---
title: "Lijnen, cirkels en hoeken"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 40
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken
---

# Hoofdstuk 40 — Lijnen, cirkels en hoeken

Meetkunde begint met een lat, een geodriehoek en een passer. Dit hoofdstuk legt de woorden vast — punten, lijnstukken, halfrechten, [lijnen](#def-g6-lines-objects), cirkels — introduceert de twee bijzondere standen van [lijnen](#def-g6-lines-objects) ([parallel](#def-g6-lines-perp) en [loodrecht](#def-g6-lines-perp)), en leert je hoeken meten en tekenen.

## 40.1 Punten, lijnstukken, lijnen

**Definitie 40.1 (De basisobjecten).**

Door twee verschillende punten $A$ en $B$ gaan:

- het *lijnstuk* $[AB]$ : het deel van de lijn tussen $A$ en $B$ (het heeft een lengte, geschreven $AB$ );
- de *halfrechte* $[AB)$ : begint in $A$ , gaat door $B$ en loopt eindeloos verder;
- de *lijn* $(AB)$ : loopt aan beide kanten eindeloos door. Twee punten bepalen precies één lijn.

Punten op dezelfde lijn heten *collineair*.

![Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haakjes zeggen wat stopt en wat doorloopt: ( stopt, ( loopt door.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-9ce45a72e088.svg)

*Dezelfde twee punten, drie verschillende objecten. De haakjes zeggen wat stopt en wat doorloopt: $[$ stopt, $($ loopt door.*

## 40.2 Parallelle en loodrechte lijnen

**Definitie 40.2 (Loodrecht, parallel).**

Twee [lijnen](#def-g6-lines-objects) staan *loodrecht* op elkaar als ze elkaar onder een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) snijden; we schrijven $d_1 \perp d_2$ en zetten een vierkantje bij de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle). Twee [lijnen](#def-g6-lines-objects) zijn *parallel* als ze elkaar nooit ontmoeten, hoe ver je ze ook doortrekt; we schrijven $d_1 \parallel d_2$.

![Een snijpunt onder een rechte hoek (met het vierkantje erbij) en twee parallellen: dezelfde richting, geen snijpunt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-cc8654014598.svg)

*Een snijpunt onder een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) (met het vierkantje erbij) en twee parallellen: dezelfde richting, geen snijpunt.*

**Propositie 40.3 (Twee nuttige feiten).**

1. Staan twee [lijnen](#def-g6-lines-objects) beide [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op een derde [lijn](#def-g6-lines-objects) , dan zijn ze [parallel](#def-g6-lines-perp) aan elkaar.
2. Zijn twee [lijnen](#def-g6-lines-objects) [parallel](#def-g6-lines-perp) , dan staat elke [lijn](#def-g6-lines-objects) die [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op de ene staat, ook [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op de andere.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Methode 40.4 (Tekenen met de geodriehoek).**

Om de loodlijn op een [lijn](#def-g6-lines-objects) $d$ door een punt $P$ te tekenen:

1. leg één rand van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) van de geodriehoek langs $d$ ;
2. schuif de geodriehoek langs $d$ tot de andere rand bij $P$ komt;
3. teken de [lijn](#def-g6-lines-objects) langs die rand, en zet het teken van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) erbij.

Voor een [parallel](#def-g6-lines-perp) door $P$: teken een loodlijn op $d$, en daarna de loodlijn op *die* [lijn](#def-g6-lines-objects) door $P$ ([Propositie 40.3](#prop-g6-lines-facts)).

## 40.3 Cirkels

**Definitie 40.5 (Cirkel).**

De *cirkel* met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ bestaat uit alle punten die precies op afstand $r$ van $O$ liggen. Een [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) van het middelpunt naar de cirkel is een *[radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)*; een [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) dat twee punten van de cirkel door het middelpunt verbindt, is een *[diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle)* — zijn lengte is $2r$; een [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) dat twee punten van de cirkel verbindt, is een *koorde*.

