---
title: "Perhitungan Aljabar dan Persamaan"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 57
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan
---

# Bab 57 — Perhitungan Aljabar dan Persamaan

Kelas 7 memperkenalkan huruf lalu menyederhanakan bentuk yang sederhana ([Bab 48](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/48-bentuk-aljabar#ch-g7-literal)). Bab ini menambahkan dua keterampilan yang membuat aljabar menjadi kuat: *menjabarkan* [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) tanda kurung, dan *menyelesaikan [persamaan](#def-g8-equations-def)* — mencari bilangan yang bersembunyi di balik hurufnya.

## 57.1 Menjabarkan

**Teorema 57.1 (Sifat distributif tunggal dan ganda).**

Untuk semua bilangan:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Bukti.** Aturan yang pertama adalah [Teorema 45.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/45-urutan-operasi-hitung#thm-g7-priorities-distributivity) (termasuk tandanya: $k$ dan sukunya boleh negatif, [Bab 54](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#ch-g8-negprod)). Untuk yang kedua, terapkan aturan pertamanya dua kali, dengan memperlakukan $(c + d)$ sebagai satu bilangan:

$$
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd .
\qedhere
$$

∎

**Contoh 57.2.**

Perhatikan tandanya pada tiap sukunya:

$$
\begin{align*}
3(2x - 5) &= 6x - 15, \\
-2(4x - 7) &= -8x + 14
&& \text{(minus membalik kedua tandanya)}, \\
(x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\
(2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 .
\end{align*}
$$

![Sifat distributif ganda sebagai luas: persegi panjang (a+b) × (c+d) terbelah menjadi empat persegi panjang yang lebih kecil — satu untuk tiap suku penjabarannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg)

*Sifat distributif ganda sebagai luas: persegi panjang $(a+b) \times (c+d)$ terbelah menjadi empat persegi panjang yang lebih kecil — satu untuk tiap suku penjabarannya.*

**Metode 57.3 (Menjabarkan dan menyederhanakan).**

1. Jabarkan setiap [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) , dengan menulis tiap suku beserta tandanya;
2. kumpulkan suku sejenisnya ( $x^2$ dengan $x^2$ , $x$ dengan $x$ , bilangan dengan bilangan);
3. periksalah dengan sebuah nilai: sulihkan misalnya $x = 2$ pada bentuk aslinya dan pada hasilnya — hasil yang sama menangkap sebagian besar kekeliruan.

## 57.2 Menyelesaikan persamaan

**Definisi 57.4 (Persamaan).**

*Persamaan* adalah kesamaan yang memuat sebuah bilangan yang belum diketahui, yang ditulis $x$ (atau huruf apa pun). *Menyelesaikannya* berarti mencari semua nilai $x$ yang membuat kesamaannya benar — yaitu *penyelesaiannya*.

**Teorema 57.5 (Aturan keseimbangan).**

Sebuah [persamaan](#def-g8-equations-def) tetap punya penyelesaian yang persis sama ketika:

1. bilangan yang sama ditambahkan pada (atau dikurangkan dari) kedua ruasnya;
2. kedua ruasnya dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan yang sama dan *bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)* .

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Persamaan adalah neraca yang seimbang: apa pun yang dilakukan pada satu piringnya harus dilakukan pada piring yang lain, dan keseimbangannya — yaitu kesamaannya — tetap bertahan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-9f5d5673e869.svg)

*[Persamaan](#def-g8-equations-def) adalah neraca yang seimbang: apa pun yang dilakukan pada satu piringnya harus dilakukan pada piring yang lain, dan keseimbangannya — yaitu kesamaannya — tetap bertahan.*

**Metode 57.6 (Menyelesaikan persamaan berderajat satu).**

1. Jabarkan lalu sederhanakan tiap ruasnya kalau perlu;
2. tambahkan atau kurangkan pada kedua ruasnya untuk mengumpulkan suku $x$ pada satu ruas dan bilangan biasanya pada ruas yang lain;
3. sederhanakan, lalu bagilah kedua ruasnya dengan koefisien $x$ ;
4. *periksalah* dengan menyulihkan nilai yang ditemukan ke dalam [persamaan](#def-g8-equations-def) aslinya.

