--- title: "Meetkundige constructies" book: "Wiskunde basisschool en onderbouw" subject: math language: nl chapter: 33 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/33-meetkundige-constructies --- # Hoofdstuk 33 — Meetkundige constructies Lat, geodriehoek, passer: met deze drie stukken gereedschap en een beetje methode kun je elke figuur die in woorden beschreven is, precies bouwen. Dit hoofdstuk construeert loodlijnen, parallellen, driehoeken en de bijzondere [vierhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) — eerst het ambacht, later de theorie (Hoofdstukken [40](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#ch-g6-lines) en [41](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#ch-g6-shapes)). ## 33.1 Loodlijnen en parallellen door een punt **Methode 33.1 (De twee basisconstructies).** *De loodlijn op $d$ door $A$*: schuif de geodriehoek langs $d$ tot haar andere rand van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) bij $A$ komt; teken; zet het teken van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) erbij. *De [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-def) aan $d$ door $A$*: druk een lat als rail tegen de geodriehoek die langs $d$ ligt; schuif de geodriehoek op tot bij $A$; teken. (Controle: de afstand tussen de twee lijnen is overal gelijk.) **Voorbeeld 33.2 (Constructies aan elkaar rijgen).** Veel figuren zijn een reeks van deze twee bewegingen. Een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm: teken $[AB]$; de loodlijn in $A$; de loodlijn in $B$; zet $D$ en $C$ op $3$ cm aan dezelfde kant; verbind. Elke stap is één basisconstructie. ## 33.2 Driehoeken met de passer **Methode 33.3 (Een driehoek uit drie zijden).** Om een driehoek met zijden $6$ cm, $5$ cm en $4$ cm te bouwen: 1. teken de langste zijde, $[AB]$ met $AB = 6$ cm; 2. een boog met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm; 3. een boog met middelpunt $B$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; 4. hun snijpunt is het derde [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $C$ ; verbind. De passer garandeert de lengtes: elk punt van de eerste boog ligt precies $5$ cm van $A$. ![Twee bogen, één snijpunt: de driehoek 6–5–4, gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet ontmoeten — daarover meer in .)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-geometry/fig-b167d3504da4.svg) *Twee bogen, één snijpunt: de driehoek $6$–$5$–$4$, gebouwd met de passer. (Als de twee korte zijden samen korter waren dan de basis, zouden de bogen elkaar niet ontmoeten — daarover meer in [Hoofdstuk 51](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#ch-g7-triangles).)* **Voorbeeld 33.4 (Gelijkbenig en gelijkzijdig krijg je erbij).** Dezelfde passeropening voor beide bogen $\Rightarrow$ een gelijkbenige driehoek. Een opening gelijk aan de basis $\Rightarrow$ gelijkzijdig. De passer meet niet: hij *kopieert* lengtes, en dat is nog beter. ## 33.3 De bijzondere vierhoeken, al bouwend **Methode 33.5 (De familie bouwen).** 1. *Rechthoek* : twee paar parallellen die elkaar onder [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) snijden — of de reeks van [Voorbeeld 33.2](#ex-g5-geometry-chain) ; 2. *vierkant* : een rechthoek waarvan de vier zijden dezelfde lengte gebruiken — breng die met de passer over; 3. *ruit* : vier gelijke zijden — teken één zijde, en twee bogen met dezelfde opening vanuit haar uiteinden leggen de andere twee [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) vast (een ruit is twee gelijkbenige driehoeken die langs een diagonaal aan elkaar geplakt zijn). *Controleer* na het bouwen altijd met het gereedschap: de geodriehoek op de hoeken, de passer op de zijden. **Voorbeeld 33.6 (Herkennen uit een beschrijving).** “Een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met vier zijden van $4$ cm en één [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)” — bouw hem: de vier gelijke zijden dwingen de vorm van een ruit af, en één hoek recht maken trekt alle andere ook recht: het resultaat is een vierkant. Sommige beschrijvingen beschrijven in stilte een bijzonderder figuur dan ze aankondigen. (Waarom die [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) zich over alle vier de hoeken verspreidt, wordt uitgelegd in [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central).) ## 33.4 Cirkels in constructies **Voorbeeld 33.7 (De cirkel als gereedschap).** “Zoek alle punten op $3$ cm van $A$”: dat is de cirkel met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. “Zoek alle punten op $3$ cm van $A$ *en* $4$ cm van $B$”: teken beide cirkels; hun snijpunten (twee, één of [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero)) zijn de antwoorden. Schatkaarten en driehoeksconstructies gebruiken precies dit idee. ## 33.5 Oefeningen **Oefening 33.1 ★.** Teken een lijn $d$ en een punt $A$ op ongeveer $3$ cm ervan. Construeer de loodlijn op $d$ door $A$, en daarna de [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-def) aan $d$ door $A$. Zet de tekens voor de [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) erbij. **Oplossing van Oefening 33.1.