---
title: "Limas dan Kerucut"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut
---

# Bab 62 — Limas dan Kerucut

Sesudah [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dan [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) pada [Bab 53](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#ch-g7-areas) — yaitu [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang penampangnya tetap — datanglah [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang punya titik puncak: [limas](#def-g8-solids-def) dan [kerucut](#def-g8-solids-def). Rumus [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) membawa faktor terkenal $\frac13$, yang dibuat masuk akal lalu dipakai pada bab ini; kajian [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) berlanjut dengan bola dan irisan pada [Bab 70](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/70-bangun-ruang-dan-volume#ch-g9-solids).

## 62.1 Menguraikan limas dan kerucut

**Definisi 62.1 (Limas, kerucut).**

- *Limas* punya [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) sebagai *alasnya* dan sebuah titik, yaitu *puncaknya* , yang dihubungkan ke tiap [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) alasnya oleh sisi berbentuk segitiga. *Tingginya* adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya.
- *Kerucut* adalah bangun yang dibangun dengan cara yang sama di atas cakram: alas berbentuk cakram, sebuah puncak, dan selimut lengkung.

Sebuah limas disebut *beraturan* ketika alasnya [segi banyak](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-polygon) beraturan (persegi, [segitiga sama sisi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles), …) dan puncaknya duduk [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) di atas pusat alasnya.

![Sebuah limas beralas persegi dan sebuah kerucut: satu alas bersegi banyak atau berbentuk lingkaran, satu puncak, dan tinggi yang diukur tegak lurus terhadap alasnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-a1429cc74506.svg)

*Sebuah [limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi dan sebuah [kerucut](#def-g8-solids-def): satu alas bersegi banyak atau berbentuk lingkaran, satu puncak, dan tinggi yang diukur [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap alasnya.*

**Contoh 62.2 (Membilang sisi, rusuk, titik sudut).**

[Limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi punya $5$ sisi ($1$ persegi $+ 4$ segitiga), $8$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan $5$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def). Dengan alas bersegi $n$: $n + 1$ sisi, $2n$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), $n + 1$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def). Periksalah pola kecil milik Euler: sisi $+$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $=$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $+ 2$.

## 62.2 Volume

**Teorema 62.3 (Volume limas atau kerucut).**

Untuk [limas](#def-g8-solids-def) atau [kerucut](#def-g8-solids-def) dengan luas alas $B$ dan tinggi $h$:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— yaitu sepertiga [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) atau [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dengan alas dan tinggi yang sama. Untuk [kerucut](#def-g8-solids-def) beralas [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $r$: $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 62.4 (Mengapa sepertiga?).**

Isilah [limas](#def-g8-solids-def) berongga dengan air lalu tuangkan ke dalam [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dengan alas dan tinggi yang sama: airnya pas tiga kali penuangan. Lebih baik lagi: sebuah [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dapat dipotong menjadi tiga [limas](#def-g8-solids-def) yang identik, masing-masing punya sebuah sisi kubusnya sebagai alas dan sebuah [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) kubusnya sebagai puncak (cobalah membayangkannya!). Bukti umumnya memakai pengintegralan, alat di buku Sekolah Menengah.

**Contoh 62.5.**

Sebuah [limas](#def-g8-solids-def) punya alas persegi bersisi $5$ cm dan tinggi $9$ cm:

1. luas alasnya: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Sebuah [kerucut](#def-g8-solids-def) es krim berjari-jari $3$ cm dan tinggi $10$ cm:

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**Contoh 62.6 (Hati-hati dengan tingginya).**

Untuk [kerucut](#def-g8-solids-def), jangan mengacaukan tingginya $h$ (dari puncak ke pusat alasnya, [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)) dengan *garis pelukisnya* $s$ (dari puncak ke tepinya). Keduanya dihubungkan Pythagoras ([Teorema 58.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/58-teorema-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct)) pada [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) puncak–pusat–tepi:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

