---
title: "Bangun Ruang dan Volume"
book: "Matematika Sekolah Dasar dan Menengah"
subject: math
language: id
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/70-bangun-ruang-dan-volume
---

# Bab 70 — Bangun Ruang dan Volume

Geometri ruang bermula dengan keluarga kecil [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) — [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism), [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism), [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def), [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def), bola — dan dua pertanyaan: berapa banyak yang dimuatnya ([volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume)), dan apa yang kamu lihat ketika mengirisnya ([penampang](#prop-g9-solids-sections))? Bab ini ditutup dengan kenyataan yang sangat penting secara praktis: menskalakan [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dengan $k$ mengalikan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dengan $k^3$.

## 70.1 Bangun ruang klasik dan volumenya

**Teorema 70.1 (Rumus volume).**

Tulislah $B$ untuk luas alasnya dan $h$ untuk tingginya (yaitu jarak antara alasnya dan sisi atau puncak yang di seberangnya).

| [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) | [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) |
| --- | --- |
| [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism), [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def), [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] bola berjari-jari $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

Untuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dan [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) berjari-jari $r$, luas alasnya $B = \pi r^2$; luas permukaan bolanya adalah $4\pi r^2$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Bangun ruang bab ini. Untuk masing-masingnya, volumenya memuat luas alas dan tinggi — kecuali bolanya, yang hanya perlu jari-jarinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-ddee65864b1f.svg)

*[Bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) bab ini. Untuk masing-masingnya, [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) memuat luas alas dan tinggi — kecuali bolanya, yang hanya perlu [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes).*

**Contoh 70.2.**

Sebuah kaleng berbentuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) punya [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm dan tinggi $10$ cm:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3
\approx 0.5 \text{ L}.
$$

[Kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) dengan alas dan tinggi yang sama memuat sepertiganya: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$. Bola berjari-jari $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$.

**Contoh 70.3 (Sebuah limas selangkah demi selangkah).**

Sebuah [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) punya alas persegi bersisi $6$ m dan tinggi $5$ m.

1. Luas alasnya: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
2. [Volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Perhatikan satuannya: kalau sisinya diberikan dalam cm dan tingginya dalam m, salah satunya harus diubah lebih dahulu.

## 70.2 Penampang oleh bidang

**Proposisi 70.4 (Penampang bangun ruang klasiknya).**

Memotong sebuah [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) dengan sebuah bidang menghasilkan bangun datar, yaitu *penampangnya*:

- [prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) atau [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) yang dipotong *[sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya* memberi salinan alasnya, pada tiap ketinggian;
- [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) atau [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) yang dipotong [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya memberi *pengecilan* alasnya: pada jarak $d$ dari puncaknya, [faktor skalanya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#def-g9-thales-scaling) adalah $k = \frac{d}{h}$ ;
- bola berjari-jari $r$ yang dipotong sebuah bidang pada jarak $d < r$ dari pusatnya memberi lingkaran berjari-jari $\sqrt{r^2 - d^2}$ (menurut teorema Pythagoras).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Kiri: memotong kerucut sejajar dengan alasnya pada jarak d dari puncaknya memberi cakram yang terskala k = dh. Kanan: bidang yang berjarak d dari pusat sebuah bola memotongnya menjadi lingkaran berjari-jari √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-a9ae8f33e1dd.svg)

*Kiri: memotong [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya pada jarak $d$ dari puncaknya memberi cakram yang terskala $k = \frac dh$. Kanan: bidang yang berjarak $d$ dari pusat sebuah bola memotongnya menjadi lingkaran berjari-jari $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**Contoh 70.5.**

Sebuah [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) punya [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) alas $6$ dan tinggi $9$. [Penampang](#prop-g9-solids-sections) oleh bidang yang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) dengan alasnya, pada jarak $3$ dari puncaknya, adalah cakram yang terskala $k = \frac39 = \frac13$: jadi [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) $6 \times \frac13 = 2$.

