---
title: "Driehoeken en vierhoeken"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 41
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken
---

# Hoofdstuk 41 — Driehoeken en vierhoeken

Driehoeken en [vierhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) zijn de basisfiguren van de meetkunde. Het doel van dit hoofdstuk is hun bijzondere families — gelijkbenige, gelijkzijdige en [rechthoekige driehoeken](#def-g6-shapes-triangles); rechthoeken, [ruiten](#def-g6-shapes-quadrilaterals), vierkanten — te kennen aan hun *definiërende eigenschappen*, en ze precies te construeren met lat en passer.

## 41.1 Driehoeken

**Definitie 41.1 (Bijzondere driehoeken).**

Een driehoek $ABC$ heeft drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en drie zijden. Hij is:

- *gelijkbenig* in $A$ als $AB = AC$ (twee gelijke zijden);
- *gelijkzijdig* als $AB = BC = CA$ (drie gelijke zijden);
- *rechthoekig* in $A$ als de hoek $\widehat{BAC}$ een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) is. De zijde $[BC]$ tegenover de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) heet de *schuine zijde* .

![De drie bijzondere driehoeken. Kleine streepjes geven gelijke zijden aan; het vierkantje markeert de rechte hoek.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-693fd90d12e8.svg)

*De drie bijzondere driehoeken. Kleine streepjes geven gelijke zijden aan; het vierkantje markeert de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle).*

**Methode 41.2 (Een driehoek uit zijn drie zijden construeren).**

Om $ABC$ te construeren met $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm en $BC = 3$ cm:

1. teken met de lat het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB]$ van $5$ cm;
2. teken een boog van de cirkel met middelpunt $A$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm (alle punten op $4$ cm van $A$ );
3. teken een boog van de cirkel met middelpunt $B$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm;
4. het punt $C$ is waar de twee bogen elkaar snijden; verbind het met $A$ en $B$ .

![Een driehoek met de passer construeren: het hoekpunt C is het snijpunt van twee bogen. (In zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.)](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-df026e474b4b.svg)

*Een driehoek met de passer construeren: het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $C$ is het snijpunt van twee bogen. (In [Hoofdstuk 51](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#ch-g7-triangles) zie je wanneer zo’n constructie mogelijk is.)*

## 41.2 Vierhoeken

**Definitie 41.3 (Bijzondere vierhoeken).**

Een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft vier [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en vier zijden. Hij is een:

- *rechthoek* als zijn vier hoeken [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) zijn;
- *ruit* als zijn vier zijden dezelfde lengte hebben;
- *vierkant* als hij beide is: vier [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) *en* vier gelijke zijden.

**Propositie 41.4 (Eigenschappen van de diagonalen).**

In deze [vierhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) snijden de twee diagonalen elkaar in hun gemeenschappelijke midden, en bovendien:

- in een rechthoek zijn de diagonalen *even lang* ;
- in een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) staan de diagonalen *[loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)* op elkaar;
- in een vierkant beide tegelijk.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![De drie bijzondere vierhoeken met hun diagonalen (in rood). Het vierkant erft de eigenschappen van zowel de rechthoek als de ruit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-shapes/fig-5e58b376a1bd.svg)

*De drie bijzondere [vierhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met hun diagonalen (in rood). Het vierkant erft de eigenschappen van zowel de rechthoek als de [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals).*

**Opmerking 41.5.**

Een vierkant is automatisch een rechthoek (het heeft vier [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)) en automatisch een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (vier gelijke zijden). “Rechthoek” betekent dus niet “geen vierkant”! In de wiskunde hoort de bijzonderdere figuur bij de meer algemene familie.

**Voorbeeld 41.6 (Een figuur herkennen aan haar eigenschappen).**

Een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft vier zijden van $4$ cm en één [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle). Wat is het? Vier gelijke zijden maken er een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) van. In een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) zijn de hoeken die tegenover elkaar liggen gelijk, en samen zijn de vier hoeken $360^\circ$; één [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) dwingt dan alle vier recht te zijn (dat wordt met parallellogrammen bewezen in [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central)). De figuur is dus een vierkant.