![Een cirkel met een radius (OM), een diameter (AB) (een koorde door het middelpunt, twee keer zo lang als de radius) en een koorde (CD).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-506a5c11f8b7.svg)

*Een cirkel met een [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $[OM]$, een [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[AB]$ (een koorde door het middelpunt, twee keer zo lang als de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)) en een koorde $[CD]$.*

**Voorbeeld 40.6.**

“Teken de cirkel met middelpunt $O$ door $A$”: zet de passer open van $O$ tot $A$ — de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) is de afstand $OA$ — en draai rond. Elk punt van deze cirkel ligt op dezelfde afstand van $O$ als $A$.

## 40.4 Hoeken

**Definitie 40.7 (Hoek).**

Twee halfrechten $[AB)$ en $[AC)$ met hetzelfde beginpunt $A$ vormen de *hoek* $\widehat{BAC}$; het punt $A$ is zijn *[hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)* (altijd de middelste letter!). Hoeken meet je in *graden* ($^\circ$), van $0^\circ$ tot $360^\circ$ voor een volle draai. Een hoek is:

- *recht* als hij $90^\circ$ meet;
- *scherp* als hij minder dan $90^\circ$ meet;
- *stomp* als hij tussen $90^\circ$ en $180^\circ$ meet;
- *gestrekt* als hij $180^\circ$ meet (de twee halfrechten vormen dan een [lijn](#def-g6-lines-objects) ).

![De vier families hoeken. De rechte hoek (90) is het ijkpunt: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-lines/fig-576db137be08.svg)

*De vier families hoeken. De [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) ($90^\circ$) is het ijkpunt: scherp betekent kleiner, stomp betekent groter.*

**Methode 40.8 (Een hoek meten met een gradenboog).**

1. Leg het midden van de gradenboog precies op het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de hoek;
2. leg zijn $0^\circ$ -lijn langs één zijde van de hoek;
3. lees de streepjes af waar de andere zijde langs gaat — op de schaal die bij $0$ begint aan de kant die je hebt uitgelijnd;
4. controleer met je ogen: een scherpe hoek moet minder dan $90^\circ$ geven, een stompe meer.

**Voorbeeld 40.9.**

Schat voordat je meet! Een hoek die iets wijder openstaat dan de hoek van een blad papier, is iets meer dan $90^\circ$; de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) is $45^\circ$; een derde van een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) is $30^\circ$. Zegt je gradenboog $150^\circ$ bij een hoek die scherp lijkt, dan heb je de verkeerde schaal gelezen: de juiste maat is $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

## 40.5 Oefeningen

**Oefening 40.1 ★.**

Zet drie punten $A$, $B$ en $C$ die niet op één [lijn](#def-g6-lines-objects) liggen. Teken in verschillende kleuren: het [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) $[AB]$, de halfrechte $[CA)$ en de [lijn](#def-g6-lines-objects) $(BC)$.

**Oplossing van Oefening 40.1.**

Vrije constructie. Het [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) stopt in $A$ en $B$; de halfrechte begint in $C$ en loopt voorbij $A$ door; de [lijn](#def-g6-lines-objects) loopt aan beide kanten van $B$ en $C$ door.

**Oefening 40.2 ★.**

Waar of niet waar? “$[AB]$ en $[BA]$ zijn hetzelfde [lijnstuk](#def-g6-lines-objects).” “$[AB)$ en $[BA)$ zijn dezelfde halfrechte.” “$(AB)$ en $(BA)$ zijn dezelfde [lijn](#def-g6-lines-objects).” Leg elk antwoord uit.

**Oplossing van Oefening 40.2.**

“$[AB] = [BA]$”: *waar* — het deel tussen de twee punten hangt niet van de volgorde af.

“$[AB) = [BA)$”: *niet waar* — $[AB)$ begint in $A$ en $[BA)$ begint in $B$; ze wijzen in tegengestelde richtingen.

“$(AB) = (BA)$”: *waar* — beide namen beschrijven dezelfde onbegrensde [lijn](#def-g6-lines-objects).