Karena itu [kerucut](#def-g8-solids-def) dengan $r = 3$ dan $s = 5$ punya tinggi $h = \sqrt{25 - 9} = 4$, dan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**Metode 62.7 (Soal volume).**

1. Kenalilah [bangun ruangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ( [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) / [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [limas](#def-g8-solids-def) / [kerucut](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ );
2. hitunglah luas alasnya $B$ lebih dahulu, sebagai langkah yang terpisah;
3. periksalah bahwa tingginya [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) terhadap alasnya (pakailah Pythagoras kalau garis pelukisnya yang diberikan);
4. kalikan, jagalah satuannya tetap serasi, lalu ubahlah pada akhirnya kalau perlu ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

## 62.3 Jaring-jaring

**Contoh 62.8 (Jaring-jaring limas).**

Membuka lipatan sebuah [limas](#def-g8-solids-def) beraturan beralas persegi memipihkannya menjadi *[jaring-jaringnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-net)*: alas perseginya dengan empat [segitiga sama kaki](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) yang identik menempel pada sisinya. Sisi segitiganya yang sama panjang adalah *[rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) tegak* limasnya — panjangnya bukan $h$ dan bukan pula tinggi sisi tegaknya, jadi berilah nama dengan hati-hati sebelum memotong kartonnya.

![Jaring-jaring limas beralas persegi: lipatlah keempat segitiganya ke atas sampai puncaknya bertemu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-49dab294708c.svg)

*[Jaring-jaring](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-net) [limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi: lipatlah keempat segitiganya ke atas sampai puncaknya bertemu.*

## 62.4 Latihan

**Latihan 62.1 ★.**

Berapa sisi, [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang dipunyai [limas](#def-g8-solids-def) beralas segitiga (yaitu *bidang empat*)? Dengan alas bersegi enam?

**Solusi Latihan 62.1.**

Bidang empat: $4$ sisi, $6$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), $4$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). Alas bersegi enam: $7$ sisi, $12$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), $7$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**Latihan 62.2 ★.**

Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [limas](#def-g8-solids-def) dengan luas alas $36$ cm$^2$ dan tinggi $10$ cm; lalu [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [limas](#def-g8-solids-def) dengan alas persegi panjang $6 \times 4$ cm dan tinggi $7.5$ cm.

**Solusi Latihan 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

Alas persegi panjang: $B = 24$ cm$^2$, jadi $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$.

**Latihan 62.3 ★.**

Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [kerucut](#def-g8-solids-def) berjari-jari $5$ cm dan tinggi $9$ cm (persis dengan $\pi$, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke cm$^3$).

**Solusi Latihan 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**Latihan 62.4 ★.**

Sebuah [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dan sebuah [kerucut](#def-g8-solids-def) punya [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) yang sama $4$ cm dan tinggi yang sama $12$ cm. Hitunglah kedua [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume). Berapa perbandingannya?

**Solusi Latihan 62.4.**

[Tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$. [Kerucut](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$. Perbandingannya: [kerucutnya](#def-g8-solids-def) sepertiga [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism).

**Latihan 62.5 ★.**

Sebuah [limas](#def-g8-solids-def) punya [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $56$ cm$^3$ dan tinggi $8$ cm. Berapa luas alasnya? (Tulislah rumus [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) lalu selesaikan.)

**Solusi Latihan 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, jadi $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$.

**Latihan 62.6 ★.**

Sketsalah [jaring-jaring](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-net) [kerucut](#def-g8-solids-def) (sebuah cakram untuk alasnya, dan sebuah juring cakram yang lebih besar untuk selimutnya). Ukuran [kerucut](#def-g8-solids-def) yang mana yang menjadi [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) juring itu: tingginya $h$ atau garis pelukisnya $s$?

**Solusi Latihan 62.6.**

Selimutnya terbuka menjadi juring cakram yang [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) adalah *garis pelukisnya* $s$ (yaitu jarak dari puncaknya ke tepinya — [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) itu terletak pada permukaannya), bukan tingginya $h$.