**Contoh 57.7.**

Selesaikan $7x - 5 = 4x + 16$:

$$
\begin{align*}
7x - 5 &= 4x + 16 \\
7x - 4x &= 16 + 5
&& \text{(tambahkan $5$, kurangkan $4x$, pada kedua ruasnya)} \\
3x &= 21 \\
x &= 7 && \text{(bagilah kedua ruasnya dengan 3).}
\end{align*}
$$

Periksa: ruas kirinya $7 \times 7 - 5 = 44$; ruas kanannya $4 \times 7 + 16 = 44$. Penyelesaiannya adalah $7$.

**Contoh 57.8 (Dengan tanda kurung dan bilangan negatif).**

Selesaikan $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$:

$$
\begin{align*}
3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(jabarkan kedua ruasnya)} \\
3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(sederhanakan)} \\
5x &= 15 && \text{(tambahkan $2x + 12$ pada kedua ruasnya)} \\
x &= 3 .
\end{align*}
$$

Periksa: $3(3 - 4) = -3$ dan $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. Penyelesaiannya: $3$.

**Metode 57.9 (Menyelesaikan soal dengan persamaan).**

1. Pilihlah bilangan yang belum diketahuinya: “misalkan $x$ adalah …” (besaran yang ditanyakan, atau besaran lain yang lebih sederhana yang berkaitan dengannya);
2. terjemahkan ceritanya menjadi sebuah [persamaan](#def-g8-equations-def) ;
3. selesaikan [persamaannya](#def-g8-equations-def) ;
4. tafsirkan: jawablah pertanyaan aslinya dalam satu kalimat, beserta satuannya, lalu periksalah jawabannya terhadap ceritanya.

**Contoh 57.10.**

Lukas $4$ tahun lebih tua daripada adik perempuannya; bersama-sama umur mereka berjumlah $26$. Misalkan $x$ umur adiknya; maka umur Lukas adalah $x + 4$, dan

$$
x + (x + 4) = 26
\ \Longrightarrow\
2x + 4 = 26
\ \Longrightarrow\
2x = 22
\ \Longrightarrow\
x = 11 .
$$

Adiknya berumur $11$, Lukas berumur $15$. Periksa: $11 + 15 = 26$ dan $15 - 11 = 4$.

## 57.3 Urutan dan pertidaksamaan

**Proposisi 57.11 (Operasi dan urutan).**

Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas sebuah pertidaksamaan mempertahankannya; mengalikan kedua ruasnya dengan bilangan *positif* mempertahankannya; mengalikan dengan bilangan *negatif* *membalikkannya*:

$$
2 < 5 \ \text{ tetapi }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 57.12.**

Selesaikan $5 - 2x \leq 11$: kurangkan $5$ pada kedua ruasnya, $-2x \leq 6$; bagilah dengan $-2$ *lalu balikkan*: $x \geq -3$. Semua bilangan yang lebih besar daripada atau sama dengan $-3$ adalah penyelesaiannya — [persamaan](#def-g8-equations-def) biasanya punya satu penyelesaian, sedangkan pertidaksamaan punya setengah garis penuh penyelesaian.

## 57.4 Latihan

**Latihan 57.1 ★.**

Jabarkan lalu sederhanakan:

$$
5(2x + 3), \qquad
-3(4x - 1), \qquad
2(3x - 2) + 4(x + 5).
$$

**Solusi Latihan 57.1.**

$5(2x + 3) = 10x + 15$.

$-3(4x - 1) = -12x + 3$.

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$.

