---
title: "Aljabar dan Persamaan"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/66-aljabar-dan-persamaan
---

# Bab 66 — Aljabar dan Persamaan

Huruf mewakili bilangan, dan berhitung dengan huruf membuktikan kenyataan tentang *semua* bilangan sekaligus. Bab ini melatih [penjabaran](#def-g9-algebra-expand) dan pemfaktoran — termasuk ketiga kesamaan yang akan mengikutimu di seluruh matematika — lalu menyelesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) berderajat satu, [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def), dan pertidaksamaan sederhana, selalu satu langkah beralasan setiap kalinya.

## 66.1 Menjabarkan

**Definisi 66.1 (Menjabarkan).**

*Menjabarkan* berarti mengubah sebuah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) menjadi sebuah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def), dengan memakai sifat distributif:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Contoh 66.2.**

Tiap suku tanda kurung pertamanya mengalikan tiap suku yang kedua:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

Tandanya ikut bepergian bersama sukunya:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**Teorema 66.3 (Ketiga kesamaannya).**

Untuk semua bilangan $a$ dan $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Bukti.** Jabarkan tiap ruas kirinya. Untuk yang pertama: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Untuk yang kedua, gantilah $b$ dengan $-b$ pada yang pertama. Untuk yang ketiga: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (suku silangnya saling meniadakan). ∎

![Kesamaan (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, yang dilihat sebagai luas: persegi besar bersisi a+b tersusun dari dua persegi dan dua persegi panjang yang sama. Melupakan “2ab” berarti melupakan kedua persegi panjangnya!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*Kesamaan $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, yang dilihat sebagai luas: persegi besar bersisi $a+b$ tersusun dari dua persegi dan dua persegi panjang yang sama. Melupakan “$2ab$” berarti melupakan kedua persegi panjangnya!*

**Contoh 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

Berhitung di kepala: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, dan $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 Memfaktorkan

**Metode 66.5 (Memfaktorkan).**

Untuk memfaktorkan sebuah bentuk, cobalah berurutan:

1. *faktor bersama* : $ka + kb = k(a + b)$ , dengan $k$ boleh berupa tanda kurung juga;
2. *[selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) kuadrat* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *kuadrat sempurna* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (dan dengan $-2ab$ , menjadi $(a-b)^2$ ).

Periksalah selalu dengan [menjabarkan](#def-g9-algebra-expand) hasilnya.

**Contoh 66.6.**

*Faktor bersama:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*Tanda kurung bersama:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[Selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) kuadrat:* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, dan

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

Tiap faktornya masih punya faktor bersama: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2)
\times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 Persamaan

**Metode 66.7 (Persamaan berderajat satu).**

Untuk menyelesaikan [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) seperti $5x - 3 = 2x + 9$:

1. kumpulkan suku $x$ pada satu ruas dan bilangannya pada ruas yang lain, dengan menambahkan besaran yang sama pada kedua ruasnya;
2. sederhanakan tiap ruasnya;
3. bagilah kedua ruasnya dengan koefisien $x$ ;
4. periksalah penyelesaiannya pada [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) aslinya.

**Contoh 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(tambahkan $3 - 2x$ pada kedua ruasnya)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(bagilah dengan 3).}
\end{align*}
$$

Periksa: $5 \times 4 - 3 = 17$ dan $2 \times 4 + 9 = 17$. Penyelesaiannya adalah $4$.

Dengan tanda kurung, jabarkan lebih dahulu: $3(x - 2) = x + 8$ menjadi $3x - 6 = x + 8$, jadi $2x = 14$ dan $x = 7$.

**Teorema 66.9 (Aturan hasil kali nol).**

Sebuah [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) bernilai [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) jika dan hanya jika sedikitnya satu faktornya [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero):

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ atau } \ B = 0 .
$$

**Bukti.** Kalau sebuah faktornya [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero), jelas [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero). Sebaliknya kalau $A B = 0$ dengan $A \neq 0$, membagi kedua ruasnya dengan $A$ memberi $B = 0$. ∎

**Contoh 66.10.**

Selesaikan $(x - 3)(2x + 10) = 0$: entah $x - 3 = 0$ entah $2x + 10 = 0$, jadi penyelesaiannya adalah $3$ dan $-5$.

