---
title: "Kubussen en balken"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 35
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken
---

# Hoofdstuk 35 — Kubussen en balken

We verlaten het vlakke papier: lichamen zijn de vormen van de echte wereld — dobbelstenen, pakken ontbijtgranen, blikjes, ballen. In dit hoofdstuk leer je ze benoemen, hun [zijvlakken](#def-g5-solids-def) en [ribben](#def-g5-solids-def) tellen, ze tot een [uitslag](#def-g5-solids-net) openvouwen, en hun [volume](#def-g5-solids-volume) meten door kleine kubusjes te tellen. (Volumeformules komen in [Hoofdstuk 43](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#ch-g6-measure).)

## 35.1 De familie van de lichamen

**Definitie 35.1 (Lichamen en hun woorden).**

Een *lichaam* neemt ruimte in. Zijn vlakke kanten zijn *zijvlakken*; zijvlakken ontmoeten elkaar langs *ribben*; ribben ontmoeten elkaar in *hoekpunten*. De familieportretten:

- de *kubus* : $6$ vierkante zijvlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
- de *balk* : $6$ rechthoekige zijvlakken, $12$ ribben, $8$ hoekpunten;
- de *cilinder* : twee ronde zijvlakken en één opgerold vlak (een blikje);
- de *piramide* : een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) als grondvlak, met driehoeken die in een top samenkomen;
- de *bol* : één volmaakt rond oppervlak, geen zijvlak, geen ribbe.

![De verzameling lichamen. Stippellijnen tonen de verborgen ribben — de achterkant van het lichaam, dwars erdoorheen gezien.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-6e2f546aee91.svg)

*De verzameling lichamen. Stippellijnen tonen de verborgen [ribben](#def-g5-solids-def) — de achterkant van het [lichaam](#def-g5-solids-def), dwars erdoorheen gezien.*

**Voorbeeld 35.2 (Tellen op de kubus).**

Controleer het op een dobbelsteen: $6$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def) (de getallen $1$ tot $6$), $8$ [hoekpunten](#def-g5-solids-def) (de punten), $12$ [ribben](#def-g5-solids-def) (ga er met je vinger langs: $4$ bovenaan, $4$ onderaan, $4$ verticaal). En $6 + 8 = 12 + 2$ — hetzelfde merkwaardige patroon geldt voor de [balk](#def-g5-solids-def) en de [piramide](#def-g5-solids-def) ([Voorbeeld 62.2](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#ex-g8-solids-count) komt erop terug).

## 35.2 Uitslagen

**Definitie 35.3 (Uitslag).**

Een *uitslag* van een [lichaam](#def-g5-solids-def) is een vlakke tekening van al zijn [zijvlakken](#def-g5-solids-def), aan elkaar vast langs de [ribben](#def-g5-solids-def), die je tot het [lichaam](#def-g5-solids-def) kunt opvouwen — het [lichaam](#def-g5-solids-def) uitgevouwen, zoals een kartonnen doos die je plat maakt voor het oud papier.

![Drie manieren om zes vierkanten neer te leggen. De eerste twee vouwen tot een kubus; de derde niet — bij het vouwen landen twee vierkanten op hetzelfde zijvlak en blijft de kubus open. Knip ze uit en probeer het!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-919180e0b19b.svg)

*Drie manieren om zes vierkanten neer te leggen. De eerste twee vouwen tot een [kubus](#def-g5-solids-def); de derde niet — bij het vouwen landen twee vierkanten op hetzelfde [zijvlak](#def-g5-solids-def) en blijft de [kubus](#def-g5-solids-def) open. Knip ze uit en probeer het!*

**Voorbeeld 35.4 (Een uitslag lezen).**

Op een dobbelsteen maken de [zijvlakken](#def-g5-solids-def) die tegenover elkaar liggen samen $7$. Op een [uitslag](#def-g5-solids-net) zijn dat de [zijvlakken](#def-g5-solids-def) die precies één vierkant van elkaar liggen in een rij (of om een hoek) — niet de buren! De paren op de [uitslag](#def-g5-solids-net) markeren voordat je vouwt, is een prachtige oefening in plat naar ruimte kijken.