**Oefening 40.3 ★.**

Teken een [lijn](#def-g6-lines-objects) $d$ en een punt $P$ dat niet op $d$ ligt. Construeer met de geodriehoek: de loodlijn op $d$ door $P$, en daarna de [parallel](#def-g6-lines-perp) aan $d$ door $P$. Beschrijf je stappen.

**Oplossing van Oefening 40.3.**

Stappen: schuif de geodriehoek langs $d$ tot haar loodrechte rand door $P$ gaat; teken die loodlijn en noem hem $p$. Teken daarna op dezelfde manier de loodlijn op $p$ door $P$: volgens [Propositie 40.3](#prop-g6-lines-facts) is die [parallel](#def-g6-lines-perp) aan $d$.

**Oefening 40.4 ★.**

De [lijnen](#def-g6-lines-objects) $a$ en $b$ staan beide [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op een [lijn](#def-g6-lines-objects) $c$, en een vierde [lijn](#def-g6-lines-objects) $e$ staat [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op $a$. Wat kun je zeggen over $a$ en $b$? En over $e$ en $c$? Verantwoord het met [Propositie 40.3](#prop-g6-lines-facts).

**Oplossing van Oefening 40.4.**

$a$ en $b$ staan beide [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op dezelfde [lijn](#def-g6-lines-objects) $c$, dus $a \parallel b$ (feit 1). Voor $e$ en $c$: beide staan [loodrecht](#def-g6-lines-perp) op dezelfde [lijn](#def-g6-lines-objects) $a$ (er is gegeven dat $e \perp a$, en uit $a \perp c$ volgt ook $c \perp a$), dus geldt feit 1 opnieuw: $e \parallel c$.

**Oefening 40.5 ★.**

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Zet een punt $M$ op de cirkel, een punt $N$ erbinnen en een punt $P$ erbuiten. Wat kun je zeggen over de afstanden $OM$, $ON$ en $OP$ vergeleken met $3$ cm?

**Oplossing van Oefening 40.5.**

$OM = 3$ cm precies ($M$ ligt op de cirkel); $ON < 3$ cm ($N$ ligt erbinnen); $OP > 3$ cm ($P$ ligt erbuiten).

**Oefening 40.6 ★.**

Een cirkel heeft [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $9$ cm. Wat is zijn [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)? Een andere cirkel heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2.6$ cm: wat is zijn [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle)?

**Oplossing van Oefening 40.6.**

[Radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. [Diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

**Oefening 40.7 ★.**

Noem de gemarkeerde hoek met drie letters en zeg daarna van welk soort hij is (scherp, recht, stomp, gestrekt): een hoek van $72^\circ$ met [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $R$ tussen de halfrechten naar $S$ en $T$; een hoek van $148^\circ$ met [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $B$ tussen de halfrechten naar $A$ en $C$; een hoek van $90^\circ$ met [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $O$ tussen de halfrechten naar $M$ en $N$.

**Oplossing van Oefening 40.7.**

$\widehat{SRT} = 72^\circ$: scherp. $\widehat{ABC} = 148^\circ$: stomp. $\widehat{MON} = 90^\circ$: recht. (Het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) is altijd de middelste letter.)

**Oefening 40.8 ★.**

Schat en meet daarna met een gradenboog de drie hoeken van een driehoek die je zelf tekent. Tel de drie maten op: wat vind je? (Houd je antwoord bij voor [Hoofdstuk 51](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#ch-g7-triangles).)

**Oplossing van Oefening 40.8.**

De maten hangen af van de getekende driehoek, maar de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de drie hoeken is altijd (heel dicht bij) $180^\circ$ — kleine verschillen komen van meetonnauwkeurigheid. [Hoofdstuk 51](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#ch-g7-triangles) bewijst dat de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) precies $180^\circ$ is.

**Oefening 40.9 ★.**

Teken met een gradenboog een hoek $\widehat{xOy}$ van $65^\circ$, en daarna een hoek van $130^\circ$. Hoe zou je de tweede uit de eerste kunnen krijgen zonder gradenboog?

