---
title: "Pecahan dan Pangkat"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat
---

# Bab 63 — Pecahan dan Pangkat

[Pecahan](#def-g9-fractions-fraction) dan [pangkat](#def-g9-fractions-power) adalah alat perhitungan sehari-hari: membagi besaran, membandingkan proporsi, menulis bilangan yang sangat besar atau sangat kecil. Bab ini memantapkan aturan berhitung dengannya — dengan setiap langkah perantaranya ditulis lengkap — lalu memperkenalkan [notasi ilmiah](#def-g9-fractions-scientific).

## 63.1 Berhitung dengan pecahan

**Definisi 63.1 (Pecahan).**

*Pecahan* $\dfrac ab$ (dengan $b \neq 0$) adalah [hasil bagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $a$ oleh $b$. Dua pecahan sama ketika yang satu diperoleh dari yang lain dengan mengalikan (atau membagi) [pembilang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dan [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dengan bilangan bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) yang sama:

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**Contoh 63.2.**

Sederhanakan $\dfrac{42}{56}$ selangkah demi selangkah:

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(Pada [Bab 64](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#ch-g9-arith) faktor persekutuan terbesar akan mengerjakannya dalam satu langkah.)

**Metode 63.3 (Menjumlahkan dan mengurangkan pecahan).**

1. Taruhlah kedua [pecahannya](#def-g9-fractions-fraction) pada *[penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama* (yaitu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) bersama kedua [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) );
2. jumlahkan atau kurangkan [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) , dengan menahan [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) ;
3. sederhanakan hasilnya kalau mungkin.

**Contoh 63.4.**

Hitunglah $\dfrac56 + \dfrac34$. [Penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama dari $6$ dan $4$ adalah $12$:

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

Hitunglah $2 - \dfrac37$. Tulislah $2$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) berpenyebut $7$:

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![Mengapa perlu penyebut yang sama: memotong kedua keseluruhannya menjadi 12 kotak yang sama membuat pecahannya dapat dibandingkan dan dijumlahkan — bersama-sama, 10 + 9 = 19 perdua belas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-1e1232c863b1.svg)

*Mengapa perlu [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang sama: memotong kedua keseluruhannya menjadi $12$ kotak yang sama membuat [pecahannya](#def-g9-fractions-fraction) dapat dibandingkan dan dijumlahkan — bersama-sama, $10 + 9 = 19$ perdua belas.*

**Metode 63.5 (Mengalikan dan membagi pecahan).**

1. Untuk mengalikan, kalikan [pembilangnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama dan [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) bersama: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (sederhanakan *sebelum* mengalikan bilamana mungkin);
2. untuk membagi, kalikan dengan [kebalikan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya#def-g8-fractions-inverse) [pembaginya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**Contoh 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

yang kita sederhanakan dengan faktor bersamanya $7$, lalu dengan $5$. Dan sebuah pembagian:

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 Pangkat

**Definisi 63.7 (Pangkat).**

Untuk bilangan real $a$ dan bilangan bulat positif $n$, *pangkat* $a^n$ adalah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $n$ faktor yang masing-masing sama dengan $a$:

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ faktor}} .
$$

Menurut kesepakatan $a^0 = 1$ (untuk $a \neq 0$), dan [eksponen](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) negatif menyatakan [kebalikannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/55-pecahan-keempat-operasinya#def-g8-fractions-inverse): inverses:

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**Contoh 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$; $(-3)^2 = 9$ tetapi $-3^2 = -(3^2) = -9$ ([eksponennya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) mengikat lebih dahulu daripada tanda minusnya); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$; $5^1 = 5$ dan $5^0 = 1$.