Selesaikan $x^2 - 49 = 0$: faktorkan lebih dahulu, $(x-7)(x+7) = 0$, penyelesaiannya $7$ dan $-7$.

Selesaikan $x^2 = 3x$: jangan pernah membagi dengan $x$! Pindahkan lalu faktorkan: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, penyelesaiannya $0$ dan $3$.

## 66.4 Pertidaksamaan

**Proposisi 66.11 (Aturan untuk pertidaksamaan).**

Sebuah pertidaksamaan terpelihara ketika bilangan yang sama ditambahkan pada kedua ruasnya, dan ketika kedua ruasnya dikalikan dengan bilangan *positif* yang sama. Mengalikan kedua ruasnya dengan bilangan *negatif* membalikkan tanda pertidaksamaannya.

**Bukti.** Kalau $a \leq b$ maka $b - a \geq 0$. Dengan menambahkan $c$: $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$, jadi $a + c \leq b + c$. Dengan mengalikan dengan $c > 0$: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, jadi $ac \leq bc$. Dengan mengalikan dengan $c < 0$: $(b-a)c \leq 0$, jadi $ac \geq bc$: urutannya terbalik. ∎

**Contoh 66.12.**

Selesaikan $7 - 2x < 15$:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(kurangkan 7)} \\
x &> -4 && \text{(bagilah dengan $-2$: balikkan tandanya).}
\end{align*}
$$

Penyelesaiannya adalah semua bilangan yang lebih besar daripada $-4$: pada garis bilangan, sebuah titik berongga di $-4$ dan arsiran ke kanan.

![Penyelesaian 7 - 2x < 15: semua x > -4 (titik berongga: -4 sendiri bukan penyelesaiannya).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*Penyelesaian $7 - 2x < 15$: semua $x > -4$ (titik berongga: $-4$ sendiri bukan penyelesaiannya).*

## 66.5 Latihan

**Latihan 66.1 ★.**

Jabarkan lalu sederhanakan:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**Solusi Latihan 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**Latihan 66.2 ★.**

Jabarkan dengan memakai kesamaannya:

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**Solusi Latihan 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**Latihan 66.3 ★.**

Hitunglah di kepala, dengan memakai sebuah kesamaan: $101^2$; $59^2$ (tulislah $59 = 60 - 1$); $53 \times 47$.

**Solusi Latihan 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**Latihan 66.4 ★.**

Faktorkan:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**Solusi Latihan 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**Latihan 66.5 ★.**

Selesaikan, dengan menulis tiap langkahnya:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**Solusi Latihan 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$, jadi $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$, jadi $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$, jadi $2x = 16$ dan $x = 8$.

**Latihan 66.6 ★★.**

Selesaikan dengan memakai aturan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero):

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**Solusi Latihan 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ atau $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ atau $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$: satu-satunya penyelesaiannya $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$, jadi $x = 0$ atau $x = 8$.

**Latihan 66.7 ★★.**

Faktorkan $E = (3x + 2)^2 - 25$, lalu selesaikan $E = 0$.

**Solusi Latihan 66.7.**

[Selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) kuadrat dengan $a = 3x + 2$ dan $b = 5$:

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

Aturan [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero): $3x + 7 = 0$ memberi $x = -\frac73$, dan $3x - 3 = 0$ memberi $x = 1$.

**Latihan 66.8 ★★.**

Selesaikan pertidaksamaannya lalu gambarkan penyelesaiannya pada garis bilangan:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**Solusi Latihan 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$, jadi $x \geq 4$ (titik penuh di $4$, arsir ke kanan).

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$, membaginya dengan $-2$ membalikkan tandanya: $x < 2$ (titik berongga di $2$, arsir ke kiri).

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$, jadi $3x \leq -9$, jadi $x \leq -3$ (titik penuh di $-3$, arsir ke kiri).

