---
title: "Titik Tengah dan Garis Sejajar"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 59
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar
---

# Bab 59 — Titik Tengah dan Garis Sejajar

Hubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga: [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang kamu peroleh selalu [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan sisi yang ketiga, dan panjangnya tepat setengahnya. “Teorema titik tengah” ini beserta konversnya adalah cicipan pertama sebuah gagasan besar — [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) memotong panjang secara [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/44-perbandingan-senilai-dan-data#def-g6-propdata-def) — yang mekar menjadi teorema Thales pada [Bab 68](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#ch-g9-thales).

## 59.1 Teorema titik tengah

**Teorema 59.1 (Teorema titik tengah).**

Pada segitiga $ABC$, misalkan $I$ titik tengah $[AB]$ dan $J$ titik tengah $[AC]$. Maka garis $(IJ)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$, dan

$$
IJ = \frac{BC}{2} .
$$

**Gagasan buktinya.** Misalkan $K$ titik [simetris](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-def) $I$ terhadap $J$ (yaitu setengah putaran, [Bab 52](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#ch-g7-central)). [Segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ punya diagonal $[IK]$ dan $[AC]$ yang berpotongan di titik tengah bersamanya $J$: jadi ia [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram), sehingga $KC$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $AI$, yaitu dengan $(AB)$, dan $KC = AI = IB$. Lalu $IBCK$ punya dua sisi berhadapan ($[IB]$ dan $[KC]$) yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dan sama panjang: jadi ia pun [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize)), sehingga $(IK) \parallel (BC)$ — yaitu $(IJ) \parallel (BC)$ — dan $BC = IK = 2\,IJ$. ∎

![Ruas garis titik tengah (IJ) (merah) sejajar dengan sisi ketiganya (BC) dan panjangnya setengahnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg)

*[Ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) titik tengah $[IJ]$ (merah) [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan sisi ketiganya $(BC)$ dan panjangnya setengahnya.*

**Contoh 59.2.**

Pada segitiga $ABC$ dengan $BC = 9$ cm, titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan $J$ dari $[AC]$ dihubungkan. Tanpa pengukuran apa pun: $(IJ) \parallel (BC)$ dan $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. Segitiga kecil $AIJ$ adalah salinan $ABC$ berukuran setengahnya — [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) pun setengah [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $ABC$.

**Teorema 59.3 (Konvers).**

Pada segitiga $ABC$, garis yang melalui titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan *[sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)* dengan $(BC)$ memotong sisi $[AC]$ di titik tengahnya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 59.4.**

Sebuah jalan setapak menyeberangi ladang berbentuk segitiga, bermula di tengah salah satu tepinya lalu berjalan [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan tepi yang di seberangnya. Konversnya menjamin bahwa jalannya keluar tepat di tengah tepi yang lain — tanpa perlu mengukur di sisi yang jauh.

**Metode 59.5 (Memilih antara teorema dan konversnya).**

1. *Dua titik tengah diketahui* $\Rightarrow$ pakailah teorema langsungnya: simpulkan kesejajaran dan setengah panjangnya.
2. *Satu titik tengah dan satu [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) diketahui* $\Rightarrow$ pakailah konversnya: simpulkan bahwa titik potongnya adalah titik tengah.
3. Tulislah segitiga yang mana, titik tengah yang mana dan teorema yang mana yang kamu pakai — satu kalimat untuk masing-masing.

## 59.2 Segitiga berukuran setengah

**Proposisi 59.6 (Segitiga titik tengah).**

Menghubungkan ketiga titik tengah sisi sebuah segitiga memotongnya menjadi empat segitiga yang luasnya sama, masing-masing salinan aslinya berukuran setengah.

