--- title: "Vermenigvuldigen" book: "Wiskunde basisschool en onderbouw" subject: math language: nl chapter: 16 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/16-vermenigvuldigen --- # Hoofdstuk 16 — Vermenigvuldigen Drie zakjes met zeven knikkers: je kunt $7 + 7 + 7$ optellen, maar het kan sneller — met vermenigvuldigen, de bewerking van het herhaald optellen. In dit hoofdstuk bouwen we de tafels op uit plaatjes en leer je daarna het cijferen. ## 16.1 Wat vermenigvuldigen betekent **Definitie 16.1 (Vermenigvuldigen).** Het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) $3 \times 7$ betekent “drie keer zeven”: $$ 3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 . $$ In een plaatje is $3 \times 7$ een rechthoek van stippen: $3$ rijen van $7$ stippen. ![Dezelfde 21 stippen, per rij of per kolom geteld: de volgorde van een product maakt niets uit. Wie 3 × 7 kent, krijgt 7 × 3 er gratis bij — de helft van de tafels te leren!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-fb31479b3aa7.svg) *Dezelfde $21$ stippen, per rij of per kolom geteld: de volgorde van een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) maakt niets uit. Wie $3 \times 7$ kent, krijgt $7 \times 3$ er gratis bij — de helft van de tafels te leren!* **Propositie 16.2 (Regels die helpen).** 1. De volgorde maakt niets uit: $a \times b = b \times a$ . 2. Met $1$ vermenigvuldigen verandert niets; met $0$ vermenigvuldigen geeft $0$ . 3. Met $10$ vermenigvuldigen zet er een [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) achter: $34 \times 10 = 340$ ; met $100$ twee nullen. 4. Een tafel kun je uit zijn buren opbouwen: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ . **Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎ **Voorbeeld 16.3 (De tafelkaart).** Alle tafels passen in één vierkant. Om $6 \times 7$ af te lezen: rij $6$, kolom $7$. | $\times$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $1$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | $2$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | | $3$ | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | | $4$ | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | | $5$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | | $6$ | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | | $7$ | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | | $8$ | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | | $9$ | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | Het vierkant is symmetrisch om zijn diagonaal — dat is regel 1, zichtbaar gemaakt. ## 16.2 Cijferend vermenigvuldigen **Methode 16.4 (Met een getal van één cijfer vermenigvuldigen).** Om $234 \times 6$ uit te rekenen: 1. vermenigvuldig de eenheden: $4 \times 6 = 24$ : schrijf $4$ , onthoud $2$ ; 2. vermenigvuldig de tientallen en tel het onthoudcijfer erbij: $3 \times 6 + 2 = 20$ : schrijf $0$ , onthoud $2$ ; 3. vermenigvuldig de honderdtallen en tel het onthoudcijfer erbij: $2 \times 6 + 2 = 14$ : schrijf $14$ . $$ \begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array} $$ Controleer met een schatting: $234$ ligt dicht bij $200$, en $200 \times 6 = 1\,200$: de uitkomst $1\,404$ is aannemelijk. **Voorbeeld 16.5 (Splitsen om uit het hoofd te rekenen).** Het cijferen splitst het getal in stilte naar plaatswaarden. Doe uit het hoofd hetzelfde: $$ 23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 . $$ En met een vriendelijk buurgetal: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$. ![Waarom splitsen werkt: een rechthoek van 23 × 4 vakjes bestaat uit een stuk 20 × 4 en een stuk 3 × 4 — 80 + 12 = 92 vakjes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-mult/fig-6ebeb59e65b5.svg) *Waarom splitsen werkt: een rechthoek van $23 \times 4$ vakjes bestaat uit een stuk $20 \times 4$ en een stuk $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ vakjes.* ## 16.3 Vermenigvuldigen in verhaaltjes **Voorbeeld 16.6.** In een minibus passen $9$ passagiers. Hoeveel passagiers kunnen $27$ minibussen vervoeren? 