--- title: "Decimale getallen" book: "Wiskunde basisschool en onderbouw" subject: math language: nl chapter: 38 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen --- # Hoofdstuk 38 — Decimale getallen Tussen $2$ en $3$ liggen heel veel getallen: $2.5$, $2.71$, $2.999$ … Decimale getallen breiden het plaatswaardestelsel uit naar rechts van de eenheden, en ze volgen dezelfde regels als hele getallen — met een paar valstrikken die dit hoofdstuk je leert vermijden. ## 38.1 Decimale schrijfwijze **Definitie 38.1 (Decimale plaatsen).** Een *decimaal getal* heeft een heel deel en een decimaal deel, gescheiden door het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point). Elke plaats rechts van het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) is tien keer zo klein als de vorige: tienden, honderdsten, duizendsten. Zo is $$ 13.407 = 13 + \frac{4}{10} + \frac{0}{100} + \frac{7}{1000} = 1 \times 10 + 3 + 4 \times \frac{1}{10} + 7 \times \frac{1}{1000}. $$ ![De plaatswaardetabel van 13.407: het decimaalteken staat tussen de eenheden en de tienden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-6c47ebd604d4.svg) *De plaatswaardetabel van $13.407$: het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) staat tussen de eenheden en de tienden.* **Opmerking 38.2 (Nullen die meetellen en nullen die niets doen).** Nullen *achteraan* het decimale deel bijzetten verandert niets: $2.5 = 2.50 = 2.500$. Maar nullen *tussen* de cijfers zijn onmisbaar: $13.407 \neq 13.47$. En $0.5$ is heel iets anders dan $0.05$! **Methode 38.3 (Decimale getallen vergelijken).** 1. Vergelijk eerst de hele delen: $7.2 > 5.99$ , want $7 > 5$ . 2. Zijn de hele delen gelijk, vergelijk dan de decimale delen cijfer voor cijfer vanaf links — aanvullen met nullen achteraan helpt: om $3.4$ en $3.15$ te vergelijken, schrijf je $3.40$ en $3.15$ ; omdat $40 > 15$ honderdsten, is $3.4 > 3.15$ . Let op: *langer betekent niet groter*. $3.15$ heeft meer cijfers dan $3.4$, maar is kleiner. ![Inzoomen op de getallenlijn tussen 3 en 4: elk streepje is een tiende. Het punt 3.15 ligt precies halverwege tussen 3.1 en 3.2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-decimals/fig-d3c0370768d1.svg) *Inzoomen op de getallenlijn tussen $3$ en $4$: elk streepje is een tiende. Het punt $3.15$ ligt precies halverwege tussen $3.1$ en $3.2$.* ## 38.2 Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen **Methode 38.4 (Cijferen met decimale getallen).** Om decimale getallen op te tellen of af te trekken, zet je de *[decimaaltekens](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point)* onder elkaar (zodat de eenheden onder de eenheden staan en de tienden onder de tienden), waar nodig aangevuld met nullen achteraan; reken daarna zoals bij hele getallen, en zet het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) van de uitkomst onder de andere. **Voorbeeld 38.5.** Reken $13.7 + 2.85$ uit, met de [decimaaltekens](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) onder elkaar ($13.7 = 13.70$): $$ \begin{array}{r} 1\,3.7\,0 \\ +\ \ \,2.8\,5 \\ \hline 1\,6.5\,5 \end{array} $$ Reken $6 - 2.35$ uit (schrijf $6 = 6.00$): $6.00 - 2.35 = 3.65$. Controle: $3.65 + 2.35 = 6$. **Voorbeeld 38.6 (Decimale getallen vermenigvuldigen).** Om $2.3 \times 1.4$ uit te rekenen: vermenigvuldig als hele getallen, $23 \times 14 = 322$; tel daarna de decimalen van de factoren ($1 + 1 = 2$) en zet het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) zo dat de uitkomst er even veel heeft: $2.3 \times 1.4 = 3.22$. Controle op de grootte: $2.3 \times 1.4$ moet iets meer zijn dan $2.3 \times 1 = 2.3$ — en $3.22$ is dat. ## 38.3 Vermenigvuldigen en delen door 10, 100, 1000 **Propositie 38.7 (Het decimaalteken verschuiven).