---
title: "Pecahan: Keempat Operasinya"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya
---

# Bab 55 — Pecahan: Keempat Operasinya

Bab ini melengkapi aritmetika [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def): penjumlahan dan pengurangan dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) *apa pun*, perkalian, dan — pendatang barunya — pembagian, yang ternyata perkalian dalam samaran. Tanda dari [Bab 54](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#ch-g8-negprod) ikut serta di dalamnya.

## 55.1 Menjumlahkan dengan penyebut apa pun

**Metode 55.1 (Penyebut yang sama).**

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan $\frac ab$ dan $\frac cd$:

1. carilah [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) bersama dari $b$ dan $d$ ( [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $b \times d$ selalu berhasil; yang lebih kecil menghemat tenaga);
2. tulislah ulang kedua [pecahannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) itu;
3. jumlahkan atau kurangkan [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) ; lalu sederhanakan.

**Contoh 55.2.**

Hitunglah $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$. [Kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) bersama dari $6$ dan $4$ adalah $12$:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

Dengan tanda: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} -
\dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 Mengalikan pecahan

**Teorema 55.3 (Hasil kali pecahan).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**Mengapa, lewat sebuah gambar.** Ambillah $\frac34$ dari $\frac25$ sebuah persegi: potonglah perseginya menjadi $5$ jalur tegak lalu simpan $2$; potonglah mendatar menjadi $4$ lalu simpan $3$ baris dari yang tersisa. Bagian yang disimpan adalah kisi $3 \times 2$ sel kecil dari $4 \times 5$: [pecahannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5: daerah yang terarsir ganda adalah 3 × 2 = 6 sel dari 4 × 5 = 20, yaitu 6/20 = 3/10 — pembilangnya dikalikan, penyebutnya dikalikan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-78c57461204e.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: daerah yang terarsir ganda adalah $3 \times 2 = 6$ sel dari $4 \times 5 = 20$, yaitu $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dikalikan, [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dikalikan.*

**Contoh 55.4.**

Sederhanakan *sebelum* mengalikan, dengan mencoret faktor bersamanya:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(faktor $7$ dan satu faktor $3$ saling meniadakan antara atas dan bawah). Dengan tanda, aturan [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#thm-g8-negprod-rules) berlaku lebih dahulu: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) =
+\frac{10}{12} = \frac56$.

## 55.3 Membagi pecahan

**Definisi 55.5 (Kebalikan).**

*Kebalikan* sebuah bilangan $x$ yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) adalah bilangan yang kalau dikalikan dengan $x$ memberi $1$. Kebalikan $\frac ab$ adalah $\frac ba$, karena $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$; kebalikan bilangan bulat $n$ adalah $\frac1n$.

**Teorema 55.6 (Membagi berarti mengalikan dengan kebalikannya).**

Untuk $c \neq 0$:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**Bukti.** Menurut definisinya, [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $q$ dari $\frac ab$ oleh $\frac cd$ adalah bilangan dengan $q \times \frac cd = \frac ab$. Periksalah calonnya $q = \frac ab \times \frac dc$:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**Contoh 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

Pemeriksaan yang masuk akal: membagi dengan $\frac{7}{10}$, bilangan yang lebih kecil daripada $1$, harus memberi hasil yang *lebih besar* daripada $\frac35$ — dan memang $\frac67 > \frac35$ ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**Contoh 55.8 (Garis pecahan di dalam garis pecahan).**

Sebuah “[pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) bertingkat” hanyalah pembagian yang ditulis tegak:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

Carilah garis *utamanya* lebih dahulu (yang paling panjang), lalu terapkan [Teorema 55.6](#thm-g8-fractions-div).

**Metode 55.9 (Perhitungan campuran).**

Pada bentuk yang mencampur [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) dan keempat operasinya:

1. terapkan prioritas yang biasa ( [Bab 45](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#ch-g7-priorities) );
2. ubahlah setiap pembagian menjadi perkalian dengan [kebalikannya](#def-g8-fractions-inverse) ;
3. tentukan tandanya lebih dahulu ( [Metode 54.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#met-g8-negprod-compute) ), lalu kalikan atau carilah [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama;
4. sederhanakan pada kesempatan yang paling awal.

**Contoh 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(hasil kalinya dahulu!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 Latihan

**Latihan 55.1 ★.**

Hitunglah lalu sederhanakan:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**Solusi Latihan 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} =
\dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} =
\dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} =
\dfrac{37}{30}$.

