---
title: "Oppervlaktes en volumes"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 53
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes
---

# Hoofdstuk 53 — Oppervlaktes en volumes

In jaar 6 maten we rechthoeken, [rechthoekige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) en [balken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ([Hoofdstuk 43](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#ch-g6-measure)). Met een schaar in de hand — hier een stuk afknippen, daar weer opplakken — geven dezelfde ideeën nu de [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van parallellogrammen, van *alle* driehoeken en van de schijf, en de [volumes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) van [prisma](#def-g7-areas-prism)’s en [cilinders](#def-g7-areas-prism).

## 53.1 Oppervlakte van een parallellogram

**Stelling 53.1 (Parallellogram).**

Een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) met een zijde van lengte $b$ (de *basis*) en afstand $h$ tussen die zijde en de zijde ertegenover (de *hoogte*) heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = b \times h .
$$

**Bewijs met de schaar.** Knip aan de ene kant de [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) af die uitsteekt en plak hem aan de andere kant: het [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) wordt een rechthoek $b \times h$ met dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area). ∎

![Het bewijs met de schaar: de rode driehoek van het linkeruiteinde naar het rechteruiteinde schuiven maakt van het parallellogram een rechthoek — dezelfde oppervlakte, b × h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-ff97504b430f.svg)

*Het bewijs met de schaar: de rode driehoek van het linkeruiteinde naar het rechteruiteinde schuiven maakt van het [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) een rechthoek — dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area), $b \times h$.*

**Opmerking 53.2.**

De hoogte is de *loodrechte* afstand tussen de twee bases, en niet de lengte van de schuine zijde! Een sterk scheef [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) kan lange zijden en een kleine [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) hebben.

## 53.2 Oppervlakte van een driehoek

**Stelling 53.3 (Driehoek).**

Een driehoek met basis $b$ en bijbehorende hoogte $h$ (de loodrechte afstand van het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ertegenover tot de basislijn) heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \frac{b \times h}{2} .
$$

**Bewijs.** Twee kopieën van de driehoek, waarvan er één een halve draai om het midden van een zijde gedraaid is, passen samen in een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) met basis $b$ en hoogte $h$ (dat is de [puntspiegeling](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-def) aan het werk, [Propositie 52.4](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#prop-g7-central-preserved)). De driehoek is de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) daarvan: $\frac{bh}{2}$. ∎

![Een driehoek met zijn halfgedraaide kopie (gestippeld) vormt een parallellogram: de oppervlakte van de driehoek is b× h/2. Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met haar eigen hoogte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-c7863134f268.svg)

*Een driehoek met zijn halfgedraaide kopie (gestippeld) vormt een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram): de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de driehoek is $\frac{b\times h}{2}$. Elk van de drie zijden kan als basis dienen — met *haar eigen* hoogte.*

**Voorbeeld 53.4.**

Een driehoek heeft een basis van $9$ cm en de bijbehorende hoogte meet $4$ cm:

$$
A = \frac{9 \times 4}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}^2 .
$$

Bij een *rechthoekige* driehoek zijn de twee rechthoekszijden een basis met haar hoogte: zo vinden we de formule van [Propositie 43.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#prop-g6-measure-formulas) terug.

## 53.3 Oppervlakte van een schijf

**Stelling 53.5 (Schijf).**

Een schijf met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)

$$
A = \pi r^2 .
$$

**Idee van het bewijs.** Knip de schijf in heel veel dunne gelijke partjes en leg ze kop aan staart: ze vormen bijna een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) met hoogte $r$ waarvan de basis de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) is, $\pi r$ ([Propositie 43.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#prop-g6-measure-circle)). Zijn [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) ligt dicht bij $\pi r \times r = \pi r^2$, en de benadering wordt perfect als de partjes dunner worden. Een volledig bewijs heeft integraalrekening nodig, uit het bovenbouwvolume. ∎

![De schijf in partjes knippen en die uitrollen: bijna een parallellogram met basis π r (de helft van de rand) en hoogte r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g7-areas/fig-24dc091d3b9b.svg)

*De schijf in partjes knippen en die uitrollen: bijna een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) met basis $\pi r$ (de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de rand) en hoogte $r$.*

**Voorbeeld 53.6.**

Een rond tafelblad heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $60$ cm. Zijn [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) is $\pi \times 60^2 = 3600\pi \approx 11\,310$ cm$^2$, iets meer dan $1.1$ m$^2$. Let op het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference): de *[omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter)* $2\pi r$ gebruikt $r$, de *[oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)* $\pi r^2$ gebruikt $r^2$.

