---
title: "Spiegelsymmetrie"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 42
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie
---

# Hoofdstuk 42 — Spiegelsymmetrie

Vouw een blad papier langs een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects): elk punt landt op een ander punt, zijn [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def). Dat vouwen is *[spiegelsymmetrie](#def-g6-symmetry-def)* (of spiegeling), de eerste meetkundige transformatie van dit boek — de tweede, de puntspiegeling, komt in [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central).

## 42.1 Spiegelingen

**Definitie 42.1 (Spiegelbeeld van een punt).**

Zij $d$ een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects). Het *spiegelbeeld* van een punt $M$ in $d$ is het punt $M'$ waarvoor $d$ de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[MM']$ is: het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[MM']$ staat [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $d$, en $d$ snijdt het in zijn midden. Een punt *op* $d$ is zijn eigen spiegelbeeld.

![Spiegelen in de lijn d: de as staat loodrecht op (MM') en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt P op de as beweegt niet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-c8d65390f364.svg)

*Spiegelen in de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$: de as staat [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $[MM']$ en gaat door zijn midden (gelijke streepjes). Een punt $P$ op de as beweegt niet.*

**Methode 42.2 (Een spiegelbeeld construeren).**

Om het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) $M'$ van $M$ in de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$ te construeren:

1. teken de loodlijn op $d$ door $M$ (met de geodriehoek); noem $H$ het punt waar hij $d$ snijdt;
2. meet $MH$ met de passer of de lat;
3. zet $M'$ op dezelfde loodlijn, aan de andere kant van $d$ , met $HM' = MH$ .

Op ruitjespapier gaat het sneller: tel de vakjes van $M$ tot de as, en tel er even veel aan de andere kant.

**Voorbeeld 42.3 (Op een raster).**

Is de as een verticale rasterlijn en ligt $M$ $3$ vakjes links ervan, dan ligt $M'$ $3$ vakjes rechts ervan, op dezelfde rij. Bij een diagonale as werkt het tellen langs diagonalen — altijd [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op de as.

![Een figuur en haar spiegelbeeld in de verticale as: elk hoekpunt wordt vakje voor vakje gespiegeld, en links en rechts worden verwisseld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-ef69dab764e8.svg)

*Een figuur en haar [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) in de verticale as: elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) wordt vakje voor vakje gespiegeld, en links en rechts worden verwisseld.*

**Propositie 42.4 (Wat een spiegeling bewaart).**

Het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) van een figuur in een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) is een figuur met *dezelfde vorm en dezelfde maat*: lengtes, hoeken, omtrekken en [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/28-maten-en-omtrek#def-g4-measure-area) blijven allemaal bewaard. Het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) van een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) is een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects), van een cirkel een cirkel met dezelfde [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes), van een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 42.5.**

Eén ding blijft *niet* bewaard: de omloopsrichting. Een gespiegelde “b” wordt een “d” — spiegelschrift. Als je je figuur overtrekt, het overtrekpapier omklapt en het beeld precies terugkrijgt, dan is de spiegeling juist.

## 42.2 Symmetrieassen van een figuur

**Definitie 42.6 (Symmetrieas).**

Een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$ is een *symmetrieas* van een figuur als de spiegeling in $d$ de figuur precies op zichzelf afbeeldt — langs $d$ vouwen laat de twee [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) op elkaar passen.

![Symmetrieassen van bekende figuren. Pas op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn geen symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de helften passen niet op elkaar, tenzij het een vierkant is).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g6-symmetry/fig-461864d880f7.svg)

*Symmetrieassen van bekende figuren. Pas op bij de rechthoek: zijn diagonalen zijn *geen* symmetrieassen (vouw langs een diagonaal — de [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) passen niet op elkaar, tenzij het een vierkant is).*

**Voorbeeld 42.7.**

Symmetrieassen tellen:

- [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) : $1$ (door de top en het midden van de basis); [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) : $3$ ;
- rechthoek: $2$ (de twee “middellijnen”, *niet* de diagonalen); [ruit](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-quadrilaterals) : $2$ (haar diagonalen!); vierkant: $4$ ;
- cirkel: elke [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door het middelpunt — oneindig veel.

