--- title: "Pangkat" book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah" subject: math language: id chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat --- # Bab 56 — Pangkat Lipatlah selembar kertas menjadi dua sebanyak $10$ kali (kalau kamu bisa!): tebalnya berlipat dua setiap kali, dan $10$ kali pelipatan mengalikannya dengan $2^{10} = 1024$. Pangkat adalah singkatan perkalian berulang; bab ini menyiapkan notasinya dan aturannya, dengan peran khusus untuk pangkat $10$. ## 56.1 Definisi **Definisi 56.1 (Pangkat).** Untuk sebuah bilangan $a$ dan bilangan bulat $n \geq 1$: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ faktor}}, $$ dibaca “$a$ pangkat $n$”; $a$ adalah *bilangan pokoknya*, $n$ adalah *eksponennya*. Nama khusus: $a^2$ adalah “$a$ kuadrat”, $a^3$ adalah “$a$ pangkat tiga”. Menurut kesepakatan: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **Contoh 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$; $10^3 = 1000$; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$; $(-2)^3 = -8$ dan $(-2)^4 = +16$ ([Contoh 54.5](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#ex-g8-negprod-powers)). Hati-hati: $a^n$ *bukan* $a \times n$: $2^5 = 32$, bukan $10$. ![Pangkat 2: tiap batangnya dua kali batang sebelumnya. Pertumbuhan lewat perkalian berulang melesat jauh lebih cepat daripada pertumbuhan lewat penjumlahan berulang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *Pangkat $2$: tiap batangnya dua kali batang sebelumnya. Pertumbuhan lewat perkalian berulang melesat jauh lebih cepat daripada pertumbuhan lewat penjumlahan berulang.* ## 56.2 Aturan eksponen **Teorema 56.3 (Aturan eksponen).** Untuk bilangan pokok $a$ yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) dan [eksponen](#def-g8-powers-def) bilangan bulat $m$, $n$: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **Bukti dengan membilang faktornya.** $a^m \times a^n$ menjajarkan $m$ faktor $a$ yang disusul $n$ faktor lagi: seluruhnya $m + n$. $\left(a^m\right)^n$ mengulang satu blok berisi $m$ faktor sebanyak $n$ kali: $mn$ faktor. $(ab)^n$ memuat $n$ huruf $a$ dan $n$ huruf $b$, yang dapat dikelompokkan ulang. Aturan [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) datang dari mencoret $n$ faktor dari $m$ faktornya; dengan kesepakatan $a^0 = 1$ dan $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, aturan itu tetap benar bahkan ketika $n \geq m$. ∎ **Contoh 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ Sebuah jebakan: aturannya berlaku untuk *bilangan pokok yang sama* (atau [eksponen](#def-g8-powers-def) yang sama, untuk yang terakhir). Tidak ada aturan yang menyederhanakan $2^3 \times 5^2$ — hitung saja: $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 Pangkat sepuluh **Proposisi 56.5 (Pangkat sepuluh).** Untuk $n \geq 1$: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$, dan $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. Aturan [eksponennya](#def-g8-powers-def) berbunyi: mengalikan pangkat sepuluh berarti menjumlahkan [eksponennya](#def-g8-powers-def). **Contoh 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. Besaran yang besar dan yang kecil menjadi terbaca: $$ \text{satu miliar} = 10^9, \qquad \text{satu per sejuta} = 10^{-6}. $$ Digabung dengan desimal: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ dan $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (geserlah [titik desimalnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/25-persepuluhan-dan-perseratusan#def-g4-decimals-point), [Proposisi 38.7](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#prop-g6-decimals-shift)). Pemakaian penulisan ini secara sistematis — *notasi ilmiah* — dikembangkan pada [Bab 63](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat#ch-g9-fractions). **Contoh 56.7 (Orde besaran).** Cahaya menempuh kira-kira $3 \times 10^8$ m/s; satu tahun punya kira-kira $3.2 \times 10^7$ detik. Jadi satu tahun cahaya kira-kira $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — sepuluh juta miliar meter. Pangkat sepuluh membuat perhitungan astronomi muat dalam satu baris. **Metode 56.8 (Menyederhanakan bentuk berpangkat).** 1. Kelompokkan faktornya menurut bilangan pokoknya; 2. terapkan aturan [eksponennya](#def-g8-powers-def) di dalam tiap bilangan pokoknya; 3. hitunglah pangkat kecil yang tersisa, atau biarkan jawabannya berupa pangkat kalau nilainya besar. **Contoh 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 Latihan **Latihan 56.1 ★.