**Methode 41.7 (Tekenprogramma’s).**

Een *tekenprogramma* is een lijst instructies die iedereen kan volgen om een figuur precies na te maken. Schrijf één instructie per regel, geef elk punt een naam op het moment dat het ontstaat, en gebruik alleen: “teken het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) / de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) / de cirkel…”, “zet het punt waar … elkaar snijden”. Test je programma door het letterlijk, woord voor woord, te volgen.

**Voorbeeld 41.8.**

Een programma voor een vierkant $ABCD$ met zijde $4$ cm:

1. Teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB]$ met $AB = 4$ cm.
2. Teken de loodlijn op $(AB)$ in $A$ ; zet daarop $D$ op $4$ cm van $A$ (kies één kant van de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) en houd die aan).
3. Teken de loodlijn op $(AB)$ in $B$ ; zet daarop $C$ op $4$ cm van $B$ , aan dezelfde kant als $D$ .
4. Verbind $C$ en $D$ .

Controleer met de lat: $DC$ moet ook $4$ cm meten.

## 41.3 Oefeningen

**Oefening 41.1 ★.**

Construeer een driehoek $ABC$ met $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm en $BC = 4$ cm, volgens [Methode 41.2](#met-g6-shapes-construct).

**Oplossing van Oefening 41.1.**

Volg de methode: [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB]$ van $6$ cm, een boog met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm met $A$ als middelpunt, een boog met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm met $B$ als middelpunt; het snijpunt is $C$.

**Oefening 41.2 ★.**

Construeer een [gelijkbenige driehoek](#def-g6-shapes-triangles) $DEF$ met $DE = DF = 5$ cm en $EF = 3$ cm. Welke twee hoeken van deze driehoek lijken gelijk? Meet ze om het te controleren.

**Oplossing van Oefening 41.2.**

Basis $[EF]$ van $3$ cm, en dan twee bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm met $E$ en $F$ als middelpunt; hun snijpunt is $D$. De twee basishoeken $\widehat{DEF}$ en $\widehat{DFE}$ zijn gelijk (elk ongeveer $72.5^\circ$) — de symmetrie van de [gelijkbenige driehoek](#def-g6-shapes-triangles) ([Voorbeeld 42.8](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie#ex-g6-symmetry-proves)).

**Oefening 41.3 ★.**

Construeer een [gelijkzijdige driehoek](#def-g6-shapes-triangles) met zijde $4$ cm met alleen lat en passer. Meet een van zijn hoeken.

**Oplossing van Oefening 41.3.**

Een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) van $4$ cm, en dan twee bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm met de uiteinden als middelpunt. Elke hoek meet $60^\circ$.

**Oefening 41.4 ★.**

Bepaal van elke driehoek het soort uit de gegevens ([gelijkbenig](#def-g6-shapes-triangles), [gelijkzijdig](#def-g6-shapes-triangles), [rechthoekig](#def-g6-shapes-triangles) — er kunnen meerdere antwoorden gelden): (a) zijden $7$, $7$, $7$; (b) zijden $5$, $5$, $8$; (c) hoeken $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$; (d) hoeken $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

**Oplossing van Oefening 41.4.**

(a) [gelijkzijdig](#def-g6-shapes-triangles) (en dus ook [gelijkbenig](#def-g6-shapes-triangles)). (b) [gelijkbenig](#def-g6-shapes-triangles) ($5 = 5$). (c) [rechthoekig](#def-g6-shapes-triangles) én [gelijkbenig](#def-g6-shapes-triangles) (twee gelijke hoeken van $45^\circ$ liggen tegenover twee gelijke zijden). (d) [gelijkzijdig](#def-g6-shapes-triangles) (drie gelijke hoeken).

**Oefening 41.5 ★.**

Welke zijde van een [rechthoekige driehoek](#def-g6-shapes-triangles) is de schuine zijde? Teken een driehoek $MNP$ met de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $N$ en noem zijn schuine zijde. Welk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) raakt de schuine zijde nooit?

**Oplossing van Oefening 41.5.**

De schuine zijde is de zijde tegenover de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle), en altijd de langste zijde. In $MNP$ met de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $N$ is de schuine zijde $[MP]$: die raakt het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle), $N$, nooit.