**Voorbeeld 42.8 (Symmetrie bewijst gelijkheden).**

Waarom zijn de twee basishoeken van een [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) gelijk? Vouw de driehoek langs zijn [symmetrieas](#def-g6-symmetry-axis): de linkerhelft landt precies op de rechterhelft, dus landt de linkerbasishoek op de rechterbasishoek — ze moeten dezelfde maat hebben ([Propositie 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved): spiegelingen bewaren hoeken).

## 42.3 Middelloodlijn

**Definitie 42.9 (Middelloodlijn).**

De *middelloodlijn* van een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB]$ is de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) die [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $[AB]$ staat en door zijn midden gaat — het is de [symmetrieas](#def-g6-symmetry-axis) die $A$ en $B$ verwisselt.

**Propositie 42.10 (Gelijke afstanden).**

Een punt $M$ ligt op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ precies dan als het op dezelfde afstand van $A$ en van $B$ ligt: $MA = MB$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Methode 42.11 (Constructie met de passer).**

Om de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ te tekenen zonder te meten:

1. zet de passer open op meer dan de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $AB$ ;
2. teken twee bogen met $A$ als middelpunt, boven en onder het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) ;
3. teken met *dezelfde* opening twee bogen met $B$ als middelpunt;
4. verbind de twee snijpunten: die [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) is de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) (elk snijpunt ligt op gelijke afstand van $A$ en $B$ ).

## 42.4 Oefeningen

**Oefening 42.1 ★.**

Neem over op ruitjespapier: een verticale as $d$, een punt $A$ twee vakjes links ervan, en een punt $B$ vijf vakjes links ervan en één vakje hoger. Construeer hun [spiegelbeelden](#def-g6-symmetry-def) $A'$ en $B'$ in $d$.

**Oplossing van Oefening 42.1.**

$A'$ ligt twee vakjes *rechts* van $d$, op dezelfde rij als $A$; $B'$ ligt vijf vakjes rechts en één vakje hoger — spiegelposities.

**Oefening 42.2 ★.**

Teken een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$ en een punt $M$ op $3$ cm van $d$ (niet op ruitjespapier). Construeer met geodriehoek en lat het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) $M'$ van $M$ in $d$, volgens [Methode 42.2](#met-g6-symmetry-construct). Hoe ver liggen $M$ en $M'$ van elkaar?

**Oplossing van Oefening 42.2.**

De loodlijn op $d$ door $M$, met voetpunt $H$; dan $M'$ aan de andere kant met $HM' = MH = 3$ cm. De afstand $MM'$ is $3 + 3 = 6$ cm.

**Oefening 42.3 ★.**

Welke hoofdletters van het alfabet hebben, in hun eenvoudigste vorm geschreven, een verticale [symmetrieas](#def-g6-symmetry-axis) (zoals A)? En een horizontale (zoals B)? En beide?

**Oplossing van Oefening 42.3.**

Verticale as (zoals A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Horizontale as (zoals B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Beide: H, I, O, X. (De precieze antwoorden hangen een beetje af van hoe je de letters tekent.)

**Oefening 42.4 ★.**

Hoeveel symmetrieassen heeft: een [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles)? een rechthoek die geen vierkant is? een [ruit](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-quadrilaterals) die geen vierkant is? een vierkant? een cirkel? Teken elke figuur met haar assen.

**Oplossing van Oefening 42.4.**

[Gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles): $3$ assen. Rechthoek: $2$ (de [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) van zijn zijden). [Ruit](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-quadrilaterals): $2$ (haar diagonalen). Vierkant: $4$. Cirkel: oneindig veel (elke [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door het middelpunt).

**Oefening 42.5 ★.**

Waar of niet waar? “De diagonalen van een rechthoek zijn symmetrieassen van de rechthoek.” Leg het uit met een vouwargument of een tekening.