**Bukti.** Tiap sisi segitiga titik tengahnya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan sebuah sisi $ABC$ dan panjangnya setengahnya ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), yang dipakai tiga kali). Keempat segitiga kecilnya punya sisi dengan ketiga panjang yang sama, jadi keempatnya salinan yang identik; bersama-sama keempatnya mengubin $ABC$, jadi masing-masing punya [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) luasnya. ∎

![Segitiga titik tengah IJK memotong ABC menjadi empat segitiga yang sama — gambar yang layak diingat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg)

*Segitiga titik tengah $IJK$ memotong $ABC$ menjadi empat segitiga yang sama — gambar yang layak diingat.*

**Catatan 59.7 (Menuju Thales).**

Teorema titik tengah adalah keadaan “satu setengah” dari kenyataan yang lebih umum: garis yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan salah satu sisi segitiga memotong kedua sisi lainnya dengan *perbandingan yang sama* — sepertiga dan sepertiga, dua perlima dan dua perlima … Pernyataan umum itu adalah teorema Thales ([Bab 68](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#ch-g9-thales)); keadaan titik tengahnya satu-satunya yang diperlukan tahun ini.

## 59.3 Latihan

**Latihan 59.1 ★.**

Pada segitiga $RST$, $M$ adalah titik tengah $[RS]$ dan $N$ titik tengah $[RT]$, dengan $ST = 7$ cm. Apa yang dapat dikatakan tentang garis $(MN)$ dan panjang $MN$? Sebutkan teorema yang kamu pakai.

**Solusi Latihan 59.1.**

$M$ dan $N$ adalah titik tengah dua sisi segitiga $RST$: menurut teorema titik tengah ([Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)), $(MN) \parallel (ST)$ dan $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

**Latihan 59.2 ★.**

Pada segitiga $ABC$, $I$ adalah titik tengah $[AB]$ dan garis melalui $I$ yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$ memotong $[AC]$ di $J$, dengan $AC = 11$ cm. Hitunglah $AJ$, sambil menyebut teorema yang dipakai.

**Solusi Latihan 59.2.**

$I$ adalah titik tengah dan $(IJ) \parallel (BC)$: menurut *konversnya* ([Teorema 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)), $J$ adalah titik tengah $[AC]$, jadi $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

**Latihan 59.3 ★.**

Gambarlah segitiga $ABC$ dengan $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm, letakkan titik tengah $I$ dari $[AB]$ dan $J$ dari $[AC]$, lalu ukurlah $IJ$ untuk memeriksa teoremanya. Hitunglah [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $AIJ$ tanpa mengukur apa pun lagi.

**Solusi Latihan 59.3.**

Pengukurannya memberi $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$. [Keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $AIJ$: $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$: seluruhnya $10.5$ cm — yaitu setengah [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ cm).

**Latihan 59.4 ★.**

$IJK$ adalah segitiga titik tengah $ABC$, yang sisinya berukuran $10$, $12$ dan $16$ cm. Sebutkan ketiga sisi $IJK$ dan [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter). Bagaimana perbandingan kedua [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter)?

**Solusi Latihan 59.4.**

Tiap sisi $IJK$ adalah setengah sebuah sisi $ABC$: $5$, $6$ dan $8$ cm. [Kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter): $19$ cm, yaitu setengah $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

**Latihan 59.5 ★.**

Luas sebuah segitiga adalah $36$ cm$^2$. Berapa luas segitiga titik tengahnya? Berapa luas tiap segitiga kecil dari keempatnya?

**Solusi Latihan 59.5.**

Segitiga titik tengahnya adalah salah satu dari keempat segitiga yang sama pada [Proposisi 59.6](#prop-g8-midpoints-medial): luasnya $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — dan tiap segitiga kecil dari keempatnya berluas $9$ cm$^2$.

**Latihan 59.6 ★★.**

Pada segitiga $ABC$, $I$ adalah titik tengah $[AB]$, $J$ titik tengah $[AC]$ dan $K$ titik tengah $[BC]$. Tunjukkan bahwa $IJKB$ adalah [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram). (Bandingkan $[IJ]$ dan $[BK]$: sejajarkah? samakah?)

**Solusi Latihan 59.6.**

Menurut teorema titik tengah pada $ABC$: $(IJ) \parallel (BC)$, yaitu $(IJ) \parallel (BK)$, dan $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (karena $K$ titik tengah $[BC]$). Dua sisi berhadapan $IJKB$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dan sama panjang: jadi ia [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize), kriteria 3).