**Latihan 62.7 ★★.**

Piramida Louvre punya alas persegi bersisi kira-kira $35$ m dan tinggi kira-kira $22$ m. Taksirlah [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume), sampai ratusan meter kubik terdekat.

**Solusi Latihan 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — kira-kira $9\,000$ meter kubik.

**Latihan 62.8 ★★.**

Sebuah [kerucut](#def-g8-solids-def) punya garis pelukis $13$ cm dan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) alas $5$ cm. Hitunglah tingginya, lalu [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) (persis dengan $\pi$).

**Solusi Latihan 62.8.**

Tingginya: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. [Volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$.

**Latihan 62.9 ★★.**

Sebuah gelas berbentuk [kerucut](#def-g8-solids-def) berjari-jari $4$ cm dan tinggi $9$ cm diisi sampai penuh, lalu dituangkan ke dalam gelas berbentuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) berjari-jari $4$ cm. Tinggi berapa yang dicapai cairannya di dalam [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism)?

**Solusi Latihan 62.9.**

[Jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) sama, jadi [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [kerucutnya](#def-g8-solids-def) sepertiga [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) *untuk tinggi yang sama*: cairannya mencapai $\frac{9}{3} = 3$ cm di dalam [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism).

**Latihan 62.10 ★★.**

Sebuah jam pasir dibuat dari dua [kerucut](#def-g8-solids-def) yang identik ([jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, tinggi $4.5$ cm) yang disambung pada puncaknya. Seluruh pasirnya persis mengisi satu [kerucut](#def-g8-solids-def). Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) pasirnya (persis, lalu dalam cm$^3$ yang [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke persepuluhan), dan berapa bagian dari [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dalam jam pasirnya yang ditempati pasirnya.

**Solusi Latihan 62.10.**

Pasirnya $=$ satu [kerucut](#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi
\approx 18.8$ cm$^3$. Jam pasirnya memuat dua [kerucut](#def-g8-solids-def) seperti itu, jadi pasirnya persis mengisi setengah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dalam seluruhnya.

**Latihan 62.11 ★★★.**

Sebuah [limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi dengan sisi alas $6$ cm punya puncaknya tepat di atas sebuah pojok alasnya, pada tinggi $8$ cm.

1. Apakah rumus $V = \frac13 Bh$ tetap berlaku? (Ya, memang — puncaknya tidak harus berada di tengah. Hitunglah $V$ .)
2. Hitunglah panjang [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) tegak yang terpanjang, dari puncaknya ke pojok alasnya yang di seberang (dua langkah Pythagoras: diagonal alasnya lebih dahulu).

**Solusi Latihan 62.11.**

*1.* Ya: rumus $V = \frac13 Bh$ berlaku untuk letak puncak yang mana pun, asalkan $h$ adalah jarak [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) ke bidang alasnya. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$.

*2.* Diagonal alasnya: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. [Rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) tegak yang terpanjang adalah sisi miring [segitiga siku-siku](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/41-segitiga-dan-segi-empat#def-g6-shapes-triangles) dengan sisi siku-siku $6\sqrt2$ (pada bidang alasnya) dan $8$ (tegak):

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 Soal: Kubus yang dipotong menjadi tiga limas

**Soal 62.1.**

Soal akhir pekan — dari mana faktor $\frac13$ datang, dan apa yang terjadi pada limas yang dipotong di setengah tingginya

Catatan sesudah [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) menyatakan bahwa sebuah [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dapat dipotong menjadi tiga [limas](#def-g8-solids-def) yang identik — “cobalah membayangkannya!”. Soal ini membayangkannya dengan tepat, memperoleh faktor terkenal $\frac13$ darinya secara jujur, lalu memotong kubusnya dengan cara kedua menjadi *enam* [limas](#def-g8-solids-def), dan berakhir dengan mengiris sebuah [limas](#def-g8-solids-def) pada setengah tingginya — dengan hasil yang sedikit orang menebaknya benar pada percobaan pertama.