**Oplossing van Oefening 40.9.**

Vrije constructie. Om $130^\circ$ uit $65^\circ$ te krijgen zonder gradenboog: zet de hoek van $65^\circ$ twee keer naast elkaar over ($65 + 65 = 130$), bijvoorbeeld met overtrekpapier of door de hoek met passer en lat te kopiëren.

**Oefening 40.10 ★★.**

Twee dorpen $A$ en $B$ staan op een kaart. Waar liggen de punten die op $3$ cm van $A$ *en* op $2$ cm van $B$ liggen? Maak een tekening die laat zien hoeveel zulke punten er kunnen zijn ($0$, $1$ of $2$, afhankelijk van de afstand $AB$).

**Oplossing van Oefening 40.10.**

De punten op $3$ cm van $A$ vormen de cirkel met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm; die op $2$ cm van $B$ vormen de cirkel met middelpunt $B$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm. De gevraagde punten zijn de snijpunten van de twee cirkels: twee punten als de cirkels elkaar snijden ($AB$ strikt tussen $1$ en $5$ cm), één als ze elkaar raken ($AB = 5$ cm of $AB = 1$ cm), en geen als ze te ver van elkaar liggen of de ene binnen de andere ligt.

**Oefening 40.11 ★★.**

Een klok wijst 3 uur aan: wat is de hoek tussen de twee wijzers? Dezelfde vraag om 5 uur, en om 6 uur. (Een volle draai is $360^\circ$ voor $12$ uur.)

**Oplossing van Oefening 40.11.**

De $12$ uurstreepjes verdelen de volle draai in $12$ hoeken van $360 \div 12 = 30^\circ$. Om 3 uur overspannen de wijzers $3$ streepjes: $90^\circ$ (een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)). Om 5 uur: $5 \times 30 = 150^\circ$. Om 6 uur: $180^\circ$ (een gestrekte hoek).

**Oefening 40.12 ★★★.**

Teken een [lijnstuk](#def-g6-lines-objects) $[AB]$ van $6$ cm. Construeer met alleen de passer het punt $C$ waarvoor $AC = BC = 6$ cm, en meet de hoek $\widehat{CAB}$. Welke driehoek heb je gebouwd, en wat vermoed je over zijn hoeken?

**Oplossing van Oefening 40.12.**

Teken twee bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm met $A$ en $B$ als middelpunt; hun snijpunt is $C$. Alle drie de zijden meten $6$ cm: de driehoek is gelijkzijdig, en elke hoek meet $60^\circ$ (de meting bevestigt het). Vermoeden: een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke hoeken van $60^\circ$.

## 40.6 Opgave: de meetkunde van de klok

**Probleem 40.1.**

Weekendopgave — hoeken als breuken van een draai: ze op een klok lezen, de momenten jagen waarop de wijzers samenvallen, en een dag in een cirkeldiagram verdelen

Een klok is een gradenboog die de tijd vertelt: haar wijzerplaat is een volle draai van $360^\circ$, door de twaalf uurstreepjes in twaalf gelijke hoeken verdeeld. In [Oefening 40.11](#exo-g6-lines-11) maten we de wijzers om 3 uur en om 6 uur; in deze opgave bouw je de volledige theorie — ook voor de tijden waarop *geen* van de wijzers naar een streepje wijst — geef je antwoord op een vraag die weinig volwassenen goed krijgen (“hoe vaak liggen de twee wijzers precies op elkaar?”), en verdeel je tot slot een hele dag in een cirkeldiagram.