**Latihan 59.7 ★★.**

Sebuah layar berbentuk segitiga punya tepi terbawah sepanjang $6.4$ m. Sebuah jahitan penguat menghubungkan titik tengah kedua tepi lainnya. Berapa panjang jahitan yang diperlukan? Bagaimana kalau jahitannya justru menghubungkan titik yang terletak pada [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) tiap tepinya, bermula dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang di atas? (Dugalah dengan gambar; buktinya milik Thales, [Bab 68](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#ch-g9-thales).)

**Solusi Latihan 59.7.**

Jahitannya menghubungkan dua titik tengah: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Pada [seperempat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-half) dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) atasnya, gambarnya menyarankan jahitan sepanjang $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya — yang dibenarkan Thales pada [Bab 68](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#ch-g9-thales).

**Latihan 59.8 ★★.**

Pada segitiga $ABC$ yang siku-siku di $A$, $M$ adalah titik tengah sisi miringnya $[BC]$, dan [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) $(AB)$ yang melalui $M$ memotong $[AC]$ di $N$.

1. Tunjukkan bahwa $N$ adalah titik tengah $[AC]$ .
2. Jelaskan mengapa $(MN)$ [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(AC)$ .

**Solusi Latihan 59.8.**

*1.* $M$ adalah titik tengah $[BC]$ dan $(MN) \parallel (AB)$: menurut konvers teorema titik tengah (pada segitiga $ABC$, sisi $[AC]$), $N$ adalah titik tengah $[AC]$.

*2.* $(MN) \parallel (AB)$ dan $(AB) \perp (AC)$ ([sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) di $A$): garis yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(AB)$ juga [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(AC)$ ([Proposisi 40.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#prop-g6-lines-facts)). Jadi $(MN) \perp (AC)$ — [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[MN]$ adalah potongan [garis sumbu](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#def-g6-symmetry-bisector) yang sekali lagi menunjukkan bahwa $MA = MC$ ([Teorema 60.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#thm-g8-cosine-circle)).

**Latihan 59.9 ★★★.**

Misalkan $ABCD$ [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) *apa pun*, dan $I$, $J$, $K$, $L$ titik tengah $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ (yaitu dugaan pada [Latihan 52.11](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#exo-g7-central-11)).

1. Terapkan teorema titik tengah pada segitiga $ABC$ untuk [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ , dan pada segitiga $ACD$ untuk [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : bandingkan masing-masing dengan diagonal $[AC]$ .
2. Simpulkan bahwa $IJKL$ selalu [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) .

**Solusi Latihan 59.9.**

*1.* Pada segitiga $ABC$, $I$ dan $J$ adalah titik tengah $[AB]$ dan $[BC]$: $(IJ) \parallel (AC)$ dan $IJ = \frac{AC}{2}$. Pada segitiga $ACD$, $L$ dan $K$ adalah titik tengah $[DA]$ dan $[CD]$: $(LK) \parallel (AC)$ dan $LK = \frac{AC}{2}$.

*2.* Jadi $[IJ]$ dan $[LK]$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) (keduanya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan diagonal $(AC)$) dan sama panjang (keduanya setengah $AC$): $IJKL$ adalah [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) ([Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize), kriteria 3) — untuk *setiap* [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$, seperti yang diduga pada [Latihan 52.11](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#exo-g7-central-11).

## 59.4 Soal: Ketiga garis berat dan titik berat

**Soal 59.1.**

Soal akhir pekan — garis berat sebuah segitiga bertemu di satu titik, pada dua pertiga sepanjang masing-masingnya

Potonglah sebuah segitiga dari karton yang kaku dan ia akan seimbang, benar-benar datar, di atas ujung pensil yang diletakkan pada satu titik istimewa: *titik berat* segitiganya. Soal ini mencari titik itu. *Garis berat* sebuah segitiga adalah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang menghubungkan [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dengan *titik tengah* sisi yang di seberangnya. Kamu akan membuktikan — dengan teorema titik tengah yang dipakai dua kali, dengan cara yang tidak terduga — bahwa ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) melewati satu titik, lalu menemukan letaknya dengan tepat.