Sebuah bola berjari-jari $5$ dipotong bidang pada jarak $3$ dari pusatnya: [penampangnya](#prop-g9-solids-sections) lingkaran berjari-jari $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 Menskalakan bangun ruang

**Teorema 70.6 (Pengaruh penskalaan pada panjang, luas, volume).**

Ketika sebuah [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) diperbesar atau dikecilkan dengan [faktor skala](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#def-g9-thales-scaling) $k > 0$:

- semua panjangnya dikalikan $k$ ;
- semua luasnya dikalikan $k^2$ ;
- semua [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dikalikan $k^3$ .

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 70.7.**

Sebuah mobil model berskala $\frac{1}{18}$: panjangnya adalah panjang mobil yang sebenarnya dikalikan $k = \frac{1}{18}$, permukaan yang dicatnya dikalikan $k^2 = \frac{1}{324}$, dan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dikalikan $k^3 = \frac{1}{5832}$.

Melipatduakan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) sebuah bola ($k = 2$) mengalikan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dengan $2^3 = 8$: periksalah pada rumusnya, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**Contoh 70.8 (Kerucut terpancung).**

Sebuah [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) setinggi $9$ dengan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) alas $6$ ([volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) dipotong pada jarak $3$ dari puncaknya, lalu [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) kecil di atas potongannya dibuang. [Kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) kecilnya adalah pengecilan dengan $k = \frac13$, jadi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. [Bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) yang tersisa (yaitu *[kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) terpancung*) punya [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 Latihan

**Latihan 70.1 ★.**

Hitunglah [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume): sebuah [balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) ([prisma](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) persegi panjang) berukuran $4 \times 5 \times 12$; sebuah [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) berjari-jari $3$ dan tinggi $7$ (nilai persisnya dengan $\pi$, lalu [dibulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke satuan).

**Solusi Latihan 70.1.**

[Balok](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def): $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[Tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**Latihan 70.2 ★.**

Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) berjari-jari $5$ dan tinggi $12$, lalu [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) dengan alas persegi panjang $8 \times 3$ dan tinggi $10$.

**Solusi Latihan 70.2.**

[Kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 =
100\pi \approx 314$.

[Limas](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def): luas alasnya $B = 8 \times 3 = 24$, jadi $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**Latihan 70.3 ★.**

Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dan luas permukaan bola berjari-jari $6$ (nilai persisnya dengan $\pi$).

**Solusi Latihan 70.3.**

[Volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

Luas permukaannya: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**Latihan 70.4 ★.**

Sebuah bola berjari-jari $10$ dipotong bidang pada jarak $8$ dari pusatnya. Berapa [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) lingkaran [penampangnya](#prop-g9-solids-sections)?

**Solusi Latihan 70.4.**

[Jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) [penampangnya](#prop-g9-solids-sections): $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} =
\sqrt{36} = 6$.

**Latihan 70.5 ★★.**

Sebuah [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) punya [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) alas $8$ dan tinggi $12$. Sebuah bidang [sejajar](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/40-garis-lingkaran-dan-sudut#def-g6-lines-perp) alasnya memotongnya pada jarak $9$ dari puncaknya. Hitunglah [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) [penampangnya](#prop-g9-solids-sections), lalu [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) kecil di atas potongannya.

**Solusi Latihan 70.5.**

[Faktor skala](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/68-teorema-thales#def-g9-thales-scaling) dari seluruh [kerucutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) ke yang kecil: $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [Jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) [penampangnya](#prop-g9-solids-sections): $8 \times \frac34 = 6$.

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) seluruh [kerucutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def): $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) kecilnya: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 =
256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$.

**Latihan 70.6 ★★.**

Sebuah gelas berbentuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) berjari-jari dalam $3$ cm berisi air setinggi $10$ cm. Sebuah bola berjari-jari $2$ cm ditenggelamkan seluruhnya di dalamnya. Naik berapa permukaan airnya? ([Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) yang ditambahkan menyebar pada luas alas gelasnya; berikan kenaikan persisnya, lalu [bulatkan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/21-bilangan-besar#def-g4-numbers-round) ke milimeter.)

**Solusi Latihan 70.6.**

[Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) bolanya: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) ini menyebar pada luas alas $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$, jadi permukaannya naik sebesar

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(kira-kira $12$ mm).

