---
title: "Perbandingan Senilai, Kecepatan dan Rata-rata"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata
---

# Bab 61 — Perbandingan Senilai, Kecepatan dan Rata-rata

[Perbandingan senilai](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/49-perbandingan-senilai#def-g7-prop-table) ([Bab 49](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/49-perbandingan-senilai#ch-g7-prop)) kini bertemu dunia fisik: [kecepatan](#def-g8-speed-def), debit, pengubahan satuan — besaran yang berupa *[hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder)* dua besaran lain. Bab ini ditutup dengan [rata-rata berbobot](#def-g8-speed-average), tempat penalaran yang [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/44-perbandingan-senilai-dan-data#def-g6-propdata-def) mencegah kekeliruan klasik.

## 61.1 Kecepatan rata-rata

**Definisi 61.1 (Kecepatan rata-rata).**

*Kecepatan rata-rata* sebuah perjalanan adalah [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{jarak dibagi lamanya}\right),
$$

dalam kilometer per jam (km/jam), atau meter per detik (m/detik), … Rumusnya dapat dibalik: $d = v \times t$ dan $t = \frac{d}{v}$.

**Contoh 61.2.**

Sebuah kereta menempuh $270$ km dalam $1$ jam $30$ menit. Ubahlah waktunya lebih dahulu: $1$ jam $30$ menit $= 1.5$ jam. Lalu

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/jam}.
$$

Jarak pada $90$ km/jam selama $2$ jam $20$ menit $= \frac73$ jam: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Waktu untuk $35$ km pada $14$ km/jam: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ jam $= 2$ jam $30$ menit.

**Catatan 61.3 (Menit bukan bilangan desimal).**

$1$ jam $30$ menit adalah $1.5$ jam, tetapi $1$ jam $20$ menit *bukan* $1.2$ jam: melainkan $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx
1.33$ jam. Ubahlah menitnya menjadi [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) dari satu jam ($60$ menit $= 1$ jam) sebelum membagi.

![Pada kecepatan tetap, jarak sebanding dengan waktu: yaitu garis lurus melalui titik asalnya, yang kecuramannya adalah kecepatannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-8b1a93e81e19.svg)

*Pada [kecepatan](#def-g8-speed-def) tetap, jarak [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/44-perbandingan-senilai-dan-data#def-g6-propdata-def) dengan waktu: yaitu garis lurus melalui titik asalnya, yang kecuramannya *adalah* [kecepatannya](#def-g8-speed-def).*

**Metode 61.4 (Mengubah kecepatan).**

Untuk mengubah km/jam menjadi m/detik: $1$ km $= 1000$ m dan $1$ jam $= 3600$ detik, jadi

$$
v \text{ km/jam} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/detik}
= \frac{v}{3.6} \text{ m/detik}.
$$

Untuk mengubah m/detik menjadi km/jam, kalikan dengan $3.6$.

**Contoh 61.5.**

$90$ km/jam $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/detik. Pelari cepat yang menempuh $100$ m dalam $10$ detik bergerak pada $10$ m/detik $= 36$ km/jam.

## 61.2 Besaran yang berupa hasil bagi

**Contoh 61.6 (Debit, harga per kilo).**

[Kecepatan](#def-g8-speed-def) punya banyak sepupu, yang semuanya diperlakukan dengan cara yang sama:

- sebuah keran mengisi $48$ L dalam $4$ menit: debitnya $\frac{48}{4} = 12$ L/menit, jadi mengisi bak $150$ L makan waktu $\frac{150}{12} = 12.5$ menit;
- $0.6$ kg keju berharga $9$ euro: harganya $\frac{9}{0.6} = 15$ euro tiap kg;
- sebuah mobil memakai $6.3$ L untuk $90$ km: konsumsinya $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L tiap $100$ km.

Kenalilah [hasil baginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder), lalu rumus tiga arahnya ($q = \frac ab$, $a = qb$, $b = \frac aq$) mengerjakan sisanya.

## 61.3 Rata-rata berbobot

**Definisi 61.7 (Rata-rata berbobot).**

Ketika nilai $v_1, v_2, \dots$ datang bersama [frekuensi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/50-menata-data#def-g7-stats-frequency) (atau bobot) $n_1, n_2, \dots$, *rata-rata berbobotnya* adalah

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

[jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) nilainya, dibagi [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) bobotnya.

