---
title: "Lijnen en veelhoeken"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 26
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken
---

# Hoofdstuk 26 — Lijnen en veelhoeken

Met een lat, een geodriehoek en een passer wordt meetkunde een ambacht. In dit hoofdstuk leer je de twee bijzondere standen van lijnen — [loodrecht](#def-g4-geometry-def) en [parallel](#def-g4-geometry-def) — met het gereedschap in de hand, en maken we een rondje langs de familie van de [veelhoeken](#def-g4-geometry-polygon). (De theorie van deze begrippen komt in [Hoofdstuk 40](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#ch-g6-lines).)

## 26.1 Loodrecht en parallel

**Definitie 26.1 (Loodrecht, parallel).**

Twee lijnen staan *loodrecht* op elkaar als ze elkaar onder een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) snijden (te controleren met de geodriehoek, aangegeven met een vierkantje). Twee lijnen zijn *parallel* als ze dezelfde richting hebben en elkaar nooit snijden — zoals de twee rails van een spoor, altijd op dezelfde afstand van elkaar.

**Methode 26.2 (Tekenen met de geodriehoek).**

*De loodlijn op een lijn $d$ door een punt $P$*: leg één rand van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) langs $d$, schuif tot de andere rand bij $P$ komt, en teken.

*De [parallel](#def-g4-geometry-def) aan $d$ door $P$*: leg de rand van de geodriehoek langs $d$, druk de lat als rail tegen een andere rand, schuif de geodriehoek langs de lat tot bij $P$, en teken.

![De twee constructies. Parallelle lijnen houden een vaste afstand: die afstand op twee plaatsen meten is een goede controle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-cfc9b607468b.svg)

*De twee constructies. [Parallelle lijnen](#def-g4-geometry-def) houden een vaste afstand: die afstand op twee plaatsen meten is een goede controle.*

**Voorbeeld 26.3 (Ze in figuren herkennen).**

In een rechthoek staat elke zijde [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op haar twee buren en is ze [parallel](#def-g4-geometry-def) aan de zijde die ertegenover ligt. Ruitjespapier is een kant-en-klaar netwerk van parallelle en [loodrechte lijnen](#def-g4-geometry-def) — daarom is het zo prettig om erop te tekenen.

## 26.2 Veelhoeken

**Definitie 26.4 (Veelhoek).**

Een *veelhoek* is een gesloten figuur waarvan de rand uit rechte lijnstukken bestaat, de *zijden*; de hoekpunten zijn de *hoekpunten*. Veelhoeken worden genoemd naar hun aantal zijden: *driehoek* ($3$), *vierhoek* ($4$), *vijfhoek* ($5$), *zeshoek* ($6$), *achthoek* ($8$).

![De familie van de veelhoeken (de vijfhoek en de zeshoek die hier getekend zijn, zijn regelmatig: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen veelhoek: zijn rand bestaat niet uit lijnstukken.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-2d34329b34d9.svg)

*De familie van de [veelhoeken](#def-g4-geometry-polygon) (de [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon) en de [zeshoek](#def-g4-geometry-polygon) die hier getekend zijn, zijn *regelmatig*: gelijke zijden en gelijke hoeken). Een cirkel is geen [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon): zijn rand bestaat niet uit lijnstukken.*

**Voorbeeld 26.5 (Een veelhoek beschrijven).**

Een nuttig spel: beschrijf een figuur zo precies dat een klasgenoot hem kan natekenen zonder hem te zien. “Een [vierhoek](#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ met $AB = 5$ cm, een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $A$, $AD = 3$ cm …” — de juiste woorden zijn wat de boodschap laat werken.

## 26.3 De cirkel en de passer

**Definitie 26.6 (Cirkel).**

De *cirkel* met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm bestaat uit alle punten die precies $3$ cm van $O$ liggen. De passer tekent hem: punt op $O$, opening $3$ cm, ronddraaien. Een *diameter* is een lijnstuk door het middelpunt dat twee punten van de cirkel verbindt; hij is twee keer zo lang als de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes).