## 35.3 Volume: kubusjes tellen

**Definitie 35.5 (Volume door te tellen).**

Het *volume* van een [lichaam](#def-g5-solids-def) dat uit eenheidskubusjes is opgebouwd, is het aantal kubusjes dat het bevat. De eenheid kan de kubieke centimeter (cm$^3$) of de kubieke meter (m$^3$) zijn.

**Voorbeeld 35.6 (Een balk laag voor laag tellen).**

Een [balk](#def-g5-solids-def) van $4$ kubusjes lang, $3$ breed en $2$ hoog: de onderste laag bevat $4 \times 3 = 12$ kubusjes, en er zijn $2$ lagen:

$$
12 \times 2 = 24 \text{ kubusjes} .
$$

Per laag tellen werkt altijd — en het bewijst in stilte de formule $V = l \times b \times h$ van [Hoofdstuk 43](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#ch-g6-measure).

![Een balk van 4 × 3 × 2 eenheidskubusjes, laag voor laag geteld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-solids/fig-e40dc1813ae5.svg)

*Een [balk](#def-g5-solids-def) van $4 \times 3 \times 2$ eenheidskubusjes, laag voor laag geteld.*

**Voorbeeld 35.7 (Dezelfde kubusjes, andere vormen).**

Met acht eenheidskubusjes kun je een [kubus](#def-g5-solids-def) van $2 \times 2 \times 2$ bouwen, een staaf van $8 \times 1 \times 1$ of een plaat van $4 \times 2 \times 1$: drie verschillende lichamen, één [volume](#def-g5-solids-volume) ($8$ kubusjes). Het [volume](#def-g5-solids-volume) telt het materiaal, niet de vorm.

## 35.4 Oefeningen

**Oefening 35.1 ★.**

Noem een echt voorwerp met de vorm van: een [kubus](#def-g5-solids-def); een [balk](#def-g5-solids-def); een [cilinder](#def-g5-solids-def); een bol; een [piramide](#def-g5-solids-def).

**Oplossing van Oefening 35.1.**

Bijvoorbeeld: een dobbelsteen ([kubus](#def-g5-solids-def)); een pak ontbijtgranen ([balk](#def-g5-solids-def)); een blikje ([cilinder](#def-g5-solids-def)); een voetbal (bol); bepaalde daken of de monumenten van Egypte ([piramide](#def-g5-solids-def)).

**Oefening 35.2 ★.**

Hoeveel [zijvlakken](#def-g5-solids-def), [ribben](#def-g5-solids-def) en [hoekpunten](#def-g5-solids-def) heeft een [balk](#def-g5-solids-def)? Controleer het patroon [zijvlakken](#def-g5-solids-def) $+$ [hoekpunten](#def-g5-solids-def) $=$ [ribben](#def-g5-solids-def) $+ 2$.

**Oplossing van Oefening 35.2.**

Een [balk](#def-g5-solids-def) heeft $6$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def), $12$ [ribben](#def-g5-solids-def) en $8$ [hoekpunten](#def-g5-solids-def) — en $6 + 8 = 12 + 2$. ✓

**Oefening 35.3 ★.**

Welke [zijvlakken](#def-g5-solids-def) van een [balk](#def-g5-solids-def) zijn identiek? (Zet de zes [zijvlakken](#def-g5-solids-def) in paren.) Wat is er bijzonder aan de [zijvlakken](#def-g5-solids-def) van de [kubus](#def-g5-solids-def)?

**Oplossing van Oefening 35.3.**

De zes [zijvlakken](#def-g5-solids-def) vormen drie paren van identieke [zijvlakken](#def-g5-solids-def) die tegenover elkaar liggen (boven–onder, voor–achter, links–rechts). Bij een [kubus](#def-g5-solids-def) zijn alle zes de [zijvlakken](#def-g5-solids-def) identieke vierkanten.

**Oefening 35.4 ★.**

Teken een [uitslag](#def-g5-solids-net) van een [kubus](#def-g5-solids-def) met zijde $2$ cm (gebruik het kruismodel uit dit hoofdstuk), knip hem uit en vouw hem op.

**Oplossing van Oefening 35.4.**

Kruisvormige [uitslag](#def-g5-solids-net): vier vierkanten van $2$ cm op een rij, met één vierkant boven en één onder het tweede. Als je de ring van vier omvouwt, krijg je de zijkanten; de twee extra vierkanten sluiten boven- en onderkant.