**Oplossing van Oefening 42.5.**

*Niet waar.* Een rechthoek die geen vierkant is, langs een diagonaal vouwen laat de twee [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) niet samenvallen: de twee driehoeken hebben dezelfde vorm, maar liggen anders — probeer het met een blad papier. Alleen bij een vierkant werken de diagonalen als assen.

**Oefening 42.6 ★.**

Een driehoek $ABC$ wordt in een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$ gespiegeld op $A'B'C'$. Gegeven $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ en een [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/28-maten-en-omtrek#def-g4-measure-perimeter) van $ABC$ van $12$ cm: geef zonder enige constructie $A'B'$, $\widehat{B'A'C'}$ en de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/28-maten-en-omtrek#def-g4-measure-perimeter) van $A'B'C'$.

**Oplossing van Oefening 42.6.**

Spiegelingen bewaren lengtes, hoeken en omtrekken ([Propositie 42.4](#prop-g6-symmetry-preserved)): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$, en de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/28-maten-en-omtrek#def-g4-measure-perimeter) van $A'B'C'$ is $12$ cm.

**Oefening 42.7 ★.**

Teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB]$ van $7$ cm en construeer zijn [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) met de passer ([Methode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector)). Kies een willekeurig punt $M$ erop en controleer met de lat dat $MA = MB$.

**Oplossing van Oefening 42.7.**

Constructie met de passer zoals in [Methode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector). Voor elk punt $M$ op de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) bevestigt de lat dat $MA = MB$ ([Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**Oefening 42.8 ★★.**

Twee bomen staan in de punten $A$ en $B$ van een (vlakke) tuin. Waar kun je een fontein plaatsen zodat die op dezelfde afstand van beide bomen staat? Beschrijf *alle* mogelijke plekken.

**Oplossing van Oefening 42.8.**

Alle punten op gelijke afstand van $A$ en $B$ vormen de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ ([Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)). De fontein mag overal op die [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) staan (binnen de tuin).

**Oefening 42.9 ★★.**

Teken op ruitjespapier de as $d$ (een diagonaal van het raster onder $45^\circ$) en een klein L-vormig figuurtje aan één kant. Construeer haar [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) in $d$. (Spiegel elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): bij een as van $45^\circ$ landt een punt $2$ vakjes rechts van de as $2$ vakjes erboven.)

**Oplossing van Oefening 42.9.**

Elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) wordt [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op de as gespiegeld: bij de as van $45^\circ$ landt een punt $k$ vakjes rechts van de as $k$ vakjes erboven (en omgekeerd) — de horizontale en verticale verplaatsingen worden verwisseld. Spiegel de [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) één voor één en verbind ze daarna op volgorde.

**Oefening 42.10 ★★.**

Teken een cirkel met middelpunt $O$, een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $d$ door $O$, en een punt $M$ op de cirkel. Waar ligt het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) van $M$ in $d$? Leg uit waarom de spiegeling de cirkel op zichzelf afbeeldt.

**Oplossing van Oefening 42.10.**

Het [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def) van $M$ is het tweede snijpunt van de cirkel met de loodlijn op $d$ door $M$ — het ligt op de cirkel. De reden: de spiegeling bewaart afstanden en houdt $O$ op zijn plaats (dat ligt op $d$), dus ligt het beeld van elk punt op afstand $r$ van $O$ weer op afstand $r$ van $O$: de cirkel wordt op zichzelf afgebeeld.

**Oefening 42.11 ★★.**

Leg met de eigenschap van de gelijke afstanden ([Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)) uit waarom de twee snijpunten van de bogen in [Methode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) echt op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ liggen.

**Oplossing van Oefening 42.11.**

Elk snijpunt $P$ is met dezelfde passeropening $\rho$ vanuit $A$ en vanuit $B$ getekend: dus $PA = \rho = PB$. Volgens [Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) ligt een punt op gelijke afstand van $A$ en $B$ op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$; twee zulke punten bepalen de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects).

