---
title: "Teorema Thales"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 68
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales
---

# Bab 68 — Teorema Thales

Bagaimana kamu mengukur tinggi sebuah piramida tanpa memanjatnya? Thales dari Miletus membandingkan bayangannya dengan bayangan sebuah tongkat. Teoremanya — [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) memotong [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) menjadi bagian yang [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/67-fungsi-linear-dan-fungsi-afin#def-g9-linfunc-linear) — adalah jantung matematika model berskala, peta, dan perbesaran, sekaligus salah satu teorema bernama yang tertua.

## 68.1 Teoremanya

**Teorema 68.1 (Thales).**

Misalkan dua garis bertemu di sebuah titik $A$. Ambillah $M$ pada garis pertama dan $N$ pada garis kedua, dengan $B$ lebih jauh sepanjang garis pertama dan $C$ lebih jauh sepanjang garis kedua. Kalau garis $(MN)$ dan $(BC)$ *[sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)*, maka segitiga $AMN$ dan $ABC$ punya sisi yang [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/67-fungsi-linear-dan-fungsi-afin#def-g9-linfunc-linear):

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.
$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Kedua susunan Thales: segitiga bersarang (kiri) dan susunan “kupu-kupu”, tempat M dan N duduk di sisi lain A (kanan). Pada keduanya, (MN) (BC) dan ketiga perbandingannya sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-45201f71a40b.svg)

![Kedua susunan Thales: segitiga bersarang (kiri) dan susunan “kupu-kupu”, tempat M dan N duduk di sisi lain A (kanan). Pada keduanya, (MN) (BC) dan ketiga perbandingannya sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-9ab852c1ceba.svg)

*Kedua susunan Thales: segitiga bersarang (kiri) dan susunan “kupu-kupu”, tempat $M$ dan $N$ duduk di sisi lain $A$ (kanan). Pada keduanya, $(MN) \parallel (BC)$ dan ketiga perbandingannya sama.*

**Metode 68.2 (Menghitung sebuah panjang dengan Thales).**

1. Kenalilah titik $A$ tempat kedua garisnya berpotongan dan kedua [garis sejajarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) ; namailah kedua segitiganya;
2. tulislah ketiga perbandingan yang sama, selalu “segitiga kecil dibagi segitiga besar”;
3. tahanlah kesamaan kedua perbandingan yang memuat ketiga panjang yang diketahui dan panjang yang belum diketahui;
4. selesaikan perbandingan yang dihasilkannya dengan perkalian silang.

**Contoh 68.3.**

Pada susunan kiri di atas, andaikan $AM = 3$, $AB = 5$, $AN = 2.4$ dan $MN = 3.3$, lalu marilah kita hitung $AC$ dan $BC$. Thales memberi

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC},
\qquad\text{yaitu}\qquad
\frac35 = \frac{2.4}{AC} = \frac{3.3}{BC}.
$$

Dari $\frac35 = \frac{2.4}{AC}$, dengan mengalikan silang: $3 \times AC = 5 \times 2.4 = 12$, jadi $AC = 4$. Dari $\frac35 = \frac{3.3}{BC}$: $3 \times BC = 16.5$, jadi $BC = 5.5$.

**Contoh 68.4 (Thales dalam kehidupan nyata).**

Sebuah tongkat tegak setinggi $1$ m melemparkan bayangan $1.5$ m, sedangkan sebuah pohon melemparkan bayangan $12$ m pada saat yang sama. Sinar matahari [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), jadi segitiga tongkat-bayangan dan segitiga pohon-bayangan berada pada susunan Thales:

$$
\frac{\text{tinggi pohonnya}}{1} = \frac{12}{1.5},
\qquad\text{jadi pohonnya setinggi } 8 \text{ m.}
$$

## 68.2 Konversnya

**Teorema 68.5 (Konvers Thales).**

Dengan titiknya diletakkan seperti pada [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) ($M$ pada $(AB)$, $N$ pada $(AC)$, dengan urutan yang sama pada kedua garisnya): kalau

