7$: tujuh faktor, [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *negatif*. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: bukan positif, bukan pula negatif.

**Latihan 54.4 ★.**

Hitunglah:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**Solusi Latihan 54.4.**

$(-2)^4 = +16$; $-2^4 = -16$ (minusnya tidak dikuadratkan); $(-3)^3 = -27$; $(-1)^{2026} = +1$ (pangkatnya [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Latihan 54.5 ★.**

Hitunglah selangkah demi selangkah, dengan mematuhi prioritasnya:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**Solusi Latihan 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**Latihan 54.6 ★.**

Hitunglah:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**Solusi Latihan 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**Latihan 54.7 ★.**

Hitunglah untuk $x = -3$:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**Solusi Latihan 54.7.**

Untuk $x = -3$: $5x = -15$; $x^2 = (-3)^2 = 9$; $-x^2 = -9$; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**Latihan 54.8 ★★.**

Lengkapilah tiap kesamaannya:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**Solusi Latihan 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$; $10 \div (-4) = -2.5$; $(-5) \times \frac15 = -1$, jadi bilangan yang hilang adalah $+\frac15 = 0.2$.

**Latihan 54.9 ★★.**

Benar atau salah? Berilah alasan atau contoh penyangkalnya.

1. [Hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dua [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) selalu sedikitnya sama besar dengan [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) .
2. Kuadrat sebuah [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) tidak pernah negatif.
3. Kalau [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) tiga faktor bernilai positif, ketiga faktornya positif.

**Solusi Latihan 54.9.**

*1. Salah*: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ lebih kecil daripada $0.5 + 0.5 = 1$ (atau: $2 \times 3 = 6 > 5$, tetapi pernyataannya harus selalu berlaku).

*2. Benar*: kuadrat adalah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dua bilangan yang tandanya sama, jadi positif atau [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero).

*3. Salah*: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ bernilai positif dengan dua faktor negatif.

**Latihan 54.10 ★★.**

Tiap jawaban yang salah pada sebuah kuis bernilai $-3$ angka, tiap jawaban yang benar $+5$. Zahra menjawab $20$ pertanyaan dan memperoleh $36$ angka. Berapa jawabannya yang benar? (Cobalah beberapa nilai, atau susunlah perhitungan $5r - 3(20 - r) = 36$.)

**Solusi Latihan 54.10.**

Misalkan $r$ banyaknya jawaban yang benar; maka $20 - r$ jawaban salah, dan

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

Dua belas jawaban yang benar (dan delapan yang salah: periksa, $60 - 24 = 36$).

**Latihan 54.11 ★★★.**

Dengan memakai sifat distributif (seperti pada bukti [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)), jabarkan dan berilah alasan untuk tiap langkahnya pada

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1),
$$

lalu simpulkan bahwa $(-1) \times (-1)$ harus sama dengan $+1$.

**Solusi Latihan 54.11.**

[Nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) dikalikan apa pun adalah [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), jadi $(-1) \times 0 = 0$. Dengan menulis $0 = 1 + (-1)$ lalu menyebarkannya:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

Bilangan $(-1) \times (-1)$ yang ditambahkan ke $-1$ memberi $0$: ia pastilah [lawan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) dari $-1$, yaitu $+1$. Sifat distributif tidak meninggalkan pilihan lain.

## 54.5 Soal: Mengapa minus kali minus adalah plus

**Soal 54.1.**

Soal akhir pekan — aturan tanda yang disimpulkan dari sifat distributif, dan jumlah berganti tanda $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

Bukti [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) melanjutkan sebuah pola lalu menyatakan bahwa “pilihan lain apa pun akan merusak sifat distributif”. Soal ini membuat pernyataan itu tepat: berangkat hanya dari sifat distributif ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#thm-g7-priorities-distributivity)), kamu akan *membuktikan* aturan tandanya — tanpa gambar, tanpa pola, dengan cara yang dipakai aljabar — lalu mempekerjakannya pada pangkat $-1$ dan pada [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) terkenal yang tandanya berganti-ganti. Sepanjang soal ini, $a$ dan $b$ adalah [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def); kita menerima begitu saja aturan penjumlahan pada [Bab 46](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#ch-g7-negatives), bahwa $1 \times a = a$, dan bahwa [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dapat dihitung dalam urutan mana pun (jadi sifat distributif berlaku pada kedua sisi sebuah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def)).