**Latihan 70.7 ★★.**

Sebuah resep mengisi cetakan berbentuk bola berjari-jari $6$ cm. Kamu hanya punya cetakan berbentuk bola berjari-jari $3$ cm. Berapa cetakan kecil yang dapat kamu isi? (Jawablah tanpa menghitung salah satu [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) secara nyata.)

**Solusi Latihan 70.7.**

Cetakan kecilnya adalah pengecilan cetakan besarnya dengan $k = \frac36 = \frac12$, jadi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) yang besar: jadi resepnya mengisi $8$ cetakan kecil.

**Latihan 70.8 ★★.**

Piramida Besar Giza punya alas persegi bersisi kira-kira $230$ m dan tinggi kira-kira $147$ m. Taksirlah [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume), lalu nyatakan dalam jutaan meter kubik.

**Solusi Latihan 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — kira-kira $2.6$ juta meter kubik.

**Latihan 70.9 ★★★.**

Sebuah corong berbentuk [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) berjari-jari $6$ cm dan tinggi $12$ cm, dengan puncaknya di bawah, diisi air sampai setengah *tingginya* (yang diukur dari puncaknya).

1. Berapa bagian [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) corongnya yang terisi?
2. Kalau ia justru diisi dengan setengah *[volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume)* air, tunjukkan bahwa tinggi airnya $d$ memenuhi $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , lalu berikan $d$ sampai milimeter ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**Solusi Latihan 70.9.**

*1.* Airnya membentuk [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) yang terskala $k = \frac12$ (puncaknya di bawah, setengah tingginya), jadi [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) corongnya: yaitu seperdelapan, jauh lebih sedikit daripada setengahnya!

*2.* Air sampai ketinggian $d$ membentuk [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) yang terskala $k = \frac{d}{12}$, dengan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $k^3$ kali [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) corongnya. Setengah [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) berarti $k^3 = \frac12$, yaitu $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. Lalu $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, jadi $d \approx 9.5$ cm: separuh kedua [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) hanya menempati $2.5$ cm teratas — bagian yang lebar pada [kerucutnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) memuat sebagian besar airnya.

## 70.5 Soal: Batu nisan Archimedes

**Soal 70.1.**

Soal akhir pekan — bola itu dua pertiga tabungnya (dua kali), tumpukan 1:2:3, dan hukum kuadrat–kubik yang melarang adanya raksasa

Archimedes membuktikan banyak teorema, tetapi satu teorema membuatnya begitu bangga sehingga ia meminta *gambarnya* dipahat pada makamnya: sebuah bola yang bersarang di dalam [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) tersempitnya. Satu abad kemudian penulis Romawi Cicero, yang menyisir semak berduri dekat Syracusa, mengenali makam itu “dari bolanya dan [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism)”. Soal ini mengambil kembali apa yang disandikan pahatan itu — yaitu keajaiban dua pertiga yang berganda — lalu mengikuti [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dan permukaan ([Teorema 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) menuju hukum yang mengatur raksasa, semut dan planet yang mendingin.

**Bagian I — Pahatannya yang dipecahkan.** Sebuah bola berjari-jari $r$ duduk persis di dalam sebuah [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism): [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) sama, tingginya $2r$.

1. Hitunglah [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) dalam $r$ .
2. Hitunglah perbandingan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) bolanya terhadap [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) . Mengapa Archimedes mungkin menyukai bahwa jawabannya tidak memuat $\pi$ dan tidak memuat $r$ ?
3. Sekarang permukaannya: bandingkan luas permukaan bolanya dengan permukaan *seluruh* [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) (bagian selimutnya ditambah kedua tutupnya). Perbandingan apa yang muncul — sekali lagi?
4. Ruang kosong antara bolanya dan [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) punya [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Tunjukkan bahwa sisa ini persis sama dengan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) *dua [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def)* berjari-jari $r$ dan tinggi $r$ .
5. Sebuah bola basket berjari-jari $12$ cm dijual dalam kotak berbentuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) yang tersempit. Hitunglah kedua [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) (sampai $100$ cm $^3$ terdekat) dan berapa persen kotaknya yang kosong.