**Latihan 55.2 ★.**

Hitunglah (tandanya lebih dahulu):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**Solusi Latihan 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} =
-\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} =
-\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} =
-\dfrac{11}{10}$.

**Latihan 55.3 ★.**

Hitunglah, dengan menyederhanakan sebelum mengalikan:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**Solusi Latihan 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15}
= \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (sederhanakan dengan $5$ dan dengan $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3}
= \dfrac{3}{2}$ (sederhanakan dengan $7$ dan dengan $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45}
= -\dfrac43$ (tandanya berlawanan: negatif).

**Latihan 55.4 ★.**

Sebutkan [kebalikan](#def-g8-fractions-inverse) dari: $\dfrac{3}{7}$; $5$; $\dfrac{1}{4}$; $-\dfrac{2}{9}$.

**Solusi Latihan 55.4.**

[Kebalikannya](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac73$; $\dfrac15$; $4$; $-\dfrac92$ ([kebalikannya](#def-g8-fractions-inverse) mempertahankan tandanya).

**Latihan 55.5 ★.**

Hitunglah:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**Solusi Latihan 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18}
= \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70}
= \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**Latihan 55.6 ★.**

Hitunglah [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) bertingkatnya:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**Solusi Latihan 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} =
\dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} =
\dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**Latihan 55.7 ★.**

Hitunglah, dengan mematuhi prioritasnya:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**Solusi Latihan 55.7.**

[Hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dahulu: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10}
= \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

Tanda kurungnya dahulu: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45
= \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**Latihan 55.8 ★★.**

Sebuah tangki terisi $\frac{2}{5}$. Lalu ditambahkan $\frac{1}{3}$ *dari [daya tampung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) tangkinya*. Berapa bagian tangkinya yang kini terisi? Berapa bagian yang masih kosong?

**Solusi Latihan 55.8.**

Terisi: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} =
\dfrac{11}{15}$ bagian tangkinya. Kosong: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**Latihan 55.9 ★★.**

Tiga perempat murid sebuah kelas lulus sebuah ujian; di antara mereka, dua pertiganya memperoleh lebih dari $14$ dari $20$. Berapa bagian kelasnya yang memperoleh lebih dari $14$? Kalau itu mewakili $12$ murid, berapa besar kelasnya?

**Solusi Latihan 55.9.**

Bagian yang memperoleh lebih dari $14$: $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ dari kelasnya. Kalau itu $12$ murid, kelasnya berisi $24$ murid.

**Latihan 55.10 ★★.**

Tali sepanjang $\frac{15}{2}$ m harus dipotong menjadi potongan sepanjang $\frac{3}{4}$ m masing-masing. Berapa potongan yang diperoleh? (Pembagian [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) — periksalah bahwa jawabannya bilangan bulat.)

**Solusi Latihan 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43
= \dfrac{60}{6} = 10$ potongan — bilangan bulat, tanpa tali yang terbuang.

**Latihan 55.11 ★★.**

Hitunglah

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**Solusi Latihan 55.11.**

$E$: pembagiannya dahulu: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10}
= \dfrac{45}{60} = \dfrac34$; lalu $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} =
-\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times
\dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (kuadratnya positif).

**Latihan 55.12 ★★★.**

Sederhanakanlah bentuk

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(mulailah dari [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang paling dalam lalu bekerjalah ke luar, satu garis pada satu waktu).

**Solusi Latihan 55.12.**

Dari dalam ke luar: $1 + 1 = 2$; lalu $1 + \dfrac12 = \dfrac32$; lalu

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 Soal: Pecahan Mesir

**Soal 55.1.**

Soal akhir pekan — setiap pecahan adalah jumlah pecahan satuan yang berbeda-beda

*[Pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan* adalah [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $1$. Juru tulis Mesir kuno — papirus Rhind disalin sekitar tahun $1550$ SM — menulis setiap [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang *berbeda-beda*: tidak pernah $\frac27 = \frac17 + \frac17$, melainkan $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$. [Jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) seperti itu disebut *tulisan Mesir* bagi [pecahannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def). Soal ini mengembangkan teknik penjumlahan dan pembandingan bab ini ([Metode 55.1](#met-g8-fractions-add)) menjadi sebuah cara — yang diterbitkan Fibonacci pada tahun $1202$ — yang menghasilkan tulisan Mesir bagi [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) apa pun antara $0$ dan $1$, lalu berakhir pada teka-teki warisan yang terkenal.

