---
title: "Segitiga Siku-siku dan Kosinus"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus
---

# Bab 60 — Segitiga Siku-siku dan Kosinus

Dua kenyataan yang indah mengikat [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) pada lingkaran: [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) muat persis dalam setengah lingkaran, dengan sisi miringnya menjadi [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle). Dan satu bilangan, yaitu *kosinus* sebuah sudut, menyandikan bentuk setiap [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang bersudut itu — perbandingan trigonometri yang pertama, mendahului saudaranya sinus dan tangen ([Bab 69](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/69-trigonometri-pada-segitiga-siku-siku#ch-g9-trig)).

## 60.1 Segitiga siku-siku dan lingkarannya

**Teorema 60.1 (Teorema lingkaran).**

1. Kalau segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ , maka $A$ terletak pada lingkaran yang [diameternya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) sisi miringnya $[BC]$ .
2. Sebaliknya, kalau $A$ terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$ (dengan $A \neq B, C$ ), maka segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ .

Setara dengan itu: pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), titik tengah sisi miringnya berjarak sama dari ketiga [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) — [garis berat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#pb-g8-midpoints-1) dari [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) berukuran setengah sisi miringnya.

**Bukti untuk 1.** Misalkan $O$ titik tengah $[BC]$ dan $D$ titik [simetris](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-def) $A$ terhadap $O$. Diagonal $ABDC$ berpotongan di titik tengah bersamanya $O$, jadi $ABDC$ adalah [jajargenjang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram) ([Definisi 52.7](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/52-simetri-pusat-dan-jajargenjang#def-g7-central-parallelogram)) — dengan [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) di $A$: jadi ia persegi panjang. Diagonal persegi panjang sama panjang, jadi $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: titik $A$ berjarak $\frac{BC}{2}$ dari $O$, yaitu terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$. (Bagian 2 dibuktikan dengan menjalankan alasannya mundur.) ∎

![Di mana pun A duduk pada lingkarannya, sudut BAC siku-siku — yaitu dugaan pada , yang kini menjadi teorema. Garis berat merahnya (OA) adalah jari-jari: yaitu setengah sisi miringnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*Di mana pun $A$ duduk pada lingkarannya, sudut $\widehat{BAC}$ siku-siku — yaitu dugaan pada [Latihan 41.10](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#exo-g6-shapes-10), yang kini menjadi teorema. [Garis berat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#pb-g8-midpoints-1) merahnya $[OA]$ adalah [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes): yaitu setengah sisi miringnya.*

**Contoh 60.2.**

Sebuah segitiga punya sisi miring $10$ cm. Tanpa mengetahui apa pun lagi, [garis berat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#pb-g8-midpoints-1) dari [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) berukuran $5$ cm, dan [lingkaran luar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#pb-g6-symmetry-1) segitiganya berjari-jari $5$ cm, berpusat di titik tengah sisi miringnya.

## 60.2 Kosinus sebuah sudut lancip

**Definisi 60.3 (Kosinus).**

Pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), untuk sudut lancip $\theta$:

$$
\cos\theta = \frac{\text{sisi samping } \theta}{\text{sisi miring}}
$$

— yaitu sisi siku-siku yang menyentuh $\theta$, dibagi sisi miringnya. Perbandingan ini hanya bergantung pada sudutnya, bukan pada besar segitiganya: semua [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sudut lancip yang sama adalah perbesaran satu sama lain, dan perbesaran mempertahankan perbandingan panjang ([Bab 59](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#ch-g8-midpoints) memulai kisah ini; [Bab 68](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#ch-g9-thales) menyelesaikannya).

![Dua segitiga siku-siku yang berbagi sudut : yang kecil adalah pengecilan yang besar, jadi samping miring sama untuk keduanya — nilai bersama itulah .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*Dua [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang berbagi sudut $\theta$: yang kecil adalah pengecilan yang besar, jadi $\frac{\text{samping}}{\text{miring}}$ sama untuk keduanya — nilai bersama itulah $\cos\theta$.*

**Proposisi 60.4 (Nilai dan batas pertamanya).**

Untuk setiap sudut lancip $\theta$: $0 < \cos\theta < 1$, dan kosinusnya *turun* ketika sudutnya membuka: sudut yang lebih lebar punya kosinus yang lebih kecil. Patokannya: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (nilai ekstremnya bersesuaian dengan segitiga yang memipih).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Metode 60.5 (Memakai kosinus).**

Pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), ketika besaran yang diketahui dan yang dicari adalah sudut lancip, sisi sampingnya, dan sisi miringnya:

1. tulislah definisinya: $\cos\theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$ dengan nilai yang diketahui pada tempatnya;
2. selesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) kecilnya untuk yang belum diketahui (dengan mengalikan atau membagi);
3. untuk *sudut* yang belum diketahui, terapkan $\cos^{-1}$ pada kalkulator terhadap perbandingan yang dihitung;
4. pemeriksaan akal sehat: panjangnya harus keluar lebih pendek daripada sisi miringnya; sudutnya benar-benar antara $0^\circ$ dan $90^\circ$ .

**Contoh 60.6 (Mencari sebuah sisi).**

Jalur landai sepanjang $6$ m membentuk sudut $20^\circ$ dengan tanah yang mendatar. Jarak mendatar yang ditempuhnya (sisi samping $20^\circ$, dengan sisi miring $6$ m):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**Contoh 60.7 (Mencari sebuah sudut).**

Pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), sisi samping sudut $\theta$ berukuran $3.5$ dan sisi miringnya $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 Latihan

**Latihan 60.1 ★.**

Sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) punya sisi miring $13$ cm. Berapa panjang [garis berat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#pb-g8-midpoints-1) dari titik [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle)? Berapa [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) lingkaran yang melalui ketiga [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def)?

**Solusi Latihan 60.1.**

[Garis berat](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#pb-g8-midpoints-1) dari [sudut siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle): setengah sisi miringnya, yaitu $6.5$ cm ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). [Lingkaran luarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#pb-g6-symmetry-1) berpusat di titik tengah sisi miringnya dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $6.5$ cm.

**Latihan 60.2 ★.**

Gambarlah lingkaran berdiameter $8$ cm dengan [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, pilihlah titik $A$ mana pun pada lingkarannya lalu gambarlah $ABC$. Sudut yang mana yang siku-siku? Sebutkan teoremanya. Ukurlah $AB$ dan $AC$ lalu periksalah Pythagoras.

**Solusi Latihan 60.2.**

Sudut di $A$ siku-siku ($[BC]$ adalah [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle): bagian 2 pada [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). Ukurannya memenuhi $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$, sampai ketelitian pengukurannya.

**Latihan 60.3 ★.**

Pada segitiga $DEF$ yang siku-siku di $D$, sebutkan sisi samping sudut $\widehat E$, sisi depannya, dan sisi miringnya. Tulislah $\cos \widehat E$ sebagai sebuah perbandingan.

**Solusi Latihan 60.3.**

Sisi miringnya: $[EF]$ (yang di seberang [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) $D$). Sisi samping $\widehat E$: $[ED]$. Sisi depannya: $[DF]$. Jadi $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**Latihan 60.4 ★.**

Hitunglah besaran yang hilang ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. sisi miring $10$ , sudut $35^\circ$ : berapa sisi sampingnya?
2. sisi samping $6$ , sudut $50^\circ$ : berapa sisi miringnya?

**Solusi Latihan 60.4.**

*1.* sisi sampingnya $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* sisi miringnya $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**Latihan 60.5 ★.**

Pada sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), sisi samping $\theta$ berukuran $8$ dan sisi miringnya $10$. Hitunglah $\cos\theta$, lalu $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**Solusi Latihan 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, jadi $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**Latihan 60.6 ★.**

Jelaskan mengapa $\cos\theta$ tidak pernah dapat bernilai $1.2$ untuk sudut lancip sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles).

**Solusi Latihan 60.6.**

$\cos\theta$ adalah sisi siku-siku dibagi sisi miring, dan sisi miringnya adalah sisi *terpanjang* pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles): jadi [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) selalu lebih kecil daripada $1$. Nilai $1.2$ akan berarti sisi siku-siku yang lebih panjang daripada sisi miringnya — mustahil.

**Latihan 60.7 ★★.**

Sebuah luncuran tali sepanjang $25$ m menurun dari sebuah anjungan ke tanah, dengan membentuk sudut $12^\circ$ terhadap arah mendatar ($\cos 12^\circ \approx 0.978$). Berapa jarak mendatar yang direntangnya?

**Solusi Latihan 60.7.**

Rentang mendatarnya $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978
\approx 24.5$ m.

**Latihan 60.8 ★★.**

Urutkan tanpa kalkulator: $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$, $\cos 45^\circ$ (pakailah [Proposisi 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). Lalu periksalah dengan kalkulator.