**Latihan 57.2 ★.**

Jabarkan lalu sederhanakan:

$$
(x + 2)(x + 7), \qquad
(3x + 1)(2x - 5), \qquad
(x - 4)(x - 6).
$$

**Solusi Latihan 57.2.**

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$.

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$.

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$.

**Latihan 57.3 ★.**

Apakah $x = 3$ penyelesaian $4x - 5 = 7$? Penyelesaian $2x + 1 = x + 4$? Penyelesaian $x^2 = 6x - 9$? (Sulihkan lalu bandingkan kedua ruasnya.)

**Solusi Latihan 57.3.**

$4 \times 3 - 5 = 7$: ya. $2 \times 3 + 1 = 7$ dan $3 + 4 = 7$: ya. $3^2 = 9$ dan $6 \times 3 - 9 = 9$: ya — $x = 3$ menyelesaikan ketiganya.

**Latihan 57.4 ★.**

Selesaikan, disertai pemeriksaan:

$$
x + 9 = 4, \qquad
5x = -35, \qquad
\frac{x}{3} = 8, \qquad
2x - 7 = 13 .
$$

**Solusi Latihan 57.4.**

$x + 9 = 4$: $x = -5$ (periksa: $-5 + 9 = 4$).

$5x = -35$: $x = -7$.

$\frac x3 = 8$: $x = 24$.

$2x - 7 = 13$: $2x = 20$, $x = 10$ (periksa: $20 - 7 = 13$).

**Latihan 57.5 ★.**

Selesaikan:

$$
6x + 5 = 2x + 25, \qquad
9 - 4x = x - 11, \qquad
3(x + 2) = 2x + 11 .
$$

**Solusi Latihan 57.5.**

$6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$, jadi $x = 5$.

$9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$, jadi $x = 4$.

$3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$, jadi $x = 5$.

**Latihan 57.6 ★.**

Selesaikan $4(2x - 3) = 5(x + 6)$, dengan menjabarkannya lebih dahulu, lalu periksalah penyelesaianmu.

**Solusi Latihan 57.6.**

$8x - 12 = 5x + 30$, jadi $3x = 42$ dan $x = 14$. Periksa: $4(28 - 3) = 100$ dan $5(14 + 6) = 100$.

**Latihan 57.7 ★.**

Terjemahkan lalu selesaikan: “tiga kali sebuah bilangan, dikurangi $8$, sama dengan $19$”; “dua kali sebuah bilangan yang ditambah $5$ sama dengan bilangan itu yang ditambah $12$”.

**Solusi Latihan 57.7.**

“$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$.

“$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$.

**Latihan 57.8 ★★.**

Panjang sebuah persegi panjang $5$ cm lebih besar daripada lebarnya, dan [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $58$ cm. Misalkan $x$ lebarnya: tulislah sebuah [persamaan](#def-g8-equations-def), selesaikan, lalu sebutkan kedua ukurannya.

**Solusi Latihan 57.8.**

Lebarnya $x$, panjangnya $x + 5$; [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, jadi $4x = 48$ dan $x = 12$: lebarnya $12$ cm, panjangnya $17$ cm (periksa: $2 \times (12 + 17) = 58$).

**Latihan 57.9 ★★.**

Tiga bilangan bulat berurutan berjumlah $141$. Sebutlah yang di tengah $n$ lalu carilah ketiganya.

**Solusi Latihan 57.9.**

Bilangannya adalah $n - 1$, $n$, $n + 1$ dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $3n = 141$, jadi $n = 47$: bilangannya adalah $46$, $47$, $48$.

**Latihan 57.10 ★★.**

Selesaikan pertidaksamaannya lalu uraikan penyelesaiannya:

$$
3x + 4 > 19, \qquad
7 - 2x \geq 1, \qquad
5(x - 1) < 2x + 7 .
$$

**Solusi Latihan 57.10.**

$3x + 4 > 19$: $3x > 15$, jadi $x > 5$.