**Latihan 66.9 ★★.**

Aku memikirkan sebuah bilangan, mengalikannya dengan $3$, menambahkan $7$, dan memperoleh hasil yang sama seperti kalau aku mengalikannya dengan $5$ lalu mengurangkan $9$. Berapa bilanganku? (Susunlah sebuah [persamaan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/57-perhitungan-aljabar-dan-persamaan#def-g8-equations-def) lalu selesaikan.)

**Solusi Latihan 66.9.**

Misalkan $x$ bilangannya: $3x + 7 = 5x - 9$. Lalu $16 = 2x$, jadi $x = 8$. Periksa: $3 \times 8 + 7 = 31$ dan $5 \times 8 - 9 = 31$.

**Latihan 66.10 ★★★.**

Misalkan $n$ sebuah bilangan bulat.

1. Jabarkan $(n + 1)(n - 1)$ lalu simpulkan bahwa [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) kedua tetangga $n$ selalu $n^2 - 1$ (misalnya $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
2. Tunjukkan bahwa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) tiga bilangan bulat yang berurutan selalu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $3$ .

**Solusi Latihan 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (kesamaan ketiga). Tetangga $n$ adalah $n - 1$ dan $n + 1$, jadi [hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) $n^2 - 1$: misalnya $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* Tiga bilangan bulat berurutan dapat ditulis $n - 1$, $n$, $n + 1$. [Jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) adalah

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

yaitu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $3$ (tiga kali yang di tengahnya).

## 66.6 Soal: Aljabar angka

**Soal 66.1.**

Soal akhir pekan — mengapa aturan keterbagian berhasil, trik 1089 yang dibongkar, dan berhitung di kepala yang tampak seperti sihir

Sekolah dasar mengajarimu *aturan* (sebuah bilangan [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $9$ ketika [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya juga demikian); pesulap memainkan *trik* (semua orang berakhir di $1089$); pasar mengetahui *jalan pintas* ($35^2 = 1225$, seketika). Semuanya rahasia yang sama: bilangan dengan angka $a$, $b$, $c$ adalah bentuk $100a + 10b + c$, dan aljabar bab ini ([Teorema 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [penjabaran](#def-g9-algebra-expand), pemfaktoran) dapat membongkarnya. Pada akhir soal ini kamu akan sudah membuktikan aturannya, membongkar triknya, dan mempelajari sihirnya.

**Bagian I — Angka di bawah mikroskop.**

1. Bilangan dua angka dengan angka puluhan $a$ dan angka satuan $b$ adalah $10a + b$ . Jabarkan lalu faktorkan [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) antara bilangannya dan bilangan baliknya, $(10a + b) - (10b + a)$ , lalu nyatakan penemuanmu. Periksalah pada $72 - 27$ .
2. Buktikan aturan sembilan untuk bilangan tiga angka: periksalah kesamaan $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$$ lalu jelaskan mengapa kesamaan itu menunjukkan bahwa sebuah bilangan dan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya meninggalkan *[sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang sama* pada pembagian dengan $9$ — jadi yang satu [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $9$ persis ketika yang lain juga ([Proposisi 64.3](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#prop-g9-arith-rules), yang kini terbukti).
3. Simpulkan aturan tiga dari kesamaan yang sama, dalam satu kalimat.
4. “Membuang sembilan”, pemeriksaan milik para akuntan: untuk menguji $47 \times 86 = 4\,042$ , gantilah tiap bilangannya dengan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angka dari [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , dan $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; lalu $4\,042 \to 10 \to 1$ : cocok. Jelaskan mengapa [hasil kali](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) yang benar pasti lulus ujian itu (tulislah $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ lalu jabarkan), lalu carilah hasil yang salah yang gagal ditangkap ujiannya (mengapa angka yang tertukar tidak terlihat olehnya?).
5. Buktikan aturan sebelas untuk bilangan empat angka: periksalah $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$ lalu pakailah untuk memutuskan apakah $2\,926$ [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $11$.

**Bagian II — Trik 1089.** Triknya: pikirkan bilangan tiga angka yang angka pertama dan terakhirnya berbeda sedikitnya $2$; baliklah urutannya; kurangkan yang lebih kecil dari yang lebih besar; baliklah urutan hasilnya; jumlahkan kedua bilangan terakhirnya. Pesulapnya mengumumkan: *1089*.