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC},
$$

maka garis $(MN)$ dan $(BC)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Metode 68.6 (Membuktikan atau menyangkal kesejajaran).**

1. Hitunglah secara terpisah kedua perbandingannya $\dfrac{AM}{AB}$ dan $\dfrac{AN}{AC}$ (sebagai [pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat#def-g9-fractions-fraction) , bukan sebagai [pembulatan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/38-bilangan-desimal#def-g6-decimals-rounding) );
2. kalau keduanya sama *dan* titiknya berurutan sama pada kedua garisnya, maka garisnya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) (menurut konvers Thales);
3. kalau keduanya berbeda, garisnya *tidak* [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) — karena kalau [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) , teorema Thales akan memaksa perbandingannya sama.

**Contoh 68.7.**

Pada garis 1, $AM = 4$ dan $AB = 10$; pada garis 2, $AN = 6$ dan $AC = 15$. Maka

$$
\frac{AM}{AB} = \frac{4}{10} = \frac25,
\qquad
\frac{AN}{AC} = \frac{6}{15} = \frac25 :
$$

perbandingannya sama, urutannya sama: jadi $(MN) \parallel (BC)$.

Dengan $AC = 14$ sebagai gantinya: $\frac{6}{14} = \frac37 \neq
\frac25$, jadi garisnya tidak [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp).

## 68.3 Perbesaran dan pengecilan

**Definisi 68.8 (Menskalakan sebuah bangun).**

Memperbesar atau mengecilkan sebuah bangun dengan *faktor skala* $k > 0$ berarti mengalikan *semua* panjangnya dengan $k$: disebut *perbesaran* ketika $k > 1$, dan *pengecilan* ketika $k < 1$. Pada susunan Thales, segitiga $AMN$ adalah pengecilan $ABC$ dengan faktor $k = \frac{AM}{AB}$.

**Proposisi 68.9 (Pengaruhnya pada sudut dan luas).**

Menskalakan dengan faktor $k$ mempertahankan sudut dan bentuk bangunnya, mengalikan setiap panjang dengan $k$, dan mengalikan setiap *luas* dengan $k^2$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Melipatduakan panjangnya (k = 2) mengalikan luasnya dengan k2 = 4: empat salinan persegi panjang kecilnya mengubin yang besar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-thales/fig-3772db35e45e.svg)

*Melipatduakan panjangnya ($k = 2$) mengalikan luasnya dengan $k^2 = 4$: empat salinan persegi panjang kecilnya mengubin yang besar.*

**Contoh 68.10.**

Sebuah foto $10 \times 15$ cm diperbesar dengan [faktor skala](#def-g9-thales-scaling) $k = 3$: cetakannya berukuran $30 \times 45$ cm. Luasnya berubah dari $150$ cm$^2$ menjadi $150 \times 9 = 1350$ cm$^2$ — yaitu $9$ kali lebih besar, bukan $3$.

## 68.4 Latihan

**Latihan 68.1 ★.**

Garis $(MN)$ dan $(BC)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), dengan $M$ pada $[AB]$ dan $N$ pada $[AC]$; $AM = 2$, $AB = 6$, $AN = 3$, $BC = 9$. Hitunglah $AC$ dan $MN$.

**Solusi Latihan 68.1.**

Thales: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, yaitu $\dfrac26 = \dfrac13$. Jadi $\dfrac{3}{AC} = \dfrac13$ memberi $AC = 9$, dan $\dfrac{MN}{9} = \dfrac13$ memberi $MN = 3$.

**Latihan 68.2 ★.**

Susunan yang sama: $AM = 5$, $MB = 3$ (hati-hati: $MB$, bukan $AB$!), $AN = 4$. Hitunglah $AC$.

**Solusi Latihan 68.2.**

Carilah lebih dahulu $AB = AM + MB = 5 + 3 = 8$. Lalu $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ memberi $\dfrac58 = \dfrac{4}{AC}$, jadi $5 \times AC = 32$ dan $AC = 6.4$.