**Oefening 41.6 ★.**

Waar of niet waar? Verantwoord elk antwoord in één zin.

1. Elk vierkant is een rechthoek.
2. Elke rechthoek is een vierkant.
3. Elk vierkant is een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) .
4. Een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) met een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) is een vierkant.

**Oplossing van Oefening 41.6.**

*1. Waar*: een vierkant heeft vier [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle), en dat is de definitie van een rechthoek.

*2. Niet waar*: een rechthoek van $5 \times 3$ heeft ongelijke zijden.

*3. Waar*: een vierkant heeft vier gelijke zijden, de definitie van een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

*4. Waar*: zie [Voorbeeld 41.6](#ex-g6-shapes-recognize).

**Oefening 41.7 ★.**

Construeer een rechthoek $ABCD$ met $AB = 5$ cm en $BC = 3$ cm. Meet zijn twee diagonalen: wat valt je op?

**Oplossing van Oefening 41.7.**

Constructie met loodlijnen, zoals in [Voorbeeld 41.8](#ex-g6-shapes-program). Beide diagonalen meten ongeveer $5.8$ cm: de diagonalen van een rechthoek zijn even lang ([Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)).

**Oefening 41.8 ★.**

Construeer een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) met diagonalen van $6$ cm en $4$ cm. (Gebruik [Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals): teken eerst de twee diagonalen — [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op elkaar en elkaar snijdend in hun middens — en verbind daarna de vier uiteinden.)

**Oplossing van Oefening 41.8.**

Teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) van $6$ cm met zijn midden $O$; de loodlijn in $O$; en daarop twee punten op $2$ cm van $O$, aan elke kant één. De vier uiteinden verbinden geeft de [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) (alle vier de [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) liggen op afstanden $3$ cm en $2$ cm van $O$ langs [loodrechte lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp), dus zijn de vier zijden door de symmetrie gelijk).

**Oefening 41.9 ★★.**

Schrijf een tekenprogramma voor een [gelijkbenige driehoek](#def-g6-shapes-triangles) met basis $4$ cm en gelijke zijden van $6$ cm, in de stijl van [Voorbeeld 41.8](#ex-g6-shapes-program). Ruil met een klasgenoot: kan die het volgen zonder jouw figuur te zien?

**Oplossing van Oefening 41.9.**

Een goed programma: 1. teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[BC]$ met $BC = 4$ cm; 2. teken de boog met middelpunt $B$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm boven $[BC]$; 3. teken de boog met middelpunt $C$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm boven $[BC]$; 4. noem het snijpunt van de twee bogen $A$; 5. teken de lijnstukken $[AB]$ en $[AC]$.

**Oefening 41.10 ★★.**

Teken een cirkel met middelpunt $O$ en een van zijn [diameters](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[AB]$. Zet een willekeurig punt $M$ op de cirkel en teken de driehoek $AMB$. Meet de hoek $\widehat{AMB}$. Verschuif $M$ en meet opnieuw. Wat vermoed je? (Dit verrassende feit wordt bewezen in [Hoofdstuk 60](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/60-de-rechthoekige-driehoek-en-de-cosinus#ch-g8-cosine).)

**Oplossing van Oefening 41.10.**

Waar $M$ ook op de cirkel ligt, de hoek $\widehat{AMB}$ meet $90^\circ$: de driehoek $AMB$ is [rechthoekig](#def-g6-shapes-triangles) in $M$ zodra $[AB]$ een [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) is. Het bewijs wacht tot [Hoofdstuk 60](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/60-de-rechthoekige-driehoek-en-de-cosinus#ch-g8-cosine).

**Oefening 41.11 ★★.**

Een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft diagonalen van dezelfde lengte die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Zoek met [Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) uit welke figuur het moet zijn: rechthoek, [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) of vierkant? (Pas op: er is maar één eigenschap gegeven.)

**Oplossing van Oefening 41.11.**

Diagonalen die elkaar in hun midden snijden en even lang zijn: dat is precies de lijst eigenschappen van de *rechthoek* ([Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals)). Niets dwingt de diagonalen [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) te staan, dus hoeft het geen [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) of vierkant te zijn — rechthoek is het juiste antwoord (een vierkant zou er ook aan voldoen, maar wordt niet afgedwongen).