Sepanjang soal ini, $ABCDEFGH$ adalah [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) bersisi $a$: alasnya $ABCD$, sisi atasnya $EFGH$, dengan $E$ di atas $A$, $F$ di atas $B$, $G$ di atas $C$ dan $H$ di atas $D$.

**Bagian I — Tiga [limas](#def-g8-solids-def) yang berbagi satu puncak.**

1. [Titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $G$ termasuk ke tiga sisi kubusnya. Sebutkan ketiga sisi yang *tidak* memuat $G$ , lalu uraikan ketiga [limas](#def-g8-solids-def) yang diperoleh dengan mengambil masing-masingnya sebagai alas, dengan puncak $G$ setiap kalinya. Berapa sisi, [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dan [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang dipunyai tiap limasnya ( [Contoh 62.2](#ex-g8-solids-count) )?
2. Jelaskan mengapa memutar kubusnya sepertiga putaran terhadap diagonal panjangnya $(AG)$ membiarkan kubusnya tidak berubah tetapi mengocok ketiga alas pada pertanyaan 1 dalam satu daur — dan mengapa karena itu ketiga limasnya salinan yang identik satu sama lain.
3. Dengan menerima bahwa ketiga limasnya mengisi kubusnya tanpa tumpang tindih (model karton cukup meyakinkan), simpulkan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) masing-masingnya.
4. Periksalah ini terhadap rumus pada [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) : [limas](#def-g8-solids-def) dengan alas $ABCD$ dan puncak $G$ punya puncaknya tepat di atas sebuah *pojok* alasnya, persis seperti pada [Latihan 62.11](#exo-g8-solids-11) . Kenalilah tingginya, terapkan rumusnya, lalu bandingkan.
5. Untuk [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) bersisi $6$ cm, sebutkan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) masing-masing dari ketiga limasnya — lalu jelaskan apa hubungan penguraian ini dengan percobaan menuang air pada bab ini (tiga kali mengisi limasnya untuk satu [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) ).

**Bagian II — Enam [limas](#def-g8-solids-def) yang berbagi pusatnya.** Sekarang misalkan $O$ pusat kubusnya, lalu hubungkan $O$ ke keempat [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) masing-masing dari keenam sisinya.

6. Uraikan keenam [limas](#def-g8-solids-def) yang diperoleh, lalu jelaskan mengapa keenamnya salinan yang identik satu sama lain. Berapa tinggi masing-masingnya?
7. Simpulkan, dengan membagi [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) kubusnya, [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) masing-masing dari keenam limasnya.
8. Hitunglah ulang [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) itu dengan rumus $V = \frac13 B h$ , lalu periksalah bahwa kedua jawabannya sesuai.
9. Kedua penguraiannya membenarkan faktor $\frac13$ untuk beberapa [limas](#def-g8-solids-def) yang sangat istimewa. Jelaskan mengapa keduanya belum *membuktikan* [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) untuk setiap [limas](#def-g8-solids-def) dan [kerucut](#def-g8-solids-def) — lalu katakan bagaimana bab ini menangani celah itu: pernyataan mana yang diterima tanpa bukti, percobaan mana yang mendukungnya, dan pada jilid mana dalam seri ini pernyataan itu dibuktikan secara jujur.
10. Sebuah [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) bersisi $6$ cm dipotong menjadi keenam [limas](#def-g8-solids-def) berpusatnya. Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) masing-masingnya, dengan kedua caranya.

**Bagian III — Memotong [limas](#def-g8-solids-def) di setengah tingginya.** $SABCD$ adalah [limas](#def-g8-solids-def) beraturan beralas persegi: sisi alasnya $c$, tingginya $h$, puncaknya $S$ di atas pusat alasnya. Potonglah ia dengan bidang yang melalui *titik tengah* keempat [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) tegaknya $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.