** Een [decimaal getal](#def-g6-decimals-places) met $10$, $100$ of $1000$ vermenigvuldigen schuift zijn [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) $1$, $2$ of $3$ plaatsen naar *rechts*; delen schuift het naar *links* (met nullen erbij waar dat nodig is): $$ 3.75 \times 100 = 375, \qquad 42.1 \div 1000 = 0.0421 . $$ **Bewijs.** Met $10$ vermenigvuldigen maakt elk cijfer tien keer zo veel waard: tienden worden eenheden, eenheden worden tientallen, en zo verder — elk cijfer schuift één kolom naar links in de plaatswaardetabel, en dat is hetzelfde als het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) één plaats naar rechts schuiven. Delen draait dit om. ∎ **Voorbeeld 38.8 (Maateenheden).** Eenheden omzetten is precies dit spel: omdat $1$ m $= 100$ cm, geldt $$ 3.75 \text{ m} = 3.75 \times 100 \text{ cm} = 375 \text{ cm}, \qquad 42 \text{ mm} = 42 \div 10 \text{ cm} = 4.2 \text{ cm}. $$ ## 38.4 Afronden **Definitie 38.9 (Afronden).** De *afronding* van een getal op de eenheid (of op het tiende, honderdste, …) is het dichtstbijzijnde getal met die precisie. Kijk naar het volgende cijfer: is dat $0,1,2,3,4$, dan rond je naar beneden af (je laat staan); is het $5,6,7,8,9$, dan rond je naar boven af. **Voorbeeld 38.10.** $7.38$ afgerond op de eenheid is $7$ (volgend cijfer $3$: laten staan); afgerond op het tiende is het $7.4$ (volgend cijfer $8$: naar boven). De prijs $4.996$ afgerond op het honderdste is $5.00$ — [afronden](#def-g6-decimals-rounding) kan elk cijfer veranderen! ## 38.5 Oefeningen **Oefening 38.1 ★.** Schrijf als [decimaal getal](#def-g6-decimals-places): $5 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100}$; $\dfrac{9}{10}$; $12 + \dfrac{4}{1000}$; “acht eenheden en vijf honderdsten”. **Oplossing van Oefening 38.1.** $5.37$; $0.9$; $12.004$; $8.05$. **Oefening 38.2 ★.** In $86.354$: wat is het cijfer van de tienden? En dat van de honderdsten? Wat telt het cijfer $8$? Schrijf dit getal op zoals in [Definitie 38.1](#def-g6-decimals-places). **Oplossing van Oefening 38.2.** Cijfer van de tienden: $3$; van de honderdsten: $5$; de $8$ telt de tientallen. $$ 86.354 = 8 \times 10 + 6 + 3 \times \frac{1}{10} + 5 \times \frac{1}{100} + 4 \times \frac{1}{1000}. $$ **Oefening 38.3 ★.** Neem over en vul in met $<$, $>$ of $=$: $$ 5.3 \;?\; 5.29, \qquad 0.7 \;?\; 0.70, \qquad 2.09 \;?\; 2.9, \qquad 14.5 \;?\; 14.49 . $$ **Oplossing van Oefening 38.3.** $5.3 > 5.29$ (vergelijk $5.30$ met $5.29$); $0.7 = 0.70$ (nullen achteraan veranderen niets); $2.09 < 2.9$ (tienden: $0 < 9$); $14.5 > 14.49$. **Oefening 38.4 ★.** Zet op volgorde, van klein naar groot: $4.2$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.5$. **Oplossing van Oefening 38.4.** Vul aan tot twee decimalen: $4.20$; $4.05$; $4.51$; $4.15$; $4.50$. Op volgorde: $$ 4.05 < 4.15 < 4.2 < 4.5 < 4.51 . $$ **Oefening 38.5 ★.** Welke decimale getallen horen bij de punten $A$, $B$ en $C$ op een getallenlijn met streepjes per tiende, als $A$ $3$ streepjes na $6$ ligt, $B$ $7$ streepjes na $6$, en $C$ $2$ streepjes na $7$? **Oplossing van Oefening 38.5.** Elk streepje is een tiende. $A$: $6.3$; $B$: $6.7$; $C$: $7.2$. **Oefening 38.6 ★.** Reken cijferend uit: $45.8 + 7.65$; $23.4 - 8.72$; $5.6 \times 2.4$ (tel de decimalen!). **Oplossing van Oefening 38.6.** $45.80 + 7.65 = 53.45$. $23.40 - 8.72 = 14.68$ (controle: $14.68 + 8.72 = 23.4$). $56 \times 24 = 1344$, en de factoren hebben samen twee decimalen: $5.6 \times 2.4 = 13.44$. **Oefening 38.7 ★.