**Bagian II — Mangkuk, cetakan dan bulan.**

6. Sebuah mangkuk setengah bola berjari-jari $10$ cm. Hitunglah [daya tampungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/12-uang-dan-pengukuran#def-g2-measure-units) , dalam cm $^3$ dan dalam liter (sampai desiliter).
7. Tumpukan 1:2:3: sebuah [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) , sebuah setengah bola dan sebuah [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) , semuanya berjari-jari $10$ cm dan tinggi $10$ cm. Hitunglah ketiga [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) lalu periksalah perbandingan legendarisnya $1 : 2 : 3$ . (Archimedes tentu menyukai yang ini juga.)
8. Sebuah bola cokelat berjari-jari $3$ cm dilelehkan ke dalam cetakan berbentuk [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) berjari-jari $3$ cm. Tinggi berapa yang dicapai cokelatnya? ( [Pecahan](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/63-pecahan-dan-pangkat#def-g9-fractions-fraction) yang persis, lalu sampai milimeter.)
9. [Jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) Bumi kira-kira $6\,371$ km, [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) Bulan kira-kira $1\,737$ km. Hitunglah perbandingan [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) , lalu — dengan [Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — perbandingan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) : berapa Bulan yang akan muat ke dalam Bumi yang berongga, menurut [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) ?
10. Dari teorema yang sama: berapa perbandingan *luas permukaan* Bumi terhadap Bulan? Dan secara umum, ketika [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) sebuah balon berlipat dua, apa yang terjadi pada [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dan pada permukaannya? Nyatakan *hukum kuadrat–kubiknya* : ketika sebuah bentuk membesar skalanya, [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) melampaui permukaannya.

**Bagian III — Hukum kuadrat–kubik menguasai dunia.**

11. Alasan Galileo terhadap raksasa: bayangkan seorang manusia yang diskalakan naik dengan faktor $10$ , dengan perbandingan yang sama. Dengan faktor berapa beratnya tumbuh (berat mengikuti [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) )? Dengan faktor berapa [penampang](#prop-g9-solids-sections) tulangnya tumbuh (yaitu sebuah luas)? Lalu dengan faktor berapa *tekanan* pada tiap sentimeter persegi tulangnya tumbuh — dan apa yang terjadi pada raksasanya?
12. Hukum yang sama secara terbalik menjelaskan kepahlawanan semut: kekuatan mengikuti [penampang](#prop-g9-solids-sections) otot (yaitu luas), berat mengikuti [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) . Untuk hewan yang $100$ kali lebih kecil pada tiap arahnya, dengan faktor berapa berat dan kekuatannya mengerut, dan dengan faktor berapa perbandingan kekuatan terhadap beratnya membaik?
13. Panas dihasilkan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) tubuhnya dan hilang lewat permukaannya. Tunjukkan bahwa untuk sebuah bola perbandingan permukaan terhadap [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) adalah $\frac{3}{r}$ , lalu hitunglah perbandingan itu untuk $r = 1$ dan $r = 2$ . Mana yang lebih cepat mendingin, tikus atau beruang — dan mengapa bayi perlu topi pada musim dingin?
14. Dua jeruk berbentuk bola berjari-jari $4$ cm dan $5$ cm dijual dengan harga yang sama. Hitunglah perbandingan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) : berapa kali lebih banyak jeruk yang diberikan yang besar untuk uang yang sama?
15. Penutupnya: uraikan dengan tepat apa yang disandikan gambar batu nisannya — yaitu kedua “dua pertiga” pada pertanyaan 2 dan 3 — lalu jawablah Cicero dalam satu kalimat: mengapa seorang ahli matematika akan memilih, mengalahkan setiap penaklukan kejeniusan keteknikannya, sebuah bola di dalam [tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) ?

**Solusi Soal 70.1.**

**1.** $V_{\text{tabung}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{bola}}}{V_{\text{tabung}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. Faktor $\pi$ dan $r^3$ saling meniadakan: perbandingannya *semesta* — benar untuk sebutir kelereng dan untuk sebuah planet. Yaitu hubungan antara bentuk, bukan antara bilangan: persis jenis kebenaran yang layak dipahat pada batu.

