---
title: "Uitdrukkingen met letters"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 48
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/48-uitdrukkingen-met-letters
---

# Hoofdstuk 48 — Uitdrukkingen met letters

Een letter in een berekening staat voor een getal dat we nog niet kennen, of voor *alle* getallen tegelijk: $P = 4z$ schrijven geeft de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van elk vierkant in één formule. Dit hoofdstuk leert de schrijfafspraken, het invullen van waarden en het vereenvoudigen van eenvoudige uitdrukkingen — het begin van de algebra, die in [Hoofdstuk 57](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#ch-g8-equations) verdergaat.

## 48.1 Schrijven met letters

**Definitie 48.1 (Uitdrukking met letters).**

Een *uitdrukking met letters* is een berekening met een of meer letters, die elk voor een getal staan. De schrijfafspraken:

- het teken $\times$ valt weg voor een letter of een haakje: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
- maar het blijft staan tussen twee getallen: $3 \times 5$ mag je niet als $35$ schrijven!
- $a \times a$ schrijf je als $a^2$ (“ $a$ kwadraat”), en $a \times a \times a = a^3$ ;
- $1a$ schrijf je als $a$ , en $0a$ is $0$ .

**Voorbeeld 48.2.**

Vereenvoudig de schrijfwijze:

$$
5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y,
\qquad
a \times 7 = 7a \ \text{(getal vooraan)},
\qquad
x \times x \times 4 = 4x^2 .
$$

**Voorbeeld 48.3 (Formules zijn uitdrukkingen met letters).**

Voor een rechthoek met lengte $l$ en breedte $b$: [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) $P = 2(l + b)$, [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $A = lb$. Eén formule vat de oneindig veel rechthoeken samen — en dat is precies waar letters voor zijn.

![Twee formules die voor elke rechthoek geldig zijn: vul de waarden van l en b in om getallen te krijgen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-literal/fig-02dd9757bfd7.svg)

*Twee formules die voor elke rechthoek geldig zijn: vul de waarden van $l$ en $b$ in om getallen te krijgen.*

## 48.2 Invullen

**Methode 48.4 (Een uitdrukking uitrekenen).**

Om een uitdrukking voor gegeven waarden van haar letters uit te rekenen:

1. schrijf de uitdrukking met de verborgen $\times$ -tekens erbij: $3a + a^2$ is $3 \times a + a \times a$ ;
2. vervang elke letter door haar waarde, met haakjes eromheen als dat nodig is;
3. reken uit, met de voorrangsregels van [Hoofdstuk 45](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#ch-g7-priorities) .

**Voorbeeld 48.5.**

Reken $E = 3x + x^2$ uit voor $x = 5$:

$$
E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .
$$

Reken $F = 2(a + 3b)$ uit voor $a = 4$ en $b = 0.5$:

$$
F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5
= 11 .
$$

## 48.3 Uitdrukkingen herleiden

**Propositie 48.6 (Gelijksoortige termen samennemen).**

Termen met hetzelfde letterdeel kun je samennemen door hun getallen op te tellen (dat is de distributiviteit, [Stelling 45.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#thm-g7-priorities-distributivity), achterstevoren gelezen):

$$
5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,
\qquad
7a - 2a = 5a .
$$

Termen met verschillende letterdelen (zoals $3x$ en $5y$, of $x$ en $x^2$) kun je niet samennemen.

**Voorbeeld 48.7.**

Herleid $E = 4x + 7 + 3x + 2$ door de termen te sorteren:

$$
E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .
$$

Pas op: $7x + 9$ is *niet* $16x$! Test met $x = 1$: $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ en $7 \times 1 + 9 = 16$ komen overeen, maar $16x$ zou ook $16$ zijn — test dus met $x = 2$: het origineel geeft $8 + 7 + 6 + 2 = 23$, en $7 \times 2 + 9 = 23$, terwijl $16 \times 2 = 32$. De herleiding $7x + 9$ is juist, $16x$ is fout.