**Oefening 35.5 ★.**

Zet op de kruisvormige [uitslag](#def-g5-solids-net) van een dobbelsteen de getallen $1$ tot $6$ zo neer dat [zijvlakken](#def-g5-solids-def) die tegenover elkaar liggen samen $7$ maken. (Zoek met [Voorbeeld 35.4](#ex-g5-solids-read) eerst de paren.)

**Oplossing van Oefening 35.5.**

Op de kruisuitslag (vier vierkanten op een rij, één boven en één onder het tweede) liggen tegenover elkaar: het $1$ste en het $3$de vierkant van de rij; het $2$de en het $4$de vierkant van de rij; en het bovenste met het onderste vierkant. Eén goede belettering: de rij $= 1, 2, 6, 5$; boven $= 3$; onder $= 4$ — dan maken $1{+}6$, $2{+}5$ en $3{+}4$ allemaal $7$.

**Oefening 35.6 ★.**

Tel de eenheidskubusjes: een [balk](#def-g5-solids-def) van $5$ lang, $2$ breed en $3$ hoog; een [kubus](#def-g5-solids-def) met zijde $3$; een L-vormige stapel van een plaat $3 \times 2 \times 1$ met daarop een plaat $1 \times 2 \times 1$.

**Oplossing van Oefening 35.6.**

[Balk](#def-g5-solids-def): $5 \times 2 = 10$ per laag, $3$ lagen: $30$ kubusjes. [Kubus](#def-g5-solids-def): $3 \times 3 \times 3 = 27$. L-stapel: $3 \times 2 \times 1 = 6$ plus $1 \times 2 \times 1 = 2$: $8$ kubusjes.

**Oefening 35.7 ★.**

In één laag van een [balk](#def-g5-solids-def) passen precies $12$ eenheidskubusjes. Geef twee mogelijke vormen voor die laag ($l \times b$), en bij elk het [volume](#def-g5-solids-volume) van de [balk](#def-g5-solids-def) als hij $3$ zulke lagen heeft.

**Oplossing van Oefening 35.7.**

Lagen van $12$: bijvoorbeeld $4 \times 3$ of $6 \times 2$ (of $12 \times 1$). Met $3$ lagen is het [volume](#def-g5-solids-volume) in elk geval $12 \times 3 = 36$ kubusjes.

**Oefening 35.8 ★.**

Welke [kubus](#def-g5-solids-def) kun je met $27$ eenheidskubusjes bouwen? En met $64$? (Denk aan het tellen per laag, achterstevoren.)

**Oplossing van Oefening 35.8.**

$27 = 3 \times 3 \times 3$: een [kubus](#def-g5-solids-def) met zijde $3$. $64 = 4 \times 4 \times 4$: een [kubus](#def-g5-solids-def) met zijde $4$.

**Oefening 35.9 ★★.**

Suikerklontjes met zijde $1$ cm zitten in een doos van $10$ cm lang, $5$ cm breed en $4$ cm hoog (binnenmaten). Hoeveel klontjes passen erin? Als een gezin er $6$ per dag gebruikt, hoeveel dagen doet één doos dan (rond zinnig af)?

**Oplossing van Oefening 35.9.**

In de doos passen $10 \times 5 \times 4 = 200$ suikerklontjes. Bij $6$ per dag: $200 = 6 \times 33 + 2$, dus doet de doos $33$ volle dagen (en blijven er $2$ klontjes over voor de ochtend van dag $34$).

**Oefening 35.10 ★★.**

Een [kubus](#def-g5-solids-def) van $3 \times 3 \times 3$ wordt aan de buitenkant rood geverfd en daarna in $27$ eenheidskubusjes gezaagd. Hoeveel kleine kubusjes hebben verf op precies $3$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def)? Op $2$? Op $1$? Op geen enkel? (Controle: de vier aantallen moeten samen $27$ zijn.)

**Oplossing van Oefening 35.10.**

Verf op $3$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def): de $8$ hoekkubusjes. Op $2$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def): de middens van de $12$ [ribben](#def-g5-solids-def), dus $12$ kubusjes. Op $1$ [zijvlak](#def-g5-solids-def): de middens van de $6$ [zijvlakken](#def-g5-solids-def), dus $6$ kubusjes. Op geen enkel: het ene verborgen kubusje in het midden, dus $1$. Controle: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$. ✓