11. Terapkan teorema titik tengah ( [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#thm-g8-midpoints-direct) ) pada segitiga $SAB$ : apa arah dan panjang [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang menghubungkan titik tengah $[SA]$ dan $[SB]$ ? Simpulkan bahwa potongannya adalah persegi bersisi $\frac{c}{2}$ , [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya, pada tinggi $\frac{h}{2}$ .
12. Keping di atas potongannya sendiri adalah [limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi. Sebutkan sisi alas dan tingginya, lalu tunjukkan bahwa [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) persis *seperdelapan* [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) aslinya $V$ .
13. Simpulkan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) keping bawahnya (yaitu *[limas](#def-g8-solids-def) terpancung* , bentuk [limas](#def-g8-solids-def) yang belum selesai). Dengan perbandingan berapa potongan setengah tinggi itu membagi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) ?
14. Piramida Louvre ( [Latihan 62.7](#exo-g8-solids-7) : sisi alas $35$ m, tinggi $22$ m) dibersihkan dalam dua tahap: kacanya di atas setengah tingginya, lalu kacanya di bawah. Berapa bagian *[volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume)* yang duduk di bawah setengah tingginya? Taksirlah dalam meter kubik, sampai ratusan terdekat.
15. Pesan moral umumnya: kalau *semua* ukuran sebuah [limas](#def-g8-solids-def) dikalikan $2$ , apa yang terjadi pada [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) ? Dengan faktor berapa [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) tumbuh ketika setiap ukurannya dikalikan $k$ — dan bagaimana itu menjelaskan, dalam satu baris, “seperdelapan” pada pertanyaan 12?

**Solusi Soal 62.1.**

**1.** $G$ termasuk ke sisi atas $EFGH$ dan ke kedua sisi samping $BCGF$ dan $DCGH$. Ketiga sisi yang *tidak* memuat $G$ adalah alasnya $ABCD$, sisi depannya $ABFE$ dan sisi kirinya $ADHE$ (ketiganya berbagi [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) $A$, yaitu pojok yang di seberang $G$). Ketiga limasnya adalah $ABCDG$, $ABFEG$ dan $ADHEG$: masing-masing punya sebuah sisi persegi kubusnya sebagai alas dan [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) jauhnya $G$ sebagai puncak. Masing-masingnya [limas](#def-g8-solids-def) beralas persegi: $5$ sisi, $8$ [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def), $5$ [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ([Contoh 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** Diagonal panjangnya $[AG]$ menghubungkan satu-satunya dua [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang tidak termasuk ke satu pun dari ketiga alasnya. Perputaran sepertiga putaran terhadap garis $(AG)$ mengirim kubusnya ke dirinya sendiri (ketiga [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang berangkat dari $A$ — menuju $B$, $D$, $E$ — terkocok dalam satu daur, dan begitu pula ketiga [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang tiba di $G$). Perputaran itu membawa alas $ABCD$ ke $ADHE$, lalu $ADHE$ ke $ABFE$, lalu kembali: puncaknya tetap di $G$, alasnya berdaur. Jadi tiap limasnya terbawa ke [limas](#def-g8-solids-def) berikutnya: ketiganya salinan yang identik.

**3.** Tiga keping identik yang mengisi kubusnya berbagi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) sama rata:

$$
V_{\text{limas}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** [Limas](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ punya alas $ABCD$, yang luasnya $a^2$, dan puncaknya $G$ duduk [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) di atas pojok $C$, pada tinggi $CG = a$ (yaitu sebuah [rusuk](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) tegak kubusnya). Seperti pada [Latihan 62.11](#exo-g8-solids-11), rumusnya berlaku dengan tinggi [tegak lurus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) $h = a$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

yang sesuai sempurna dengan pertanyaan 3 — penguraiannya dan rumusnya saling membenarkan.

**5.** Untuk $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ masing-masing. Percobaan menuang airnya adalah penguraian ini yang dicairkan: [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) di atas alas $ABCD$ dengan tinggi $a$ adalah kubusnya sendiri, dan ia memuat persis tiga kali isi limasnya — di sini ketiga isiannya bahkan tersusun secara geometris menjadi kubusnya.