**Methode 48.8 (Een gelijkheid testen).**

Om na te gaan of twee uitdrukkingen voor elke waarde gelijk kunnen zijn:

1. vul in beide dezelfde waarde in, minstens twee keer (bijvoorbeeld $x = 2$ en $x = 10$ ; vermijd $0$ en $1$ , die verbergen te veel verschillen);
2. verschillen de uitkomsten ook maar één keer, dan zijn de uitdrukkingen *niet* gelijk — één tegenvoorbeeld velt een algemene bewering;
3. komen de uitkomsten overeen, dan is de gelijkheid alleen *aannemelijk* : een bewijs vraagt algebra (uitwerken, herleiden).

**Voorbeeld 48.9.**

Is $2(x + 3)$ gelijk aan $2x + 6$ voor elke $x$? Uitwerken bewijst het: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$. Is $(x + 1)^2$ gelijk aan $x^2 + 1$? Test $x = 2$: $(2+1)^2 = 9$ maar $2^2 + 1 = 5$. Nee — en één tegenvoorbeeld is een volledig bewijs van “nee”.

## 48.4 Uitdrukkingen opstellen

**Voorbeeld 48.10 (Van situatie naar uitdrukking).**

Een taxi rekent $4$ euro plus $2$ euro per kilometer. Voor een rit van $k$ kilometer is de prijs

$$
p = 4 + 2k \quad\text{euro}.
$$

Voor $k = 7$: $p = 4 + 14 = 18$ euro. De uitdrukking *is* het algemene antwoord; invullen levert elk bijzonder antwoord op.

**Voorbeeld 48.11 (Getaltrucs).**

“Denk aan een getal, verdubbel het, tel er $10$ bij op, deel door $2$, en haal je eigen getal eraf.” Noem het getal $n$ en volg de stappen:

$$
n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\
n + 5 - n = 5 .
$$

Iedereen krijgt $5$, wat $n$ ook was — de letters verklaren de goocheltruc.

## 48.5 Oefeningen

**Oefening 48.1 ★.**

Vereenvoudig de schrijfwijze:

$$
7 \times x, \qquad
y \times 3, \qquad
a \times b \times 5, \qquad
x \times x, \qquad
2 \times (a + 4).
$$

**Oplossing van Oefening 48.1.**

$7x$; $3y$; $5ab$; $x^2$; $2(a + 4)$.

**Oefening 48.2 ★.**

Zet de $\times$-tekens terug:

$$
5ab, \qquad
3(x + 2), \qquad
x^2 + 4x, \qquad
2a^3 .
$$

**Oplossing van Oefening 48.2.**

$5ab = 5 \times a \times b$; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$.

**Oefening 48.3 ★.**

Reken uit voor $x = 3$: $5x + 1$; $x^2$; $2x^2 - x$; $10 - 2x$.

**Oplossing van Oefening 48.3.**

Voor $x = 3$: $5 \times 3 + 1 = 16$; $3 \times 3 = 9$; $2 \times 9 - 3 = 15$; $10 - 6 = 4$.

**Oefening 48.4 ★.**

Reken $3a + 2b$ en $a b + 5$ uit voor $a = 4$ en $b = 1.5$.

**Oplossing van Oefening 48.4.**

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$.

**Oefening 48.5 ★.**

Herleid:

$$
8x + 5x, \qquad
9a - 4a + a, \qquad
6y + 2 + 3y + 7, \qquad
5t + 3 - 2t - 3 .
$$

**Oplossing van Oefening 48.5.**

$8x + 5x = 13x$; $9a - 4a + a = 6a$; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$.

**Oefening 48.6 ★.**

Geef een formule voor: de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van een vierkant met zijde $z$; de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van een [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met basis $b$ en gelijke zijden $s$; de prijs van $n$ broden van $1.20$ euro per stuk.

**Oplossing van Oefening 48.6.**

Vierkant: $P = 4z$. [Gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles): $P = b + 2s$. Broden: $p = 1.20\,n$ euro.

**Oefening 48.7 ★.**

Koppel elke uitdrukking aan een beschrijving: $2n$; $n + 2$; $n^2$; $\frac n2$. Beschrijvingen: “de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $n$”; “het dubbele van $n$”; “het kwadraat van $n$”; “twee meer dan $n$”.

**Oplossing van Oefening 48.7.**

$2n$: het dubbele; $n + 2$: twee meer dan $n$; $n^2$: het kwadraat; $\frac n2$: de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half).