**Teorema 63.9 (Aturan eksponen).**

Untuk semua $a$, $b$ yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) dan semua bilangan bulat $m$, $n$:

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**Bukti.** Untuk [eksponen](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) positif, bilanglah faktornya. Untuk aturan pertama: $a^m \times a^n$ adalah $m$ faktor $a$ yang disusul $n$ faktor $a$, seluruhnya $m + n$ faktor. Untuk yang ketiga: $\left(a^m\right)^n$ mengulang $n$ kali satu blok berisi $m$ faktor, sehingga memberi $mn$ faktor. Kedua aturan lainnya serupa; perluasan ke [eksponen](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) dan negatif diperiksa dari $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (dan itu membuat kesepakatan $a^0 = 1$ menjadi satu-satunya pilihan yang taat asas, karena $a^n \times a^0$ harus sama dengan $a^{n+0} = a^n$). ∎

**Contoh 63.10.**

Sederhanakan selangkah demi selangkah:

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

Dan dengan dua huruf: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 Pangkat sepuluh dan notasi ilmiah

**Proposisi 63.11 (Pangkat sepuluh).**

Untuk bilangan bulat positif $n$: $10^n$ ditulis “$1$ yang disusul $n$ [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)”, dan $10^{-n} = 0.0\dots01$ dengan $1$-nya pada tempat desimal yang ke-$n$. Mengalikan [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places) dengan $10^n$ (berturut-turut $10^{-n}$) menggeser [titik desimalnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/25-persepuluhan-dan-perseratusan#def-g4-decimals-point) $n$ tempat ke kanan (berturut-turut ke kiri).

**Definisi 63.12 (Notasi ilmiah).**

*Notasi ilmiah* sebuah [bilangan desimal](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-places) yang positif adalah satu-satunya cara menuliskannya sebagai

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{dengan } 1 \leq a < 10 \text{ dan } n \text{ bilangan bulat.}
$$

**Contoh 63.13.**

Jarak Bumi–Matahari kira-kira $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times
10^8$ km. Ukuran sebuah molekul air kira-kira $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Untuk berhitung dengan bilangan seperti itu, kelompokkan bagian desimalnya dan [pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluhnya:

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**Metode 63.14 (Menaruh bilangan dalam notasi ilmiah).**

1. Geserlah [titik desimalnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/25-persepuluhan-dan-perseratusan#def-g4-decimals-point) sampai tepat sesudah angka pertama yang bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) ; ini memberi faktor $a$ dengan $1 \leq a < 10$ ;
2. bilanglah berapa tempat titiknya bergeser: bilangan itulah $n$ , positif kalau bilangan semulanya $\geq 10$ , negatif kalau bilangan semulanya $< 1$ ;
3. periksa: $a \times 10^n$ harus menghasilkan bilangan semulanya.

## 63.4 Latihan

**Latihan 63.1 ★.**

Hitunglah lalu berikan hasilnya sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang paling sederhana:

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**Solusi Latihan 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**Latihan 63.2 ★.**

Hitunglah lalu sederhanakan:

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**Solusi Latihan 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (sederhanakan dengan $9$ dan dengan $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (angka $3$ dan $4$ saling meniadakan).

**Latihan 63.3 ★.**

Hitunglah:

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**Solusi Latihan 63.3.**

$2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$.

**Latihan 63.4 ★.**

Tulislah sebagai satu [pangkat](#def-g9-fractions-power):

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**Solusi Latihan 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**Latihan 63.5 ★.**

Tulislah dalam [notasi ilmiah](#def-g9-fractions-scientific): $45\,000$; $0.0072$; $302.5$; $0.000\,000\,9$; dua belas juta.

**Solusi Latihan 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$; $302.5 = 3.025 \times 10^2$; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$; dua belas juta $= 1.2 \times 10^7$.

**Latihan 63.6 ★★.**

Hitunglah, dengan memberikan hasilnya dalam [notasi ilmiah](#def-g9-fractions-scientific):

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**Solusi Latihan 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**Latihan 63.7 ★★.**

Sebuah tangki terisi $\frac35$. Sesudah ditambah $30$ liter tangkinya terisi $\frac34$. Berapa [daya tampung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) tangkinya? (Nyatakan lebih dahulu bagian tangki yang ditambahkan.)

**Solusi Latihan 63.7.**

Air yang ditambahkan mewakili $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ bagian tangkinya. Jadi $\frac{3}{20}$ [daya tampungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) adalah $30$ liter: $\frac{1}{20}$-nya adalah $10$ liter, dan [daya tampungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) $200$ liter.

**Latihan 63.8 ★★.**

Alia memakan $\frac14$ sebuah kue, lalu Beni memakan $\frac13$ [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder), lalu Cinta memakan $\frac12$ dari yang masih tersisa. Berapa bagian kuenya yang tertinggal pada akhirnya? (Hitunglah [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) sesudah tiap langkahnya.)