**Bagian I — [Pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan dan kesamaan pemecahannya.**

1. Hitunglah $\frac12 + \frac13$ dan $\frac12 + \frac14$ , lalu simpulkan tulisan Mesir bagi $\frac56$ dan $\frac34$ .
2. Periksalah catatan juru tulisnya untuk $\frac27$ : tunjukkan bahwa $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. Periksalah bahwa $\frac13 + \frac16 = \frac12$ dan bahwa $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. Lalu buktikan *kesamaan pemecahan*: untuk setiap bilangan bulat $n \geq 1$, $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. Simpulkan sebuah tulisan Mesir bagi $1$ itu sendiri, sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tiga [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang berbeda-beda.
5. Pecahlah suku terakhir $\frac56 = \frac12 + \frac13$ untuk memperoleh tulisan Mesir yang *kedua* bagi $\frac56$ , dengan tiga [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan. Jelaskan mengapa tidak ada [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang tulisan Mesirnya tunggal.

**Bagian II — Cara rakus Fibonacci.** Caranya adalah: kurangkan dengan [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan *terbesar* yang muat, lalu ulangi pada [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder).

6. Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama, tunjukkan bahwa $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Mengapa itu membuktikan bahwa $\frac14$ adalah [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac27$ ?
7. Hitunglah $\frac27 - \frac14$ . Tulisan $\frac27$ yang mana yang dihasilkan cara rakus itu?
8. Sekarang ambillah $\frac57$ . Tunjukkan bahwa [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac57$ adalah $\frac12$ , lalu hitunglah $\frac57 - \frac12$ .
9. Tunjukkan bahwa [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac{3}{14}$ adalah $\frac15$ (bandingkan $\frac{3}{14}$ dengan $\frac14$ dan dengan $\frac15$), hitunglah $\frac{3}{14} - \frac15$, lalu simpulkan: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ Periksalah tulisan ini secara langsung dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama $70$.
10. Jalankan cara rakusnya pada $\frac45$ , dengan memeriksa pada tiap langkahnya bahwa [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuanmu adalah yang terbesar yang muat, lalu periksalah tulisan akhirnya.

**Bagian III — Mengapa caranya selalu berhenti, dan unta yang kedelapan belas.**

11. Pada pertanyaan 7–10 caranya diterapkan pada $\frac27$ , $\frac57$ dan $\frac45$ . Untuk masing-masing, sebutkan [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang berturut-turut (sebelum penyederhanaan apa pun). Apa yang kamu amati?
12. Untuk [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ dan bilangan bulat $n$, tunjukkan bahwa $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. Andaikan cara rakusnya mengurangkan $\frac1n$ dari $\frac ab$: maka $\frac1n$ muat tetapi $\frac{1}{n-1}$ sudah terlalu besar, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. Dengan menaruh keduanya pada [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama $b \times (n - 1)$, simpulkan bahwa $b > a \times n - a$, jadi [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang baru memenuhi $$a \times n - b < a .$$ Jelaskan mengapa itu membuktikan bahwa caranya selalu berhenti.
14. Sebuah kisah lama: seorang ayah meninggal dengan mewariskan $17$ ekor unta, dengan $\frac12$ kawanannya untuk anak sulungnya, $\frac13$ untuk anak keduanya, $\frac19$ untuk anak ketiganya — dan tidak satu pun bagiannya berupa bilangan bulat unta. Seorang tetangga meminjamkan seekor unta kedelapan belas kepada keluarganya; anak-anaknya mengambil $9$ , $6$ dan $2$ ekor unta, lalu unta pinjamannya dikembalikan. Hitunglah $\frac12 + \frac13 + \frac19$ lalu jelaskan triknya: mengapa kawanannya dapat dibagi dalam unta yang utuh, dan mengapa tidak ada anak yang menerima kurang daripada yang dijanjikan wasiatnya?
15. Perbaikilah wasiatnya: usulkan tiga [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang *berbeda-beda* yang berjumlah tepat $1$ , lalu sebutkan besar kawanan yang terkecil yang membuat ketiga bagiannya berupa bilangan bulat unta.

**Solusi Soal 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ dan $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Jadi $\frac56 = \frac12 + \frac13$ dan $\frac34 = \frac12 + \frac14$ adalah tulisan Mesir ([pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuannya berbeda pada masing-masing).