**Latihan 68.3 ★.**

Pada susunan kupu-kupu, $A$ terletak antara $M$ dan $B$ dan antara $N$ dan $C$, dengan $(MN) \parallel (BC)$; $AM = 3$, $AB = 7.5$, $AN = 2$, $MN = 2.6$. Hitunglah $AC$ dan $BC$.

**Solusi Latihan 68.3.**

Susunan kupu-kupunya bekerja persis seperti susunan bersarangnya: $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$, yaitu $\dfrac{3}{7.5} = \dfrac25$. Jadi $\dfrac{2}{AC} = \dfrac25$ memberi $AC = 5$, dan $\dfrac{2.6}{BC} = \dfrac25$ memberi $BC = \dfrac{2.6 \times 5}{2} = 6.5$.

**Latihan 68.4 ★.**

$M$ berada pada $[AB]$ dengan $AM = 6$, $AB = 8$; $N$ berada pada $[AC]$ dengan $AN = 9$, $AC = 12$. Apakah garis $(MN)$ dan $(BC)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)?

**Solusi Latihan 68.4.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac68 = \dfrac34$ dan $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34$: perbandingannya sama, titiknya berurutan sama, jadi $(MN) \parallel (BC)$ menurut konvers Thales.

**Latihan 68.5 ★★.**

Sama seperti di atas dengan $AM = 4$, $AB = 6$, $AN = 5$, $AC = 8$. Apakah $(MN)$ dan $(BC)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp)? Berilah alasan dengan hati-hati.

**Solusi Latihan 68.5.**

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac46 = \dfrac23$ dan $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac58$. Pemeriksaan silangnya: $\dfrac23 = \dfrac{16}{24}$ dan $\dfrac58 = \dfrac{15}{24}$: perbandingannya berbeda. Kalau garisnya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp), teorema Thales akan memaksa keduanya sama — jadi $(MN)$ dan $(BC)$ *tidak* [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp).

**Latihan 68.6 ★★.**

Seseorang setinggi $1.8$ m berdiri $2$ m dari kaki sebuah lampu jalan; bayangannya berukuran $3$ m. Gambarlah susunan Thales yang dibentuk lampunya, orangnya, dan ujung bayangannya, lalu hitunglah tinggi lampunya.

**Solusi Latihan 68.6.**

Misalkan $S$ ujung bayangannya, $P$ puncak kepala orangnya, $L$ puncak lampunya. Orangnya ($1.8$ m pada jarak $3$ m dari $S$) dan lampunya (tinggi $h$ pada jarak $3 + 2 = 5$ m dari $S$) adalah dua [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) tegak yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang dipotong sinar cahaya $(SL)$: Thales dari titik $S$ memberi

$$
\frac{1.8}{h} = \frac{3}{5},
\qquad\text{jadi}\quad
h = \frac{1.8 \times 5}{3} = 3 \text{ m}.
$$

**Latihan 68.7 ★★.**

Sebuah peta punya skala $1 : 25\,000$ (panjang pada petanya adalah panjang yang sebenarnya dikalikan $k = \frac{1}{25000}$).

1. Dua desa berjarak $6.8$ cm pada petanya. Berapa jaraknya yang sebenarnya, dalam km?
2. Sebuah hutan berluas $8$ cm $^2$ pada petanya. Berapa luasnya yang sebenarnya, dalam km $^2$ ?

**Solusi Latihan 68.7.**

*1.* Jarak yang sebenarnya: $6.8 \times 25\,000 = 170\,000$ cm $= 1.7$ km.

*2.* Luas menskala dengan $k^2$: luas yang sebenarnya $= 8 \times 25\,000^2$ cm$^2$ $= 8 \times 6.25 \times 10^8$ cm$^2$ $= 5 \times 10^9$ cm$^2$. Karena $1$ km$^2 = 10^{10}$ cm$^2$, itu berarti $0.5$ km$^2$.