** Reken uit zonder iets op te schrijven: $$ 6.42 \times 10, \qquad 0.35 \times 1000, \qquad 78.1 \div 100, \qquad 5 \div 1000 . $$ **Oplossing van Oefening 38.7.** $6.42 \times 10 = 64.2$; $0.35 \times 1000 = 350$; $78.1 \div 100 = 0.781$; $5 \div 1000 = 0.005$. **Oefening 38.8 ★.** Zet om: $2.4$ m in cm; $370$ g in kg; $0.85$ km in m; $56$ mm in m. **Oplossing van Oefening 38.8.** $2.4$ m $= 240$ cm; $370$ g $= 0.37$ kg (deel door $1000$); $0.85$ km $= 850$ m; $56$ mm $= 0.056$ m. **Oefening 38.9 ★.** Rond $23.867$ af: op de eenheid; op het tiende; op het honderdste. Rond $9.97$ af op het tiende. **Oplossing van Oefening 38.9.** Op de eenheid: $24$ (volgend cijfer $8$: naar boven). Op het tiende: $23.9$. Op het honderdste: $23.87$. En $9.97$ op het tiende: het volgende cijfer is $7$, dus rond je de $9$ tienden naar boven af — $10.0$. **Oefening 38.10 ★★.** Een stokbrood kost $1.15$. Lena koopt drie stokbroden en betaalt met een biljet van $5$. Schrijf de twee nodige berekeningen op en geef haar wisselgeld. **Oplossing van Oefening 38.10.** Prijs van de stokbroden: $3 \times 1.15 = 3.45$. Wisselgeld: $5 - 3.45 = 1.55$. **Oefening 38.11 ★★.** Zoek een [decimaal getal](#def-g6-decimals-places) dat strikt tussen $7.4$ en $7.5$ ligt; en daarna een dat strikt tussen $3.99$ en $4$ ligt. Hoeveel zulke getallen zijn er in elk geval? **Oplossing van Oefening 38.11.** Tussen $7.4$ en $7.5$: bijvoorbeeld $7.45$ (of $7.41$, $7.499$, …). Tussen $3.99$ en $4$: bijvoorbeeld $3.995$. In beide gevallen zijn er *oneindig veel* zulke getallen: je kunt altijd meer decimalen toevoegen. **Oefening 38.12 ★★★.** Schrijf met de cijfers $2$, $5$ en $8$, elk precies één keer, en één [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) het grootst mogelijke getal, en daarna het kleinst mogelijke. (Getallen als $.58$ mogen niet: het hele deel moet minstens één cijfer bevatten.) **Oplossing van Oefening 38.12.** Grootste: zet de grootste cijfers vooraan en het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) zo laat mogelijk: $85.2$. Kleinste: de kleinste cijfers vooraan en het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) zo vroeg mogelijk: $2.58$. ## 38.6 Opgave: het getal net na 3 bestaat niet **Probleem 38.1.** Weekendopgave — tussen twee decimale getallen ligt er altijd nog een: inzoomen op de getallenlijn Op de ladder van de hele getallen heeft elk getal een naaste buur: direct na $7$ komt $8$, en daartussen woont niets. Decimale getallen zijn een heel andere wereld. Wat is het getal net na $3$? Is dat $3.1$? $3.01$? $3.001$? In deze opgave ontwikkel je een *zoomtechniek* op de getallenlijn (in het spoor van [Oefening 38.11](#exo-g6-decimals-11)) en kom je bij een beroemde conclusie: het getal net na $3$ *bestaat niet* — tussen twee decimale getallen, hoe dicht ze ook bij elkaar liggen, is er altijd ruimte voor meer. **Deel I — Inzoomen.** 1. Wat is groter, $2.999$ of $3$ ? Reken het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen die twee uit. 2. Teken een getallenlijn van $7.4$ tot $7.5$ met streepjes per honderdste, en zet $7.42$ , $7.45$ en $7.48$ erop. Noem *alle* getallen met twee decimalen die strikt tussen $7.4$ en $7.5$ liggen. Hoeveel zijn het? 3. Zoom nog eens in: noem alle getallen met drie decimalen tussen $7.44$ en $7.45$ . Hoeveel zijn het nu? 4. Leg met hetzelfde idee uit hoe je de getallen met precies drie decimalen tussen $7.4$ en $7.5$ kunt tellen, en geef dat aantal. 5. Beschrijf het recept dat achter de vragen 2–4 zit (de *zoom* ): als twee getallen buren lijken, zoals $5.67$ en $5.68$ , hoe levert één decimaal extra dan altijd een getal op dat er strikt tussen ligt? Pas je recept toe op $5.67$ en $5.68$ , en daarna op $0.1999$ en $0.2$ . **Deel II — De buur die er niet is.