**Oefening 41.12 ★★★.**

Hoeveel verschillende vierkanten kun je op een puntenraster van $4 \times 4$ tekenen met rasterpunten als [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) — de “scheve” vierkanten meegerekend? Teken minstens één scheef vierkant en leg uit waarom zijn zijden gelijk zijn.

**Oplossing van Oefening 41.12.**

Bij $4 \times 4$ punten zijn er $3 \times 3$ rastervakjes. Vierkanten langs het raster: zijden $1$, $2$ of $3$ geven $9 + 4 + 1 = 14$ vierkanten. Er bestaan ook scheve vierkanten: de kleine, waarvan de zijden diagonalen van vakjes van $1 \times 1$ zijn (zoals $(1,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$, $(0,1)$) — vier daarvan; en de grotere, waarvan de zijden diagonalen van rechthoeken van $2 \times 1$ zijn, zoals $(1,0)$, $(3,1)$, $(2,3)$, $(0,2)$ — twee daarvan. Alle vier de zijden van zo’n vierkant zijn gelijk, omdat ze diagonalen van identieke rechthoeken zijn. Totaal: $14 + 4 + 2 = 20$ vierkanten. (Elke telling met een juist scheef voorbeeld en de $14$ rechte vierkanten is op dit niveau een succes.)

## 41.4 Opgave: wat de diagonalen weten

**Probleem 41.1.**

Weekendopgave — elke bijzondere vierhoek uit alleen zijn diagonalen herbouwen, en de diagonalen van elke veelhoek tellen

[Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals) leest een figuur en vertelt je over haar diagonalen. In deze opgave speel je het spel *achterstevoren*: gegeven alleen twee lijnstukken die elkaar snijden — de toekomstige diagonalen — welke figuur verschijnt er als je hun vier uiteinden verbindt? Je bouwt een compleet “diagonalenwoordenboek”, begrijpt *waarom* de ruitconstructie van [Oefening 41.8](#exo-g6-shapes-8) werkt, ontmoet een figuur die nog geen naam heeft, en eindigt met het tellen van de diagonalen van [veelhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met veel meer dan vier zijden.

**Deel I — Het diagonalenwoordenboek.** Teken bij elke vraag de twee lijnstukken zoals beschreven, verbind hun vier uiteinden op volgorde, en zeg welke [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) je krijgt.

1. Twee lijnstukken van elk $6$ cm, [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op elkaar, die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Meet de vier zijden en de vier hoeken van de figuur die je krijgt: wat is het?
2. Twee lijnstukken van $8$ cm en $5$ cm, [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op elkaar, die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Welke figuur verschijnt er ( [Oefening 41.8](#exo-g6-shapes-8) )?
3. Twee lijnstukken van elk $7$ cm — gelijk, maar *niet* [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) — die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. Meet de zijden en de hoeken: welke figuur vermoed je?
4. Twee lijnstukken van $8$ cm en $5$ cm, niet [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) , die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden. De figuur die je krijgt, is geen van de drie van [Definitie 41.3](#def-g6-shapes-quadrilaterals) — beschrijf wat je ziet (welke zijden lijken gelijk? [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) ?). Deze [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) krijgt zijn naam in [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central) .
5. Vat de vragen 1–4 samen in een woordenboek met vier ingangen: diagonalen *gelijk / [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) / beide / geen van beide* (steeds elkaar snijdend in hun middens) $\rightarrow$ naam (of beschrijving) van de figuur.