**Oefening 42.12 ★★★.**

Een biljartbal in punt $A$ moet via een rechte wand $d$ het punt $B$ bereiken (beide aan dezelfde kant van de wand). Spiegel $B$ in $d$ op $B'$ en teken het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB']$. Leg uit waarom het beste stuitpunt daar ligt waar $[AB']$ de wand snijdt. (Idee: het pad $A \to P \to B$ is even lang als $A \to P \to B'$.)

**Oplossing van Oefening 42.12.**

Voor elk stuitpunt $P$ op de wand geldt $PB = PB'$ (de spiegeling in $d$ bewaart afstanden), dus is de padlengte $AP + PB = AP + PB'$. De gebroken [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $A \to P \to B'$ is het kortst als hij recht is, dus als $P$ op het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AB']$ ligt. Het beste stuitpunt is dus het snijpunt van $[AB']$ met de wand.

## 42.5 Opgave: de fontein, het gebroken bord en de wandelende spiegel

**Probleem 42.1.**

Weekendopgave — de drie middelloodlijnen van een driehoek komen in één punt samen: de cirkel door drie punten, en wat twee spiegels samen doen

In [Oefening 42.8](#exo-g6-symmetry-8) moest een fontein op gelijke afstand van *twee* bomen staan, en het antwoord was een hele [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) plekken. In deze opgave plant je een *derde* boom — en stort die hele [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) in tot één perfect bepaald punt. In dat punt zit een schat van meetkunde verstopt: het levert je de enige cirkel door drie gegeven punten, laat je een heel bord uit één scherf terugbouwen, en het hoort bij elke driehoek. In het laatste deel doe je een proef met twee spiegels waarvan de uitkomst de meetkunde van volgend jaar aankondigt.

**Deel I — Twee bomen, en dan een kaart van gebieden.**

1. Teken twee punten $A$ en $B$ met $AB = 6$ cm en construeer de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ met de passer ( [Methode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector) ). Kies een punt $M$ erop en controleer met de lat dat $MA = MB$ .
2. [Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) zegt twee dingen tegelijk: elk punt *op* de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) ligt op gelijke afstand van $A$ en $B$ , en elk punt op gelijke afstand *ligt op* de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) . Welke van de twee antwoordt op de fonteinvraag van [Oefening 42.8](#exo-g6-symmetry-8) ? Wat zegt de propositie over een punt dat *niet* op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) ligt?
3. Neem een punt $M$ aan dezelfde kant van de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) als $A$ . Het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[MB]$ snijdt de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) in een punt $P$ . Vergelijk het pad $M \to P \to B$ met het pad $M \to P \to A$ , en leg uit waarom $M$ dichter bij $A$ dan bij $B$ ligt: de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) verdeelt het blad in een “ $A$ -kant” en een “ $B$ -kant”.
4. Twee scholen $A$ en $B$ bedienen een dorp. Elk kind loopt naar de dichtstbijzijnde school. Teken een kaartje met $A$ en $B$ , en kleur het precieze gebied van het dorp dat door school $A$ bediend wordt. Welke [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) vormt de grens?
5. Er opent een derde school $C$ (zet die zo dat de drie scholen een driehoek vormen). Construeer de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ en die van $[BC]$ , en noem hun snijpunt $O$ . Aan welke twee gelijkheden van afstanden voldoet $O$ , en waarom?