**Bagian I — Pemanasan.**

1. Gambarlah segitiga $ABC$ yang besar (tanpa bentuk khusus), lukislah titik tengah $I$ dari $[AB]$ , $J$ dari $[AC]$ dan $K$ dari $[BC]$ , lalu gambarlah ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Apa yang kamu amati?
2. Buktikan bahwa sebuah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) memotong segitiganya menjadi dua segitiga yang luasnya sama. (Bandingkan alas dan tingginya, lalu pakailah rumus luasnya: alas $\times$ tinggi $\div\ 2$ .) Untuk segitiga seluas $36$ cm $^2$ , berapa luas kedua kepingnya?
3. Pada segitiga $ABC$ , apa yang dikatakan [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) tentang [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ?

**Bagian II — Dua [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) bertemu pada dua pertiganya.** [Garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ dan $[CI]$ berpotongan di sebuah titik; sebutlah $G$. Misalkan $M$ titik tengah $[GB]$ dan $N$ titik tengah $[GC]$.

4. Terapkan teorema titik tengah *pada segitiga $GBC$* : apa yang dikatakannya tentang [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ?
5. Simpulkan bahwa $(IJ) \parallel (MN)$ dan $IJ = MN$ , lalu simpulkan dengan [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize) bahwa $IJNM$ adalah [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) .
6. Jelaskan mengapa $I$ dan $N$ keduanya terletak pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $(CI)$ , dan $J$ dan $M$ keduanya pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $(BJ)$ — jadi diagonal [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ adalah $[IN]$ dan $[JM]$ , dan keduanya berpotongan tepat di $G$ . Lalu apa yang dikatakan *definisi* [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) tentang $G$ ?
7. Simpulkan bahwa $BM = MG = GJ$, lalu simpulkan: $$BG = 2 \times GJ$$ — titik $G$ duduk pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ pada dua pertiga jalan dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $B$. Nyatakan dan berilah alasan untuk hasil serupa pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$.
8. Sekarang lupakan $[CI]$ lalu jalankan alasan yang persis sama pada pasangan [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ dan $[AK]$ : titik potongnya juga duduk pada dua pertiga $[BJ]$ dari $B$ . Jelaskan mengapa itu memaksanya menjadi titik $G$ yang *sama* — lalu simpulkan bahwa ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) melewati $G$ .
9. Pada segitiga yang [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ berukuran $9$ cm, berapa jarak $G$ dari $B$ , dan dari $J$ ?
10. Berilah alasan (satu kalimat) bahwa $AG = 2 \times GK$ juga.

**Bagian III — Enam irisan yang sama, dan koordinat.** Ketiga [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) itu memotong segitiganya menjadi enam segitiga kecil di sekeliling $G$.

11. Pada segitiga $GBC$ , [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[GK]$ adalah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) . Simpulkan bahwa kedua segitiga kecil $GBK$ dan $GKC$ punya luas yang sama.
12. Dengan memakai pertanyaan 2 pada segitiga $ABK$ dan $AKC$ (keduanya dipotong [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ milik $ABC$ ), tunjukkan bahwa segitiga $ABG$ dan $ACG$ punya luas yang sama. Dengan mengulanginya memakai [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) yang lain, simpulkan bahwa ketiga segitiga $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ semuanya berluas sepertiga luas $ABC$ .
13. Masing-masing dari ketiga segitiga itu terpotong menjadi dua oleh sepotong [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) (misalnya $[GI]$ adalah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) segitiga $ABG$ — dilihat dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang mana?). Simpulkan: keenam irisan kecil di sekeliling $G$ semuanya punya luas yang sama, yaitu seperenam segitiganya.
14. Pada kisi berkoordinat, gambarlah $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ dan $C(0, 6)$, dengan $K(3, 3)$ titik tengah $[BC]$. Pakailah teorema dua pertiga pada Bagian II untuk menghitung koordinat $G$ pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$; lalu periksalah bahwa titik yang sama duduk pada dua pertiga [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$, dengan $J(0, 3)$. Bandingkan koordinat $G$ dengan rata-rata $$\frac{0 + 6 + 0}{3},  \qquad  \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$
15. Penutup tentang keseimbangannya: dengan memakai pertanyaan 2 dan 8, jelaskan mengapa segitiga kartonnya seimbang di atas mata pisau yang dibaringkan sepanjang [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) mana pun — karton yang sama banyak pada tiap sisinya — dan mengapa karena itu ujung pensilnya harus diletakkan di $G$ , yaitu titik yang disebut para fisikawan sebagai [titik berat](#pb-g8-midpoints-1) . (Bukti keseimbangan yang benar-benar ketat perlu hitung integral pada volume di tingkat universitas; luas yang sama membuatnya masuk akal untuk hari ini.)