**Latihan 68.8 ★★.**

Segitiga $ABC$ punya $AB = 12$, $AC = 15$, $BC = 18$. Titik $M$ pada $[AB]$ memenuhi $AM = 8$, dan garis melalui $M$ yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan $(BC)$ memotong $[AC]$ di $N$.

1. Hitunglah $AN$ dan $MN$ .
2. Berapa [faktor skala](#def-g9-thales-scaling) dari $ABC$ ke $AMN$ ? Bandingkan [keliling](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) kedua segitiganya.

**Solusi Latihan 68.8.**

*1.* Perbandingannya adalah $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{8}{12} =
\dfrac23$. Thales: $AN = \frac23 \times 15 = 10$ dan $MN = \frac23 \times 18 = 12$.

*2.* [Faktor skalanya](#def-g9-thales-scaling) $k = \frac23$. [Kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter): $ABC$ punya $12 + 15 + 18 = 45$, dan $AMN$ punya $8 + 10 + 12 = 30 = \frac23 \times
45$: jadi [kelilingnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-perimeter) pun menskala dengan $k$, seperti setiap panjang.

**Latihan 68.9 ★★★.**

Misalkan $ABCD$ sebuah trapesium dengan $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$ dan $CD = 6$, yang diagonalnya $[AC]$ dan $[BD]$ bertemu di $O$. Dengan memakai Thales pada susunan kupu-kupu di sekitar $O$, hitunglah perbandingan $\dfrac{OA}{OC}$, lalu tunjukkan bahwa $O$ memotong kedua diagonalnya dengan perbandingan yang sama.

**Solusi Latihan 68.9.**

Di sekitar $O$, garis $(AC)$ dan $(BD)$ berpotongan, dan $(AB) \parallel (CD)$: yaitu susunan kupu-kupu dengan segitiga $OAB$ dan $OCD$. Thales memberi

$$
\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac46 = \frac23 .
$$

Jadi $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac23$, dan kesamaan $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}$ mengatakan persis bahwa $O$ memotong kedua diagonalnya dengan perbandingan yang sama.

## 68.5 Soal: Penggaris tanpa ukuran, kamera lubang jarum, dan ketiga rata-rata sebuah trapesium

**Soal 68.1.**

Soal akhir pekan — Thales yang bekerja: membagi ruas garis mana pun menjadi bagian yang sama, mengukur Matahari dengan kotak sepatu, dan trapesium tempat ketiga rata-rata terkenalnya bertemu

Teorema Thales adalah matematika *sinar*: sinar matahari, sinar cahaya lewat lubang jarum, sinar pensil dari sebuah [titik sudut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def). Soal ini memakainya dengan tiga cara — sebagai alat pelukisan (membagi [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) *sepanjang apa pun*, bahkan $\sqrt2$, menjadi bagian yang benar-benar sama), sebagai alat ukur (yaitu [diameter](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) Matahari, dengan kotak sepatu dan sekeping uang logam), dan sebagai kaca pembesar pada trapesium [Latihan 68.9](#exo-g9-thales-9), tempat rata-rata aritmetika, geometri dan harmonik pada seri ini semuanya muncul dalam satu gambar.

**Bagian I — Membagi dengan penggaris tanpa ukuran.**

1. Gambarlah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $[AB]$ sepanjang $7$ cm. Untuk memotongnya menjadi tiga bagian yang sama dengan jangka dan penggaris tanpa ukuran: gambarlah sinar apa saja dari $A$ (yang tidak melalui $B$ ); langkahkan tiga panjang jangka yang sama padanya, yang memberi titik $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ ; hubungkan $P_3$ ke $B$ ; lalu gambarlah [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) $(P_3 B)$ yang melalui $P_1$ dan $P_2$ . Lakukan pelukisannya lalu tandai tempat [garis sejajarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) memotong $[AB]$ .
2. Berilah alasan dengan [Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct) bahwa kedua titik yang ditandai itu memotong $[AB]$ tepat di titik sepertiganya.
3. Sesuaikan caranya untuk membagi sebuah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) menjadi $5$ bagian yang sama, lalu untuk melukis $\frac35$ [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang diberikan.
4. Lukislah titik $M$ pada $[AB]$ dengan $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (yaitu $M$ pada $\frac25$ jalan dari $A$ ). Berapa langkah yang sama pada sinarnya, dan titik yang mana yang dihubungkan ke $B$ ?
5. Mengapa pelukisan ini lebih baik daripada mengukur dengan penggaris berskala? Tinjaulah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) sepanjang $\sqrt2$ (yaitu diagonal persegi satuan, yang irasional menurut [Soal 65.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/65-akar-kuadrat#pb-g9-sqrt-1) ): apa yang akan diberikan pengukuran, dan apa yang diberikan Thales?