**Solusi Latihan 60.8.**

Kosinusnya turun ketika sudutnya membesar ([Proposisi 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(Dengan kalkulator: $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**Latihan 60.9 ★★.**

Tangga sepanjang $L$ bersandar pada tembok dengan sudut $\theta$ antara tangga dan *tanah*. Kakinya $1.2$ m dari tembok dan $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). Hitunglah $L$, lalu tinggi yang tercapainya (dengan Pythagoras).

**Solusi Latihan 60.9.**

Jarak di tanahnya adalah sisi samping $\theta$: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, jadi $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Tingginya (dengan Pythagoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

**Latihan 60.10 ★★.**

$[BC]$ adalah [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) sebuah lingkaran berpusat $O$ dan berjari-jari $4.5$ cm, dan $A$ adalah titik pada lingkarannya dengan $AB = 5.4$ cm.

1. Mengapa $ABC$ siku-siku di $A$ ?
2. Hitunglah $AC$ , lalu $\cos \widehat B$ .

**Solusi Latihan 60.10.**

*1.* $A$ berada pada lingkaran berdiameter $[BC]$: jadi [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) di $A$ ([Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ cm (dua kali [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes)). Dengan Pythagoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Dan $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**Latihan 60.11 ★★★.**

Dengan memakai setengah [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) bersisi $1$ (yang dipotong sepanjang sebuah tinggi), berilah alasan untuk patokan $\cos 60^\circ = \frac12$ pada [Proposisi 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (Di mana kaki tingginya jatuh pada alasnya? Versi trigonometri lengkapnya adalah [Contoh 69.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/69-trigonometri-pada-segitiga-siku-siku#ex-g9-trig-special).)

**Solusi Latihan 60.11.**

Pada [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) bersisi $1$, tinggi dari salah satu [titik sudutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) jatuh di *titik tengah* sisi yang di seberangnya (yaitu [sumbu simetrinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/42-simetri-sumbu#def-g6-symmetry-axis)). Setengah segitiganya siku-siku dengan sisi miring $1$ (satu sisi penuh), sudut $60^\circ$ di [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) alasnya, dan sisi samping $\frac12$ (setengah alasnya). Karena itu

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 Soal: Hubungan Euclid, dan Pythagoras sekali lagi

**Soal 60.1.**

Soal akhir pekan — garis tinggi segitiga siku-siku: $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, bukti kedua Pythagoras, dan mesin untuk melukis akar kuadrat

Turunkanlah, dari [sudut siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-rightangle) sebuah [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) ke sisi miringnya: [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) pendek ini — yaitu *garis tingginya* — memenuhi hubungan yang begitu berguna sehingga Euclid menaruhnya di jantung karyanya *Elements*. Pada soal ini sifat yang mendefinisikan kosinus, “perbandingannya hanya bergantung pada sudutnya” ([Definisi 60.3](#def-g8-cosine-def)), membuktikan semuanya; di sepanjang jalannya kamu akan membuktikan ulang teorema Pythagoras lewat jalan yang sama sekali berbeda, lalu berakhir dengan mesin penggaris dan jangka yang melukis $\sqrt2$, $\sqrt5$, $\sqrt{n}$ untuk setiap bilangan bulat $n$.

Sepanjang soal ini, $ABC$ adalah segitiga yang siku-siku di $A$, dan $H$ adalah kaki [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dari $A$ ke sisi miringnya $[BC]$, sehingga $H$ terletak antara $B$ dan $C$ dan $AH \perp BC$.

**Bagian I — Satu sudut, dua segitiga.**

1. Dengan memakai [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudut segitiga ( [Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/51-segitiga-dan-sudut#thm-g7-triangles-sum) ) pada $ABH$ dan pada $ABC$ , tunjukkan bahwa $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : garis tingginya memotong [segitiga siku-sikunya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) menjadi dua segitiga yang lebih kecil yang membawa *sudut yang sama* seperti aslinya.
2. Segitiga $ABC$ (yang siku-siku di $A$) dan $ABH$ (yang siku-siku di $H$) berbagi sudut $\widehat B$. Tulislah $\cos\widehat B$ pada masing-masingnya, lalu simpulkan dari [Definisi 60.3](#def-g8-cosine-def) bahwa $$AB^2 = BH \times BC .$$ (Untuk berpindah dari perbandingan yang sama ke [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang sama, kalikan kedua ruasnya dengan kedua [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def), [Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#thm-g8-equations-balance).)
3. Nyatakan lalu buktikan hubungan kembarnya di [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $C$: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. Ambillah segitiga $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Hitunglah $BH$ dan $CH$ dari pertanyaan 2 dan 3, lalu periksalah bahwa $BH + HC = BC$ .
5. Secara umum, nyatakan $BH$ dan $CH$ sebagai [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang hanya memuat ketiga sisinya. Dalam arti apa kaki $H$ membelah sisi miringnya “ [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/44-perbandingan-senilai-dan-data#def-g6-propdata-def) dengan kuadrat kedua sisi siku-sikunya”?

