---
title: "Teorema Pythagoras"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras
---

# Bab 58 — Teorema Pythagoras

Teorema yang paling terkenal dalam seluruh matematika menghubungkan ketiga sisi [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles). Dengannya, panjang yang tidak dapat diukur langsung penggaris mana pun menjadi terhitung: diagonal, jarak, tinggi. Ini juga perjumpaan besar kita yang pertama dengan bedanya sebuah teorema dan konversnya.

## 58.1 Teoremanya

**Teorema 58.1 (Pythagoras).**

Kalau segitiga $ABC$ siku-siku di $A$, maka

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

kuadrat sisi miringnya (yaitu sisi di seberang [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle)) sama dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kuadrat kedua sisi lainnya.

**Gagasan buktinya.** Empat salinan segitiganya, yang disusun di dalam persegi besar bersisi $AB + AC$, menyisakan persegi miring yang terbangun pada sisi miringnya tanpa tertutupi: membandingkan luasnya memberi kesamaannya. Perhitungan rincinya diusulkan sebagai [Latihan 58.11](#exo-g8-pythagoras-11); teoremanya juga menyusul dari [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) skalar, yang dipelajari di buku Sekolah Menengah. ∎

![Teoremanya sebagai pernyataan tentang luas: persegi yang terbangun pada sisi miringnya (25) punya luas yang persis sama dengan kedua persegi lainnya bersama-sama (16 + 9). Di sini sisinya 3, 4, 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*Teoremanya sebagai pernyataan tentang luas: persegi yang terbangun pada sisi miringnya ($25$) punya luas yang persis sama dengan kedua persegi lainnya bersama-sama ($16 + 9$). Di sini sisinya $3$, $4$, $5$.*

**Metode 58.2 (Menghitung sebuah panjang).**

Pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang dua sisinya diketahui:

1. sebutkan sisi miringnya (yang di seberang [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) — selalu sisi yang terpanjang);
2. tulislah kesamaan [Teorema 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) dengan nilai yang diketahui;
3. carilah kuadrat yang hilang: *jumlahkan* kuadratnya kalau sisi miringnya belum diketahui, *kurangkan* kalau sisi siku-sikunya yang belum diketahui;
4. ambillah akar kuadratnya, secara persis atau dengan kalkulator, lalu periksalah bahwa sisi miringnya keluar sebagai yang terpanjang.

**Contoh 58.3 (Mencari sisi miringnya).**

Sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) punya sisi siku-siku $6$ dan $8$. Sisi miringnya $c$:

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(Bilangan $\sqrt{100}$, yaitu *akar kuadrat* $100$, adalah bilangan positif yang kuadratnya $100$; akar kuadrat memperoleh satu bab penuh pada [Bab 65](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/65-akar-kuadrat#ch-g9-sqrt).)

**Contoh 58.4 (Mencari sisi siku-siku).**

Tangga sepanjang $5$ m bersandar pada tembok, kakinya $1.4$ m dari tembok. Tinggi yang tercapai $h$: tangganya adalah sisi miringnya, jadi

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

Kurangkan, bukan jumlahkan: yang belum diketahui di sini adalah *sisi siku-siku*.

## 58.2 Konversnya

**Teorema 58.5 (Konvers Pythagoras).**

Kalau, pada segitiga $ABC$, sisinya memenuhi $BC^2 = AB^2 + AC^2$, maka segitiganya siku-siku di $A$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Metode 58.6 (Menguji sudut siku-siku).**

Diberikan ketiga sisi sebuah segitiga:

1. hitunglah secara terpisah kuadrat sisi terpanjangnya, dan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kuadrat kedua sisi lainnya;
2. kalau kedua hasilnya sama, segitiganya siku-siku (menurut konversnya), di [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang di seberang sisi terpanjangnya;
3. kalau keduanya berbeda, segitiganya tidak siku-siku — karena teorema Pythagoras akan memaksa kesamaannya.

**Contoh 58.7.**

Sisi $5$, $12$, $13$: kuadrat sisi terpanjangnya, $13^2 = 169$; [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) kuadrat sisi lainnya, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Sama: siku-siku (di seberang sisi $13$).

Sisi $6$, $7$, $9$: $9^2 = 81$ tetapi $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$: bukan [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) (ia “hampir” siku-siku — bilangannya yang memutuskan, bukan matanya).

**Catatan 58.8 (Teorema melawan konversnya).**

Teoremanya dan konversnya mengatakan hal yang berbeda: teoremanya *memakai* [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) untuk menghitung panjang; konversnya memakai panjang untuk *membuktikan* adanya [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle). Tukang bangunan sudah memakai konversnya selama ribuan tahun: tali bersimpul pada satuan $3$, $4$, $5$ yang ditarik tegang memberi [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) yang sempurna.

