---
title: "Driehoeken en hoeken"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 51
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken
---

# Hoofdstuk 51 — Driehoeken en hoeken

Kun je een driehoek tekenen met zijden $10$, $3$ en $2$? En met hoeken $80^\circ$, $70^\circ$ en $50^\circ$? Dit hoofdstuk antwoordt op beide vragen met twee van de nuttigste feiten van de vlakke meetkunde: de driehoeksongelijkheid en de hoekensom van $180^\circ$ — plus de woorden voor hoeken die bij snijdende en [parallelle lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) horen.

## 51.1 Hoeken bij snijdende lijnen

**Definitie 51.1 (Paren hoeken).**

- Twee hoeken zijn *complementair* als hun maten samen $90^\circ$ zijn, en *supplementair* als ze samen $180^\circ$ zijn.
- Als twee [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) elkaar snijden, heten de hoeken die dwars over het snijpunt tegenover elkaar liggen *overstaande hoeken* .
- Als een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) twee andere [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) snijdt, heten hoeken die bij elk snijpunt op dezelfde plaats liggen *overeenkomstige hoeken* ; hoeken tussen de twee [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) aan weerszijden van de snijdende [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) heten *verwisselende hoeken* .

**Stelling 51.2 (Gelijke hoeken).**

1. [Overstaande hoeken](#def-g7-triangles-pairs) zijn gelijk.
2. Zijn twee [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) , dan zijn overeenkomstige hoeken gelijk, en [verwisselende hoeken](#def-g7-triangles-pairs) ook. Omgekeerd dwingen gelijke overeenkomstige (of verwisselende) hoeken de [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) te zijn.

**Bewijs van 1.** De twee hoeken $\widehat{1}$ en $\widehat{2}$ aan één kant van een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) vormen een gestrekte hoek: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$. De hoek $\widehat 3$ die tegenover $\widehat 1$ ligt, voldoet om dezelfde reden aan $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$. Dus is $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$. Punt 2 nemen we op dit niveau zonder bewijs aan. ∎

![Links: overstaande hoeken 1 = 3 (elk is supplementair met 2). Rechts: parallelle lijnen gesneden door een derde lijn — de overeenkomstige hoeken a en b zijn gelijk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-3b89e20a134d.svg)

*Links: [overstaande hoeken](#def-g7-triangles-pairs) $\widehat 1 = \widehat 3$ (elk is supplementair met $\widehat 2$). Rechts: [parallelle lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) gesneden door een derde [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) — de overeenkomstige hoeken $\widehat a$ en $\widehat b$ zijn gelijk.*

## 51.2 De som van de hoeken van een driehoek

**Stelling 51.3 (Hoekensom).**

In elke driehoek zijn de drie hoeken samen $180^\circ$.

**Bewijs.** Zij $ABC$ een driehoek. Teken door $A$ de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) die [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) is aan $(BC)$. In het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $A$ liggen drie hoeken op een rij langs die [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) en vormen ze een gestrekte hoek, $180^\circ$: de middelste is $\widehat{A}$, en de twee buitenste zijn [verwisselende hoeken](#def-g7-triangles-pairs) met $\widehat B$ en $\widehat C$ ([parallelle lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)!) en dus daaraan gelijk. Bijgevolg is $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$. ∎

![Het bewijs in één plaatje: langs de parallel aan (BC) door A vullen de hoeken B, A en C (verwisselende hoeken in bijpassende kleuren) een gestrekte hoek.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-f3ecc75ad45a.svg)

*Het bewijs in één plaatje: langs de [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) aan $(BC)$ door $A$ vullen de hoeken $\widehat B$, $\widehat A$ en $\widehat C$ ([verwisselende hoeken](#def-g7-triangles-pairs) in bijpassende kleuren) een gestrekte hoek.*

**Voorbeeld 51.4.**

Twee hoeken van een driehoek meten $67^\circ$ en $58^\circ$. De derde meet

$$
180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .
$$

Bijzondere gevallen die het onthouden waard zijn: elke hoek van een [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) is $180 \div 3 = 60^\circ$; in een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) zijn de twee scherpe hoeken complementair (ze zijn samen $180 - 90 = 90^\circ$); de basishoeken van een [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) zijn gelijk, dus is elk $\frac{180 - \text{tophoek}}{2}$.