## 53.4 Prisma’s en cilinders

**Definitie 53.7 (Prisma, cilinder).**

Een *prisma* is een [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met twee identieke parallelle veelhoekige [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) (de *grondvlakken*), verbonden door rechthoeken; een *cilinder* is hetzelfde met schijven als grondvlakken. De *hoogte* is de afstand tussen de twee grondvlakken.

**Stelling 53.8 (Volumes).**

Voor een [prisma](#def-g7-areas-prism) of een [cilinder](#def-g7-areas-prism) met grondvlakoppervlakte $B$ en hoogte $h$:

$$
V = B \times h .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 53.9.**

Een tent is een [prisma](#def-g7-areas-prism) dat op zijn zij ligt: haar grondvlakken zijn driehoeken met basis $2$ m en hoogte $1.5$ m, en de tent is $3$ m lang.

1. [Oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak: $B = \frac{2 \times 1.5}{2} = 1.5$ m $^2$ .
2. [Volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) : $V = B \times h = 1.5 \times 3 = 4.5$ m $^3$ .

Een conservenblik met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm en hoogte $11$ cm: $V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 553$ cm$^3$, ruwweg een halve liter.

## 53.5 Oefeningen

**Oefening 53.1 ★.**

Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit van een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) met basis $8$ cm en hoogte $5$ cm; en van een ander met basis $6.5$ m en hoogte $4$ m.

**Oplossing van Oefening 53.1.**

$8 \times 5 = 40$ cm$^2$; $6.5 \times 4 = 26$ m$^2$.

**Oefening 53.2 ★.**

Een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) heeft zijden van $10$ cm en $6$ cm, en de hoogte bij de basis van $10$ cm meet $4$ cm. Reken zijn [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit. Waarom is het antwoord geen $60$ cm$^2$?

**Oplossing van Oefening 53.2.**

$A = 10 \times 4 = 40$ cm$^2$. Het antwoord is niet $10 \times 6 = 60$, omdat de zijde van $6$ cm schuin staat: de formule gebruikt de *hoogte* (de loodrechte afstand), en die is $4$ cm.

**Oefening 53.3 ★.**

Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit van een driehoek met basis $12$ cm en hoogte $7$ cm; van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden $9$ en $6$; en van een driehoek met basis $5.5$ m en hoogte $2$ m.

**Oplossing van Oefening 53.3.**

$\frac{12 \times 7}{2} = 42$ cm$^2$; $\frac{9 \times 6}{2} = 27$; $\frac{5.5 \times 2}{2} = 5.5$ m$^2$.

**Oefening 53.4 ★.**

Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit van een schijf met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, en daarna van een halve schijf met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm (precieze waarden met $\pi$, en daarna afgerond op de eenheid).

**Oplossing van Oefening 53.4.**

Schijf: $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 79$ cm$^2$. Halve schijf met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $10$: $\frac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157$ cm$^2$.

**Oefening 53.5 ★.**

Reken de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) *en* de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit van een schijf met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Welk van de twee antwoorden is in cm en welk in cm$^2$?

**Oplossing van Oefening 53.5.**

[Omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter): $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18.8$ cm (een lengte, in cm). [Oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): $\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28.3$ cm$^2$ (een oppervlak, in cm$^2$).

**Oefening 53.6 ★.**

Reken het [volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) uit van een [prisma](#def-g7-areas-prism) met grondvlakoppervlakte $24$ cm$^2$ en hoogte $10$ cm; en van een [cilinder](#def-g7-areas-prism) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm en hoogte $8$ cm (precies, en daarna afgerond).

**Oplossing van Oefening 53.6.**

[Prisma](#def-g7-areas-prism): $24 \times 10 = 240$ cm$^3$. [Cilinder](#def-g7-areas-prism): $\pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226$ cm$^3$.

**Oefening 53.7 ★.**

Een driehoek heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $28$ cm$^2$ en basis $8$ cm. Zoek de bijbehorende hoogte, en schrijf eerst de vergelijking op.

**Oplossing van Oefening 53.7.**

$\frac{8 \times h}{2} = 28$, dus $4h = 28$ en $h = 7$ cm.

**Oefening 53.8 ★★.**

Teken een willekeurige driehoek en meet zorgvuldig de drie paren basis en hoogte. Reken voor elk paar $\frac{b \times h}{2}$ uit: de drie uitkomsten moeten overeenkomen (op de meetfout na). Waarom?