**2.** Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama $28$:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 =
\frac12$, dan $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} +
\frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. Secara umum, [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama $\frac{1}{n+1}$ dan $\frac{1}{n(n+1)}$ adalah $n(n+1)$:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** Mulailah dari $1 = \frac12 + \frac12$ lalu pecahlah setengah yang kedua menurut pertanyaan 3:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

yaitu tiga [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang berbeda-beda.

**5.** Memecah $\frac13$ pada $\frac56 = \frac12 +
\frac13$ memberi

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

Tidak ada tulisan Mesir yang pernah tunggal: kesamaan pemecahannya selalu dapat mengganti [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) terbesar dengan dua [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan baru yang bahkan lebih kecil — jadi dari tulisan mana pun kita dapat membuat tulisan yang lain.

**6.** Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} <
\frac{7}{21} = \frac13$. Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac14 =
\frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. [Pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan mengecil ketika [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) membesar, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 >
\dots$; karena $\frac13$ (dan semua yang di atasnya) terlalu besar sedangkan $\frac14$ muat, $\frac14$ adalah [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} =
\frac{1}{28}$: cara rakusnya menghasilkan $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$, persis catatan juru tulis pada pertanyaan 2.

**8.** Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} <
\frac{10}{14} = \frac57$, sedangkan satu-satunya [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan yang lebih besar, yaitu $1$, melampaui $\frac57$. Jadi $\frac12$ yang terbesar yang muat, dan

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} <
\frac{7}{28} = \frac14$, jadi $\frac14$ terlalu besar. Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} =
\frac{3}{14}$, jadi $\frac15$ muat: itulah [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan terbesar yang lebih kecil daripada $\frac{3}{14}$. Lalu

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{jadi}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

Periksa: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} =
\frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** Langkah pertama: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} =
\frac45$ dan $1 > \frac45$, jadi kurangkan $\frac12$: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Langkah kedua: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} =
\frac{3}{10}$ terlalu besar, sedangkan $\frac14 = \frac{5}{20} <
\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ muat, jadi kurangkan $\frac14$: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} =
\frac{1}{20}$. Kesimpulannya:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** [Pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang berturut-turut adalah: untuk $\frac27$: $2$, lalu $1$; untuk $\frac57$: $5$, lalu $3$, lalu $1$; untuk $\frac45$: $4$, lalu $3$, lalu $1$. Tiap daftarnya *turun secara tegas*.

**12.** [Penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama $\frac ab$ dan $\frac1n$ adalah $b \times n$:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** Pada [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama $b \times (n-1)$, ketaksamaan $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ membandingkan [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $b$ dan $a \times (n - 1)$:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

dan menambahkan $a - b$ pada kedua ruasnya memberi $a > a \times n - b$. Jadi sesudah tiap langkah rakusnya, [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) (pertanyaan 12) adalah bilangan bulat yang benar-benar lebih kecil daripada sebelumnya. Bilangan bulat tidak dapat turun secara tegas selamanya: sesudah paling banyak $a$ langkah, [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) berpembilang $1$ — yaitu [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) satuan — atau bernilai $0$, dan caranya berhenti.

**14.** Dengan [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama $18$:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

yang *lebih kecil daripada* $1$: wasiatnya melupakan $\frac{1}{18}$ kawanannya. Celah itulah seluruh triknya. Dari $18$ ekor unta, bagian $\frac12$, $\frac13$, $\frac19$ adalah bilangan bulat $9$, $6$ dan $2$, yang berjumlah $9 + 6 + 2 = 17$: persis kawanannya, dan unta kedelapan belasnya pulang. Dan tidak ada yang dapat mengeluh: dari $17$ ekor unta, wasiatnya menjanjikan $\frac{17}{2} = 8.5$, lalu $\frac{17}{3} \approx 5.67$, lalu $\frac{17}{9} \approx 1.89$ ekor unta, dan tiap anaknya menerima benar-benar lebih banyak ($9$, $6$ dan $2$). Yang terlupakan, $\frac{1}{18}$, adalah yang untuk sementara diisi unta tetangganya.

**15.** Pertanyaan 4 menyediakan wasiat yang sudah diperbaiki:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

Bagiannya berupa bilangan bulat kalau besar kawanannya [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $2$, [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $3$ dan [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $6$ — yaitu [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $6$. Kawanan terkecil seperti itu adalah $6$ ekor unta: bagiannya $3$, $2$ dan $1$, dan tidak ada yang tersisa.