**Voorbeeld 51.5 (Geen driehoek met twee rechte hoeken).**

Een driehoek met twee hoeken van $90^\circ$ zou al $180^\circ$ opgebruiken en $0^\circ$ voor de derde overlaten — onmogelijk. De hoekensom verbiedt in één keer heel veel driehoeken.

## 51.3 De driehoeksongelijkheid

**Stelling 51.6 (Driehoeksongelijkheid).**

In elke driehoek is elke zijde korter dan de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de twee andere: voor een driehoek met zijden $a$, $b$ en $c$ geldt

$$
a < b + c .
$$

Omgekeerd kun je van drie lengtes waarvan de *grootste* kleiner is dan de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de twee andere, altijd een driehoek maken. Is de grootste *gelijk* aan de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de andere, dan is de “driehoek” plat: de drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) liggen op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 51.7.**

Kunnen de zijden $10$, $3$ en $2$ zijn? Test de grootste: is $10 < 3 + 2 = 5$? Nee — zo’n driehoek bestaat niet. De passer laat zien waarom: bogen met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ en $2$, getekend vanuit de uiteinden van een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) van $10$, ontmoeten elkaar nooit.

Zijden $7$, $5$ en $4$? De grootste: $7 < 5 + 4 = 9$: ja, de driehoek bestaat (de grootste zijde controleren is genoeg).

![Een poging om een driehoek met zijden 10, 3 en 2 te bouwen: de twee passerbogen blijven hopeloos ver van elkaar, omdat 3 + 2 < 10.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-triangles/fig-408c26ed4520.svg)

*Een poging om een driehoek met zijden $10$, $3$ en $2$ te bouwen: de twee passerbogen blijven hopeloos ver van elkaar, omdat $3 + 2 < 10$.*

**Methode 51.8 (Bestaan en constructie van een driehoek).**

Bij drie gegeven lengtes:

1. vergelijk de grootste met de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de twee andere; is ze niet strikt kleiner, stop dan: geen driehoek;
2. construeer anders zoals in [Methode 41.2](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#met-g6-shapes-construct) (basislijnstuk, twee passerbogen);
3. ga na een constructie uit hoeken in gedachten na dat de gegeven hoeken samen minder dan $180^\circ$ zijn — en dat de derde hoek precies $180^\circ$ vol maakt.

## 51.4 Oefeningen

**Oefening 51.1 ★.**

Geef het complement (tot $90^\circ$) en het supplement (tot $180^\circ$) van: $30^\circ$; $45^\circ$; $72^\circ$.

**Oplossing van Oefening 51.1.**

Complementen: $60^\circ$; $45^\circ$; $18^\circ$. Supplementen: $150^\circ$; $135^\circ$; $108^\circ$.

**Oefening 51.2 ★.**

Twee [lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) snijden elkaar; een van de vier hoeken meet $35^\circ$. Geef de maten van de drie andere, met bij elk een reden.

**Oplossing van Oefening 51.2.**

De overstaande hoek meet ook $35^\circ$ ([Stelling 51.2](#thm-g7-triangles-equalities)); de twee overige hoeken zijn er supplementair mee: elk $180 - 35 = 145^\circ$.

**Oefening 51.3 ★.**

Reken de derde hoek uit van een driehoek waarvan de eerste twee hoeken meten: (a) $40^\circ$ en $60^\circ$; (b) $90^\circ$ en $28^\circ$; (c) $75^\circ$ en $75^\circ$.

**Oplossing van Oefening 51.3.**

(a) $180 - 100 = 80^\circ$. (b) $180 - 118 = 62^\circ$. (c) $180 - 150 = 30^\circ$.

**Oefening 51.4 ★.**

Een [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft een tophoek van $40^\circ$. Reken zijn twee basishoeken uit. Een andere [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft een basishoek van $70^\circ$: reken zijn tophoek uit.

**Oplossing van Oefening 51.4.**

Tophoek $40^\circ$: de basishoeken delen $180 - 40 = 140^\circ$ gelijk: elk $70^\circ$.

Basishoek $70^\circ$: de twee basishoeken zijn gelijk, dus is de tophoek $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$.

**Oefening 51.5 ★.**

Welke van deze drietallen kunnen de zijden van een driehoek zijn? Verantwoord het met de driehoeksongelijkheid (de grootste zijde!):

$$
(6,\ 8,\ 12); \qquad
(5,\ 5,\ 11); \qquad
(4,\ 9,\ 13); \qquad
(7,\ 7,\ 7).
$$

**Oplossing van Oefening 51.5.**

$(6, 8, 12)$: $12 < 6 + 8 = 14$: de driehoek bestaat.