**Deel II — Drie bomen, één punt, één cirkel.**

6. Leid uit vraag 5 af dat $OA = OC$ — en dus dat $O$ ook op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AC]$ ligt, die je nooit hebt getekend. Besluit: *de drie [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) van de zijden van een driehoek gaan alle drie door één punt.*
7. Leg uit waarom de cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $OA$ ook door $B$ en door $C$ gaat: het is *de* cirkel door de drie punten — de *omgeschreven cirkel* van de driehoek $ABC$ .
8. Construeer een driehoek met zijden $6$ cm, $5$ cm en $4$ cm ( [Methode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#met-g6-shapes-construct) ), en daarna zijn [omgeschreven cirkel](#pb-g6-symmetry-1) . Waarom is het genoeg om maar *twee* [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) te tekenen om het middelpunt te vinden?
9. Het gebroken bord: een archeoloog vindt een scherf waarvan alleen een stukje van de ronde rand van het bord nog intact is. Beschrijf een recept dat het middelpunt en de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van het oorspronkelijke bord terugvindt — en test het: teken met je passer een cirkelboog, “vergeet” het middelpunt, zet drie punten op de boog en bouw hem terug.
10. Kunnen er ooit drie punten zijn waar *geen* cirkel door gaat? Stel dat $A$ , $B$ en $C$ op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) liggen. Wat kun je zeggen over de [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ en van $[BC]$ ( [Propositie 40.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#prop-g6-lines-facts) )? Besluit.

**Deel III — Assen overal, en de wandelende spiegel.**

11. [Voorbeeld 42.7](#ex-g6-symmetry-shapes) telde $3$ assen voor de [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) en $4$ voor het vierkant. Vermoed het aantal voor een regelmatige [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) en een regelmatige [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) , en beschrijf waar de assen in elk geval lopen (een [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal zijden tegen een [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal: de twee situaties verschillen).
12. Vouw een blad papier één keer en knip er door beide lagen een vorm uit; vouw het weer open. Waarom heeft het gat *altijd* een [symmetrieas](#def-g6-symmetry-axis) , wat je ook knipt, en welke [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) is die as?
13. Vouw het blad twee keer — de tweede vouw [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op de eerste — knip, en vouw het weer open. Hoeveel symmetrieassen heeft het gat minstens, en hoeveel kopieën van je knip zie je? (Papieren sneeuwvlokken zijn dit idee, nog verder doorgevouwen.)
14. De wandelende spiegel: teken op ruitjespapier een verticale as $d_1$ , een vlaggetje $F$ links ervan, en een tweede verticale as $d_2$ , $4$ vakjes rechts van $d_1$ . Spiegel $F$ in $d_1$ (beeld $F'$ ), en spiegel $F'$ daarna in $d_2$ (beeld $F''$ ). Vergelijk $F$ en $F''$ : dezelfde omloopsrichting of gespiegeld? Hoeveel vakjes is de figuur opgeschoven? Vergelijk dat met de afstand tussen de assen.
15. Dezelfde proef met $d_2$ *[loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)* op $d_1$ : spiegel het vlaggetje in de verticale as, en dat beeld daarna in de horizontale. Beschrijf hoe $F''$ ligt ten opzichte van $F$ en van het snijpunt van de twee assen. (Je hebt net de transformatie van volgend jaar ontdekt: [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central) .)

**Oplossing van Probleem 42.1.**

**1.** Constructie zoals in [Methode 42.11](#met-g6-symmetry-bisector); voor elk punt $M$ op de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) bevestigt de lat dat $MA = MB$ ([Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**2.** De fonteinvraag heeft de tweede richting nodig: *alle* punten op gelijke afstand liggen op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector), dus zijn de mogelijke plekken precies die [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) en niets anders. En een punt dat niet op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) ligt, ligt dus *niet* op gelijke afstand: het ligt strikt dichter bij een van de twee bomen.

**3.** De twee paden delen het stuk $[MP]$, en $PB = PA$ omdat $P$ op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) ligt. Het pad $M \to P \to B$ is dus even lang als het pad $M \to P \to A$, namelijk $MP + PA$. Nu is $MB$ de rechte weg naar $B$ — die is hier juist het pad via $P$, dus $MB = MP + PA$; en de rechte weg naar $A$ is korter dan de omweg via $P$: $MA < MP + PA = MB$. Elk punt aan de kant van $A$ ligt dichter bij $A$.

**4.** De grens is de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$: school $A$ bedient precies de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van het dorp aan haar kant van die [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) (vraag 3), school $B$ de andere [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half), en kinderen die op de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) zelf wonen, mogen kiezen.

**5.** $O$ ligt op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$, dus $OA = OB$; en op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[BC]$, dus $OB = OC$ ([Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector)).