**Bagian I — Aturan tandanya adalah teorema.**

1. Buktikan bahwa $0 \times a = 0$ untuk setiap [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) $a$ . (Tulislah $0 = 0 + 0$ , jabarkan $(0 + 0) \times a$ , lalu tanyakan bilangan mana yang, kalau ditambahkan ke $0 \times a$ , memberi $0 \times a$ kembali.)
2. Jabarkan $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ untuk menunjukkan bahwa $(-1) \times a + a = 0$, lalu simpulkan bahwa $$(-1) \times a = -a :$$ mengalikan dengan $-1$ memberi [lawannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def). Bandingkan dengan [Latihan 54.11](#exo-g8-negprod-11), yaitu keadaan $a = -1$.
3. Simpulkan bahwa $(-a) \times b = -(a \times b)$ : satu tanda minus keluar dari [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) tanpa berubah.
4. Simpulkan bahwa $(-a) \times (-b) = a \times b$ : dua tanda minus saling meniadakan.
5. Setiap [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) adalah jaraknya ke [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) dengan sebuah tanda di depannya: $a = +d$ atau $a = -d$ . Jelaskan bagaimana pertanyaan 3 dan 4 membuktikan keempat keadaan tabel tanda pada [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules) , termasuk jaraknya.

**Bagian II — Pangkat $-1$.**

6. Hitunglah $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ , $(-1)^5$ , lalu sebutkan, dengan alasan dari [Proposisi 54.3](#prop-g8-negprod-many) , nilai $(-1)^n$ untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$ .
7. Sebutkan (tanpa menghitung satu jarak pun) tanda dari $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ lalu tulislah jarak [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) ini sebagai [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) bilangan bulat, tanpa mengerjakannya.
8. Tunjukkan bahwa $(-a)^2 = a^2$ dan bahwa $(-a)^3 = -a^3$ . Untuk pangkat yang mana tanda minusnya bertahan?
9. Pakailah aturan tandanya untuk menunjukkan bahwa kuadrat sebuah [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) tidak pernah negatif, lalu simpulkan bahwa tidak ada [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) $x$ yang memenuhi $x^2 = -4$ .
10. Zahra menyatakan: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , dan lebih umum lagi dua pangkat $-1$ yang berurutan selalu saling meniadakan.” Apakah dia benar? Berilah alasan.

**Bagian III — [Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang berganti tanda.** Dengan aturan tandanya yang sudah aman, kita dapat menghitung [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang mencampur kedua tandanya. Untuk bilangan bulat $n \geq 1$, misalkan

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) bilangan bulat dari $1$ sampai $n$ dengan tanda yang berganti-ganti: suku terakhirnya $+n$ ketika $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dan $-n$ ketika $n$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Jadi $A_1 = 1$ dan $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Hitunglah $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ dan $A_7$ . Apa yang kamu duga?
12. Andaikan $n$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Kelompokkan sukunya dua-dua, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , bilanglah pasangannya, lalu buktikan bahwa $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. Andaikan $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . Jelaskan mengapa $A_n = A_{n-1} + n$ , lalu simpulkan dari pertanyaan sebelumnya bahwa $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. Hitunglah $A_{100}$ , $A_{101}$ dan $A_{2026}$ .
15. Alma menghitung $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ lalu terkejut menemukan tepat $101$ . Seharusnya dia terkejut? Jelaskan dalam satu kalimat, lalu sebutkan nilai $A_{2027} - A_{2026}$ tanpa perhitungan lebih lanjut.