$7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$, membaginya dengan $-2$ membalikkannya: $x \leq 3$.

$5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$, jadi $3x < 12$ dan $x < 4$.

**Latihan 57.11 ★★.**

Mia punya tabungan $140$ euro dan menambah $15$ euro tiap bulan; Tono punya $200$ euro dan menambah $10$ euro tiap bulan. Sesudah berapa bulan tabungan Mia benar-benar lebih banyak daripada tabungan Tono? (Susunlah sebuah pertidaksamaan.)

**Solusi Latihan 57.11.**

Sesudah $n$ bulan, Mia punya $140 + 15n$ dan Tono punya $200 + 10n$. Mia unggul ketika

$$
140 + 15n > 200 + 10n
\ \Longleftrightarrow\
5n > 60
\ \Longleftrightarrow\
n > 12 :
$$

mulai dari bulan yang ke-$13$.

**Latihan 57.12 ★★★.**

Selesaikan [persamaan](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$. (Kalikan kedua ruasnya dengan $20$, yaitu [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersamanya, lalu lanjutkan seperti biasa; periksalah penyelesaianmu pada [persamaan](#def-g8-equations-def) aslinya.)

**Solusi Latihan 57.12.**

Kalikan kedua ruasnya dengan $20$:

$$
5(x + 3) = 4(2x - 1)
\ \Longrightarrow\
5x + 15 = 8x - 4
\ \Longrightarrow\
19 = 3x
\ \Longrightarrow\
x = \frac{19}{3}.
$$

Periksa: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} =
\frac73$, dan $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} =
\frac{35}{15} = \frac73$. Sama: penyelesaiannya $\frac{19}{3}$.

## 57.5 Soal: Kesamaan istimewa dan tangga bilangan ganjil

**Soal 57.1.**

Soal akhir pekan — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$, dan jumlah $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

Tiga penjabaran muncul begitu sering sehingga aljabar hafal di luar kepala: ketiganya disebut *kesamaan istimewa*. Soal ini menurunkannya dari sifat distributif ganda ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)), mengubahnya menjadi kekuatan super untuk berhitung di kepala, memakainya untuk membuktikan kenyataan yang indah tentang [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), lalu berakhir dengan menyelesaikan [persamaan](#def-g8-equations-def) jenis yang sama sekali baru: [persamaan](#def-g8-equations-def) yang memuat kuadrat.

**Bagian I — Ketiga kesamaannya.**

1. Jabarkan $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ lalu sederhanakan, untuk membuktikan $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$
2. Buktikan dengan cara yang sama kedua saudaranya: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,  \qquad  (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$
3. Gambarlah persegi bersisi $a + b$ , belahlah tiap sisinya menjadi $a$ dan $b$ , lalu potonglah perseginya menjadi empat keping. Keping yang mana pada kesamaan pertamanya yang diwakili tiap bagian gambarnya?
4. Berhitung di kepala: pakailah kesamaannya untuk menghitung, tanpa menyusun perkalian apa pun, $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$
5. Sebuah jebakan klasik: Zahra menulis “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”. Ujilah rumusnya dengan $a = 3$ , $b = 4$ , lalu jelaskan pada gambar pertanyaan 3 keping yang mana persisnya yang dilupakan rumusnya.