**Solusi Soal 59.1.**

**1.** Segitiga apa pun yang digambar, ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) tampak melewati satu titik, yang terletak di dalam segitiganya, jelas lebih dekat ke titik tengah tiap sisinya daripada ke [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang di seberangnya. Sisa soalnya membuktikannya.

**2.** Ambillah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ pada segitiga $ABC$: segitiga $ABK$ dan $AKC$ punya alas $BK$ dan $KC$ yang sama panjang ($K$ adalah titik tengah $[BC]$) yang dibawa garis yang sama $(BC)$, dan tinggi yang sama: yaitu jarak dari $A$ ke $(BC)$. Menurut rumus luasnya, masing-masing berluas alas $\times$ tinggi $\div\ 2$, dengan alas yang sama dan tinggi yang sama: jadi luasnya sama. Untuk segitiga seluas $36$ cm$^2$: dua keping seluas $18$ cm$^2$ masing-masing.

**3.** $I$ dan $J$ adalah titik tengah sisi $[AB]$ dan $[AC]$ pada segitiga $ABC$, jadi menurut [Teorema 59.1](#thm-g8-midpoints-direct): $(IJ) \parallel (BC)$ dan $IJ = \frac{BC}{2}$.

**4.** $M$ dan $N$ adalah titik tengah sisi $[GB]$ dan $[GC]$ pada segitiga $GBC$, jadi menurut teorema yang sama: $(MN) \parallel (BC)$ dan $MN = \frac{BC}{2}$.

**5.** Baik $(IJ)$ maupun $(MN)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$, jadi keduanya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) satu sama lain; dan $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. Karena itu [segi empat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ punya dua sisi berhadapan, $[IJ]$ dan $[NM]$, yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dan sama panjang: menurut kriteria 3 pada [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize), $IJNM$ adalah [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram).

**6.** $G$ terletak pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$, dan $N$ adalah titik tengah $[GC]$, yaitu [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang dibawa [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) yang sama: jadi $I$, $N$ (dan $G$, $C$) semuanya terletak pada $(CI)$. Begitu pula $J$, $M$ dan $G$ terletak pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $(BJ)$. Pada [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$, diagonalnya adalah $[IN]$ dan $[JM]$; keduanya dibawa kedua [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) itu, yang berpotongan di $G$ — jadi diagonalnya berpotongan di $G$. Menurut *definisi* [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) (kriteria 1 pada [Teorema 52.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#thm-g7-central-recognize): diagonalnya punya titik tengah yang sama), $G$ adalah titik tengah $[IN]$ *dan* $[JM]$: jadi $GI = GN$ dan $GJ = GM$.

**7.** $M$ adalah titik tengah $[GB]$, jadi $BM = MG$; dan $MG = GJ$ menurut pertanyaan 6. Karena itu $BM = MG = GJ$: potongan [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ terpotong menjadi tiga bagian yang sama, yang $BG$ mengambil dua:

$$
BG = 2 \times GJ .
$$

Secara [simetris](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-def), $N$ adalah titik tengah $[GC]$ dan $GN = GI$, jadi $CN = NG = GI$ dan $CG = 2 \times GI$: pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$ pun, titik potongnya duduk pada dua pertiga jalan dari [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def).