**Deel I — [Breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van een draai.**

1. Een volle draai meet $360^\circ$ . Hoeveel graden zijn een halve draai, een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) draai en een twaalfde van een draai?
2. De twaalf uurstreepjes verdelen de wijzerplaat in twaalf gelijke hoeken bij het middelpunt. Hoeveel graden zitten er tussen twee buurstreepjes? Vind het antwoord van [Oefening 40.11](#exo-g6-lines-11) voor 3 uur terug door streepjes te tellen.
3. Geef de hoek tussen de wijzers om 1 uur, om 4 uur en om 7 uur. (Om 7 uur verdelen de wijzers de wijzerplaat in twee hoeken; “de hoek tussen de wijzers” betekent altijd de *kleinste* .)
4. De minutenwijzer maakt een volle draai in $60$ minuten. Hoeveel graden legt hij per minuut af?
5. De uurwijzer gaat van het ene streepje naar het volgende — $30^\circ$ — in $60$ minuten. Hoeveel graden legt *hij* per minuut af? (Een [decimaal getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#def-g6-decimals-places) , [Hoofdstuk 38](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#ch-g6-decimals) .)

**Deel II — Tijden waarop niets naar een streepje wijst.**

6. Om 3:30 wijst de minutenwijzer naar de $6$ . Waar staat de uurwijzer precies? Reken de hoek van elke wijzer vanaf de $12$ uit (met de klok mee gemeten) en leid daaruit de hoek tussen de wijzers af.
7. Om 6:30 denken veel mensen dat de wijzers op elkaar liggen. Gok eerst, en reken de hoek daarna uit zoals in vraag 6. Wie had gelijk?
8. Reken de hoek tussen de wijzers om 9:15 uit.
9. Leg uit waarom de twee wijzers ergens tussen 1:00 en 1:10 precies op elkaar moeten liggen: waar staat de minutenwijzer om 1:00 ten opzichte van de uurwijzer, en waar om 1:10? Welke wijzer loopt sneller, en waarom beslist dat de zaak?
10. Hoe vaak liggen de twee wijzers in twaalf uur precies op elkaar? (In elk stuk tussen twee opeenvolgende uren gebeurt één ontmoeting — met één uitzondering: wat gebeurt er tussen 11 en 12? Noem de ontmoetingstijden ongeveer en tel ze.) En hoe vaak op een hele dag?

**Deel III — Hoeken om een punt: cirkeldiagrammen.**

11. De twaalf sectoren van de wijzerplaat vullen samen de hele plaat: hun hoeken zijn samen $360^\circ$ . Leg uit waarom dat geldt voor *elke* verzameling hoeken die één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) delen en samen een volle draai vullen, zonder overlap en zonder gat.
12. Zoë houdt haar dag van $24$ uur bij: slapen $9$ u, school $6$ u, spelen $3$ u, eten $2$ u, al het overige $4$ u. Ze wil een *cirkeldiagram* : een schijf waarin elke bezigheid een sector krijgt, met hoeken die evenredig zijn met de tijden. Welke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van de dag is elke bezigheid, en hoeveel graden krijgt haar sector? Controleer dat de vijf hoeken samen $360^\circ$ zijn.
13. Beschrijf stap voor stap hoe je het cirkeldiagram van Zoë tekent met passer en gradenboog ( [Methode 40.8](#met-g6-lines-protractor) ): waar de eerste [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) komt, en hoe elke nieuwe sector begint waar de vorige eindigt.
14. In een ander cirkeldiagram van een dag meet één sector precies $90^\circ$ . Welke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van de schijf is dat, en hoeveel uur stelt het voor?
15. De finale, terug bij de klok: hoeveel volle draaien maakt de uurwijzer in $24$ uur? En de minutenwijzer? En de secondewijzer? (Een van deze antwoorden ligt boven de duizend.)

**Oplossing van Probleem 40.1.**

**1.** Een halve draai: $360 \div 2 = 180^\circ$. Een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half): $360 \div 4 = 90^\circ$. Een twaalfde: $360 \div 12 = 30^\circ$.

**2.** Twaalf gelijke hoeken die samen $360^\circ$ vullen: $30^\circ$ tussen buurstreepjes. Om 3 uur overspannen de wijzers $3$ streepjes: $3 \times 30 = 90^\circ$ — een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle), zoals in [Oefening 40.11](#exo-g6-lines-11) gevonden.