**Voorbeeld 26.7 (De passer als afstandsbewaarder).**

De passer doet meer dan cirkels tekenen: hij *verplaatst afstanden*. Om alle punten op $4$ cm van een punt $A$ te markeren, teken je de cirkel met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; om twee lijnstukken zonder lat te vergelijken, zet je de passer op het ene en probeer je hem op het andere.

**Methode 26.8 (Een figuur op een raster natekenen).**

1. Kies een beginhoekpunt en zijn plaats op het lege raster;
2. loop de figuur [hoekpunt](#def-g4-geometry-polygon) na [hoekpunt](#def-g4-geometry-polygon) af en tel de stappen op het raster (“ $3$ naar rechts, $2$ naar boven”);
3. verbind de [hoekpunten](#def-g4-geometry-polygon) op volgorde en vergelijk met het voorbeeld: dezelfde lengtes, dezelfde richtingen.

## 26.4 Oefeningen

**Oefening 26.1 ★.**

Teken een lijn $d$ en een punt $P$ dat er niet op ligt. Construeer de loodlijn op $d$ door $P$, en daarna de [parallel](#def-g4-geometry-def) aan $d$ door $P$ (met de lat als rail). Zet het teken voor de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) erbij.

**Oplossing van Oefening 26.1.**

Constructies met [Methode 26.2](#met-g4-geometry-draw); het vierkantje geeft de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) tussen $d$ en de loodlijn aan.

**Oefening 26.2 ★.**

Bekijk de hoofdletters E, H, N, T, Z. Zoek in elke letter een paar parallelle strepen en een paar loodrechte strepen, als die er zijn.

**Oplossing van Oefening 26.2.**

E: de drie horizontale strepen zijn [parallel](#def-g4-geometry-def); elk staat [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op de verticale streep. H: de twee verticale strepen zijn [parallel](#def-g4-geometry-def), de dwarsstreep staat [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op beide. N: de twee verticale strepen zijn [parallel](#def-g4-geometry-def); de diagonaal is geen van beide. T: de twee strepen staan [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op elkaar. Z: de bovenste en de onderste streep zijn [parallel](#def-g4-geometry-def); de diagonaal is geen van beide.

**Oefening 26.3 ★.**

Noem elke [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon): $6$ zijden; $4$ zijden; $3$ zijden; $8$ zijden; $5$ zijden. Hoeveel *[hoekpunten](#def-g4-geometry-polygon)* heeft elk?

**Oplossing van Oefening 26.3.**

[Zeshoek](#def-g4-geometry-polygon); [vierhoek](#def-g4-geometry-polygon); driehoek; [achthoek](#def-g4-geometry-polygon); [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon). Een [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon) heeft even veel [hoekpunten](#def-g4-geometry-polygon) als zijden: $6$, $4$, $3$, $8$, $5$.

**Oefening 26.4 ★.**

Teken een willekeurige [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon) (niet noodzakelijk regelmatig) en noem de [hoekpunten](#def-g4-geometry-polygon) $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Hoeveel zijden heeft hij? Teken de diagonalen vanuit $A$ (lijnstukken van $A$ naar [hoekpunten](#def-g4-geometry-polygon) die geen buren zijn): hoeveel zijn dat?

**Oplossing van Oefening 26.4.**

Een [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon) heeft $5$ zijden. Vanuit $A$ zijn $C$ en $D$ geen buren: twee diagonalen, $[AC]$ en $[AD]$.

**Oefening 26.5 ★.**

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; een [diameter](#def-g4-geometry-circle) $[AB]$; en een punt $M$ van de cirkel dat niet op $[AB]$ ligt. Geef de lengtes $OA$, $OM$ en $AB$ zonder te meten.

**Oplossing van Oefening 26.5.**

$OA = 4$ cm (de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)); $OM = 4$ cm (elk punt van de cirkel); $AB = 8$ cm (een [diameter](#def-g4-geometry-circle) is twee keer de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)).