** Hitunglah: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **Solusi Latihan 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **Latihan 56.2 ★.** Hitunglah: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **Solusi Latihan 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **Latihan 56.3 ★.** Tulislah sebagai satu pangkat: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **Solusi Latihan 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ ([eksponennya](#def-g8-powers-def) sama: kalikan bilangan pokoknya). **Latihan 56.4 ★.** Tulislah sebagai [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places): $10^{-2}$; $4 \times 10^3$; $2.5 \times 10^{-4}$; $10^0$. **Solusi Latihan 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **Latihan 56.5 ★.** Tulislah dengan pangkat sepuluh: seratus ribu; sepersepuluh; sepuluh miliar; $0.000\,001$. **Solusi Latihan 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **Latihan 56.6 ★.** Sederhanakan, lalu hitunglah: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **Solusi Latihan 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **Latihan 56.7 ★.** Benar atau salah? Perbaikilah yang salah. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **Solusi Latihan 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *salah* — [eksponennya](#def-g8-powers-def) dijumlahkan: $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$: *salah* — tidak ada aturan untuk [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def): $25 + 125 = 150$, sedangkan $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$: *benar*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *benar* — keduanya sama dengan $10^6$ (kiri: $10^{3+3}$; kanan: $(10^2)^3$). **Latihan 56.8 ★★.** Sebuah kabar burung menyebar: pada hari 1, tiga orang mengetahuinya; setiap hari, tiap orang yang mengetahuinya memberi tahu tiga orang baru. Tulislah dengan pangkat banyaknya orang *baru* yang diberi tahu pada hari $4$, lalu hitunglah berapa orang yang mengetahui kabar itu pada akhir hari 4 (termasuk ketiga orang pertamanya). **Solusi Latihan 56.8.** Orang baru pada hari $4$: masing-masing dari $3^3 = 27$ orang yang diberi tahu pada hari 3 memberi tahu tiga orang lain: $3^4 = 81$. Yang mengetahuinya pada akhir hari 4: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ orang. **Latihan 56.9 ★★.** Selembar kertas tebalnya $0.1$ mm, yaitu $10^{-4}$ m. Melipatnya membuat tebalnya berlipat dua setiap kali. 1. Nyatakan tebalnya sesudah $10$ lipatan sebagai [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) , lalu hitunglah dalam sentimeter ( $2^{10} = 1024$ ). 2. Sesudah $42$ lipatan tebalnya akan menjadi $2^{42} \times 10^{-4}$ m, dengan $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Tunjukkan bahwa itu melampaui jarak Bumi–Bulan, yang kira-kira $3.8 \times 10^8$ m. **Solusi Latihan 56.9.** *1.* Tebalnya: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, lebih besar daripada $3.8 \times 10^8$ m: sesudah $42$ lipatan (secara teori!), gumpalan kertasnya akan melewati Bulan. **Latihan 56.10 ★★.** Urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, tanpa kalkulator: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (Hitunglah masing-masing; $2^{10}$ dan $10^3$ adalah tetangga yang terkenal.) **Solusi Latihan 56.10.** $2^{10} = 1024$; $10^3 = 1000$; $3^6 = 729$; $5^4 = 625$. Urutannya: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **Latihan 56.11 ★★★.** Mana yang lebih besar, $2^{100}$ atau $10^{30}$? Pakailah $2^{10} = 1024 > 10^3$ untuk membandingkan $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ dengan $\left(10^3\right)^{10}$. **Solusi Latihan 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ dan $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. Karena $1024 > 1000$, mengalikan sepuluh salinan masing-masing menjaga ketaksamaannya: $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 Soal: Papan catur dan pangkat dua **Soal 56.1.** Soal akhir pekan — [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) geometri $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, dari legenda yang terkenal sampai bilangan biner Legendanya: sebagai hadiah karena menciptakan catur, si bijak Sissa meminta kepada rajanya satu butir gandum pada petak pertama papannya, dua pada petak kedua, empat pada petak ketiga — berlipat dua dari petak ke petak, sampai petak keenam puluh empat. Rajanya menertawakan kesederhanaan itu. Soal ini menghitung apa yang dijanjikan rajanya, dengan aturan [eksponen](#def-g8-powers-def) [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules), lalu berakhir di tempat yang diam-diam dituju kisahnya: bilangan biner di dalam setiap komputer. **Bagian I — Trik pelipatduaan.