**Contoh 58.9 (Diagonal sebuah persegi).**

Diagonal persegi bersisi $1$ adalah sisi miring [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi siku-siku $1$ dan $1$:

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

jadi $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — bilangan yang bukan [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def), seperti yang akan dibuktikan buku Sekolah Menengah. Untuk persegi bersisi $c$, diagonalnya adalah $c\sqrt2$.

## 58.3 Latihan

**Latihan 58.1 ★.**

Pada tiap [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) ini, hitunglah sisi miringnya: sisi siku-siku $9$ dan $12$; $5$ dan $12$; $8$ dan $15$.

**Solusi Latihan 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**Latihan 58.2 ★.**

Sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) punya sisi miring $25$ dan satu sisi siku-siku $7$. Hitunglah sisi siku-siku yang lain.

**Solusi Latihan 58.2.**

Sisi siku-siku$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, jadi sisi siku-sikunya adalah $\sqrt{576} = 24$.

**Latihan 58.3 ★.**

Hitunglah diagonal persegi panjang bersisi $12$ cm dan $9$ cm; lalu diagonal persegi bersisi $5$ cm (nilai persisnya dengan akar kuadrat, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke mm).

**Solusi Latihan 58.3.**

Persegi panjang: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} =
15$ cm.

Persegi: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm ([Contoh 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**Latihan 58.4 ★.**

Segitiga yang mana yang siku-siku? Berilah alasan dengan [Metode 58.6](#met-g8-pythagoras-test):

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**Solusi Latihan 58.4.**

$(20, 21, 29)$: $29^2 = 841$ dan $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$: siku-siku.

$(7, 8, 11)$: $121 \neq 49 + 64 = 113$: bukan siku-siku.

$(1.5, 2, 2.5)$: $6.25 = 2.25 + 4$: siku-siku (ini $(3,4,5)$ yang dibagi dua).

**Latihan 58.5 ★.**

Sebuah pintu gerbang diperkuat papan menyilang. Lebar gerbangnya $3$ m dan tingginya $1.6$ m: berapa panjang papannya?

**Solusi Latihan 58.5.**

Papannya $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

**Latihan 58.6 ★.**

Sebuah [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) punya dua sisi $10$ cm dan alas $12$ cm. Tingginya membelahnya menjadi dua [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles): hitunglah tinggi itu, lalu luas segitiganya.

**Solusi Latihan 58.6.**

Tingginya jatuh di titik tengah alasnya (karena [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles)), jadi tiap setengah segitiganya punya sisi miring $10$ dan satu sisi siku-siku $6$: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Luasnya: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm$^2$.

**Latihan 58.7 ★★.**

Layar televisi adalah persegi panjang $16{:}9$ berukuran $88.5$ cm kali $49.8$ cm. Layar dijual menurut diagonalnya, dalam inci ($1$ inci $= 2.54$ cm). Hitunglah diagonalnya dalam cm, lalu dalam inci ([bulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke inci terdekat).

**Solusi Latihan 58.7.**

Diagonalnya: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. Dalam inci: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ inci.

**Latihan 58.8 ★★.**

Sebuah perahu berlayar $24$ km ke timur, lalu $10$ km ke utara. Berapa jarak perahunya dari titik awalnya (lurus menyeberang)? Gambarlah keadaannya lebih dahulu.

**Solusi Latihan 58.8.**

Kedua sisi siku-sikunya $24$ km dan $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

**Latihan 58.9 ★★.**

Tangga sepanjang $2.5$ m harus mencapai ambang jendela $2.4$ m di atas tanah. Berapa jauh dari tembok kakinya harus diletakkan? Apakah jawabannya cocok dengan anjuran keselamatan (kakinya kira-kira [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) panjang tangganya dari tembok)?

**Solusi Latihan 58.9.**

Jarak kakinya: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ m. [Seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) panjang tangganya adalah $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: $0.7$ m yang ditemukan dekat dengan letak yang dianjurkan — dapat diterima.

**Latihan 58.10 ★★.**

Pada kisi berkoordinat, gambarlah $A(1, 2)$ dan $B(5, 5)$, lalu gambarlah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang sisi siku-sikunya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan sumbunya dan sisi miringnya $[AB]$. Hitunglah $AB$. (Pelukisan ini, untuk dua titik mana pun, menjadi rumus jarak pada geometri berkoordinat, di buku Sekolah Menengah.)

**Solusi Latihan 58.10.**

Sisi siku-sikunya berukuran $5 - 1 = 4$ (mendatar) dan $5 - 2 = 3$ (tegak), jadi

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**Latihan 58.11 ★★★.**

Empat salinan [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi siku-siku $a$, $b$ dan sisi miring $c$ diletakkan di pojok persegi bersisi $a + b$, sehingga menyisakan persegi miring bersisi $c$ tanpa tertutupi di tengahnya.