**Oefening 26.6 ★.**

Vergelijk met de passer als afstandsbewaarder ([Voorbeeld 26.7](#ex-g4-geometry-compass)) de zijden van een driehoek die een klasgenoot heeft getekend, en beslis of hij twee gelijke zijden heeft.

**Oplossing van Oefening 26.6.**

Zet de passer op één zijde en breng die opening naar de twee andere zijden: past de opening precies op een tweede zijde, dan zijn die twee zijden even lang.

**Oefening 26.7 ★.**

Teken dit pad op ruitjespapier na en sluit het tot een [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon): begin in een punt $A$; ga $4$ naar rechts; $2$ naar boven; $3$ naar links; $2$ naar boven; en dan in een rechte lijn terug naar $A$. Hoe heet de [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon) die je krijgt (tel de zijden)?

**Oplossing van Oefening 26.7.**

Het pad sluit tot een [veelhoek](#def-g4-geometry-polygon) met $5$ zijden — een [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon) (en geen regelmatige!).

**Oefening 26.8 ★.**

Waar of niet waar? Leg uit met een tekening. “Twee [loodrechte lijnen](#def-g4-geometry-def) snijden elkaar altijd.” “Twee [parallelle lijnen](#def-g4-geometry-def) snijden elkaar nooit.” “Een lijn kan [parallel](#def-g4-geometry-def) zijn aan de ene lijn en [loodrecht](#def-g4-geometry-def) staan op een andere.”

**Oplossing van Oefening 26.8.**

“Twee [loodrechte lijnen](#def-g4-geometry-def) snijden elkaar altijd”: waar — ze snijden elkaar juist in de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle).

“Twee [parallelle lijnen](#def-g4-geometry-def) snijden elkaar nooit”: waar — dat is hun definitie.

“Een lijn kan [parallel](#def-g4-geometry-def) zijn aan de ene lijn en [loodrecht](#def-g4-geometry-def) staan op een andere”: waar — op ruitjespapier is een horizontale lijn [parallel](#def-g4-geometry-def) aan elke horizontale lijn en [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op elke verticale.

**Oefening 26.9 ★★.**

Teken een lijn $d$, dan een lijn $e$ die [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op $d$ staat, en dan een lijn $f$ die [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op $e$ staat. Bekijk $d$ en $f$: wat valt je op? (Deze observatie wordt een stelling in [Hoofdstuk 40](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#ch-g6-lines).)

**Oplossing van Oefening 26.9.**

De lijnen $d$ en $f$ lijken [parallel](#def-g4-geometry-def) — en dat zijn ze altijd: twee lijnen die [loodrecht](#def-g4-geometry-def) op dezelfde lijn staan, zijn [parallel](#def-g4-geometry-def) ([Propositie 40.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#prop-g6-lines-facts) maakt het officieel).

**Oefening 26.10 ★★.**

Beschrijf de volgende figuur in woorden voor een klasgenoot, zonder hem te laten zien: een vierkant met zijde $4$ cm, met een cirkel van [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm met het midden van het vierkant als middelpunt (die de vier zijden raakt). Schrijf de beschrijving als genummerde instructies.

**Oplossing van Oefening 26.10.**

Een goed programma is bijvoorbeeld: “1. Teken een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm. 2. Zet het punt $O$ waar zijn diagonalen elkaar snijden. 3. Teken de cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm.” De cirkel raakt elke zijde in haar midden.

**Oefening 26.11 ★★.**

Hoeveel diagonalen heeft een [vierhoek](#def-g4-geometry-polygon)? En een [vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon)? En een [zeshoek](#def-g4-geometry-polygon)? Teken de drie gevallen, tel zorgvuldig, en beschrijf het patroon dat je ziet.

**Oplossing van Oefening 26.11.**

[Vierhoek](#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonalen. [Vijfhoek](#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Zeshoek](#def-g4-geometry-polygon): $9$. Elk nieuw [hoekpunt](#def-g4-geometry-polygon) voegt er meer diagonalen bij — de aantallen groeien steeds sneller ($+3$, dan $+4$, …).