$(5, 5, 11)$: $11 > 5 + 5 = 10$: onmogelijk.

$(4, 9, 13)$: $13 = 4 + 9$: een platte “driehoek” — de punten liggen op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects), dus geen echte driehoek.

$(7, 7, 7)$: $7 < 14$: een [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles).

**Oefening 51.6 ★.**

Een driehoek heeft hoeken $x$, $2x$ en $3x$. Zoek $x$ en de drie hoeken. Wat voor driehoek is het?

**Oplossing van Oefening 51.6.**

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$, dus $x = 30^\circ$: de hoeken zijn $30^\circ$, $60^\circ$ en $90^\circ$ — een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles).

**Oefening 51.7 ★.**

Construeer een driehoek $ABC$ met $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ en $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (gradenboog in $B$ en in $C$). Voorspel voor het construeren de maat van $\widehat{BAC}$, en controleer die daarna op je figuur.

**Oplossing van Oefening 51.7.**

Voorspelling: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$; de gradenboog op de afgewerkte figuur bevestigt het.

**Oefening 51.8 ★★.**

Twee [parallelle lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) worden door een derde [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) gesneden, met bij het eerste snijpunt een hoek van $54^\circ$ (tussen de snijdende [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) en een van de parallellen). Teken de situatie en geef de maten van alle acht hoeken die ontstaan.

**Oplossing van Oefening 51.8.**

Bij het eerste snijpunt zijn de vier hoeken $54^\circ$, $126^\circ$, $54^\circ$ en $126^\circ$ (paren [overstaande hoeken](#def-g7-triangles-pairs) en supplementen). De parallelle [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) herhaalt dezelfde vier maten bij het tweede snijpunt (overeenkomstige hoeken): acht hoeken in totaal, vier van $54^\circ$ en vier van $126^\circ$.

**Oefening 51.9 ★★.**

Twee zijden van een driehoek meten $8$ cm en $3$ cm. Tussen welke twee waarden moet de derde zijde liggen? Geef een hele lengte die werkt en een die niet werkt.

**Oplossing van Oefening 51.9.**

Zij $c$ de derde zijde. De driehoeksongelijkheid eist $c < 8 + 3 = 11$ en ook $8 < c + 3$, dus $c > 5$. Bijgevolg $5 < c < 11$: de lengte $7$ cm werkt; de lengte $12$ cm (of $4$ cm) niet.

**Oefening 51.10 ★★.**

In een driehoek $ABC$ is $\widehat A = 2\widehat B$ en $\widehat C = 90^\circ$. Reken $\widehat A$ en $\widehat B$ uit.

**Oplossing van Oefening 51.10.**

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$, en $\widehat A = 2\widehat B$, dus $3\widehat B = 90^\circ$: $\widehat B = 30^\circ$ en $\widehat A = 60^\circ$.

**Oefening 51.11 ★★★.**

De hoeken van elke [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ kun je onderzoeken door hem langs een diagonaal in twee driehoeken te knippen. Bewijs daarmee dat de vier hoeken van elke [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) samen $360^\circ$ zijn, en leid de hoekensom van een [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) (vijf zijden) af.

**Oplossing van Oefening 51.11.**

De diagonaal $[AC]$ verdeelt $ABCD$ in de driehoeken $ABC$ en $ACD$. De vier hoeken van de [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) zijn precies de zes hoeken van de twee driehoeken, anders gegroepeerd (de hoeken in $A$ en in $C$ zijn elk in twee gesplitst). Totaal: $180 + 180 = 360^\circ$. Een [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) valt vanuit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) in drie driehoeken uiteen: $3 \times 180 = 540^\circ$.

## 51.5 Opgave: een rondje om het blok

**Probleem 51.1.**

Weekendopgave — de hoeken van elke veelhoek: $(n-2) \times 180^\circ$ binnenin, altijd $360^\circ$ draaien buitenom, en waarom maar drie regelmatige figuren een vloer betegelen

[Oefening 51.11](#exo-g7-triangles-11) knipte een [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) in twee driehoeken en vond $360^\circ$. Deze opgave duwt dat idee door naar [veelhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met een willekeurig aantal zijden, ontdekt daarna een tweede, volstrekt ander bewijs — door om de figuur *heen te lopen* en de draaiingen op te tellen — en eindigt op de vloer van je badkamer: van alle regelmatige [veelhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) kunnen er precies drie een vlak betegelen zonder gaten of overlap, en de bijen hebben de hunne gekozen.