**Oefening 48.8 ★★.**

Beslis met [Methode 48.8](#met-g7-literal-test) (met een bewijs of een tegenvoorbeeld) of deze gelijkheden voor elke $x$ gelden:

$$
3(x + 4) = 3x + 12; \qquad
2x + 5 = 7x; \qquad
x + x = x^2 .
$$

**Oplossing van Oefening 48.8.**

$3(x+4) = 3x + 12$: *waar* voor elke $x$ (distributiviteit — dit is een bewijs, testen is niet nodig).

$2x + 5 = 7x$: test $x = 2$: links $9$, rechts $14$ — in het algemeen *niet waar* (het geldt alleen voor $x = 1$).

$x + x = x^2$: test $x = 3$: links $6$, rechts $9$ — in het algemeen *niet waar* ($x + x = 2x$).

**Oefening 48.9 ★★.**

Een rechthoek heeft breedte $b$ en zijn lengte is $3$ cm meer dan zijn breedte.

1. Druk de lengte uit in $b$ , en daarna de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) , en herleid.
2. Reken de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) uit voor $b = 5$ cm, rechtstreeks en met je herleide formule. Hetzelfde antwoord?

**Oplossing van Oefening 48.9.**

*1.* Lengte: $b + 3$. [Omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter):

$$
P = 2\bigl(b + (b + 3)\bigr) = 2(2b + 3) = 4b + 6 .
$$

*2.* Voor $b = 5$: rechtstreeks zijn de zijden $5$ en $8$, dus $P = 2 \times 13 = 26$ cm; met de formule $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Dat komt overeen.

**Oefening 48.10 ★★.**

Volg de truc van [Voorbeeld 48.11](#ex-g7-literal-trick) met letters: “denk aan een getal, tel er $6$ bij op, vermenigvuldig met $3$, haal er $18$ af, en deel door je startgetal” (neem aan dat dat niet [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is). Wat krijgt iedereen?

**Oplossing van Oefening 48.10.**

De stappen met de letter $n$ gevolgd:

$$
n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n
\ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .
$$

Iedereen krijgt $3$.

**Oefening 48.11 ★★★.**

De figuur hieronder is een vierkant met zijde $a$ waaruit in een hoek een vierkant met zijde $b$ is weggehaald ($b$ kleiner dan $a$). Schrijf twee verschillende uitdrukkingen voor haar [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) op (één als [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference), één door de L-vorm in twee rechthoeken te knippen), en ga na dat ze overeenkomen voor $a = 5$ en $b = 2$.

**Oplossing van Oefening 48.11.**

Als [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference): $A = a^2 - b^2$. Door de L in twee rechthoeken te knippen: een strook over de volle breedte met hoogte $a - b$ en daarbovenop een smallere rechthoek:

$$
A = a(a - b) + b(a - b)
$$

(de onderste rechthoek $a$ breed en $a - b$ hoog, de bovenste $a - b$ breed en $b$ hoog geeft de variant $a(a-b) + (a-b)b$ — hetzelfde). Voor $a = 5$ en $b = 2$: $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$, en $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$. Beide uitdrukkingen komen overeen — en dat doen ze altijd: dit is de vermomde merkwaardige gelijkheid $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ uit [Hoofdstuk 66](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/66-algebra-en-vergelijkingen#ch-g9-algebra).

## 48.6 Opgave: het luciferorakel

**Probleem 48.1.**

Weekendopgave — groeiende patronen en hun $n$-de term: drie formules voor één patroon, en het beroemde patroon dat bij de zesde stap bezwijkt

Leg luciferstokjes in een rij vierkanten: één vierkant, dan twee, dan drie … Hoeveel stokjes heeft de honderdste figuur nodig? Ze één voor één tellen zou je hele weekend kosten; een *formule in $n$* antwoordt in één keer voor elke figuur — precies waar letters voor zijn ([Voorbeeld 48.3](#ex-g7-literal-formulas)). Maar pas op: deze opgave eindigt met een gevierd patroon dat vijf stappen eerlijk speelt en daarna iedereen verraadt die erop vertrouwde.

**Deel I — Een rij vierkanten.** Figuur $1$ is één vierkant van stokjes ($4$ stokjes); elke volgende figuur voegt er één vierkant aan toe dat een zijde met het vorige deelt.