** 6. Tom beweert: “het getal net na $3$ is $3.1$ .” Weerleg hem door een getal te noemen dat strikt tussen $3$ en $3.1$ ligt. Tom valt terug op $3.01$ , en dan op $3.001$ . Versla elk van zijn kandidaten. 7. Leg uit waarom *niemand* dit spel van jou kan winnen: welk getal strikt groter dan $3$ Tom ook voorstelt, het zoomrecept van vraag 5 levert een getal dat strikt tussen $3$ en zijn voorstel ligt. Wat bewijst dit over “het getal net na $3$ ”? 8. Nu de andere kant: Tom jaagt op het getal net *voor* $3$ en probeert $2.9$ , dan $2.99$ , dan $2.999$ . Versla zijn drie kandidaten. Reken daarna $3 - 2.999$ uit, en beschrijf (zonder te cijferen) het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen $3$ en het getal dat je schrijft met een $2$ , een [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) en twintig cijfers $9$ . 9. Waarom werkt dit alles niet bij *hele* getallen? Leg in één of twee zinnen uit waarom er geen heel getal strikt tussen $7$ en $8$ ligt, terwijl er daar heel veel decimale getallen liggen. 10. Een lengte wordt aangekondigd als “ $3.7$ cm, afgerond op het tiende” ( [Definitie 38.9](#def-g6-decimals-rounding) ). Geef de kleinste lengte die op $3.7$ cm afrondt, en leg uit waarom een lengte van $3.75$ cm *niet* op $3.7$ afrondt — de echte lengte is dus minstens $3.65$ cm en strikt kleiner dan $3.75$ cm. **Deel III — Spelen met cijfers en [decimaaltekens](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point).** 11. Zet op volgorde, van klein naar groot: $0.6$ ; $0.58$ ; $0.123$ ; $0.0999$ . Leg daarna in één zin aan een klasgenoot uit waarom $0.0999 < 0.6$ , ook al is het met meer cijfers geschreven ( [Methode 38.3](#met-g6-decimals-compare) ). 12. Prijzen in een winkel hebben altijd precies twee decimalen. Bestaat er een *prijs* die strikt tussen $4.99$ en $5$ ligt? Vergelijk met vraag 9: wat hebben prijzen en hele getallen met elkaar gemeen? 13. Zoek met de cijfers $2$ , $5$ en $8$ , elk precies één keer, en één [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) (het hele deel niet leeg, zoals in [Oefening 38.12](#exo-g6-decimals-12) ) het getal dat het dichtst bij $6$ ligt. Verantwoord je antwoord door de afstand van je beste kandidaten tot $6$ uit te rekenen. 14. Het beroemdste getal van de wiskunde, $\pi$ , voldoet aan $3.141 < \pi < 3.142$ . Noem een [decimaal getal](#def-g6-decimals-places) dat strikt tussen $3.141$ en $3.142$ ligt; en daarna een dat strikt tussen $3.1415$ en $3.1416$ ligt. (Wiskundigen klemmen $\pi$ precies zo in — elke nieuwe decimaal is één zoom erbij. Je ziet $\pi$ aan het werk in [Hoofdstuk 43](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#ch-g6-measure) .) 15. De finale: leg uit waarom er *meer decimale getallen tussen $0$ en $1$ liggen dan elk getal dat je kunt noemen* . (Hoeveel levert één zoom op? Kan het zoomen ooit ophouden?) **Oplossing van Probleem 38.1.** **1.** $3$ is groter: aangevuld is $3.000 > 2.999$. Het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) is $3.000 - 2.999 = 0.001$, één duizendste. **2.** Strikt tussen $7.4 = 7.40$ en $7.5 = 7.50$ liggen $$ 7.41,\ 7.42,\ 7.43,\ 7.44,\ 7.45,\ 7.46,\ 7.47,\ 7.48,\ 7.49 : $$ negen getallen, één bij elk nieuw streepje. **3.** Hetzelfde plaatje, tien keer kleiner: tussen $7.440$ en $7.450$ liggen $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ — opnieuw negen getallen. **4.** Tussen $7.400$ en $7.500$ zijn de getallen met drie decimalen $7.401, 7.402, \dots, 7.499$: alle duizendsten van $401$ tot $499$, dus $99$ getallen. **5.