**Deel I — De hoeken binnenin.**

1. Teken vanuit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van een [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) (zes zijden) alle diagonalen die uit dat [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) vertrekken. In hoeveel driehoeken is de [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) verdeeld, en wat is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van *al* haar binnenhoeken ( [Stelling 51.3](#thm-g7-triangles-sum) )?
2. Algemener: hoeveel driehoeken levert de bundel diagonalen uit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met $n$ zijden op? Leid de formule voor de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de binnenhoeken af, en controleer haar voor $n = 3$ , $4$ , $5$ en $6$ .
3. Reken de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de binnenhoeken uit van een tienhoek ( $10$ zijden) en van een twaalfhoek ( $12$ zijden).
4. In een *regelmatige* [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) zijn alle binnenhoeken gelijk. Reken de binnenhoek uit van de [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) , het vierkant, en de regelmatige [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) , [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) en [achthoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) .
5. Leg zonder formule uit waarom de hoekensom precies $180^\circ$ groeit telkens als de [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) krijgt.

**Deel II — Het rondje om het blok.** Loop langs de rand van een veelhoekig huizenblok, altijd vooruit. In elke hoek *draai* je over een zekere hoek — de *buitenhoek* van die hoek; het draaien gaat door tot je terug bent bij je startpunt, in je startrichting.

6. Over hoeveel draai je in een hoek waarvan de binnenhoek $\widehat A$ is? (Binnenhoek en buitenhoek zijn supplementair.) Reken de drie draaiingen uit voor een driehoek met hoeken $40^\circ$ , $60^\circ$ en $80^\circ$ .
7. Tel de drie draaiingen van vraag 6 op. Welk feit over de volle cirkel merk je op?
8. Leg uit waarom de draaiingen van een volledig rondje om *elke* [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) — drie zijden of dertig — altijd precies $360^\circ$ zijn. (Wat heeft je neus gedaan, alle draaiingen samen, als je terugkomt?)
9. Leid de formule voor de binnenhoeken een tweede keer af: in elk van de $n$ hoeken is binnenhoek $+$ draaiing $= 180^\circ$ ; tel over alle hoeken op en gebruik vraag 8.
10. In een regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) zijn alle draaiingen gelijk, dus is elke buitenhoek $\frac{360^\circ}{n}$ . Antwoord daarmee onmiddellijk: welke regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft binnenhoeken van $150^\circ$ ? En waarom heeft *geen* regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) binnenhoeken van $155^\circ$ ?

**Deel III — De vloer betegelen.** Om elk punt van een betegelde vloer moeten de hoeken van de tegels die daar samenkomen precies $360^\circ$ zijn — geen gat, geen overlap ([Probleem 40.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#pb-g6-lines-1)).

11. Voor de [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) , het vierkant en de regelmatige [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) : hoeveel exemplaren komen er in een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de betegeling samen? Controleer elke keer de $360^\circ$ .
12. Laat zien dat regelmatige [vijfhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) de vloer niet kunnen betegelen: hoeveel zijn drie hoeken samen, en hoeveel zouden vier hoeken zijn?
13. Laat zien dat geen regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met *meer* dan zes zijden kan betegelen: in elke hoek moeten minstens drie tegels samenkomen (elke hoek is kleiner dan $180^\circ$ ), en wat gebeurt er met drie hoeken van $135^\circ$ of meer? Besluit met de volledige lijst regelmatige betegelaars.
14. Badkamervloeren mengen vaak regelmatige [achthoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met kleine vierkanten. Ga na dat deze hoek werkt: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Een andere klassieker mengt in elke hoek een vierkant, een regelmatige [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) en een regelmatige twaalfhoek: ga die ook na (de binnenhoek van de twaalfhoek volgt uit de methode van vraag 10).
15. De keuze van de bijen: de cellen van een honingraat zijn regelmatige [zeshoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) . Ga hun hoeken na ( $3$ hoeken), en leg in één zin uit — met hulp van de ontdekking van Dido ( [Probleem 43.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#pb-g6-measure-1) ) — waarom van de drie mogelijke regelmatige tegels de [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) het goedkoopst is in was voor de honing die ze bevat.

**Oplossing van Probleem 51.1.**

**1.** De diagonalen uit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van een [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) verdelen hem in $4$ driehoeken, dus zijn de binnenhoeken samen $4 \times 180 = 720^\circ$.