** Untuk $n \geq 1$, misalkan $S_n$ banyaknya seluruh butir gandum pada $n$ petak pertamanya. 1. Nyatakan banyaknya butir pada petak $k$ sebagai pangkat $2$ . Pangkat yang mana yang duduk pada petak $64$ ? 2. Hitunglah $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ dan $S_5$ , lalu bandingkan masing-masing dengan pangkat $2$ yang terdekat. Dugalah rumus untuk $S_n$ . 3. *Trik pelipatduaan*: tulislah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $S_n$ dan $2 \times S_n$ yang satu di bawah yang lain, kurangkan, lalu buktikan dugaanmu: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. Berapa butir gandum yang dijanjikan rajanya seluruhnya? Nyatakan jawabannya dengan pangkat $2$ , lalu lengkapi catatan klasiknya: “seluruh papannya memuat satu butir lebih sedikit daripada yang akan dimuat satu petak keenam puluh lima saja.” 5. Tunjukkan bahwa separuh kedua papannya (petak $33$ sampai $64$ ) memuat *tepat* $2^{32}$ kali sebanyak butir separuh pertamanya. **Bagian II — Seberapa besarkah $2^{64}$?** Perbandingan $2^{10} = 1024 > 10^3$ pada [Latihan 56.11](#exo-g8-powers-11) adalah kunci semua taksiran di bawah ini. 6. Tunjukkan bahwa $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. Satu butir gandum beratnya kira-kira $0.05$ g, yaitu $5 \times 10^{-2}$ g. Tunjukkan bahwa gandum yang dijanjikan itu beratnya lebih dari $8 \times 10^{17}$ g, lalu ubahlah menjadi ton ( $1$ ton $= 10^6$ g). 8. Seluruh dunia saat ini memanen kira-kira $8 \times 10^8$ ton gandum tiap tahunnya. Sedikitnya berapa tahun panen dunia yang dijanjikan rajanya? 9. Carilah bilangan bulat terkecil $n$ sehingga $2^n > 10^6$ — yaitu berapa kali pelipatduaan yang diperlukan untuk melampaui satu juta. (Hitunglah $2^{19}$ dan $2^{20}$ dengan persis, memakai $2^{10} = 1024$ .) 10. Seorang penipu menawarimu gaji sebulan: $1$ sen pada hari $1$ , lalu dua kali bayaran hari sebelumnya pada tiap harinya. Pada hari yang mana bayaran *harian* nya saja pertama kali melampaui satu juta euro ( $10^8$ sen)? (Hitunglah $2^{26}$ dan $2^{27}$ dengan persis.) **Bagian III — Timbangan biner.** Seorang pedagang punya lima anak timbangan: $1$, $2$, $4$, $8$ dan $16$ gram, masing-masing satu. Ia menaruh beberapa di antaranya pada satu piring neraca untuk menimbang barang di piring yang lain. 11. Anak timbangan mana yang ditaruhnya untuk menimbang $21$ g? Untuk menimbang $27$ g? 12. Jelaskan mengapa sasaran $16$ g atau lebih *harus* memakai anak timbangan $16$ g, dan mengapa sasaran $15$ g atau kurang *tidak boleh* memakainya. (Pertanyaan 3 memberi tahu berapa paling banyak yang dapat dicapai anak timbangan $1, 2, 4, 8$ .) Jelaskan mengapa penalaran yang sama berulang dengan anak timbangan terbesar berikutnya, pada setiap tahapnya. 13. Simpulkan bahwa setiap sasaran bulat dari $1$ sampai $31$ g dapat ditimbang, dan *dengan tepat satu cara* : setiap bilangan antara $1$ dan $31$ adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) pangkat $2$ yang berbeda-beda dengan cara yang tunggal. 14. Pedagangnya membeli anak timbangan keenam, seberat $32$ g. Sampai sasaran berapa ia kini dapat menimbang? Tulislah $45$ g sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) pangkat $2$ yang berbeda-beda. 15. Di dalam komputer, bilangan “64-bit” disimpan pada $64$ petak, masing-masing memuat $0$ atau $1$ — petak $k$ menyumbang $2^{k-1}$ ketika ia memuat $1$ , seperti butir gandum pada legendanya. Dengan memakai Bagian I, jelaskan mengapa bilangan bulat yang dapat disimpan mesin seperti itu berjalan tepat dari $0$ sampai $2^{64} - 1$ . **Solusi Soal 56.1.** **1.** Butirnya berlipat dua dari petak ke petak bermula dari $1 = 2^0$: petak $k$ memuat $2^{k-1}$ butir ([Definisi 56.1](#def-g8-powers-def)). Petak $64$ memuat $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$: selalu satu kurang daripada pangkat $2$ berikutnya ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$). Dugaan: $S_n = 2^n - 1$. **3.