**Bagian II — Pythagoras lagi, dan garis tingginya.**

6. Jumlahkan hubungan pada pertanyaan 2 dan 3 lalu pakailah $BH + HC = BC$ untuk memperoleh $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ yaitu teorema Pythagoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct)), yang dibuktikan ulang — tanpa teka-teki luas sama sekali (bandingkan [Latihan 58.11](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#exo-g8-pythagoras-11)).
7. Terapkan Pythagoras pada segitiga kecil $ABH$ untuk menulis $AH^2 = AB^2 - BH^2$, gantilah $AB^2$ dengan $BH \times BC$, lalu faktorkan $BH$ untuk membuktikan *hubungan garis tinggi Euclid*: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. Hitunglah luas $ABC$ dengan dua cara — sisi siku-sikunya sebagai alas dan tinggi, lalu sisi miringnya sebagai alas ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#thm-g7-areas-triangle)) — lalu simpulkan hubungan yang ketiga: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. Kembali ke segitiga $3$ – $4$ – $5$ : hitunglah $AH$ dengan pertanyaan 8, lalu periksalah hubungan garis tinggi pada pertanyaan 7 secara angka, memakai nilai $BH$ dan $CH$ yang ditemukan pada pertanyaan 4.
10. Kaki garis tingginya membelah sisi miring suatu [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) menjadi ruas $BH = 2$ cm dan $HC = 8$ cm. Hitunglah garis tingginya $AH$ .

**Bagian III — Mesin untuk akar kuadrat.** Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[BC]$ yang tersusun dari dua potongan yang ditata ujung ke ujung: $BH = p$ dan $HC = q$. Gambarlah setengah lingkaran berdiameter $[BC]$, lalu misalkan $A$ titik tempat [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap $(BC)$ di $H$ memotongnya.

11. Dengan memakai [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle), jelaskan mengapa segitiga $ABC$ siku-siku di $A$ — sehingga pertanyaan 7 berlaku dan $$AH^2 = p \times q .$$ (Panjang $AH$ disebut *rata-rata geometri* dari $p$ dan $q$.)
12. Ambillah $p = 1$ dan $q = 2$ . Berapa $AH^2$ ? Panjang terkenal yang mana pada [Contoh 58.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) yang baru saja dilukis gambar penggaris dan jangkamu?
13. Uraikan resep yang melukis [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $\sqrt n$ untuk bilangan bulat $n \geq 1$ mana pun, lalu sebutkan pilihan $p$ dan $q$ yang melukis $\sqrt 5$ .
14. Misalkan $O$ pusat setengah lingkarannya. Jelaskan mengapa $AH$ tidak pernah dapat melampaui [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ , dan untuk letak $H$ yang mana keduanya sama.
15. Simpulkan ketaksamaannya: untuk semua bilangan positif $p$ dan $q$, $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ dengan kesamaan persis ketika $p = q$. Lalu buktikan ulang tanpa geometri sama sekali: jabarkan $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ lalu kenalilah sebuah kesamaan istimewa ([Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1)).

**Solusi Soal 60.1.**

**1.** Pada segitiga $ABH$, yang siku-siku di $H$, [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) sudutnya ([Teorema 51.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/51-segitiga-dan-sudut#thm-g7-triangles-sum)) memberi $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, jadi $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. Pada segitiga $ABC$, yang siku-siku di $A$: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, jadi $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. Karena itu $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: kedua segitiga kecilnya mengulang sudut $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ milik aslinya.