1. Nyatakan luas persegi besarnya dengan dua cara: secara langsung, dan sebagai (empat segitiga) $+$ (persegi miring).
2. Jabarkan $(a + b)^2$ (lihat [Teorema 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#thm-g8-equations-expand) ) lalu simpulkan $c^2 = a^2 + b^2$ : kamu sudah membuktikan teorema Pythagoras.

**Solusi Latihan 58.11.**

*1.* Secara langsung: $(a + b)^2$. Sebagai kepingan: empat segitiga yang luasnya $\frac{ab}{2}$ masing-masing, ditambah persegi miringnya $c^2$:

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* Dengan menjabarkan ruas kirinya: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Jadi

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 Soal: Tripel Pythagoras

**Soal 58.1.**

Soal akhir pekan — segitiga siku-siku berbilangan bulat, dan kesamaan $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ yang membangkitkan semuanya

*Tripel Pythagoras* adalah tripel bilangan bulat $(a, b, c)$ dengan

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

seperti $(3, 4, 5)$ milik tukang bangunan. Sebuah lempeng tanah liat Babilonia mendaftar tripel yang raksasa — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ di antaranya — lebih dari seribu tahun sebelum Pythagoras. Soal ini memburu tripel, lalu membangun mesin yang menghasilkannya: sebuah kesamaan aljabar yang langsung datang dari [Bab 57](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#ch-g8-equations), yang dipekerjakan untuk melayani geometri.

**Bagian I — Memburu tripel.**

1. Periksalah bahwa $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ dan $(20, 21, 29)$ adalah [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) . Apa yang dikatakan [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) tentang segitiga yang panjang sisinya demikian?
2. Jelaskan mengapa tali tegang dengan dua belas ruas yang sama, yang ditata sebagai segitiga bersisi $3$ , $4$ dan $5$ ruas, memberi tukang bangunan [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) yang sempurna.
3. Tunjukkan bahwa kalau $(a, b, c)$ [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) , maka $(ka, kb, kc)$ juga, untuk setiap bilangan bulat $k \geq 1$ . Simpulkan tiga tripel baru dari $(3, 4, 5)$ .
4. [Kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $(3, 4, 5)$ adalah tripel $(3k, 4k, 5k)$ . Tunjukkan bahwa $(5, 12, 13)$ *bukan* salah satunya.
5. Jelaskan mengapa pertanyaan 3 dan 4 bersama-sama membuktikan bahwa menskalakan $(3, 4, 5)$ tidak pernah dapat menghasilkan setiap [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) : mesin yang lain diperlukan.

**Bagian II — Mesinnya.** Ambillah dua bilangan bulat $m > n \geq 1$ lalu bentuklah ketiga bilangan

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. Dengan memakai kesamaan istimewa [Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1) (tulislah $A = m^2$ dan $B = n^2$), jabarkan $a^2$ dan $b^2$, lalu buktikan bahwa $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ mesinnya selalu mengeluarkan [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1).
7. Jalankan mesinnya pada $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ dan $(4, 3)$ , lalu tampilkan kelima tripelnya dalam sebuah tabel.
8. Satu tripel pada tabelmu adalah salinan terskala dari tripel yang lebih kecil. Yang mana, dan dari yang mana?
9. Carilah $(m, n)$ yang membuat mesinnya mengeluarkan tripel $(20, 21, 29)$ pada pertanyaan 1 (sisi siku-sikunya dalam urutan mana pun).
10. Carilah $m$ dan $n$ dengan $m^2 + n^2 = 100$ , lalu simpulkan [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) yang sisi miringnya $100$ .

**Bagian III — Keluarga, dan penutup tentang keganjilan.**

11. Jalankan mesinnya dengan $m = n + 1$ . Tunjukkan bahwa sisi siku-siku yang [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) adalah $2n + 1$ , yang [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2n^2 + 2n$ , dan sisi miringnya $2n^2 + 2n + 1$ — jadi sisi miring dan sisi siku-siku yang [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) berbeda tepat $1$ . Tulislah tripelnya untuk $n = 1, 2, 3, 4$ .
12. Simpulkan bahwa *setiap* [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ adalah sisi suatu [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) berbilangan bulat, lalu sebutkan tripel yang memuat $11$ .
13. [Bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) juga berhasil: jalankan mesinnya dengan $n = 1$ , lalu hasilkan tripel yang memuat $14$ . Lalu perolehlah tripel yang sama untuk kedua kalinya, dengan menskalakan salah satu tripel pada tabel pertanyaan 7.
14. Tunjukkan bahwa kuadrat [bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) itu [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) dan bahwa kuadrat [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) itu [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) . (Tulislah bilangannya sebagai $2k$ atau $2k + 1$ lalu pakailah sebuah kesamaan.)
15. Simpulkan penutup tentang keganjilannya: tidak ada [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) yang ketiga bilangannya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — pada setiap [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) berbilangan bulat, sedikitnya satu sisinya [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .

**Solusi Soal 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Ketiganya tripel, dan menurut [Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) segitiga yang panjang sisinya demikian adalah siku-siku, dengan [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) menghadap sisi terpanjangnya.

**2.** Talinya membentuk segitiga bersisi $3$, $4$, $5$ (dalam ruas), dan $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$: menurut konversnya ([Teorema 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse)), sudut antara sisi $3$ dan $4$ ruas itu tepat siku-siku — tanpa busur derajat, hanya dengan simpul.

**3.** Kalau $a^2 + b^2 = c^2$, maka

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

Dari $(3, 4, 5)$: misalnya $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ dan $(30, 40, 50)$.

**4.** [Kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ yang memuat $5$ sebagai bilangan terkecilnya memerlukan $3k = 5$, dan tidak ada bilangan bulat $k$ yang memenuhinya ($k = 1$ memberi $3$, $k = 2$ memberi $6$). Jadi $(5, 12, 13)$ bukan [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $(3, 4, 5)$.

**5.** Pertanyaan 3 menunjukkan bahwa penskalaan hanya menghasilkan tripel $(3k, 4k, 5k)$; pertanyaan 4 memperlihatkan tripel sungguhan yang tidak berbentuk demikian. Jadi keluarga semua [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) benar-benar lebih besar daripada [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $(3, 4, 5)$: menghasilkan semuanya menuntut sesuatu yang baru.

**6.** Tulislah $A = m^2$ dan $B = n^2$. Menurut kesamaan istimewa ([Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1)):

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

Dengan menjumlahkannya:

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** $(8, 6, 10)$ adalah dua kali $(4, 3, 5)$ — yaitu dua kali $(3, 4, 5)$ milik tukang bangunan. Mesinnya kadang menemukan kembali tripel lama dalam samaran.

**9.** Kita perlu $m^2 - n^2 = 21$ dan $2mn = 20$, jadi $mn = 10$: mencoba $m = 5$, $n = 2$ memberi $25 - 4 = 21$ dan $2 \times 10 = 20$, dengan sisi miring $25 + 4 = 29$. Mesinnya mengeluarkan $(21, 20, 29)$ untuk $(m, n) = (5, 2)$.

**10.** $m = 8$, $n = 6$ memberi $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. Tripelnya adalah

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

dan memang $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** Dengan $m = n + 1$:

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

(yaitu [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) kuadrat yang berurutan, [Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1)); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$; dan $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. Sisi miringnya melampaui sisi siku-siku yang [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) tepat $1$. Untuk $n = 1, 2, 3, 4$:

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** Setiap [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) yang sedikitnya $3$ berbentuk $2n + 1$ untuk suatu $n \geq 1$, dan pertanyaan 11 menyediakan tripel yang sisi siku-siku [ganjilnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) persis $2n + 1$. Untuk $11 = 2 \times 5 + 1$, ambillah $n = 5$:

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** Dengan $n = 1$ mesinnya memberi $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$, yang sisi siku-siku [genapnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2m$ dapat menjadi [bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) apa pun mulai dari $4$. Untuk $14 = 2 \times 7$, ambillah $m = 7$: tripelnya $(48, 14, 50)$. Tripel yang sama muncul dengan menggandakan $(7, 24, 25)$ dari tabel pertanyaan 7: $(14, 48, 50)$ — ketiga bilangan yang sama.

**14.** [Bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) berbentuk $2k$, dan $(2k)^2 = 4k^2$ itu [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ([kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $4$, jadi [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). [Bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) berbentuk $2k + 1$, dan kesamaan istimewa yang pertama memberi

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

yaitu [bilangan genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) ditambah $1$: jadi [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**15.** Andaikan $a$, $b$, $c$ semuanya [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd). Menurut pertanyaan 14, $a^2$ dan $b^2$ [ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd), jadi $a^2 + b^2$ adalah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) dua [bilangan ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *[genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Tetapi $c^2$ akan *[ganjil](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Kesamaan $a^2 + b^2 = c^2$ kalau begitu mustahil. Jadi pada setiap [tripel Pythagoras](#pb-g8-pythagoras-1) sedikitnya satu dari ketiga bilangannya [genap](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/14-bilangan-sampai-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — seperti yang dibenarkan setiap baris tabel pertanyaan 7.