**Contoh 61.8.**

Sebuah ujian dikerjakan dua kelompok: kelompok 1, $12$ murid, rata-ratanya $11$; kelompok 2, $18$ murid, rata-ratanya $14$. Rata-rata seluruh kelasnya:

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

*Bukan* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$: kelompok yang lebih besar menarik rata-ratanya ke arahnya sendiri — bobotnya berpengaruh.

**Contoh 61.9 (Kecepatan rata-rata pada dua ruas).**

Seorang pesepeda menempuh $30$ km pada $30$ km/jam, lalu $30$ km pada $15$ km/jam. [Kecepatan rata-rata](#def-g8-speed-def) seluruh perjalanannya *bukan* $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/jam. Hitunglah dengan definisinya:

1. waktunya: $\frac{30}{30} = 1$ jam, lalu $\frac{30}{15} = 2$ jam; seluruhnya $3$ jam;
2. jarak seluruhnya $60$ km, jadi $v = \frac{60}{3} = 20$ km/jam.

Ruas yang lambat berlangsung lebih lama, jadi bobotnya lebih besar — rata-rata [kecepatan](#def-g8-speed-def) harus dibobot menurut *waktu*.

## 61.4 Latihan

**Latihan 61.1 ★.**

Hitunglah [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya: $150$ km dalam $2$ jam; $27$ km dalam $45$ menit; $100$ m dalam $12.5$ detik.

**Solusi Latihan 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ km/jam. $45$ menit $= 0.75$ jam: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/jam. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/detik.

**Latihan 61.2 ★.**

Hitunglah jaraknya: $2$ jam pada $85$ km/jam; $40$ menit pada $90$ km/jam. Hitunglah waktunya: $315$ km pada $90$ km/jam (dalam jam dan menit).

**Solusi Latihan 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ menit $= \frac23$ jam: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ jam $= 3$ jam $30$ menit.

**Latihan 61.3 ★.**

Ubahlah: $72$ km/jam menjadi m/detik; $5$ m/detik menjadi km/jam; $108$ km/jam menjadi m/detik.

**Solusi Latihan 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ m/detik. $5 \times 3.6 = 18$ km/jam. $108 \div 3.6 = 30$ m/detik.

**Latihan 61.4 ★.**

Sebuah keran mengalirkan $15$ L/menit. Berapa lama untuk mengisi tangki $600$ L? Berapa liter dalam $2$ jam $30$?

**Solusi Latihan 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ menit. $2$ jam $30 = 150$ menit: $15 \times 150 = 2250$ L.

**Latihan 61.5 ★.**

Mana yang lebih menguntungkan: $1.2$ kg apel seharga $3.30$ euro, atau $0.8$ kg seharga $2.16$ euro? Bandingkan harganya tiap kilogram.

**Solusi Latihan 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euro/kg melawan $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euro/kg: tawaran yang kedua (sedikit) lebih menguntungkan.

**Latihan 61.6 ★.**

Sebuah kelas berisi $25$ murid punya rata-rata $12.4$ pada sebuah ujian; kelas lain berisi $35$ murid punya rata-rata $10$. Hitunglah rata-rata kedua kelas itu bersama-sama.

**Solusi Latihan 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**Latihan 61.7 ★.**

Bunyi merambat kira-kira $340$ m/detik. Kamu melihat kilatan petir lalu mendengar guruhnya $6$ detik kemudian. Berapa jauh petirnya menyambar (sampai $100$ m terdekat)?

**Solusi Latihan 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

**Latihan 61.8 ★★.**

Seorang pendaki berjalan $2$ jam pada $5$ km/jam, beristirahat $30$ menit, lalu berjalan $1$ jam $30$ pada $4$ km/jam. Hitunglah jarak seluruhnya dan [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya *termasuk istirahatnya* (jarak seluruhnya dibagi waktu yang berlalu).

**Solusi Latihan 61.8.**

Jaraknya: $2 \times 5 = 10$ km, lalu $1.5 \times 4 = 6$ km: seluruhnya $16$ km. Waktu yang berlalu: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ jam. [Kecepatan rata-ratanya](#def-g8-speed-def): $\frac{16}{4} = 4$ km/jam.

**Latihan 61.9 ★★.**

Nilai dengan koefisien: seorang murid memperoleh $15$ (koefisien $3$), $9$ (koefisien $2$) dan $12$ (koefisien $1$). Hitunglah [rata-rata berbobotnya](#def-g8-speed-average). Rata-rata biasa (tanpa bobot) yang mana yang akan diperolehnya, dan mengapa keduanya berbeda?