6. Mainkan triknya pada $742$ dan pada satu bilangan pilihanmu sendiri.
7. Misalkan bilangannya punya angka $a$ , $b$ , $c$ dengan $a > c$ . Faktorkan pengurangan pertamanya, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , lalu sebutkan semua nilai yang dapat diambilnya ketika $a - c$ berjalan dari $2$ sampai $9$ .
8. Masing-masing [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $99$ itu punya pola angka yang mencolok. Dengan menulis $m = a - c$, periksalah kesamaan $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$$ lalu bacalah ketiga angka $99m$.
9. Jumlahkan $99m$ dengan bilangan baliknya sendiri, dengan memakai angka pada pertanyaan 8, lalu buktikan bahwa [jumlahnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) $1089$ — berapa pun $m$ . Triknya mati; hiduplah aljabarnya.
10. Mengapa pesulapnya menuntut angka pertama dan terakhirnya berbeda sedikitnya $2$ ? Periksalah keadaan $a = c$ dan $a - c = 1$ (yang pengurangannya memberi $99$ , yang harus ditulis $099$ agar pembalikannya berhasil), lalu nyatakan catatan kecil yang menjaga triknya tetap jujur.

**Bagian III — Sihir untuk pemakaian sehari-hari.**

11. Trik ulang tahun: “kalikan bulan kelahiranmu dengan $5$ , tambahkan $7$ , kalikan dua, tambahkan tanggal kelahiranmu, kurangkan $14$ .” Tunjukkan bahwa hasilnya selalu $10m + d$ — yaitu bulan dan tanggalnya, terbaca sekilas. (Cobalah pada seseorang.)
12. Kamu merancang ulang triknya menjadi: “kalikan bulannya dengan $5$ , tambahkan $9$ , kalikan dua, tambahkan tanggalnya.” Bilangan berapa yang kini harus dikurangkan penontonnya pada akhirnya agar bacaan bulan–tanggalnya sama?
13. Trik angka yang hilang: penontonnya memilih bilangan apa pun, mengurangkan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya (pertanyaan 2 berkata hasilnya selalu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$ — jelaskan mengapa untuk bilangan tiga angka), lalu mencoret satu angka yang *bukan [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero)* lalu membacakan angka yang tersisa kepadamu. Jelaskan bagaimana kamu memulihkan angka yang dicoretnya, dan mengapa $0$ harus dikecualikan.
14. Sihir pasar: buktikan kesamaan $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , nyatakan aturan untuk mengkuadratkan bilangan mana pun yang berakhir dengan $5$ , lalu hitunglah $45^2$ , $85^2$ dan $105^2$ di kepalamu.
15. Penutupnya, yang memperluas [Latihan 66.10](#exo-g9-algebra-10) : buktikan bahwa [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) lima bilangan bulat berurutan selalu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $5$ , tetapi [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) *empat* bilangan bulat berurutan *tidak pernah* [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $4$ . (Dua perhitungan pendek — dan satu pesan moral tentang apa yang dilakukan aljabar pada kata “selalu” dan “tidak pernah”.)

**Solusi Soal 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: jadi [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) antara bilangan dua angka dan bilangan baliknya selalu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$. Periksa: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, dan $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** Dengan [menjabarkan](#def-g9-algebra-expand) ruas kanannya: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c
= 100a + 10b + c$. Jadi bilangannya sama dengan [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$ ditambah [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya: kalau dibagi $9$, keduanya meninggalkan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang sama. Khususnya [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$ untuk yang satu berarti [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $0$ untuk yang lain: itulah aturan sembilan, yang terbukti.

**3.** $9(11a + b)$ juga [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $3$, jadi kesamaan yang sama menunjukkan bahwa bilangannya dan [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angkanya meninggalkan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang sama pada pembagian dengan $3$: itulah aturan tiga.