**Bagian II — Tangga [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd).**

6. Hitunglah $1$ , lalu $1 + 3$ , lalu $1 + 3 + 5$ , lalu $1 + 3 + 5 + 7$ , lalu $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Apa yang kamu perhatikan pada hasilnya?
7. Jelaskan mengapa [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) yang ke- $n$ adalah $2n - 1$ (periksa: $n = 1, 2, 3$ memberi $1, 3, 5$ ).
8. Pakailah salah satu kesamaan Bagian I untuk menjabarkan lalu menyederhanakan $(n + 1)^2 - n^2$ . Apa hubungan hasilnya dengan pertanyaan 7?
9. Pertanyaan 8 berkata: untuk berpindah dari persegi bersisi $n$ ke persegi bersisi $n + 1$, kita menambahkan tepat [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) berikutnya berupa sel satuan — yaitu tepi berbentuk L sepanjang dua sisinya beserta pojoknya. Bermula dari $1 = 1^2$ lalu menumbuhkan perseginya selapis demi selapis, jelaskan mengapa $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $n$ [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) pertamanya adalah persegi yang ke-$n$.
10. Simpulkan, tanpa menjumlahkannya satu demi satu: nilai $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; dan berapa [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) , mulai dari $1$ , yang berjumlah tepat $400$ .

**Bagian III — [Persamaan](#def-g8-equations-def) yang memuat kuadrat.**

11. Kenalilah sebuah kesamaan istimewa pada $x^2 + 6x + 9$ , lalu selesaikan [persamaan](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ .
12. Jelaskan, dengan memakai aturan tanda dan jarak pada [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#thm-g8-negprod-rules) , mengapa [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) dua bilangan dapat bernilai [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) *hanya kalau* salah satu faktornya [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) . Pakailah ini untuk menyelesaikan $(x - 2)(x + 5) = 0$ .
13. Selesaikan $x^2 = 49$ dengan memindahkan semuanya ke satu ruas lalu memfaktorkan $x^2 - 49$ dengan kesamaan yang ketiga. Berapa penyelesaian yang dipunyai [persamaan](#def-g8-equations-def) ini — dan apa bedanya dengan setiap [persamaan](#def-g8-equations-def) yang sudah diselesaikan pada bab ini sejauh ini?
14. Pada [Latihan 57.3](#exo-g8-equations-3) kamu memeriksa bahwa $x = 3$ adalah penyelesaian $x^2 = 6x - 9$ . Tunjukkan bahwa itulah *satu-satunya* : bawalah semuanya ke satu ruas, kenalilah sebuah kesamaan, lalu simpulkan.
15. Penutupnya: hitunglah $2026^2 - 2025^2$ di kepalamu, lalu jelaskan dengan sebuah kesamaan mengapa [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) dua kuadrat yang berurutan selalu sama dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kedua bilangannya — yang tidak lain adalah pertanyaan 8 sekali lagi.

**Solusi Soal 57.1.**

**1.** Sifat distributif ganda ([Teorema 57.1](#thm-g8-equations-expand)) dengan $c = a$, $d = b$:

$$
(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,
$$

karena $ab$ dan $ba$ adalah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang sama.

**2.** Penjabaran yang sama, dengan memperhatikan tandanya:

$$
(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,
$$

$$
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 :
$$

kali ini suku silangnya $-ab$ dan $+ba$ saling meniadakan, bukan berlipat dua.

**3.** Persegi bersisi $a + b$ terpotong menjadi empat keping: persegi $a \times a$ (yaitu $a^2$), persegi $b \times b$ (yaitu $b^2$), dan *dua* persegi panjang $a \times b$ (bersama-sama menjadi $2ab$). Kesamaan $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ menyatakan bahwa keempat luasnya memenuhi persegi besarnya — itulah gambar sifat distributif ganda dengan kedua sisinya dibelah dengan cara yang sama.

**4.** Dengan kesamaannya:

$$
\begin{align*}
101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\
99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\
49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 .
\end{align*}
$$

**5.** Untuk $a = 3$, $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$ tetapi $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Rumus Zahra melupakan kedua persegi panjang $a \times b$ pada gambarnya — yaitu $2ab = 24$ yang hilang, dan memang $25 + 24 = 49$.

**6.** $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Hasilnya adalah kuadrat sempurna $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

**7.** [Bilangan ganjilnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) bermula di $1$ lalu naik dengan langkah $2$: yang ke-$n$ tercapai sesudah $n - 1$ langkah sebesar $2$ dari $1$, jadi nilainya $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Periksa: $n = 1, 2, 3$ memberi $1, 3, 5$.