**Solusi Soal 54.1.**

**1.** Karena $0 = 0 + 0$, sifat distributif ([Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#thm-g7-priorities-distributivity)) memberi

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

Jadi menambahkan $0 \times a$ pada dirinya sendiri tidak mengubah apa pun — dan satu-satunya bilangan yang dapat ditambahkan tanpa mengubah apa pun adalah $0$. (Secara langsung: kurangkan $0 \times a$ dari kedua ruasnya.) Karena itu $0 \times a = 0$.

**2.** Dengan menjabarkan, lalu memakai $1 + (-1) = 0$ dan pertanyaan 1:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

Jadi $(-1) \times a$ adalah bilangan yang, kalau ditambahkan ke $a$, memberi $0$: itu persis [lawan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) dari $a$, dan $(-1) \times a = -a$. [Latihan 54.11](#exo-g8-negprod-11) adalah keadaan khusus $a = -1$: di sana, $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** Tulislah $-a = (-1) \times a$ (pertanyaan 2) lalu kelompokkan ulang faktornya:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** Pakailah pertanyaan 3 dua kali (sekali pada tiap faktor):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

karena [lawan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) dari [lawan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) sebuah bilangan adalah bilangan itu sendiri.

**5.** Tulislah $a = +d$ atau $a = -d$ dan $b = +e$ atau $b = -e$, dengan $d$ dan $e$ adalah jaraknya ke [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero). Keempat keadaannya:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

dua yang di tengah menurut pertanyaan 3, yang terakhir menurut pertanyaan 4. Pada setiap keadaannya, jarak hasilnya adalah $d \times e$, yaitu [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) kedua jaraknya, dan tandanya adalah tanda yang diumumkan tabel pada [Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules): tanda sama memberi positif, tanda berlawanan memberi negatif.

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$. Secara umum $(-1)^n$ adalah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $n$ faktor negatif yang jaraknya masing-masing $1$: menurut [Proposisi 54.3](#prop-g8-negprod-many) nilainya $+1$ ketika $n$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dan $-1$ ketika $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**7.** Ada sepuluh faktor negatif — suatu [bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — jadi [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) *positif* ([Proposisi 54.3](#prop-g8-negprod-many)). Jaraknya adalah $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** Menurut pertanyaan 4, $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a =
a^2$. Lalu menurut pertanyaan 3,

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

Tanda minusnya lenyap untuk pangkat [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dan bertahan untuk pangkat yang [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), sejalan dengan [Contoh 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** Kalau $a = 0$ maka $a^2 = 0$. Kalau tidak, $a$ dan $a$ punya tanda yang *sama*, jadi $a^2 = a \times a$ bernilai positif ([Teorema 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). Karena itu kuadrat tidak pernah negatif; karena $-4$ negatif, tidak ada [bilangan bertanda](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/46-bilangan-negatif#def-g7-negatives-def) $x$ yang memenuhi $x^2 = -4$.

**10.** Zahra benar. Pangkat $2026$ dan $2027$ punya keganjilan yang berlawanan, jadi $(-1)^{2026} = +1$ dan $(-1)^{2027} = -1$, yang berjumlah $0$. Secara umum, dari dua pangkat yang berurutan satu [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dan satu [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), jadi kedua nilainya $+1$ dan $-1$ dalam urutan tertentu: bilangan yang saling berlawanan, yang [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) selalu $0$.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, lalu $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$. Dugaan: $A_n = -\frac{n}{2}$ untuk $n$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dan $A_n = \frac{n+1}{2}$ untuk $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**12.** Untuk $n$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) sukunya berpasangan seluruhnya:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

dan tiap pasangannya bernilai $-1$. Ada $\frac{n}{2}$ pasangan (dua suku pada tiap pasangan, dan $n$ suku seluruhnya), jadi $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** Untuk $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $A_n$ adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ dari $n - 1$ suku pertamanya, ditambah suku terakhirnya, yaitu $+n$ karena $n$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Karena $n - 1$ [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), pertanyaan 12 memberi

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** Tidak mengejutkan: berpindah dari $A_{100}$ ke $A_{101}$ menambahkan tepat satu suku, yaitu $+101$, jadi [selisihnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) memang harus $101$. Dengan alasan yang sama, $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — tanpa menghitung $A_{2027}$ sama sekali.