**Solusi Latihan 61.9.**

Berbobot: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. Tanpa bobot: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. Keduanya berbeda karena koefisiennya memberi nilai $15$ bobot tiga kali bobot nilai $12$.

**Latihan 61.10 ★★.**

Sebuah mobil menempuh $120$ km pada $80$ km/jam lalu $120$ km pada $120$ km/jam.

1. Hitunglah lamanya tiap ruasnya, lalu [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya pada seluruh perjalanannya.
2. Jelaskan mengapa jawabannya kurang dari $100$ km/jam, yaitu titik tengah kedua [kecepatannya](#def-g8-speed-def) .

**Solusi Latihan 61.10.**

*1.* Waktunya: $\frac{120}{80} = 1.5$ jam dan $\frac{120}{120} = 1$ jam. [Kecepatan rata-ratanya](#def-g8-speed-def): $\frac{240}{2.5} = 96$ km/jam.

*2.* Mobilnya menghabiskan *lebih banyak waktu* pada $80$ km/jam ($1.5$ jam) daripada pada $120$ km/jam ($1$ jam): jadi [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang lambat berbobot lebih besar pada [rata-rata berbobot](#def-g8-speed-average) waktunya, sehingga menariknya ke bawah titik tengah $100$.

**Latihan 61.11 ★★★.**

Dua desa berjarak $18$ km. Ana berangkat dari desa pertama pukul $10{:}00$ dengan berjalan $5$ km/jam menuju desa kedua; Bayu berangkat dari desa kedua pada saat yang sama dengan berjalan $4$ km/jam menuju desa pertama. Pukul berapa mereka bertemu, dan berapa jaraknya dari desa Ana? (Bersama-sama mereka menutup celahnya pada $5 + 4$ km/jam.)

**Solusi Latihan 61.11.**

Celah $18$ km menutup pada $5 + 4 = 9$ km/jam: mereka bertemu sesudah $\frac{18}{9} = 2$ jam, yaitu pukul $12{:}00$. Ana ketika itu sudah berjalan $2 \times 5 = 10$ km: mereka bertemu $10$ km dari desa Ana (dan $8$ km dari desa Bayu — periksa: $10 + 8 = 18$).

## 61.5 Soal: Rata-rata harmonik, atau mengapa perjalanan pulang merusak rata-ratanya

**Soal 61.1.**

Soal akhir pekan — [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-rata pada jarak yang sama adalah $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, dan tidak pernah mengalahkan titik tengah kedua [kecepatannya](#def-g8-speed-def)

[Contoh 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) dan [Latihan 61.10](#exo-g8-speed-10) keduanya berakhir dengan kejutan yang sama: berangkat pada satu [kecepatan](#def-g8-speed-def), kembali pada [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang lain, dan [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya mendarat *di bawah* titik tengah keduanya. Soal ini mencari rumus persis di balik kejutannya — yaitu jenis rata-rata yang baru, *rata-rata harmonik* — membuktikan bahwa kejutannya adalah sebuah teorema, lalu mendorongnya ke ujung logisnya: pengejaran yang tidak dapat dicapai [kecepatan](#def-g8-speed-def) mana pun di dunia.

**Bagian I — Rumus untuk perjalanan pulang pergi.** Sebuah perjalanan menempuh jarak $d$ pada [kecepatan](#def-g8-speed-def) $v_1$, lalu jarak $d$ yang sama lagi pada [kecepatan](#def-g8-speed-def) $v_2$ (semuanya bilangan positif).

1. Nyatakan kedua lamanya, lalu lama seluruhnya, sebagai [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) yang memuat $d$ , $v_1$ , $v_2$ .
2. [Kecepatan rata-rata](#def-g8-speed-def) seluruh perjalanannya adalah $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — yaitu [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#def-g6-fractions-def) bertingkat ([Contoh 55.8](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya#ex-g8-fractions-complex)). Sederhanakan lalu buktikan: $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. Periksalah rumusnya terhadap kedua perhitungan yang dikutip di atas: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/jam ( [Contoh 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ), dan $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/jam ( [Latihan 61.10](#exo-g8-speed-10) ).
4. Jarak $d$ sudah lenyap dari rumusnya. Apa artinya itu, secara nyata, bagi pesepedanya?
5. Sekarang andaikan perjalanannya justru menghabiskan *waktu* $T$ yang sama pada tiap [kecepatannya](#def-g8-speed-def) . Tunjukkan bahwa [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya lalu menjadi $\frac{v_1 + v_2}{2}$ , yaitu titik tengah yang biasa. Dalam bahasa [Definisi 61.7](#def-g8-speed-average) : dengan besaran apa rata-rata [kecepatan](#def-g8-speed-def) harus selalu dibobot, dan apa yang berubah antara kedua keadaannya?