**Deel II — Waarom de constructies werken.**

6. In vraag 2 verdelen de twee diagonalen de figuur in vier [rechthoekige driehoeken](#def-g6-shapes-triangles) om het snijpunt. Wat zijn de twee rechthoekszijden van elk van die driehoeken? Leg uit waarom alle vier de driehoeken precies elkaars kopie zijn, en leid daaruit af waarom de vier zijden van de figuur gelijk zijn — het geheim van [Oefening 41.8](#exo-g6-shapes-8) .
7. Leid daaruit een test met alleen de passer af: hoe kun je na het bouwen van een figuur uit haar diagonalen met de passer alleen (zonder met de lat te meten) nagaan dat de vier zijden gelijk zijn?
8. Schrijf een tekenprogramma ( [Methode 41.7](#met-g6-shapes-program) ) voor een vierkant waarvan de *diagonalen* $6$ cm meten — niet de zijden.
9. Is in het vierkant van vraag 8 de zijde langer of korter dan $3$ cm — de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de diagonaal? Meet het na. De ene [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van het antwoord kun je al *bewijzen* : van de ene hoek naar de volgende via het middelpunt is een omweg van $3 + 3$ cm, en een rechte weg is altijd korter dan een omweg — de zijde is dus korter dan $6$ cm. (Bewijzen dat hij ook groter is dan $3$ cm, en hem precies uitrekenen, is werk voor [Hoofdstuk 58](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ch-g8-pythagoras) .)
10. Een nieuwe ingang voor het woordenboek: teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AC]$ van $8$ cm; zet daarop het punt $H$ op $3$ cm van $A$ ; teken door $H$ het loodrechte [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[BD]$ van $5$ cm, met $H$ als *zijn* midden. Verbind $ABCD$ . Deze figuur is een *vlieger* (de ene diagonaal deelt de andere middendoor, onder een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) ). Zoek met de hoekdriehoeken als in vraag 6 welke zijden van een [vlieger](#pb-g6-shapes-1) aan elkaar gelijk zijn.

**Deel III — Diagonalen tellen.** Een *diagonaal* van een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) verbindt twee [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die geen buren zijn.

11. Teken een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) , een [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) (vijf [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ) en een [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) (zes [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ), en teken al hun diagonalen. Tel ze: hoeveel zijn het per geval?
12. Tellen zonder te tekenen, voor de [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) : hoeveel diagonalen vertrekken uit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ? (Met hoeveel van de zes [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) kan het *niet* door een diagonaal verbonden worden?) Met zes vermenigvuldigen telt elke diagonaal precies twee keer — waarom? Vind je telling van vraag 11 terug. (Datzelfde dubbeltellen kwam voor bij de handdrukken van [Probleem 37.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#pb-g6-wholes-1) .)
13. Tel met de methode van vraag 12 de diagonalen van een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met $10$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) , en daarna met $20$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) .
14. Een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft precies $44$ diagonalen. Hoeveel [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) heeft hij? (Probeer de methode van vraag 13 op een paar kandidaten.)
15. Controleer je methode op de allerkleinste [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) : hoeveel diagonalen heeft een driehoek, en wat antwoordt de telmethode van vraag 12? Besluit met één zin over wat handdrukken en diagonalen met elkaar gemeen hebben.

**Oplossing van Probleem 41.1.**

**1.** De vier zijden meten allemaal hetzelfde (ongeveer $4.2$ cm) en de vier hoeken zijn recht: de figuur is een *vierkant*. (Gelijke diagonalen geven de [rechte hoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle), zoals bij de rechthoek; loodrechte diagonalen geven de gelijke zijden, zoals bij de [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals); beide tegelijk geven het vierkant — [Propositie 41.4](#prop-g6-shapes-diagonals), achterstevoren gelezen.)

**2.** Een *[ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals)*: vier gelijke zijden (ongeveer $4.7$ cm), maar geen [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) — precies de constructie van [Oefening 41.8](#exo-g6-shapes-8).

**3.** De vier hoeken blijken recht, maar de zijden komen in twee verschillende lengtes: een *rechthoek* — de situatie van [Oefening 41.11](#exo-g6-shapes-11).

**4.** Geen enkele bewering over gelijke lengtes houdt stand bij het meten, en er verschijnt geen [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle); maar de zijden die tegenover elkaar liggen zijn twee aan twee gelijk en lijken [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp). Het is de algemene “scheve rechthoek” waarvan de diagonalen elkaar alleen middendoor delen — het *parallellogram*, dat in [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central) zijn naam krijgt en onderzocht wordt.