**Solusi Latihan 63.8.**

Sesudah Alia: $1 - \frac14 = \frac34$ bagian kuenya tersisa. Beni memakan $\frac13 \times \frac34 = \frac14$, sehingga tertinggal $\frac34 - \frac14 = \frac12$. Cinta memakan setengahnya, yaitu $\frac14$, sehingga tertinggal $\frac14$ bagian kuenya.

**Latihan 63.9 ★★.**

Cahaya menempuh $3 \times 10^8$ meter tiap detik. Matahari berjarak kira-kira $1.5 \times 10^{11}$ m. Berapa lama sinar matahari sampai kepada kita? Berikan jawabannya dalam detik (tanpa perlu [notasi ilmiah](#def-g9-fractions-scientific)), lalu dalam menit dan detik.

**Solusi Latihan 63.9.**

Waktunya $= \dfrac{\text{jarak}}{\text{kecepatan}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ detik, yaitu $8$ menit dan $20$ detik.

**Latihan 63.10 ★★★.**

Mana yang lebih besar, $2^{30}$ atau $3^{20}$? (Petunjuk: tulislah keduanya sebagai [pangkat](#def-g9-fractions-power) dengan [eksponen](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) $10$ memakai $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, lalu bandingkan $2^3$ dengan $3^2$.)

**Solusi Latihan 63.10.**

Tulislah kedua bilangannya sebagai [pangkat](#def-g9-fractions-power) dengan [eksponen](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) $10$:

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

Karena $8 < 9$, dengan mengalikan sepuluh salinan masing-masingnya: $8^{10} < 9^{10}$, jadi $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 Soal: Sandi rahasia desimal berulang

**Soal 63.1.**

Soal akhir pekan — setiap pecahan punya penulisan desimal yang berhenti atau berulang, setiap desimal berulang adalah pecahan, dan $0.999\ldots$ sama persis dengan $1$

Bagilah $3$ dengan $11$ dan angkanya jatuh menjadi nyanyian: $0.272727\ldots$ selamanya. Bagilah $1$ dengan $4$ dan angkanya berhenti mati: $0.25$. Soal ini membuktikan bahwa hanya kedua perilaku itulah yang mungkin bagi sebuah [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) — lalu membalikkan mesinnya: diberikan desimal berulang mana pun, mesinnya membangun kembali [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang bersembunyi di baliknya. Di sepanjang jalannya soal ini menyelesaikan, sekali untuk selamanya, kesamaan yang paling diperdebatkan dalam matematika sekolah.

**Bagian I — Dari [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) ke desimal.**

1. Hitunglah dengan pembagian bersusun penulisan desimal $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ dan $\frac{3}{11}$ . Mana yang berhenti, mana yang berulang, dan dengan blok berulang yang mana?
2. Jelaskan mengapa penulisan desimal [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) *apa pun* $\frac ab$ pasti berhenti atau akhirnya berulang. (Pada pembagian bersusun dengan $b$ , nilai apa saja yang dapat diambil [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang berturut-turut? Apa yang terjadi begitu sebuah [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) muncul untuk kedua kalinya?)
3. Doronglah pembagian $1$ oleh $7$ cukup jauh untuk menemukan blok berulangnya. Berapa panjangnya, dan bagaimana perbandingan panjang itu dengan batas yang dijanjikan pertanyaan 2?
4. Beberapa [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) berhenti karena [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dapat digelembungkan menjadi [pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluh: $\frac14 =  \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Jelaskan kriterianya, dan mengapa tidak ada pengali bilangan bulat yang dapat mengubah $3$ , $6$ atau $11$ menjadi $10$ , $100$ , $1000, \dots$ (angka apa yang akan mengakhiri [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) ?).
5. Tanpa membagi, pilahlah $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ dan $\frac{33}{50}$ menjadi “berhenti” dan “berulang”, lalu berikan penulisan desimal kedua [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang berhenti.