**Bagian II — Kamera lubang jarum.** Tusuklah sebuah jarum menembus satu sisi kotak yang tertutup: pada sisi yang di seberangnya, muncul bayangan dunia yang terbalik. Sebuah titik benda, lubang jarumnya, dan titik bayangannya segaris — karena cahaya merambat lurus — jadi bendanya (tinggi $H$, pada jarak $D$ di depan lubangnya) dan bayangannya (tinggi $h$, pada dinding belakang sedalam $d$ di belakang lubangnya) duduk pada susunan kupu-kupu milik Thales.

6. Turunkan rumus lubang jarumnya $h = H \times \frac dD$ dari Thales pada susunan kupu-kupu di sekitar lubangnya.
7. Sebuah pohon $12$ m berdiri $30$ m dari kotak sepatu sedalam $20$ cm. Berapa tinggi bayangannya, dan menghadap ke mana?
8. Arahkan kotaknya ke Matahari: pada $d = 1$ m di belakang lubang jarumnya, bayangan Mataharinya adalah cakram berdiameter kira-kira $9$ mm. Diberikan jarak Mataharinya $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, hitunglah [diameternya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) dalam [notasi ilmiah](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat#def-g9-fractions-scientific) (yaitu notasi pada [Soal 63.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat#pb-g9-fractions-1) yang sedang bekerja). Bandingkan dengan nilai sebenarnya, $1.39 \times 10^9$ m.
9. Bulan: [diameternya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/26-garis-dan-segi-banyak#def-g4-geometry-circle) $3.5 \times 10^6$ m, jaraknya $3.8 \times 10^8$ m. Hitunglah perbandingan $\frac{\text{diameter}}{\text{jarak}}$ untuk Bulan dan untuk Matahari. Kebetulan beruntung apa yang disingkap kedua bilangannya — dan peristiwa menakjubkan apa yang dimungkinkannya?
10. Dalam satu atau dua kalimat: mengapa bayangan lubang jarumnya terbalik, dan mengapa memperbesar lubang jarumnya membuat bayangannya lebih terang tetapi lebih kabur?

**Bagian III — Trapesium ketiga rata-ratanya.** $ABCD$ adalah trapesium pada [Latihan 68.9](#exo-g9-thales-9): $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, dengan diagonal yang berpotongan di $O$ dan $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} =
\frac23$.