**8.** Alasannya tidak memakai apa pun yang khusus tentang pasangan $[BJ]$, $[CI]$: kalau dijalankan pada pasangan $[BJ]$, $[AK]$, alasan itu menunjukkan bahwa titik potongnya juga terletak pada $[BJ]$ pada dua pertiga jalan dari $B$. Tetapi hanya ada *satu* titik pada [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ yang berjarak $\frac23 BJ$ dari $B$ — jadi titik potong $[BJ]$ dan $[AK]$ adalah $G$ yang persis sama. Karena itu ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1) melewati $G$: ketiganya *konkuren*.

**9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm dan $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

**10.** Menurut pertanyaan 8, perhitungan dua pertiga yang sama berlaku pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ (jalankan alasan pertanyaan 4–7 dengan pasangan $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

**11.** Pada segitiga $GBC$, titik $K$ adalah titik tengah sisi $[BC]$, jadi $[GK]$ adalah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $GBC$; menurut pertanyaan 2, segitiga $GBK$ dan $GKC$ punya luas yang sama.

**12.** [Garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ memotong $ABC$ menjadi $ABK$ dan $AKC$ yang luasnya sama (pertanyaan 2). Dengan membuang dari masing-masingnya segitiga kecil pada pertanyaan 11:

$$
\text{luas}(ABG) = \text{luas}(ABK) - \text{luas}(GBK),
\qquad
\text{luas}(ACG) = \text{luas}(AKC) - \text{luas}(GKC),
$$

dan luas yang dibuang itu sama, jadi $\text{luas}(ABG) = \text{luas}(ACG)$. Perhitungan yang sama sepanjang [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ — yang membagi dua $ABC$ menjadi $ABJ$ dan $CBJ$, sedangkan $[GJ]$, [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) segitiga $GAC$, membaginya menjadi $GAJ$ dan $GCJ$ — memberi $\text{luas}(ABG) = \text{luas}(CBG)$. Jadi ketiga segitiga $ABG$, $BCG$, $CAG$ punya luas yang sama, dan karena bersama-sama ketiganya mengubin $ABC$, masing-masing berluas sepertiga seluruhnya.

**13.** Pada segitiga $ABG$, titik $I$ adalah titik tengah sisi $[AB]$, jadi $[GI]$ adalah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $ABG$ *dari [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $G$*: ia memotong $ABG$ menjadi dua segitiga yang luasnya sama (pertanyaan 2), yaitu $AIG$ dan $IBG$. Hal yang sama terjadi pada $BCG$ ([garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[GK]$) dan pada $CAG$ ([garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[GJ]$). Tiap sepertiga $ABC$ terpotong menjadi dua: keenam irisan di sekeliling $G$ masing-masing berluas $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ segitiganya.

**14.** Pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$, dari $A(0,0)$ ke $K(3,3)$: $G$ duduk pada dua pertiga jalannya, jadi koordinatnya adalah $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. Pada [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$, dari $B(6, 0)$ ke $J(0, 3)$: dua pertiga jalannya berarti menambahkan dua pertiga perpindahannya ($-6$ mendatar, $+3$ tegak):

$$
\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right)
= (2, 2) .
$$

Titik yang sama — seperti yang dijanjikan pertanyaan 8. Dan $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: koordinat [titik beratnya](#pb-g8-midpoints-1) adalah *rata-rata* koordinat ketiga [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def).

**15.** Menurut pertanyaan 2, mata pisau yang dibaringkan sepanjang sebuah [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) punya karton yang sama banyak pada tiap sisinya (luasnya sama), jadi segitiganya seimbang sepanjang masing-masing dari ketiga [garis beratnya](#pb-g8-midpoints-1). Titik keseimbangannya harus terletak pada ketiga garis keseimbangannya sekaligus, dan menurut pertanyaan 8 ketiga [garis berat](#pb-g8-midpoints-1) itu berbagi tepat satu titik: yaitu $G$. Di situlah ujung pensilnya diletakkan. (Luas yang sama pada kedua sisinya adalah versi alasan yang masuk akal; versi yang jujur, yang menimbang *di mana* kartonnya duduk dan bukan hanya berapa banyaknya, perlu hitung integral pada volume di tingkat universitas — yang membenarkan $G$.)