**4.** Tulislah $47 = 9k + 2$ dan $86 = 9l + 5$. Lalu

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

[hasil kalinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/10-perkalian-langkah-pertama#def-g2-mult-def) meninggalkan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) yang sama seperti $2 \times 5 = 10$, yaitu $1$. Karena itu hasil yang benar pun harus meninggalkan [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $1$ — dan $4\,042$ memang begitu. Tetapi ujiannya hanya melihat sisanya: $4\,042$ dan $4\,402$ (yang angkanya tertukar) lulus dengan cara yang sama, jadi lulus tidak membuktikan apa pun — gagal itulah yang menghukum.

**5.** Dengan [menjabarkan](#def-g9-algebra-expand): $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d
= 1000a + 100b + 10c + d$. Jadi bilangannya [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $11$ persis ketika [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) bergantinya $-a + b - c + d$ juga demikian. Untuk $2\,926$: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, yang [habis dibagi](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/37-bilangan-cacah#def-g6-wholes-divisible) $11$: jadi ya, $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$; $495 + 594 = 1\,089$. Contoh yang sah mana pun mendarat di $1\,089$ juga.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. Untuk $a - c = 2, 3, \dots, 9$:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10
- m = 99m$. Jadi ketiga angka $99m$ adalah $m - 1$, lalu $9$, lalu $10 - m$ (periksa $495$: $m = 5$ memberi $4$, $9$, $5$).

**9.** Bilangan balik $99m$ punya angka $10 - m$, $9$, $m - 1$, jadi nilainya $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. Dengan menjumlahkan:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

yang tidak bergantung pada $m$. Berapa pun bilangan awalnya, pesulapnya aman.

**10.** Kalau $a = c$, pengurangannya memberi $0$ dan triknya mati seketika. Kalau $a - c = 1$, pengurangannya memberi $99$, yang harus diperlakukan sebagai untai tiga angka $099$ (baliknya $990$, $99 + 990 = 1\,089$: terselamatkan!). Catatan kecilnya: [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) $1$ berhasil hanya kalau penontonnya menulis hasil pengurangannya dengan tiga angka, termasuk [nol](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/1-membilang-sampai-20#def-g1-counting-zero) di depannya — menuntut jarak sedikitnya $2$ menghindari perdebatannya.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 =
10m + d$: puluhannya (dan ratusannya, untuk Oktober–Desember) menunjukkan bulannya, satuannya (dan puluhannya) tanggalnya.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: kurangkan $18$.

**13.** Menurut pertanyaan 2, $n - (\text{jumlah angka } n) =
9(11a + b)$ untuk $n$ tiga angka: jadi selalu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$ (kesamaan serupa berlaku untuk panjang berapa pun). [Kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/32-pembagian-dan-kelipatan#def-g5-division-multiple) $9$ punya [jumlah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/2-penjumlahan-langkah-pertama#def-g1-addition-def) angka yang juga [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$ (pertanyaan 2 lagi), jadi angka yang dibacakan penontonnya harus dilengkapi sampai [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$ berikutnya: angka yang hilang adalah pelengkap itu. Kekaburannya: kalau angka yang dibacakan sudah berjumlah [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $9$, angka yang dicoret dapat $0$ atau $9$ — mengecualikan $0$ menghapus keraguannya.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 =
100\,t(t + 1) + 25$: tulislah $t(t+1)$, lalu tempelkan $25$ di belakangnya. $45^2$: $4 \times 5 = 20$, jadi $2\,025$. $85^2$: $8 \times 9 = 72$, jadi $7\,225$. $105^2$: $10 \times 11 = 110$, jadi $11\,025$.

**15.** Lima yang berurutan: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) +
(n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$: yaitu [kelipatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor) $5$, selalu. Empat yang berurutan: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 =
4(n + 1) + 2$: yaitu [sisa](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/17-membagi-rata-dan-pembagian#def-g3-division-remainder) $2$ pada pembagian dengan $4$, jadi tidak pernah menjadi [kelipatannya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/64-aritmetika-pembagi-dan-bilangan-prima#def-g9-arith-divisor). Aljabar mengubah “tampaknya berhasil” menjadi *selalu*, dan “aku tidak menemukan contohnya” menjadi *tidak pernah* — dua kata yang tidak dapat dicapai pengujian sebanyak apa pun ([Metode 48.8](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/48-bentuk-aljabar#met-g7-literal-test)).