**Bagian II — Harmonik melawan aritmetika.** Untuk dua bilangan positif $v_1$, $v_2$, tetapkan

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(\emph{rata-rata harmonik}),}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(\emph{rata-rata aritmetika}).}
$$

6. Hitunglah $H$ dan $A$ untuk pasangan $(30, 15)$ dan $(80, 120)$ . Rata-rata yang mana dari keduanya yang menang setiap kali?
7. Taruhlah $A - H$ pada [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama $2(v_1 + v_2)$, jabarkan [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dengan kesamaan istimewa ([Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1)), lalu buktikan: $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. Simpulkan teorema di balik semua kejutannya: untuk [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang positif, $H \leq A$ selalu, dengan kesamaannya persis ketika $v_1 = v_2$ . Mengapa kuadrat pada [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) menyelesaikan perkaranya?
9. Buktikan kesamaan yang anggun $H \times A = v_1 \times v_2$ : kedua rata-ratanya mengalikan kembali menjadi [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) aslinya.
10. Sebuah mobil menempuh $60$ km pada $40$ km/jam dan $60$ km pada $60$ km/jam. Ramalkan [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya dengan rumusnya, lalu benarkan lewat jalan panjangnya, dengan waktu dan jarak seluruhnya.

**Bagian III — Pengejaran yang mustahil.**

11. Seorang pesepeda mengikuti lomba $30$ km dengan harapan rata-ratanya $30$ km/jam. Paling lama berapa waktu seluruhnya yang boleh dipakai lombanya? Ia menempuh $15$ km pertamanya pada $15$ km/jam: berapa sisa jatah waktunya?
12. Tunjukkan bahwa rata-rata yang diharapkannya sudah menjadi mustahil secara harfiah: hitunglah [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-ratanya kalau ia menempuh separuh keduanya pada $90$ km/jam, lalu jelaskan mengapa [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang raksasa sekalipun tetap membuatnya kurang dari $30$ km/jam.
13. Ia menurunkan sasarannya menjadi $20$ km/jam. [Kecepatan](#def-g8-speed-def) apa pada $15$ km yang kedua yang mencapainya? Periksalah jawabanmu dengan rumus [rata-rata harmoniknya](#pb-g8-speed-1) .
14. Keran dingin sendirian mengisi sebuah bak dalam $20$ menit; keran panas sendirian mengisinya dalam $30$ menit. Berapa bagian baknya yang diisi kedua kerannya bersama-sama tiap menitnya, dan berapa lama waktu yang dipakainya? Bandingkan jawabanmu dengan $H(20, 30)$ — apa yang kamu perhatikan?
15. Sebuah pesawat menerbangi rute yang sama pergi dan pulang: $900$ km/jam bersama angin, $700$ km/jam melawannya. Hitunglah [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-rata pulang perginya, lalu jelaskan dalam satu kalimat mengapa angin, ke mana pun ia bertiup, selalu *memperpanjang* perjalanan pulang pergi.

**Solusi Soal 61.1.**

**1.** Menurut [Definisi 61.1](#def-g8-speed-def), $t_1 = \frac{d}{v_1}$ dan $t_2 = \frac{d}{v_2}$; seluruh perjalanannya berlangsung $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ untuk jarak $2d$.

**2.** Faktorkan $d$ keluar dari [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) lalu sederhanakan sampai lenyap:

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

[Penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama di dalamnya: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, dan membagi berarti mengalikan dengan [kebalikannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya#def-g8-fractions-inverse) ([Teorema 55.6](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya#thm-g8-fractions-div)):

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15}
= \dfrac{900}{45} = 20$ km/jam, seperti pada [Contoh 61.9](#ex-g8-speed-twolegs); dan $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200}
= 96$ km/jam, seperti yang ditemukan pada [Latihan 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** Rata-ratanya hanya bergantung pada kedua [kecepatannya](#def-g8-speed-def), bukan pada $d$: perjalanan pulang pergi $1$ km dan perjalanan pulang pergi $100$ km pada kedua [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang sama punya [kecepatan](#def-g8-speed-def) rata-rata yang persis sama. (Itulah sebabnya rumusnya dapat diperiksa pada perjalanan yang panjangnya berbeda-beda.)