11. Latihan kupu-kupu: dua garis berpotongan di $O$ dengan $(MN) \parallel (PQ)$ pada kedudukan kupu-kupu; $OM = 3$ , $OP = 7.5$ , $MN = 4$ dan $OQ = 6$ . Hitunglah $PQ$ dan $ON$ .
12. Jelaskan bagaimana Thales, yang dipakai dengan perbandingan $\frac12$ , memuat teorema titik tengah pada [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#thm-g8-midpoints-direct) sebagai keadaan khususnya.
13. Gambarlah [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) alasnya yang melalui $O$ ; garis itu memotong $[AD]$ di $E$ . Dengan bekerja pada segitiga $ACD$ (perhatikan $\frac{AO}{AC} = \frac25$ ), hitunglah $EO$ .
14. Menurut perhitungan cerminnya pada segitiga $BDC$, potongan $OF$ (dengan $F$ pada $[BC]$) punya panjang yang sama. Simpulkan bahwa $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$ [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang melalui potongan diagonalnya berukuran *[rata-rata harmonik](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1)* kedua alasnya — yaitu rata-rata perjalanan pulang pergi pada [Soal 61.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1), yang muncul kembali dalam geometri murni.
15. Penutup akbarnya: hitunglah ketiga rata-rata klasik kedua alasnya $4$ dan $6$ — aritmetika $\frac{4+6}{2}$ , geometri $\sqrt{4 \times 6}$ , harmonik $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — lalu urutkan. Masing-masingnya hidup dalam trapesiumnya: rata-rata aritmetikanya adalah garis tengah yang menghubungkan titik tengah kedua kakinya ( [Soal 53.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#pb-g7-areas-1) ), [rata-rata harmoniknya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1) adalah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) $EF$ milikmu, dan [rata-rata geometrinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#pb-g8-cosine-1) adalah [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang memotong trapesiumnya menjadi dua trapesium yang *sebangun* (periksalah nilainya dengan kalkulator; buktinya tantangan tambahan yang manis). Di mana ketaksamaan antara ketiganya sudah dibuktikan dalam buku ini ( [Soal 60.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#pb-g8-cosine-1) , [Soal 61.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1) )?

**Solusi Soal 68.1.**

**1.** Pelukisannya menghasilkan dua titik pada $[AB]$; sebutlah keduanya $M_1$ (dari $P_1$) dan $M_2$ (dari $P_2$).

**2.** Pada segitiga $A P_3 B$, [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) $(P_3 B)$ yang melalui $P_1$ dan $P_2$ memotong sisinya secara [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/67-fungsi-linear-dan-fungsi-afin#def-g9-linfunc-linear) ([Teorema 68.1](#thm-g9-thales-direct)):

$$
\frac{A M_1}{AB} = \frac{A P_1}{A P_3} = \frac13,
\qquad
\frac{A M_2}{AB} = \frac{A P_2}{A P_3} = \frac23 .
$$

Jangkanya membuat $A P_1$, $P_1 P_2$, $P_2 P_3$ sama, jadi perbandingannya persis sepertiga — berapa pun sudut sinarnya dan bukaan jangka yang dipilih.

**3.** Untuk seperlima: langkahkan lima panjang yang sama, hubungkan titik kelimanya ke $B$, lalu gambarlah empat [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp). Untuk $\frac35$ sebuah [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects): gambar yang sama, lalu ambillah titik yang dipotong [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang melalui $P_3$: titik itu duduk pada $\frac{3}{5}$ dari $[AB]$ dari $A$.

**4.** $\frac{AM}{MB} = \frac23$ berarti $AM = \frac25 AB$: lima langkah yang sama pada sinarnya, hubungkan $P_5$ ke $B$, lalu [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang melalui $P_2$ menandai $M$.

**5.** Mengukur $\sqrt2 = 1.41421\ldots$ cm selalu hanya memakai desimal yang berhingga banyaknya: setiap “sepertiga” yang terukur adalah hampiran. Pelukisan Thales tidak pernah membaca sebuah bilangan: ia menyerahkan titik yang persis pada $\frac{\sqrt2}{3}$ — yaitu bagian yang sama dari [ruas garis](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-objects) yang bahkan tidak dapat dinyatakan penggaris mana pun ([Soal 65.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/65-akar-kuadrat#pb-g9-sqrt-1)).

**6.** Puncak bendanya, lubangnya dan dasar bayangannya segaris, dan begitu pula dasar bendanya dan puncak bayangannya: yaitu dua garis yang berpotongan di lubangnya, dengan bendanya dan dinding bayangannya [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp). Thales pada kupu-kupunya:

$$
\frac{h}{H} = \frac{d}{D},
\qquad\text{jadi}\qquad
h = H \times \frac dD .
$$

**7.** $h = 12 \times \frac{0.20}{30} = 0.08$ m $= 8$ cm — dan terbalik (sinarnya berpotongan di lubangnya).

**8.** $H = h \times \frac Dd = 9 \times 10^{-3} \times
\frac{1.5 \times 10^{11}}{1} = 1.35 \times 10^{9}$ m. Nilai sebenarnya $1.39 \times 10^9$ m: sebuah kotak sepatu mengukur Matahari sampai [selisih](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/3-pengurangan-langkah-pertama#ex-g1-subtraction-difference) beberapa persen saja.