**2.** Uit één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) gaan diagonalen naar alle [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) behalve zichzelf en zijn twee buren: $n - 3$ diagonalen, die de [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) in $n - 2$ driehoeken verdelen. Elke binnenhoek van de [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) wordt over de driehoeken verdeeld, dus is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def)

$$
(n - 2) \times 180^\circ .
$$

Controle: $n = 3$: $180^\circ$; $n = 4$: $360^\circ$ ([Oefening 51.11](#exo-g7-triangles-11)); $n = 5$: $540^\circ$; $n = 6$: $720^\circ$.

**3.** Tienhoek: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$. Twaalfhoek: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$.

**4.** Door $n$ delen: driehoek $60^\circ$; vierkant $90^\circ$; [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $\frac{540}{5} = 108^\circ$; [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $\frac{720}{6} = 120^\circ$; [achthoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $\frac{1080}{8} = 135^\circ$.

**5.** Een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) erbij voegt één driehoek aan de bundel toe: de nieuwe [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) heeft $n - 1$ driehoeken nodig waar de oude er $n - 2$ nodig had. Eén driehoek erbij, dus $180^\circ$ erbij.

**6.** De wandelaar draait over het supplement: $180^\circ - \widehat A$. Voor de driehoek $40$–$60$–$80$ zijn de draaiingen $140^\circ$, $120^\circ$ en $100^\circ$.

**7.** $140 + 120 + 100 = 360^\circ$: één volle draai.

**8.** Over de hele wandeling begint en eindigt je neus in dezelfde richting, nadat hij precies één keer is rondgegaan: al het draaien in de hoeken samen is één volledige omwenteling, $360^\circ$ — ongeacht het aantal hoeken en de vorm van het blok. (Het feit is prachtig onafhankelijk van $n$.)

**9.** In elke hoek is binnenhoek $+$ draaiing $= 180^\circ$. Optellen over de $n$ hoeken:

$$
\text{(som van de binnenhoeken)} + 360^\circ = 180^\circ \times n,
\qquad\text{dus}\qquad
\text{som van de binnenhoeken} = (n - 2) \times 180^\circ
$$

— de formule van vraag 2, opnieuw bewezen, al wandelend.

**10.** Een binnenhoek van $150^\circ$ betekent draaiingen van $30^\circ$, en $n = \frac{360}{30} = 12$: de regelmatige twaalfhoek. Een binnenhoek van $155^\circ$ zou draaiingen van $25^\circ$ betekenen, en $\frac{360}{25} = 14.4$ is geen heel aantal hoeken: zo’n regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) bestaat niet.

**11.** Driehoek ($60^\circ$): er komen $6$ samen, $6 \times 60 = 360$. Vierkant ($90^\circ$): $4$. [Zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) ($120^\circ$): $3$, met $3 \times 120 = 360$. Alle drie sluiten perfect.

**12.** Drie hoeken van een [vijfhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon): $3 \times 108 = 324^\circ$ — er blijft een gat van $36^\circ$. Vier hoeken: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — overlap. Geen van beide werkt: regelmatige [vijfhoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) kunnen het vlak niet betegelen.

**13.** In een betegelingshoek komen minstens $3$ tegels samen. Een regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met meer dan zes zijden heeft binnenhoeken *groter* dan $120^\circ$ (vraag 4 en het groeien van de hoek met $n$), dus zijn drie hoeken meer dan $3 \times 120 = 360^\circ$: overlap, onmogelijk. Bij precies zes zijden werkt $3 \times 120 = 360$; onder de zes regelen de vragen 11 en 12 de gevallen. De volledige lijst regelmatige betegelaars: driehoek, vierkant, [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon).

**14.** [Achthoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) en vierkanten: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$: de hoek sluit — het klassieke straatpatroon. Vierkant, [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon), twaalfhoek: de draaiing van de twaalfhoek is $\frac{360}{12} = 30^\circ$, dus is haar binnenhoek $150^\circ$, en $90 + 120 + 150 = 360^\circ$: dat werkt ook.

**15.** De hoeken van de honingraat: $3 \times 120 = 360^\circ$, perfect. Van de tegels driehoek, vierkant en [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) met dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) heeft de [zeshoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) de kortste rand — ze ligt van de drie het dichtst bij de cirkel van Dido ([Probleem 43.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#pb-g6-measure-1)) — dus omsluiten zeshoekige cellen dezelfde honing met de minste was: de bijen betegelen als meetkundigen.