**Oplossing van Oefening 53.8.**

De drie [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) komen overeen omdat elk van hen *dezelfde* grootheid uitrekent — de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de driehoek. Dat geeft een praktische controle op constructies, en een manier om een hoogte uit een ander paar basis en hoogte te berekenen (gebruikt in [Oefening 53.12](#exo-g7-areas-12)).

**Oefening 53.9 ★★.**

Een tuin in de vorm van een trapezium kun je met één diagonaal in twee driehoeken verdelen met dezelfde hoogte $h = 20$ m en bases $30$ m en $18$ m. Reken haar totale [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit. Kun je een algemene formule voor het trapezium raden?

**Oplossing van Oefening 53.9.**

De twee driehoeken hebben [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\frac{30 \times 20}{2} = 300$ m$^2$ en $\frac{18 \times 20}{2} = 180$ m$^2$: samen $480$ m$^2$. De algemene formule die zich aandient: voor parallelle zijden $a$ en $b$ op afstand $h$,

$$
A = \frac{(a + b) \times h}{2}
$$

— de trapeziumformule (hier $\frac{(30+18)\times 20}{2} = 480$).

**Oefening 53.10 ★★.**

Een cilindervormige vaas met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm bevat water tot een hoogte van $15$ cm. Al het water wordt in een lege [balk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met een grondvlak van $18$ cm $\times$ $12$ cm gegoten. Welke waterhoogte bereikt het daar? (Hetzelfde [volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume), een ander grondvlak.)

**Oplossing van Oefening 53.10.**

Watervolume: $\pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi \approx 1\,696$ cm$^3$. Grondvlak van de [balk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): $18 \times 12 = 216$ cm$^2$. Bereikte hoogte: $\frac{540\pi}{216} = 2.5\pi \approx 7.9$ cm.

**Oefening 53.11 ★★.**

Een pizza met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $30$ cm kost $9$ euro; een met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $40$ cm kost $14$ euro. Reken de twee [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit en de prijs per $100$ cm$^2$. Welke pizza is voordeliger?

**Oplossing van Oefening 53.11.**

Radii $15$ en $20$ cm. [Oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): $225\pi \approx 707$ cm$^2$ en $400\pi \approx 1257$ cm$^2$. Prijs per $100$ cm$^2$: $\frac{9}{7.07} \approx 1.27$ euro en $\frac{14}{12.57} \approx 1.11$ euro. De grote pizza is voordeliger — [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) groeien met het *kwadraat* van de [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle).

**Oefening 53.12 ★★★.**

De twee rechthoekszijden van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) meten $6$ cm en $8$ cm, en zijn schuine zijde meet $10$ cm. Reken zijn [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit met de rechthoekszijden, en gebruik die [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) daarna om de hoogte bij de *schuine zijde* te vinden.

**Oplossing van Oefening 53.12.**

Met de rechthoekszijden: $A = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm$^2$. Met de schuine zijde als basis: $24 = \frac{10 \times h}{2} = 5h$, dus $h = 4.8$ cm.

## 53.6 Opgave: het verdwenen vierkantje

**Probleem 53.1.**

Weekendopgave — een beroemd “bewijs” dat $64 = 65$, ontmaskerd met oppervlaktes en hellingen, met pizza’s en ringen als nagerecht

Een goochelaar knipt een vierkant van $8 \times 8$ in vier stukken, schuift ze wat heen en weer, en legt ze weer samen tot een rechthoek van $5 \times 13$. Het publiek rekent: $8 \times 8 = 64$, maar $5 \times 13 = 65$ — er is uit het niets een vierkantje verschenen! De oppervlakteformules van dit hoofdstuk zijn precies het gereedschap dat de truc betrapt. Daarna zet de opgave eerlijk oppervlakteredeneren aan het werk: op trapezia, op scheve stapels, op de economie van pizza’s — en tot slot komt de goochelaar terug voor een tweede, nog vreemdere voorstelling.

**Deel I — De truc, uitgevoerd en ontmaskerd.** De vier stukken van het vierkant $8 \times 8$ zijn: twee [rechthoekige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden $8$ en $3$, en twee rechthoekige trapezia met parallelle zijden $5$ en $3$ en hoogte $5$.

1. Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het oorspronkelijke vierkant en die van de beweerde rechthoek uit. Formuleer het schandaal in één regel.
2. Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van elk van de vier stukken uit ( [Stelling 53.3](#thm-g7-areas-triangle) ; voor de trapezia knip je ze door of gebruik je [Oefening 53.9](#exo-g7-areas-9) ).
3. Tel de vier [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) op. Welke van de twee figuren — vierkant of rechthoek — kunnen de stukken echt vullen?
4. In de rechthoekopstelling zou de schuine zijde van een driehoek (die $3$ stijgt over $8$ ) de schuine rand van een trapezium (die $2$ stijgt over $5$ ) in één rechte “diagonaal” moeten voortzetten. Test die uitlijning: zijn $3$ over $8$ en $2$ over $5$ dezelfde steilheid ( [Stelling 49.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/49-evenredigheid#thm-g7-prop-cross) )?
5. Leg uit waar het vijfenzestigste vierkantje zich verstopt: welke vorm heeft het gat langs de valse diagonaal, wat is zijn precieze [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) , en waarom ziet het oog het niet? (Hoe breed is een spleet met die [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) gemiddeld, uitgerekt over de diagonaal van de rechthoek, die ruwweg $13$ eenheden lang is?)

**Deel II — Eerlijk redeneren met [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area).**

6. Teken twee [parallelle lijnen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $4$ cm van elkaar, een basis van $6$ cm op een van de twee, en drie verschillende driehoeken op die basis met hun top op verschillende punten van de andere [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) . Reken de drie [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit. Waarom zijn ze allemaal gelijk, waar de top ook langs zijn [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) schuift?
7. Bewijs de trapeziumformule in het algemeen: een trapezium met parallelle zijden $B$ en $b$ en hoogte $h$, langs een diagonaal geknipt, geeft twee driehoeken met dezelfde hoogte $h$. Besluit: $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. Pas haar toe op een trapezium met $B = 9$ cm, $b = 5$ cm en $h = 4$ cm.
9. Schrijnwerkers gebruiken dezelfde formule vermomd: [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $=$ (gemiddelde van de twee parallelle zijden) $\times$ hoogte. Leg uit waarom dat dezelfde regel is, en reken vraag 8 zo opnieuw uit.
10. Kantel een nette stapel speelkaarten tot een scheve stapel. Leg uit waarom het [volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) niet is veranderd, en wat dat zegt over de hoogte in de prismaformule $V = B \times h$ ( [Stelling 53.8](#thm-g7-areas-volume) ): welke hoogte moet je bij een scheve stapel nemen — de schuine lengte of de verticale? (Vergelijk [Oefening 53.2](#exo-g7-areas-2) , één dimensie hoger.)

**Deel III — Ringen, pizza’s en de terugkeer van de goochelaar.**

11. Een ronde vijver met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ m ligt in het midden van een rond grasveld met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ m. Reken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de grasring uit (precies met $\pi$ , en daarna afgerond op de m $^2$ ).
12. Zoek de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de ene schijf waarvan de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) precies gelijk is aan die van de ring. (De drie radii die je nu hebt, vormen een beroemd drietal waarvan het verhaal in [Hoofdstuk 58](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ch-g8-pythagoras) verteld wordt.)
13. Wat is meer pizza: één pizza met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $40$ cm, of twee pizza’s met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $28$ cm? Reken uit en vergelijk.
14. Met welke factor moet de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van een pizza ruwweg groeien om haar [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) te *verdubbelen* ? Test de kandidaat $1.4$ (denk eraan dat [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) het *kwadraat* van de schaalfactor volgen, [Probleem 44.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#pb-g6-propdata-1) ), en zeg waar de precieze factor — het getal waarvan het kwadraat $2$ is — zijn officiële entree maakt ( [Voorbeeld 58.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) ).
15. De goochelaar komt terug: hij knipt een vierkant van $13 \times 13$ waarin de getallen $5$ , $8$ en $13$ de rollen spelen die $3$ , $5$ en $8$ eerder speelden, en legt er een rechthoek van $8 \times 21$ van. Reken beide [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit: wat verdwijnt er deze keer? De getallen $3, 5, 8, 13, 21$ zijn opeenvolgende termen van de rij uit [Probleem 47.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/47-breuken-vergelijken-en-optellen#pb-g7-fractions-1) — formuleer het patroon van de winsten en verliezen van de goochelaar, en de moraal: waarom liegen [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) nooit?

**Oplossing van Probleem 53.1.**

**1.** Vierkant: $8 \times 8 = 64$. Rechthoek: $5 \times 13 = 65$. Dezelfde vier stukken lijken in de ene figuur $64$ vierkante eenheden te bedekken en in de andere $65$: er zou dus één eenheid [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) uit het niets geschapen zijn.