**Bagian II — Dari desimal berulang kembali ke [pecahannya](#def-g9-fractions-fraction).**

6. Trik penggeseran. Misalkan $x = 0.7777\ldots$ Hitunglah $10x$ , lalu $10x - x$ , lalu simpulkan $x$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) . Periksalah dengan membagi.
7. Misalkan $x = 0.727272\ldots$ [Pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluh yang mana yang menggeser $x$ tepat satu blok berulang? Pakailah itu untuk menulis $x$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang paling sederhana.
8. Sebuah keadaan campuran: $x = 0.58333\ldots$ (yang berulang hanya $3$ -nya). Hitunglah $1000x - 100x$ lalu simpulkan $x$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang paling sederhana.
9. Yang terkenal: terapkan trik penggeserannya pada $x = 0.9999\ldots$ [Pecahan](#def-g9-fractions-fraction) apa — *bilangan* apa — yang kamu temukan? Rukunkan hasilnya dengan gerak hatimu, sambil mengingat tetangga hantu pada [Soal 38.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#pb-g6-decimals-1) dan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang mengerut pada [Soal 39.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#pb-g6-fractions-1) : apakah $0.999\ldots$ “tepat di bawah” $1$ , atau nama lain untuk $1$ ?
10. Ubahlah $2.454545\ldots$ dan $0.123123123\ldots$ menjadi [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang paling sederhana.

**Bagian III — Kamus yang dilengkapi.**

11. Pertanyaan 6–10 menyarankan sebuah kamus: blok berisi $k$ angka yang berulang sejak [titik desimalnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/25-persepuluhan-dan-perseratusan#def-g4-decimals-point) sama dengan blok itu dibagi $k$ buah sembilan ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Pakailah kamusnya untuk meramalkan $0.037037\ldots$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) , sederhanakan — lalu takjublah: [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang sederhananya mengejutkan mana yang menyanyikan “ $037$ ”? Periksalah dengan pembagian.
12. Gabungkan kamusnya dengan sebuah penggeseran: tulislah $0.0272727\ldots$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang paling sederhana.
13. Bilangan $0.101001000100001\ldots$ (satu $1$ , lalu satu $0$ , lalu satu $1$ , lalu dua $0$ , lalu satu $1$ , lalu tiga $0$ , dan seterusnya) tidak pernah berhenti. Apakah ia desimal yang berulang? Lalu apa kata Bagian I tentangnya — dapatkah ia menjadi [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) ? (Kamu baru saja bertemu bilangan *irasional* pertamamu yang terbukti; yang paling terkenal ditangkap pada [Bab 65](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/65-akar-kuadrat#ch-g9-sqrt) .)
14. Kira-kira berapa angka yang dipunyai $2^{30}$ ? Pakailah $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ dan aturan [eksponennya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/56-pangkat#def-g8-powers-def) ( [Teorema 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) untuk menulis $2^{30}$ dalam [notasi ilmiah](#def-g9-fractions-scientific) (secara hampiran), lalu simpulkan. (Bandingkan [Latihan 63.10](#exo-g9-fractions-10) .)
15. Penutupnya: tulislah $0.20262026\ldots$ sebagai [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) , lalu nyatakan pesan moral dua arah seluruh soalnya: penulisan desimal yang mana yang berupa [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) , dan [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) yang mana yang punya penulisan desimal yang mana?

**Solusi Soal 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (berhenti); $\frac13 = 0.333\ldots$ (bloknya $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (bloknya $3$ sesudah $8$-nya); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (bloknya $27$).

**2.** Pada tiap langkah pembagiannya dengan $b$, [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) adalah salah satu dari $b$ nilai $0, 1, \dots, b - 1$ ([Teorema 37.7](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#thm-g6-wholes-division)). Kalau [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$ muncul, maka pembagiannya berhenti. Kalau tidak, sesudah paling banyak $b$ langkah suatu [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) pasti muncul untuk kedua kalinya — karena langkahnya lebih banyak daripada [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang mungkin — dan sejak saat itu pembagiannya mengulang persis barisan angka yang dihasilkannya sesudah kemunculan pertamanya: penulisan desimalnya berdaur selamanya. Berhenti atau berulang: perilaku yang ketiga tidak ada.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: bloknya $142857$ punya panjang $6$. Pertanyaan 2 menjanjikan pengulangan dalam paling banyak $7$ langkah — di sini [sisanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ semuanya muncul sebelum $1$-nya kembali: yaitu nyanyian terpanjang yang mungkin untuk pembagian dengan $7$.