**5.** Diagonalen die elkaar in hun gemeenschappelijke midden snijden:

| diagonalen… | figuur |
| --- | --- |
| gelijk en [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) | vierkant |
| alleen [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) | [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) |
| alleen gelijk | rechthoek |
| geen van beide | de naamloze (zie [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central)) |

**6.** Elke hoekdriehoek heeft één rechthoekszijde langs elke diagonaal: de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $8$ cm en de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $5$ cm, dus rechthoekszijden van $4$ cm en $2.5$ cm, met een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) ertussen — dezelfde gegevens voor alle vier. Driehoeken die uit dezelfde twee rechthoekszijden met de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) ertussen gebouwd zijn, zijn precies elkaars kopie (bouw ze: de passerstanden zijn identiek). Hun vier schuine zijden — de zijden van de figuur — zijn dus gelijk: de figuur is een [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals).

**7.** Zet de passer open op de lengte van één zijde en loop met hem de figuur rond: landen punt en potlood precies op elk paar buurhoekpunten, dan zijn alle vier de zijden gelijk aan die opening. Geen lat nodig.

**8.** Programma:

1. Teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AC]$ met $AC = 6$ cm en zet zijn midden $O$ (meet $3$ cm vanaf $A$ ).
2. Teken de loodlijn op $(AC)$ in $O$ .
3. Zet daarop $B$ en $D$ op $3$ cm van $O$ , aan elke kant één.
4. Verbind $A$ , $B$ , $C$ en $D$ .

Diagonalen gelijk ($6$ cm), [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp), en elkaar middendoor delend: volgens het woordenboek is $ABCD$ een vierkant.

**9.** Meten geeft ongeveer $4.2$ cm: *langer* dan $3$ cm — de gebruikelijke gok “de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de diagonaal” is fout. De bewijsbare [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half): om van hoek $A$ naar de volgende hoek $B$ te komen, kun je de zijde $[AB]$ recht lopen, of de omweg $A \to O \to B$ door het middelpunt nemen, die $3 + 3 = 6$ cm kost; de rechte zijde is korter, dus meet de zijde minder dan $6$ cm. Dat hij ook *meer* is dan $3$ cm, laat de lat zien; [Hoofdstuk 58](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ch-g8-pythagoras) zal het bewijzen en de precieze waarde geven ($3$ cm maal de vierkantswortel van $2$, ongeveer $4.24$ cm).

**10.** De vier hoekdriehoeken bij $H$ komen nu in *twee* paren die bij elkaar horen: twee met rechthoekszijden $3$ cm en $2.5$ cm (schuine zijden $[AB]$ en $[AD]$), en twee met rechthoekszijden $5$ cm en $2.5$ cm (schuine zijden $[CB]$ en $[CD]$). Dus $AB = AD$ en $CB = CD$: een [vlieger](#pb-g6-shapes-1) heeft twee paren gelijke *buurzijden* (de [ruit](#def-g6-shapes-quadrilaterals) is de bijzondere [vlieger](#pb-g6-shapes-1) waarbij alle vier gelijk zijn).

**11.** [Vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonalen. [Vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $9$.

**12.** Uit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) gaan diagonalen naar elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) behalve zichzelf en zijn twee buren: $6 - 3 = 3$ diagonalen. Zes [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) sturen $6 \times 3 = 18$ diagonaaluiteinden de wereld in — maar elke diagonaal is aan *beide* uiteinden geteld, één keer vanuit elk eindpunt, precies zoals een handdruk door beide handdrukkers geteld wordt ([Probleem 37.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#pb-g6-wholes-1)). De echte telling: $18 \div 2 = 9$. Dat klopt met de tekening.

**13.** Tien [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): $10 - 3 = 7$ uit elk, dus $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonalen. Twintig [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonalen.

**14.** Probeer kandidaten: $10$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) geven $35$ (vraag 13); $11$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) geven $11 \times 8 \div 2 = 44$. Gevonden: de [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft $11$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

**15.** Een driehoek heeft helemaal geen diagonalen: de “niet-buren” van elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) zijn … niemand, want de andere twee [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) zijn beide zijn buren. De methode is het ermee eens: $3 - 3 = 0$ uit elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), totaal $0$. Handdrukken en diagonalen zijn dezelfde telling in andere kleren: paren gekozen uit een groep, elk paar één keer geteld — de wiskunde hergebruikt haar goede ideeën.