1. Het is een vermenigvuldiging: $27$ groepjes van $9$ . 2. $27 \times 9 = 243$ (met cijferen, of $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ). 3. Antwoordzin: de minibussen kunnen $243$ passagiers vervoeren. ## 16.4 Oefeningen **Oefening 16.1 ★.** Schrijf als vermenigvuldiging en reken uit: $8 + 8 + 8 + 8$; $5 + 5 + 5$; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$. **Oplossing van Oefening 16.1.** $8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$; $20 \times 5 = 100$. **Oefening 16.2 ★.** Zeg op en vul aan: $6 \times 7$; $8 \times 4$; $9 \times 9$; $7 \times 8$; $6 \times 6$. **Oplossing van Oefening 16.2.** $42$; $32$; $81$; $56$; $36$. **Oefening 16.3 ★.** Teken een rechthoek van stippen voor $4 \times 6$, en daarna een voor $6 \times 4$. Wat valt je op aan de twee aantallen? **Oplossing van Oefening 16.3.** Beide rechthoeken bevatten dezelfde $24$ stippen — de ene is de andere een kwartslag gedraaid: $4 \times 6 = 6 \times 4$. **Oefening 16.4 ★.** Reken uit met de regels van [Propositie 16.2](#prop-g3-mult-rules): $56 \times 10$; $8 \times 100$; $73 \times 0$; $45 \times 1$; $30 \times 10$. **Oplossing van Oefening 16.4.** $560$; $800$; $0$; $45$; $300$. **Oefening 16.5 ★.** Vermenigvuldig cijferend: $132 \times 3$; $217 \times 4$; $408 \times 7$. **Oplossing van Oefening 16.5.** $132 \times 3 = 396$; $217 \times 4 = 868$; $408 \times 7 = 2\,856$. **Oefening 16.6 ★.** Reken uit het hoofd door te splitsen (zoals in [Voorbeeld 16.5](#ex-g3-mult-split)): $31 \times 5$; $42 \times 3$; $25 \times 6$. **Oplossing van Oefening 16.6.** $31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$. **Oefening 16.7 ★.** Reken met een vriendelijk buurgetal: $99 \times 7$; $101 \times 6$; $98 \times 5$. **Oplossing van Oefening 16.7.** $99 \times 7 = 700 - 7 = 693$; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$. **Oefening 16.8 ★.** Schat eerst en reken dan uit: $389 \times 5$ (schat met $400$); $612 \times 8$ (schat met $600$). **Oplossing van Oefening 16.8.** $389 \times 5$: schatting $400 \times 5 = 2\,000$; precies $1\,945$. $612 \times 8$: schatting $600 \times 8 = 4\,800$; precies $4\,896$. **Oefening 16.9 ★.** In een eierdoos gaan $6$ eieren. Hoeveel eieren zitten er in $38$ dozen? Schrijf de bewerking op, reken uit en antwoord met een zin. **Oplossing van Oefening 16.9.** $38 \times 6 = 228$. Er zitten $228$ eieren in de dozen. **Oefening 16.10 ★★.** In een klaslokaal staan $8$ rijen van $4$ tafels; aan elke tafel zitten $2$ leerlingen. Hoeveel leerlingen kunnen er in het lokaal zitten? (Twee vermenigvuldigingen.) **Oplossing van Oefening 16.10.** Tafels: $8 \times 4 = 32$. Leerlingen: $32 \times 2 = 64$. In het lokaal kunnen $64$ leerlingen zitten. **Oefening 16.11 ★★.** Zoek alle manieren om $24$ stoelen in gelijke rijen te zetten (rijen van $1$, van $2$, …). Welke opstellingen kunnen? (Gebruik de tafelkaart: zoek $24$ erin op.) **Oplossing van Oefening 16.11.** $24$ komt in de tafelkaart voor als $1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$ — en als dezelfde paren omgedraaid. Mogelijke opstellingen: $1$ rij van $24$, $2$ rijen van $12$, $3$ rijen van $8$, $4$ rijen van $6$, $6$ rijen van $4$, $8$ rijen van $3$, $12$ rijen van $2$, $24$ rijen van $1$. **Oefening 16.12 ★★.** Zoë rekent $47 \times 6$ zo uit: $40 \times 6 = 240$, $7 \times 6 = 42$, en dan $240 + 42 = 282$. Léa rekent $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$. Leg beide manieren uit. Welke gebruik je liever voor $38 \times 4$? Reken het op beide manieren uit. **Oplossing van Oefening 16.12.** Zoë splitst $47$ in $40 + 7$ (het cijferen in haar hoofd); Léa vervangt $47$ door het vriendelijke $50$ en verbetert door de $3 \times 6$ die ze te veel heeft geteld weer af te halen. Voor $38 \times 4$: de manier van Zoë geeft $120 + 32 = 152$; de manier van Léa geeft $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$. Beide werken — die van Léa is hier sneller, omdat $38$ dicht bij $40$ ligt.