1. Teken de figuren $1$ tot $4$ en tel hun stokjes.
2. Leg uit waarom elk nieuw vierkant precies $3$ extra stokjes kost, en voorspel daarmee het aantal voor figuur $10$ zonder formule.
3. Verantwoord de formule: figuur $n$ heeft $3n + 1$ stokjes nodig. (Waar komt die eenzame “ $+1$ ” vandaan?) Controleer haar met vraag 1.
4. Amir denkt anders: “ $4$ stokjes voor het eerste vierkant, en dan $3$ voor elk van de $n - 1$ andere”, dus $4 + 3(n - 1)$ . Werk zijn uitdrukking uit en herleid haar ( [Propositie 48.6](#prop-g7-literal-reduce) ): is hij het met vraag 3 eens?
5. Lena telt op een derde manier: “ $2n$ horizontale stokjes en $n + 1$ verticale.” Schrijf haar formule op, herleid haar, en besluit. Antwoord daarna op de openingsvraag: hoeveel stokjes voor figuur $100$ ?

**Deel II — Driehoeken, tafels en achterstevoren rekenen.**

6. Een rij driehoeken van stokjes (elke nieuwe driehoek leunt tegen de vorige): tel de stokjes voor $1$ , $2$ en $3$ driehoeken, en verantwoord daarna de formule $2n + 1$ voor $n$ driehoeken.
7. Achterstevoren: hoeveel driehoeken kan de rij hebben met precies $49$ stokjes? (Maak de formule stap voor stap ongedaan.)
8. Aan vierkante banketttafels zit één gast per vrije zijde. Leg uit waarom de formule voor $n$ tafels in één lange rij $2n + 2$ plaatsen geeft, en controleer haar voor $1$ , $2$ en $3$ tafels.
9. Op een feest worden $30$ gasten verwacht. Hoeveel tafels heeft één rij nodig? De cateraar zet dezelfde tafels in plaats daarvan in *twee* rijen van zeven: hoeveel gasten passen er nu? Verklaar de winst met de formule.
10. Stippenpatroon: figuur $n$ is een L van stippen, $n$ stippen hoog en $n$ stippen breed (de hoekstip één keer geteld). Tel de stippen van de figuren $1$ , $2$ en $3$ , zoek de formule, en noem de getallen die ze oplevert. (Op elkaar gelegd betegelen deze L’s een vierkant — een verhaal dat in [Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1) verdergaat.)

**Deel III — Vertrouwen, testen, bewijzen.**

11. Een klasgenoot beweert dat figuur $n$ van deel I $3(n + 2) - 5$ stokjes nodig heeft. Beslis over die bewering door uit te werken en te herleiden — testen is niet nodig.
12. “Kwadrateren maakt getallen groter, dus $n^2 \geq n$ voor elk getal $n$ .” Test de bewering voor $n = 2$ , $3$ en $10$ ; zoek daarna een getal waarvoor ze faalt. Wat hebben de drie geslaagde tests bewezen, en wat bewijst die ene mislukking ( [Methode 48.8](#met-g7-literal-test) )?
13. Zet punten op een cirkel en teken *elk* [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) tussen die punten; tel daarna de gebieden binnen de cirkel. Doe het voor $2$ , $3$ , $4$ en $5$ punten (zet de punten ongelijkmatig, zodat er nooit drie lijnstukken door één binnenpunt gaan). Noteer de aantallen. Welke formule fluistert het patroon je in?
14. Nu $6$ punten, groot en ongelijkmatig getekend, en heel zorgvuldig geteld (er zijn veel kleine gebieden). Hoeveel gebieden vind je — en wat is er met het vermoeden gebeurd?
15. De moraal, in twee zinnen: wat zou er nodig zijn geweest om het verdubbelvermoeden te *bewijzen* , en waarom hebben de luciferformules van deel I en II nooit in zo’n gevaar verkeerd? Vier het met een bewezen voorspelling: hoeveel stokjes voor de rij van $2\,026$ vierkanten?

**Oplossing van Probleem 48.1.**

**1.** De figuren $1$ tot $4$ hebben $4$, $7$, $10$ en $13$ stokjes nodig.

**2.** Een nieuw vierkant deelt één zijde met de vorige figuur, dus zijn maar $3$ van zijn $4$ zijden nieuwe stokjes. Vanaf figuur $4$ ($13$ stokjes) kosten zes vierkanten erbij $6 \times 3 = 18$: figuur $10$ heeft $13 + 18 = 31$ stokjes nodig.