**2.** Pada $ABC$ (yang siku-siku di $A$), sisi samping $\widehat B$ adalah $AB$ dan sisi miringnya $BC$: $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. Pada $ABH$ (yang siku-siku di $H$), sisi samping $\widehat B$ adalah $BH$ dan sisi miringnya $AB$: $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. Perbandingannya hanya bergantung pada sudutnya ([Definisi 60.3](#def-g8-cosine-def)), jadi

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

dengan mengalikan kedua ruasnya dengan $BC \times AB$ ([Teorema 57.5](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#thm-g8-equations-balance)): $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** Segitiga $ABC$ (yang siku-siku di $A$) dan $ACH$ (yang siku-siku di $H$) berbagi sudut $\widehat C$. Sisi samping dibagi sisi miring pada masing-masingnya:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ berbunyi $9 = BH \times 5$, jadi $BH = 1.8$; dan $16 = CH \times 5$ memberi $CH = 3.2$. Periksa: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — memang harus begitu, karena $H$ terletak pada sisi miringnya antara $B$ dan $C$.

**5.** Dengan membagi tiap hubungannya dengan $BC$:

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

Jadi $BH$ dan $CH$ [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/44-perbandingan-senilai-dan-data#def-g6-propdata-def) dengan $AB^2$ dan $AC^2$: kaki garis tingginya membelah sisi miringnya dengan perbandingan kuadrat kedua sisi siku-sikunya ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ pada pertanyaan 4).

**6.** Dengan menjumlahkan kedua hubungannya lalu memfaktorkan $BC$ (sifat distributif):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

Inilah [Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct), yang diperoleh dari kosinusnya saja — bukti yang sungguh berbeda dari teka-teki luas empat segitiga pada [Latihan 58.11](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** Pythagoras pada $ABH$ (yang siku-siku di $H$, dengan sisi miring $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Dengan mengganti $AB^2$ dengan $BH \times BC$ (pertanyaan 2) lalu memfaktorkan $BH$:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** Dengan sisi siku-sikunya sebagai alas dan tinggi, luas $ABC$ adalah $\frac{AB \times AC}{2}$; dengan sisi miringnya $[BC]$ sebagai alas, tingginya persis $AH$, jadi luasnya juga $\frac{BC \times AH}{2}$ ([Teorema 53.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#thm-g7-areas-triangle)). Dengan menyamakan lalu mengalikan dua: $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5}
= 2.4$. Pemeriksaan pertanyaan 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ dan $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. Sama.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, jadi $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

**11.** Titik $A$ terletak pada lingkaran berdiameter $[BC]$ (dan berbeda dari $B$ dan $C$), jadi menurut bagian 2 pada [Teorema 60.1](#thm-g8-cosine-circle) segitiga $ABC$ siku-siku di $A$. Menurut pelukisannya $(AH) \perp (BC)$ dengan $H$ antara $B$ dan $C$: [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AH]$ persis garis tinggi pada pertanyaan 7, dan $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: gambarnya melukis, hanya dengan penggaris dan jangka, [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang kuadratnya $2$ — yaitu diagonal persegi satuan, $\sqrt2 \approx 1.414$, pada [Contoh 58.9](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** Resepnya: tatalah ujung ke ujung dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $p = 1$ dan $q = n$; gambarlah setengah lingkaran yang [diameternya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) seluruh ruas garisnya (panjangnya $n + 1$); dirikanlah [garis tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) di titik sambungannya; garis itu memotong setengah lingkarannya di titik yang jaraknya ke titik sambungan adalah $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$. Untuk $\sqrt5$: ambillah $p = 1$ dan $q = 5$ (setengah lingkaran berdiameter $6$).

**14.** $A$ berada pada lingkaran berpusat $O$, jadi $OA = \frac{p+q}{2}$, yaitu [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes). Kalau $H \neq O$, segitiga $AHO$ siku-siku di $H$ dengan sisi miring $[OA]$, dan sisi siku-siku lebih pendek daripada sisi miringnya: $AH < OA$. Kalau $H = O$, maka $AH = OA$ persis. Pada semua keadaannya $AH \leq \frac{p+q}{2}$, dengan kesamaannya persis ketika $H$ adalah pusatnya — yaitu ketika $p = q$.

**15.** Dengan mengkuadratkan $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (kedua ruasnya positif) lalu memakai $AH^2 = pq$:

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

dengan kesamaannya persis untuk $p = q$. Bukti ulang secara aljabar, dengan kesamaan istimewa ([Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

yaitu sebuah kuadrat, jadi tidak pernah negatif — dan bernilai [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) persis ketika $p = q$. [Rata-rata geometri](#pb-g8-cosine-1) dua bilangan tidak pernah melampaui setengah [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def).