**9.** Bulan: $\frac{3.5 \times 10^6}{3.8 \times 10^8}
\approx 0.0092$. Matahari: $\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times
10^{11}} \approx 0.0093$. Kedua perbandingannya — yaitu besar tampaknya di langit — hampir sama: jadi Bulan dapat menutupi Matahari *dengan tepat*, tepi bertemu tepi. Kebetulan kosmis itu adalah gerhana matahari total.

**10.** Setiap sinar harus melewati lubang yang satu itu, jadi sinar dari puncak bendanya berlanjut *ke bawah* dan sinar dari dasarnya berlanjut *ke atas*: jadi bayangannya terbalik. Memperbesar lubangnya meloloskan seberkas penuh salinan bayangannya yang sedikit bergeser, yang saling tumpang tindih: lebih terang, tetapi mengabur.

**11.** $\frac{PQ}{MN} = \frac{OP}{OM} = \frac{7.5}{3}
= 2.5$, jadi $PQ = 10$; dan $\frac{ON}{OQ} = \frac{OM}{OP} =
\frac{1}{2.5}$, jadi $ON = \frac{6}{2.5} = 2.4$.

**12.** Kalau [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) itu melalui titik tengah salah satu sisinya, perbandingan Thalesnya $\frac12$, jadi garis itu memotong sisi keduanya di titik tengah *sisi itu*, dan ruas [garis sejajarnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) berukuran setengah alasnya: yaitu persis [Teorema 59.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/59-titik-tengah-dan-garis-sejajar#thm-g8-midpoints-direct). Thales adalah teorema titik tengah yang dibebaskan dari perbandingan $\frac12$.

**13.** Pada segitiga $ACD$, garis $(EO)$ [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya $(CD)$, dengan $\frac{AO}{AC} = \frac{OA}{OA + OC} =
\frac{4}{4 + 6} = \frac25$. Thales: $\frac{EO}{DC} = \frac{AO}{AC} = \frac25$, jadi $EO = \frac25 \times 6 = 2.4$.

**14.** Pada segitiga $BDC$, dengan cara yang sama $\frac{BO}{BD} = \frac25$ dan $OF = \frac25 \times 6 = 2.4$. Karena itu

$$
EF = EO + OF = 4.8
= \frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6} :
$$

yaitu [rata-rata harmonik](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1) kedua alasnya — rata-rata perjalanan pulang pergi ([Soal 61.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1)), yang tergambar dalam sebuah trapesium.

**15.** Aritmetika: $5$; geometri: $\sqrt{24} \approx 4.90$; harmonik: $4.8$. Urutannya: $4.8 < 4.90\ldots < 5$, yaitu harmonik $<$ geometri $<$ aritmetika — dengan kesamaannya hanya untuk alas yang sama. Pada gambarnya: garis tengahnya berukuran $5$, [garis sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) yang melalui potongan diagonalnya $4.8$, dan potongan kesebangunannya $\sqrt{24}$, semuanya bertumpuk di antara alasnya dengan urutan itu. Ketaksamaannya sudah dibuktikan pada [Soal 60.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/60-segitiga-siku-siku-dan-kosinus#pb-g8-cosine-1) (geometri $\leq$ aritmetika, lewat lingkaran dan lewat kesamaan) dan [Soal 61.1](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/61-perbandingan-senilai-kecepatan-dan-rata-rata#pb-g8-speed-1) (harmonik $\leq$ aritmetika); harmonik $\leq$ geometri menyusul dengan menggabungkan keduanya ($H \times A = G^2$, yang dibuktikan di sana juga).