**3.** Lees de rij van links af: hij begint met één verticaal stokje, en elk van de $n$ vierkanten voegt daarna een boven-, een onder- en een rechterzijde toe — $3$ stokjes per vierkant. Totaal: $3n + 1$; die “$+1$” is het allereerste verticale stokje. Controle: $n = 1, 2, 3, 4$ geven $4, 7, 10, 13$.

**4.** $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: de formule van Amir werkt uit tot precies dezelfde herleide uitdrukking. Volledige overeenstemming.

**5.** Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — opnieuw hetzelfde. Drie manieren van kijken, één herleide vorm. Figuur $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ stokjes.

**6.** De aantallen: $3$, $5$, $7$ stokjes. Elke nieuwe driehoek leunt tegen een bestaande zijde en voegt maar $2$ stokjes toe, vanaf $3$: figuur $n$ heeft $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ stokjes nodig.

**7.** Maak $2n + 1 = 49$ ongedaan: het eerste stokje eraf laat $48$ over, en elke driehoek staat voor $2$: $48 \div 2 = 24$ driehoeken.

**8.** In een rij van $n$ tafels biedt elke tafel haar boven- en onderzijde ($2n$ plaatsen), en de twee tafels aan de uiteinden bieden elk nog een extra zijde ($+2$): $2n + 2$ plaatsen. Controle: $4$, $6$, $8$ voor $n = 1, 2, 3$.

**9.** Eén rij: $2n + 2 \geq 30$ vraagt $2n \geq 28$, dus $14$ tafels. Deel je dezelfde $14$ tafels in twee rijen van $7$: elke rij biedt $2 \times 7 + 2 = 16$ plaatsen, samen $32$ — twee meer dan de enkele rij, omdat elke nieuwe rij twee nieuwe *uiteinden* meebrengt. (Elke splitsing levert $2$ plaatsen op; cateraars weten dat.)

**10.** De L van maat $n$ heeft $n$ stippen omhoog en $n$ stippen naar de zijkant, met de hoekstip gedeeld: $n + n - 1 = 2n - 1$ stippen. De figuren $1$, $2$ en $3$: $1$, $3$ en $5$ stippen — de *[oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen*. In elkaar geschoven vullen de L’s een vierkant van $n \times n$ stippen: het verhaal van [Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1).

**11.** $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: de bewering herleidt tot de bewezen formule, dus is ze juist voor elke $n$ — vastgesteld met algebra en niet met voorbeelden.

**12.** Tests: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: alle drie geslaagd. Maar $n = 0.5$ geeft $n^2 = 0.25 < 0.5$: de bewering faalt. De drie tests bewezen niets over *alle* getallen (ze vonden alleen geen problemen); dat ene tegenvoorbeeld *bewijst* dat de algemene bewering onjuist is ([Methode 48.8](#met-g7-literal-test)). Een letter staat voor elk getal — decimalen inbegrepen.

**13.** Gebieden: $2$ punten $\to 2$; $3$ punten $\to 4$; $4$ punten $\to 8$; $5$ punten $\to 16$. Het patroon fluistert “elk punt verdubbelt het aantal”: voor $6$ punten verwacht je $32$ gebieden.

**14.** Zorgvuldig tellen geeft $31$ gebieden — geen $32$. Het verdubbelvermoeden is dood: het doorstond vier controles en faalde bij de vijfde. (Dit tegenvoorbeeld is beroemd genoeg om een naam te hebben, “de valstrik van de cirkelgebieden”; en geen sluiproutes met gelijkmatig verdeelde punten — drie koorden door één punt zouden gebieden laten samensmelten en de telling bederven.)

**15.** Een bewijs zou een *structurele* reden nodig hebben gehad waarom een punt erbij het aantal gebieden verdubbelt — en die is er niet: het verdubbelen was een toevalligheid van kleine gevallen. De luciferformules waren veilig omdat elk van hen rechtstreeks van de constructie is afgelezen (elk vierkant kost zichtbaar $3$ stokjes, elke tafel biedt zichtbaar $2$ plaatsen): structuur, geen testen. Een bewezen voorspelling: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ stokjes.