**4.** $\frac ab$ berhenti persis ketika suatu $\frac{a \times k}{b \times k}$ punya [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) $10$, $100$, $1000, \dots$ — yaitu ketika [penyebutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) dapat dikalikan sampai menjadi [pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluh, seperti $4 \times 25 = 100$ atau $8 \times 125 = 1\,000$. Untuk $3$ dan $6$ hal itu sia-sia: [pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluh punya [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angka $1$, dan setiap [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $3$ punya [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angka yang merupakan [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $3$ — jadi tidak ada [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $3$ (karena itu tidak ada pula [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $6$) yang pernah menjadi $10$, $100$, $1\,000, \dots$ Untuk $11$: membagi $10$, $100$, $1\,000$, $10\,000$ dengan $11$ selalu meninggalkan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), tidak pernah $0$. [Penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang mencapai [pangkat](#def-g9-fractions-power) sepuluh berhenti; semua yang lain berulang.

**5.** $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, jadi berhenti: $\frac{225}{1000} = 0.225$. $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, jadi berhenti: $\frac{66}{100} = 0.66$. $\frac{5}{12}$: $12$ adalah [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $3$, jadi berulang ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$, jadi $10x - x = 7$ (ekornya saling meniadakan dengan sempurna), $9x = 7$ dan $x = \frac79$. Pemeriksaan dengan pembagian: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** Bloknya punya dua angka, jadi geserlah dengan $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, karena itu $99x = 72$ dan $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ dan $100x = 58.333\ldots$; dengan mengurangkannya, $900x = 525$, jadi $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (bagilah dengan $75$). Memang $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, jadi $9x = 9$ dan $x = 1$. Bukan “tepat di bawah” $1$: $0.999\ldots$ *adalah* bilangan $1$, yang ditulis dengan kostum kedua. Bilangan mana pun yang benar-benar di bawah $1$ meninggalkan celah, dan [Soal 38.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#pb-g6-decimals-1) menunjukkan bahwa celah selalu memuat bilangan lain — sedangkan tidak ada yang muat di antara $0.999\ldots$ dan $1$. Sembilan yang tanpa ujung itu adalah [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) cokelat pada [Soal 39.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/39-pecahan-langkah-pertama#pb-g6-fractions-1) yang mengerut di bawah setiap [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) yang positif: tidak ada yang tertinggal.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 +
\frac{5}{11} = \frac{27}{11}$. Dan $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (bagilah dengan $3$).

**11.** Menurut kamusnya: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. Karena $999 = 27 \times 37$, [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) itu menyederhana menjadi $\frac{1}{27}$: jadi [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ yang menyanyikan “$037$”. Pemeriksaan dengan pembagian: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times
0.272727\ldots = \frac{1}{10} \times \frac{27}{99}
= \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (bagilah dengan $9$).

**13.** Blok [nolnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) tumbuh tanpa akhir, jadi tidak ada blok tetap yang dapat berulang selamanya: jadi ia *bukan* desimal berulang (dan tidak pernah berhenti pula). Menurut Bagian I, setiap [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) berhenti atau berulang — jadi bilangan ini sama sekali bukan [pecahan](#def-g9-fractions-fraction): ia irasional, yang dibuat sesuai pesanan. Bintang utama keirasionalan, yaitu $\sqrt2$, disingkap pada [Bab 65](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/65-akar-kuadrat#ch-g9-sqrt).

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx
(1.024)^3 \times 10^9 \approx 1.07 \times 10^9$: yaitu bilangan yang sedikit di atas $10^9$, jadi punya $10$ angka. (Persisnya: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, yang sudah paling sederhana ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ tidak berbagi faktor dengan $2026 = 2 \times 1013$). Kamus yang lengkap: *[pecahan](#def-g9-fractions-fraction) persis adalah desimal yang berhenti atau berulang* — [penyebut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/24-pecahan-pertama#def-g4-fractions-def) yang bersahabat dengan sepuluh berhenti, semua yang lain menyanyikan sebuah blok; dan sebaliknya setiap nyanyian, bahkan tahun kelulusanmu, adalah [pecahan](#def-g9-fractions-fraction) dalam samaran.