**6.** Menghubungkan pusatnya $O$ ke keempat pojok tiap sisinya menghasilkan enam [limas](#def-g8-solids-def), satu untuk tiap sisi: alas persegi, puncak $O$. Pusatnya terletak sama terhadap keenam sisinya (setiap perputaran atau simetri kubusnya menahan $O$ lalu mempermutasikan sisinya), jadi keenam limasnya identik. Tinggi masing-masingnya adalah jarak dari $O$ ke sebuah sisi: yaitu setengah sisinya, $\frac{a}{2}$.

**7.** Enam keping identik berbagi kubusnya: $V = \frac{a^3}{6}$ masing-masing.

**8.** Dengan rumusnya: luas alasnya $a^2$, tingginya $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

Kedua jawabannya sesuai.

**9.** Kedua penguraiannya menyangkut [limas](#def-g8-solids-def) dengan perbandingan yang sangat istimewa yang dipahat dari sebuah [kubus](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def); [limas](#def-g8-solids-def) yang ramping, [limas](#def-g8-solids-def) yang miring sebelah, atau [kerucut](#def-g8-solids-def) tidak dapat disusun dengan cara ini (tidak ada tiga [kerucut](#def-g8-solids-def) yang mengisi sebuah [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism)). Itulah sebabnya [Teorema 62.3](#thm-g8-solids-volume) *diterima tanpa bukti* pada tingkat ini: penguraiannya dan percobaan menuang airnya membuat $\frac13$ itu sepenuhnya masuk akal, dan bukti umumnya yang jujur — yaitu pengintegralan — diberikan di buku Sekolah Menengah.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; dan menurut rumusnya, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Keduanya sesuai.

**11.** Pada segitiga $SAB$, titik tengah sisi $[SA]$ dan $[SB]$ dihubungkan [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(AB)$ dan panjangnya $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ ([Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#thm-g8-midpoints-direct)). Hal yang sama berlaku pada tiap sisi tegaknya, jadi keempat titik tengahnya membentuk persegi bersisi $\frac c2$, dengan sisinya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya. Pada garis tegak yang melalui puncaknya, potongannya lewat di titik tengah tingginya (dengan teorema titik tengah lagi, pada segitiga yang melalui $S$, pusat alasnya dan sebuah [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) alasnya): jadi bidang potongnya duduk pada tinggi $\frac h2$.

**12.** Keping atasnya adalah [limas](#def-g8-solids-def) beraturan beralas persegi dengan sisi alas $\frac c2$ dan tinggi $\frac h2$ (alasnya adalah potongannya, puncaknya adalah $S$). [Volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) adalah

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

yaitu seperdelapan aslinya — bukan setengahnya.

**13.** [Limas](#def-g8-solids-def) terpancungnya menyimpan sisanya: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. Potongan setengah tinggi itu membagi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dengan perbandingan $1 : 7$ — lempeng bawah yang tampak sederhana memuat tujuh kali [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) puncaknya yang lancip.

**14.** Di bawah setengah tingginya terletak $\frac78$ [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume). Dengan $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx
8\,983$ m$^3$ ([Latihan 62.7](#exo-g8-solids-7)):

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

sampai ratusan terdekat — tahap “separuh bawah” membersihkan hampir delapan kali [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) kaca tahap yang di atasnya.

**15.** Melipatduakan setiap ukurannya mengalikan luas alasnya dengan $2^2 = 4$ dan tingginya dengan $2$, jadi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dengan $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Menskalakan dengan $k$ mengalikan luas dengan $k^2$ dan satu panjang lagi dengan $k$: jadi [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) tumbuh dengan faktor $k^3$. Keping atas pada pertanyaan 12 adalah salinan terskala seluruh limasnya dengan $k = \frac12$, jadi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ seluruhnya — itulah penjelasan satu barisnya.