** Beide constructies volgen [Methode 33.1](#met-g5-geometry-basic); de loodlijn en de [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-def) door $A$ staan zelf ook [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-def) op elkaar. **Oefening 33.2 ★.** Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 7$ cm en $BC = 4$ cm, volgens [Voorbeeld 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Controleer de vierde hoek met de geodriehoek: is de constructie precies, dan is hij automatisch recht. **Oplossing van Oefening 33.2.** Een reeks loodlijnen zoals in [Voorbeeld 33.2](#ex-g5-geometry-chain). Zijn de drie gebouwde hoeken precies recht en de lengtes precies, dan kan de vierde hoek niet anders dan recht zijn — een goed gebouwde rechthoek controleert zichzelf. **Oefening 33.3 ★.** Construeer een driehoek met zijden $7$ cm, $6$ cm en $3$ cm ([Methode 33.3](#met-g5-geometry-triangle)). **Oplossing van Oefening 33.3.** Basis $[AB]$ van $7$ cm; bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm (vanuit $A$) en $3$ cm (vanuit $B$); het snijpunt is $C$. **Oefening 33.4 ★.** Construeer een gelijkbenige driehoek met basis $5$ cm en gelijke zijden van $7$ cm; en daarna een gelijkzijdige driehoek met zijde $6$ cm. **Oplossing van Oefening 33.4.** Gelijkbenig: basis $5$ cm, beide bogen met dezelfde opening van $7$ cm. Gelijkzijdig: basis $6$ cm, beide bogen met de opening van $6$ cm. **Oefening 33.5 ★.** Construeer een vierkant met zijde $5$ cm. Welk gereedschap garandeert de [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)? En welk de gelijke zijden? **Oplossing van Oefening 33.5.** De geodriehoek garandeert de [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle); de passer (of de lat) brengt de zijde van $5$ cm naar alle vier de zijden over. **Oefening 33.6 ★.** Construeer een ruit met zijde $4$ cm die geen vierkant is (kies zelf de opening van de eerste hoek). Controleer de vier zijden met de passer. **Oplossing van Oefening 33.6.** Teken een zijde $[AB]$ van $4$ cm, kies een richting voor $[AD]$ (niet [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-def), anders krijg je een vierkant), met $AD = 4$ cm; bogen van $4$ cm vanuit $B$ en vanuit $D$ snijden elkaar in $C$. De passer bevestigt de vier gelijke zijden. **Oefening 33.7 ★.** Zet twee punten $A$ en $B$ met $AB = 5$ cm. Construeer alle punten die op $4$ cm van $A$ en op $3$ cm van $B$ liggen. Hoeveel zijn er? **Oplossing van Oefening 33.7.** De cirkel met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm en de cirkel met middelpunt $B$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm snijden elkaar in *twee* punten (één boven en één onder de lijn $(AB)$), omdat $4 + 3 > 5$ en de cirkels dus overlappen. **Oefening 33.8 ★.** Schrijf een tekenprogramma (genummerde stappen, punten met namen) voor een rechthoek van $6$ cm $\times$ $2$ cm met daarop een gelijkbenige driehoek met gelijke zijden van $4$ cm (de vorm van een potlood). Laat een klasgenoot het uitvoeren. **Oplossing van Oefening 33.8.** Een goed programma is bijvoorbeeld: “1. Teken een rechthoek $ABCD$ met $AB = 6$ cm (onderzijde) en $BC = 2$ cm. 2. Teken twee bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm met $D$ en $C$ als middelpunt (de bovenste [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon)); noem hun snijpunt boven de rechthoek $S$. 3. Teken $[DS]$ en $[CS]$.” (De punt van het potlood is de gelijkbenige driehoek $DSC$.) **Oefening 33.9 ★★.** Probeer een driehoek met zijden $8$ cm, $3$ cm en $4$ cm te construeren. Wat gebeurt er met de bogen? Leg in één zin uit waarom deze driehoek niet kan bestaan. **Oplossing van Oefening 33.9.** De bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm en $4$ cm, vanuit de twee uiteinden van de basis van $8$ cm, ontmoeten elkaar nooit: zelfs kop aan kop overspant $3 + 4 = 7$ cm geen $8$ cm. Twee zijden samen moeten altijd langer zijn dan de derde — anders kan de driehoek niet sluiten. **Oefening 33.10 ★★.** Construeer een ruit waarvan de diagonalen $6$ cm en $4$ cm lang zijn, gegeven dat de diagonalen van een ruit elkaar in hun middens onder een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) snijden: teken *eerst* de diagonalen en verbind daarna hun vier uiteinden. **Oplossing van Oefening 33.10.** Teken een lijnstuk van $6$ cm met zijn midden $O$; teken de loodlijn in $O$; zet daarop twee punten op $2$ cm van $O$ (één aan elke kant); verbind de vier uiteinden op volgorde. De passer bevestigt de vier gelijke zijden. **Oefening 33.11 ★★.** Een geit staat met een touw van $4$ m vast aan een paal $A$, in een vlak veld met een recht hek dat op $3$ m van $A$ langsloopt. Teken een plattegrond (1 cm per meter): welk gebied kan de geit bereiken? Waar beperkt het hek haar? **Oplossing van Oefening 33.11.** Op de plattegrond bereikt de geit de schijf met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm, afgesneden door de hekkenlijn op $3$ cm van $A$: haar gebied is de schijf zonder het randje voorbij het hek. Langs het hek kan ze op een lijnstuk grazen (waar de cirkel de hekkenlijn snijdt); verder kan ze niet.