**3.** Bola: $4\pi r^2$. [Tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism): selimutnya $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, ditambah dua tutupnya $2 \times \pi r^2$: seluruhnya $6\pi r^2$. Perbandingannya: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — yaitu dua pertiga yang sama, untuk permukaan. (Dan sebagai bonus: luas bolanya persis sama dengan luas selimut [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism).)

**4.** Sisanya: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 =
\frac23 \pi r^3$. Dua [kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def) berjari-jari $r$ dan tinggi $r$: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$. Sama.

**5.** Bolanya: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; kotaknya: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$. Yang kosong: sepertiga kotaknya, kira-kira $33\,\%$ — yang dijamin pertanyaan 2, berapa pun besar bolanya.

**6.** Setengah bola: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times
1\,000 \approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L.

**7.** [Kerucut](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/62-limas-dan-kerucut#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 =
\frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$. Setengah bola: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$. [Tabung](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$. Perbandingannya: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3}
= 1 : 2 : 3$ persis.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ memberi $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm persis.

**9.** [Jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes): $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) menskala seperti kubik ([Teorema 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$. Kira-kira lima puluh Bulan muat di dalam Bumi.

**10.** Permukaan menskala seperti kuadrat: $3.67^2 \approx
13.5$. Melipatduakan [jari-jari](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes) balon mengalikan [volumenya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) dengan $2^3 = 8$ tetapi permukaannya hanya dengan $2^2 = 4$: jadi ketika benda membesar, [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) (berat, isi, panas yang dihasilkan) melampaui permukaan (kulit, bahan, panas yang hilang) — itulah hukum kuadrat–kubik.

**11.** Beratnya: $\times 10^3 = 1\,000$. [Penampang](#prop-g9-solids-sections) tulangnya: $\times 10^2 = 100$. Tekanannya — yaitu berat tiap luas tulangnya: $\times \frac{1000}{100} = 10$. Tulang yang dibangun untuk tekanan manusia menerima sepuluh kali lebih besar: kerangka raksasanya patah di bawah beratnya sendiri. Raksasa mustahil secara geometris; hewan yang besar perlu tulang yang tebalnya tidak [sebanding](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/67-fungsi-linear-dan-fungsi-afin#def-g9-linfunc-linear) (bandingkan kaki gajah dengan kaki kijang).

**12.** Beratnya: $\div 100^3 = 10^6$. Kekuatannya (yaitu [penampang](#prop-g9-solids-sections) otot): $\div 100^2 = 10^4$. Kekuatan terhadap beratnya: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. Semut yang mengangkat lima puluh kali beratnya bukan atlet super — ia hanya kecil; seorang manusia yang dikerutkan sampai seukuran semut dapat berbuat serupa.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3}
= \dfrac{3}{r}$: untuk $r = 1$ perbandingannya $3$, untuk $r = 2$ perbandingannya $1.5$ — membagi dua ukurannya melipatduakan permukaan yang tersedia tiap satuan [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume) penghasil panas. Tubuh yang kecil membuang panas: tikusnya harus makan terus-menerus, beruangnya dapat berhibernasi, dan bayinya — bola kecil dengan $\frac Sr$ yang besar — perlu topinya.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx
1.95$: jeruk yang besar memuat hampir *dua kali* buahnya untuk harga yang sama. Belilah [jari-jarinya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/18-bangun-datar-dan-sudut-siku-siku#def-g3-shapes-shapes).

**15.** Pahatannya berkata: bola $= \frac23$ [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) menurut [volume](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/43-keliling-luas-volume#def-g6-measure-volume), *dan* $\frac23$ [tabungnya](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/53-luas-dan-volume#def-g7-areas-prism) menurut permukaan seluruhnya — yaitu dua perbandingan yang persis dan semesta yang menghubungkan [bangun ruang](https://one-course.com/books/math/1/id/chapter/35-kubus-dan-balok#def-g5-solids-def) paling bundar dengan yang paling sederhana. Jawaban untuk Cicero: karena sebuah teorema adalah satu-satunya monumen yang tidak dikikis tentara maupun abad — mesin Archimedes ikut terbakar di kota Syracusa, tetapi dua pertiganya masih persis dua pertiga.