** Het zoomrecept: schrijf beide getallen met even veel decimalen, en *voeg er dan één decimaal aan toe* — het kleinste getal, gevolgd door een cijfer van $1$ tot $9$, landt strikt tussen de twee. Inderdaad is $5.67 = 5.670$ en $5.68 = 5.680$, en $$ 5.670 < 5.675 < 5.680 ; $$ net zo is $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$. Tussen twee buurstreepjes zit altijd een heel nieuw niveau van negen fijnere streepjes. **6.** $3 < 3.05 < 3.1$; dan $3 < 3.005 < 3.01$; dan $3 < 3.0005 < 3.001$. Elke kandidaat wordt verslagen door één zoom erbij. **7.** Welk getal Tom ook voorstelt — zijn kandidaat, strikt groter dan $3$ — vraag 5 levert een getal dat strikt tussen $3$ en die kandidaat ligt. Zijn kandidaat was dus *niet* het getal dat het dichtst bij $3$ ligt: er bestaat er altijd een die nog dichterbij ligt. Omdat dit zonder uitzondering bij elke kandidaat gebeurt, kan geen enkel getal “het getal net na $3$” zijn: het bestaat eenvoudigweg niet. **8.** $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$. En $3 - 2.999 = 0.001$. Met twintig negens is het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) een [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) gevolgd door negentien nullen en een $1$ — één eenheid op de twintigste decimale plaats: piepklein, maar niet [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero). Hoeveel negens Tom ook schrijft, hij bereikt $3$ nooit. **9.** Hele getallen klimmen met stappen van $1$: meer dan $7$ maar minder dan $8$ zou een heel aantal eenheden strikt tussen $7$ en $8$ eenheden betekenen, en dat bestaat niet. De zoom ontsnapt daaraan alleen door cijfers *achter het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point)* te schrijven — precies wat hele getallen niet hebben. **10.** De kleinste lengte die op $3.7$ afrondt, is $3.65$ cm: haar volgende cijfer is $5$, en dat rondt *naar boven* af ([Definitie 38.9](#def-g6-decimals-rounding)). En $3.75$ rondt om dezelfde reden naar boven af, op $3.8$. “$3.7$ cm, afgerond op het tiende” betekent dus: minstens $3.65$ cm en strikt minder dan $3.75$ cm — achter één afgeronde waarde zit een heel ingezoomd stuk mogelijke echte lengtes verstopt. **11.** $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$. In één zin: als je cijfer voor cijfer vanaf links vergelijkt, heeft $0.0999$ $0$ tienden en $0.6$ er $6$, en daar is de vergelijking al beslist — het aantal geschreven cijfers zegt niets over de grootte ([Methode 38.3](#met-g6-decimals-compare)). **12.** Nee: in centen is $4.99$ euro $499$ cent en $5$ euro $500$ cent — opeenvolgende *hele* getallen, met niets ertussen. Prijzen met precies twee decimalen zijn eigenlijk vermomde hele aantallen centen: net als de hele getallen van vraag 9 hebben ze wel naaste buren. Het eindeloze zoomen heeft het recht nodig om steeds meer decimalen te schrijven. **13.** De kandidaten in de buurt van $6$ zijn $5.82$ en $8.25$ (een getal dat met $2$ begint, of met $58$, $25$, $82$ of $85$, ligt ver van $6$). Afstanden: $6 - 5.82 = 0.18$ en $8.25 - 6 = 2.25$. Het dichtst bij ligt $5.82$. **14.** Bijvoorbeeld $3.1415$, want $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; en dan $3.14159$, want $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$. (Beide zijn echte stappen in de werkelijke jacht op $\pi = 3.14159\dots$) **15.** Stel dat iemand een getal noemt, zo groot als hij wil. Eén zoom maakt van elk paar buurstreepjes tussen $0$ en $1$ negen nieuwe getallen, en het zoomen kan eindeloos herhaald worden — de vragen 2, 3 en 4 waren alleen de eerste twee niveaus. Vaak genoeg herhaald levert het meer decimale getallen tussen $0$ en $1$ op dan het genoemde getal. Geen enkel getal is dus groot genoeg om ze te tellen: er zijn er oneindig veel.