**3.** Om 1 uur: $1 \times 30 = 30^\circ$. Om 4 uur: $4 \times 30 = 120^\circ$. Om 7 uur overspannen de wijzers aan de ene kant $7$ streepjes, $7 \times 30 = 210^\circ$, dus is de hoek tussen de wijzers de andere kant: $360 - 210 = 150^\circ$.

**4.** $360^\circ$ in $60$ minuten: $360 \div 60 = 6^\circ$ per minuut.

**5.** $30^\circ$ in $60$ minuten: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ per minuut — een halve graad. De uurwijzer kruipt, de minutenwijzer stapt.

**6.** In de $30$ minuten sinds 3:00 heeft de uurwijzer $30 \times 0.5 = 15^\circ$ voorbij de $3$ afgelegd: hij staat precies halverwege tussen de $3$ en de $4$, op $90 + 15 = 105^\circ$ van de $12$. De minutenwijzer wijst naar de $6$: $180^\circ$. Hoek tussen de wijzers: $180 - 105 = 75^\circ$.

**7.** Rekenen verslaat de gok: de minutenwijzer staat op $180^\circ$, maar de uurwijzer is de $6$ al voorbij — hij staat op $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$. De hoek tussen de wijzers is $195 - 180 = 15^\circ$: dichtbij, maar niet op elkaar.

**8.** Minutenwijzer op de $3$: $90^\circ$. Uurwijzer: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$. [Verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference): $277.5 - 90 = 187.5^\circ$, dus is de hoek tussen de wijzers $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — bijna een gestrekte hoek.

**9.** Om 1:00 staat de minutenwijzer ($0^\circ$) *achter* de uurwijzer ($30^\circ$). Om 1:10 staat de minutenwijzer ($60^\circ$) er *voor* ($30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$). De minutenwijzer loopt sneller ($6^\circ$ per minuut tegen $0.5^\circ$), dus haalt hij de uurwijzer tussen 1:00 en 1:10 in en gaat hij hem voorbij — op het moment van voorbijgaan liggen de twee wijzers precies op elkaar.

**10.** Datzelfde inhalen gebeurt keer op keer: de wijzers vallen samen om precies 12:00, en daarna om ongeveer 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 en 10:55. De ontmoeting die je tussen 11 en 12 zou verwachten, valt precies *op* 12:00, en dat is al het begin van de volgende ronde — in twaalf uur vallen de wijzers dus $11$ keer samen en niet $12$. Op een hele dag: $22$ keer.

**11.** Hoeken die een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) delen, zonder overlap en zonder gat, betegelen de volle draai om dat [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): één keer rond het punt draaien gaat door elke hoek precies één keer, en een volle draai is $360^\circ$. De maten zijn dus samen $360^\circ$ — ongeacht het aantal hoeken en hun grootte.

**12.** Elk uur van de dag is $360 \div 24 = 15^\circ$ waard. Dus:

$$
\text{slapen } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad
\text{school } 90^\circ, \quad
\text{spelen } 45^\circ, \quad
\text{eten } 30^\circ, \quad
\text{overige } 60^\circ,
$$

en $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$: de schijf is vol, zonder gat en zonder overlap (vraag 11).

**13.** Teken met de passer een cirkel en één [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) (de startlijn). Leg het midden van de gradenboog op het middelpunt van de cirkel, zijn $0^\circ$-lijn op die [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes), en markeer $135^\circ$; teken de nieuwe [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes): de sector voor het slapen is klaar. Leg daarna de $0^\circ$-lijn op *die* [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) en markeer $90^\circ$ voor school, en zo verder — elke sector begint waar de vorige eindigt. Na de laatste sector sluit de tekening precies op de startradius.

**14.** $90^\circ$ is $\frac{90}{360} = \frac14$ van de schijf ([Methode 39.7](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#met-g6-fractions-simplify)), en stelt dus een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de dag voor: $24 \div 4 = 6$ uur.

**15.** De uurwijzer maakt één draai in $12$ uur: $2$ draaien per dag. De minutenwijzer één draai per uur: $24$ draaien. De secondewijzer één draai per minuut: $24 \times 60 = 1\,440$ draaien per dag.