**6.** Uit $OA = OB$ en $OB = OC$ volgt $OA = OC$. Volgens de tweede richting van [Propositie 42.10](#prop-g6-symmetry-bisector) ligt een punt op gelijke afstand van $A$ en $C$ op de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AC]$: de derde [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) gaat ongevraagd door $O$. De drie [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) van elke driehoek gaan dus door *één* punt.

**7.** De cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $OA$ bestaat uit alle punten op afstand $OA$ van $O$ ([Definitie 40.5](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-circle)); omdat $OB = OA$ en $OC = OA$, liggen $B$ en $C$ erop. Eén middelpunt, één [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes), drie punten bediend: het is de cirkel door $A$, $B$ en $C$.

**8.** Twee [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) zijn genoeg, omdat de derde automatisch volgt (vraag 6): hun snijpunt voldoet al aan alle drie de gelijkheden van afstanden. De cirkel teken je met middelpunt $O$ en de passer geopend van $O$ tot een van de drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

**9.** Recept: zet drie punten $A$, $B$ en $C$ op de overgebleven boog; teken de [middelloodlijnen](#def-g6-symmetry-bisector) van de koorden $[AB]$ en $[BC]$; hun snijpunt is het middelpunt van het bord, en de afstand tot $A$ is de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes). Het werkt omdat de rand van het bord een cirkel door de drie gemarkeerde punten is — en vraag 8 vindt *de* cirkel door die punten. De testboog komt precies terug.

**10.** Liggen $A$, $B$ en $C$ op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects), dan staan de [middelloodlijn](#def-g6-symmetry-bisector) van $[AB]$ en die van $[BC]$ beide [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op dezelfde [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $(AB) = (BC)$ — ze zijn dus [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) aan elkaar ([Propositie 40.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#prop-g6-lines-facts)) en snijden elkaar, omdat ze verschillend zijn, nooit. Geen enkel punt ligt op gelijke afstand van alle drie, en er gaat dus geen cirkel door drie punten op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects).

**11.** Regelmatige [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $5$ assen, elk door één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en het midden van de zijde ertegenover ([oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal: elke as is van dat ene soort). Regelmatige [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $6$ assen — drie door [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die tegenover elkaar liggen en drie door de middens van zijden die tegenover elkaar liggen ([even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal: twee soorten, half en half). Het patroon: een regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met $n$ zijden heeft $n$ assen.

**12.** De knip gaat in één keer door beide lagen, dus verliezen de twee lagen precies overeenkomstige stukken; openvouwen is de spiegeling in de vouwlijn, die de rand van de ene laag op die van de andere afbeeldt. Het gat is zijn eigen [spiegelbeeld](#def-g6-symmetry-def): de vouwlijn is zijn [symmetrieas](#def-g6-symmetry-axis) — wat je ook geknipt hebt.

**13.** Het opengevouwen gat heeft minstens $2$ symmetrieassen, de twee vouwlijnen, en de knip verschijnt in $4$ kopieën (elk openvouwen verdubbelt het plaatje: $1 \to 2 \to 4$). Vaker vouwen, zoals bij een sneeuwvlok, vermenigvuldigt de kopieën en de assen verder.

**14.** $F''$ heeft *dezelfde* omloopsrichting als $F$ (twee spiegelingen heffen het spiegelen op), dezelfde maat en dezelfde hoogte — het is gewoon $F$, naar rechts opgeschoven. De verschuiving is $8$ vakjes: precies *twee keer* de afstand tussen de twee assen. Twee parallelle spiegels samen spiegelen dus helemaal niet: ze *schuiven op*.

**15.** $F''$ heeft weer dezelfde maat, maar staat nu *op zijn kop*, een halve draai gedraaid om het snijpunt van de twee assen: elk punt van $F''$ ligt diametraal tegenover het overeenkomstige punt van $F$ door dat middelpunt. Twee loodrechte spiegels stellen zich samen tot de *halve draai* — de puntspiegeling van [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central).