** Melipatduakan tiap suku $S_n$ menggeser tiap pangkatnya naik satu ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ Dengan mengurangkan baris pertama dari baris kedua, setiap suku dari $2$ sampai $2^{n-1}$ muncul pada keduanya lalu saling meniadakan: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{yaitu}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** Seluruhnya $S_{64} = 2^{64} - 1$ butir. Petak keenam puluh lima akan memuat $2^{64}$ butir: seluruh papannya membawa tepat satu butir lebih sedikit daripada yang akan dimuat satu petak itu. **5.** Separuh pertamanya memuat $S_{32} = 2^{32} - 1$ butir. Seluruh papannya memuat $2^{64} - 1$, jadi separuh keduanya memuat $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ (faktorkan $2^{32}$, memakai $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$, [Teorema 56.3](#thm-g8-powers-rules)): tepat $2^{32}$ kali separuh pertamanya. **6.** Menurut aturan [eksponennya](#def-g8-powers-def), $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. Karena $2^{10} = 1024 > 10^3$, $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** Lebih dari $1.6 \times 10^{19}$ butir yang masing-masing $5 \times 10^{-2}$ g: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ Dengan membaginya dengan $10^6$ g tiap ton: lebih dari $8 \times 10^{11}$ ton — delapan ratus miliar ton. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: rajanya menjanjikan sedikitnya *seribu tahun* panen seluruh dunia pada masa kini. (Legendanya bercerita bahwa para penasihatnya memberi tahu dia demikian.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, sedangkan $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. Jadi [eksponen](#def-g8-powers-def) terkecilnya adalah $n = 20$: dua puluh kali pelipatduaan melampaui satu juta. **10.** Bayaran pada hari $n$ adalah $2^{n-1}$ sen (hari 1: $2^0 = 1$). Sekarang $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ Jadi bayaran hariannya pertama kali melampaui $10^8$ sen ketika $n - 1 = 27$: yaitu pada hari $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: anak timbangan $16$, $4$ dan $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: anak timbangan $16$, $8$, $2$ dan $1$ g. **12.** Menurut pertanyaan 3, anak timbangan $1, 2, 4, 8$ bersama-sama beratnya $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Jadi tanpa anak timbangan $16$ g pedagangnya tidak dapat melampaui $15$ g: sasaran $16$ g atau lebih harus memakainya. Dan sasaran $15$ g atau kurang tidak boleh memakainya, karena anak timbangan $16$ g sendirian sudah melampaui sasarannya. Karena itu pemilihan anak timbangan yang terbesar bersifat *terpaksa*. Yang tersisa adalah sasaran paling banyak $15$ g yang harus disusun dengan $1, 2, 4, 8$ — dan penalaran yang sama berulang: $8$ terpaksa (dipakai kalau sasaran [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $\geq 8$, tidak dipakai kalau bukan, karena $1 + 2 + 4 = 7$), lalu $4$ (karena $1 + 2 = 3$), lalu $2$, lalu $1$. **13.** Dengan mengikuti pilihan yang terpaksa itu, sasaran yang tersisa sesudah tiap tahapnya paling banyak sama dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) anak timbangan yang tersisa, jadi prosesnya berakhir dengan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$: setiap sasaran dari $1$ sampai $31$ tercapai. Dan karena setiap pilihan sepanjang jalannya terpaksa, tidak ada pilihan anak timbangan lain yang mencapai sasaran yang sama: penulisan setiap bilangan dari $1$ sampai $31$ sebagai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) pangkat $2$ yang berbeda-beda ada dan *tunggal*. **14.** Keenam anak timbangannya berjumlah $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, dan penalaran pilihan terpaksa yang sama mencakup setiap sasaran dari $1$ sampai $63$ g. Untuk $45$: sasarannya $\geq 32$, jadi pakailah $32$; tersisa $13 < 16$, jadi lewati $16$; pakailah $8$ (tersisa $5$), pakailah $4$ (tersisa $1$), lewati $2$, pakailah $1$: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** Memilih $0$ atau $1$ pada masing-masing dari $64$ petaknya berarti memilih pangkat $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ yang mana yang dimasukkan ke dalam sebuah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) — persis penimbangan pedagangnya dengan $64$ anak timbangan. Bilangan terkecil yang dapat disimpan adalah $0$ (semua petaknya bernilai $0$); yang terbesar adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) *semua* pangkatnya, yaitu total milik rajanya: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (Bagian I). Menurut penalaran pilihan yang terpaksa, setiap bilangan bulat di antaranya tercapai tepat sekali: mesin $64$-bit menyimpan persis bilangan bulat dari $0$ sampai $2^{64} - 1$.