**8.** Menurut kesamaan yang pertama,

$$
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 :
$$

[selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) antara dua kuadrat yang berurutan persis [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) yang ke-$(n+1)$ (pertanyaan 7 dengan $n + 1$ menggantikan $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

**9.** Bangunlah perseginya satu demi satu. Mulailah dengan satu sel: $1 = 1^2$. Untuk berpindah dari persegi bersisi $1$ ke persegi bersisi $2$, tambahkan $2 \times 1 + 1 = 3$ sel (pertanyaan 8): $1 + 3 = 2^2$. Untuk berpindah ke sisi $3$, tambahkan $2 \times 2 + 1 = 5$ sel: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Tiap [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) yang baru persis lapisan berbentuk L yang melengkapi persegi berikutnya, jadi sesudah menambahkan $n$ [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) pertamanya persegi bersisi $n$ menjadi lengkap: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

**10.** [Bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dari $1$ sampai $99$ adalah $50$ yang pertama ($2n - 1 = 99$ memberi $n = 50$), jadi

$$
1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 .
$$

Dan $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ menuntut $n = 20$: *dua puluh* [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) pertamanya ($1$ sampai $39$) berjumlah $400$.

**11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 =
(x + 3)^2$: kesamaan pertama dengan $a = x$, $b = 3$. Jadi [persamaannya](#def-g8-equations-def) berbunyi $(x + 3)^2 = 0$. Kuadrat bernilai [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) hanya ketika bilangannya sendiri [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) ([Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#thm-g8-negprod-rules): bilangan yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) punya jarak yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), jadi kuadratnya pun punya jarak yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)). Karena itu $x + 3 = 0$: satu-satunya penyelesaiannya adalah $x = -3$.

**12.** Menurut [Teorema 54.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/54-mengalikan-bilangan-negatif#thm-g8-negprod-rules), jarak sebuah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) adalah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) kedua jaraknya. Kalau kedua faktornya bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), kedua jaraknya bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), jadi jarak [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) pun bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero): [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) tidak dapat bernilai $0$. Karena itu [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) memaksa sedikitnya satu faktornya [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero). Untuk $(x - 2)(x + 5) = 0$: entah $x - 2 = 0$ entah $x + 5 = 0$, yang memberi dua penyelesaian $x = 2$ dan $x = -5$.

**13.** $x^2 = 49$ menjadi $x^2 - 49 = 0$, dan kesamaan yang ketiga memfaktorkannya:

$$
x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 .
$$

Menurut pertanyaan 12, $x = 7$ atau $x = -7$: *dua* penyelesaian. Setiap [persamaan](#def-g8-equations-def) yang diselesaikan sejauh ini pada bab ini berderajat satu dan punya tepat satu penyelesaian; kuadrat di dalam [persamaan](#def-g8-equations-def) dapat menghasilkan dua.

**14.** Bawalah semuanya ke ruas kiri: $x^2 - 6x + 9 = 0$, lalu kenalilah kesamaan yang kedua: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Jadi [persamaannya](#def-g8-equations-def) adalah $(x - 3)^2 = 0$, yang memaksa $x - 3 = 0$ (seperti pada pertanyaan 11): $x = 3$ adalah satu-satunya penyelesaiannya — pemeriksaan [Latihan 57.3](#exo-g8-equations-3) menemukannya, dan pemfaktorannya membuktikan bahwa tidak ada yang lain.

**15.** Menurut kesamaan yang ketiga,

$$
2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025)
= 1 \times 4051 = 4\,051 .
$$

Secara umum $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) dua kuadrat yang berurutan adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kedua bilangannya — yaitu $2n + 1$ yang sama seperti pada pertanyaan 8, yang kini diperoleh dari kesamaan ketiganya, bukan dari yang pertama.