**5.** Dalam waktu $T$ pada tiap [kecepatannya](#def-g8-speed-def), jaraknya adalah $v_1 T$ dan $v_2 T$, jadi

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

Rata-rata [kecepatan](#def-g8-speed-def) selalu dibobot menurut *waktu* ([Definisi 61.7](#def-g8-speed-average)). Dengan waktu yang sama kedua [kecepatannya](#def-g8-speed-def) membawa bobot yang sama: jadi titik tengah biasa. Dengan jarak yang sama, [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang lebih lambat menempati waktu yang *lebih* banyak, jadi bobotnya lebih besar — dan rata-ratanya menggeser ke arahnya.

**6.** Untuk $(30, 15)$: $H = 20$ dan $A = 22.5$. Untuk $(80, 120)$: $H = 96$ dan $A = 100$. Rata-rata aritmetikanya menang kedua kalinya.

**7.** Pada [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama $2(v_1 + v_2)$:

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

dan [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) menjabar dengan kesamaan pada [Soal 57.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#pb-g8-equations-1):

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** Kuadrat tidak pernah negatif, dan $2(v_1 + v_2)$ bernilai positif: jadi $A - H \geq 0$, yaitu $H \leq A$, untuk setiap pasangan [kecepatan](#def-g8-speed-def) yang positif. Kesamaannya menuntut $(v_1 - v_2)^2 = 0$, yaitu $v_1 = v_2$: begitu kedua [kecepatannya](#def-g8-speed-def) berbeda, rata-rata perjalanan pulang perginya turun benar-benar di bawah titik tengahnya — kejutannya adalah sebuah teorema.

**9.** Kalikan:

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

sesudah mencoret faktor $2$ dan faktor $v_1 + v_2$.

**10.** Dengan rumusnya: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}
{40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/jam. Lewat jalan panjangnya: $\frac{60}{40} = 1.5$ jam dan $\frac{60}{60} = 1$ jam, jadi $120$ km dalam $2.5$ jam: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/jam. Keduanya sesuai.

**11.** Rata-rata $30$ km/jam sepanjang $30$ km berarti waktu seluruhnya paling lama $\frac{30}{30} = 1$ jam. Sedangkan $15$ km pertamanya pada $15$ km/jam sudah makan waktu $\frac{15}{15} = 1$ jam: *seluruh* jatah waktunya terpakai, dengan separuh lintasannya belum ditempuh.

**12.** Pada $90$ km/jam separuh keduanya makan waktu $\frac{15}{90} = \frac16$ jam, jadi lombanya makan $\frac76$ jam dan

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ km/jam} < 30 .
$$

Berapa pun [kecepatan](#def-g8-speed-def) separuh keduanya, lamanya adalah bilangan yang positif, jadi waktu seluruhnya melampaui $1$ jam dan rata-ratanya tetap benar-benar di bawah $30$ km/jam. (Dengan rumusnya: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ akan memaksa $30 v_2 = 450 + 30 v_2$, yaitu $0 = 450$ — tidak ada [kecepatan](#def-g8-speed-def) $v_2$ yang berhasil.)

**13.** Rata-rata $20$ km/jam mengizinkan $\frac{30}{20} = 1.5$ jam; sesudah jam pertamanya, $15$ km tersisa untuk $0.5$ jam: jadi ia perlu $\frac{15}{0.5} = 30$ km/jam. Periksa: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45}
= 20$ km/jam.

**14.** Tiap menitnya, kerannya mengisi $\frac{1}{20}$ dan $\frac{1}{30}$ bagian baknya; bersama-sama

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

bagian baknya tiap menit: jadi baknya terisi dalam $12$ menit. Dan $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: kedua kerannya bersama-sama makan waktu persis *setengah [rata-rata harmonik](#pb-g8-speed-1)* waktu masing-masingnya — laju yang berjumlah, jadi ini wilayah [rata-rata harmonik](#pb-g8-speed-1) lagi.

**15.** Jaraknya sama pada tiap arahnya, jadi

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/jam},
$$

di bawah $800$ km/jam pada udara yang tenang. Dalam satu kalimat: pesawatnya menghabiskan waktu *lebih lama* terbang melawan angin daripada bersamanya, jadi ruas yang lambat memperoleh bobot yang lebih besar pada [rata-rata berbobot](#def-g8-speed-average) waktunya — angin hanya dapat memperpanjang perjalanan pulang pergi.