**2.** Elke driehoek: $\frac{8 \times 3}{2} = 12$. Elk trapezium: $\frac{(5 + 3) \times 5}{2} = 20$.

**3.** $12 + 12 + 20 + 20 = 64$: de stukken zijn samen $64$, dus kunnen ze het vierkant precies vullen — en de rechthoek van $65$ eenheden *niet*. In het rechthoekplaatje moet dus een gat zitten.

**4.** Dezelfde steilheid zou betekenen dat $3$ over $8$ [evenredig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#def-g6-propdata-def) is met $2$ over $5$; de kruisproducten: $3 \times 5 = 15$ en $2 \times 8 = 16$. Niet gelijk: de schuine zijde en de schuine rand liggen *niet* in één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects). De “diagonaal” van de rechthoek is een leugen — twee licht verschillende hellingen die onder een heel flauwe hoek samenkomen.

**5.** Langs de valse diagonaal laten de vier stukken een lange, extreem dunne spleet open — een spie in de vorm van een heel plat [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) — waarvan de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) precies de ontbrekende $65 - 64 = 1$ vierkante eenheid is. Uitgerekt over een diagonaal van ongeveer $13$ eenheden is haar gemiddelde breedte ongeveer $1 \div 13 \approx 0.08$ eenheid: op een echte tekening dunner dan de potloodstreep die haar verbergt.

**6.** Elke driehoek heeft basis $6$ cm en hoogte $4$ cm — de afstand tussen de parallellen, waar de top ook ligt — dus is elke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm$^2$ ([Stelling 53.3](#thm-g7-areas-triangle)). De top langs de [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) schuiven verandert de vorm, nooit de basis of de hoogte: eeuwig gelijke [oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area).

**7.** De diagonaal knipt het trapezium in een driehoek met basis $B$ en een met basis $b$, beide met hoogte $h$ (de afstand tussen de parallelle zijden):

$$
A = \frac{B \times h}{2} + \frac{b \times h}{2}
= \frac{(B + b) \times h}{2} .
$$

**8.** $A = \frac{(9 + 5) \times 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ cm$^2$.

**9.** Het gemiddelde van de parallelle zijden is $\frac{B + b}{2}$, dus is (gemiddelde) $\times h = \frac{(B+b) \times h}{2}$: dezelfde formule, anders gegroepeerd. Controle: gemiddelde $= \frac{9+5}{2} = 7$, en $7 \times 4 = 28$ cm$^2$.

**10.** De scheve stapel bevat precies dezelfde kaarten — dezelfde lagen, elk met dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) — en dus hetzelfde [volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume). In $V = B \times h$ moet de hoogte *[loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)* op het grondvlak gemeten worden (de verticale hoogte van de stapel), en niet langs de schuinte: precies zoals de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) de loodrechte hoogte wil en niet de schuine zijde ([Oefening 53.2](#exo-g7-areas-2)), één dimensie hoger.

**11.** Ring $= \pi \times 5^2 - \pi \times 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi \approx
50$ m$^2$ ([Stelling 53.5](#thm-g7-areas-disk)).

**12.** Een schijf met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $16\pi$ heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$, want $\pi \times 4^2 = 16\pi$. De radii $3$, $4$ en $5$: het beroemdste drietal van de wiskunde, met een hoofdrol in [Hoofdstuk 58](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ch-g8-pythagoras).

**13.** Één pizza van $40$ cm: [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $20$, [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\pi \times 400 \approx 1\,257$ cm$^2$. Twee pizza’s van $28$ cm: [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $14$, samen $2 \times \pi \times 196 = 392\pi \approx 1\,232$ cm$^2$. De ene grote pizza is *meer* pizza dan de twee middelgrote.

**14.** De [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) met $1.4$ schalen schaalt de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) met $1.4^2 = 1.96$ — bijna het dubbele. De precieze factor is het getal waarvan het kwadraat $2$ is, ongeveer $1.414$: het diagonaalgetal van [Voorbeeld 58.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal). (Vuistregel: de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) breder is bijna twee keer zo veel pizza.)

**15.** $13 \times 13 = 169$, maar $8 \times 21 = 168$: deze keer *verdwijnt* er een vierkante eenheid — de stukken overlappen in een dunne spie in plaats van een gat open te laten. Met de opeenvolgende termen $3, 5, 8, 13, 21$ van de rij van Hemachandra en Fibonacci wippen de [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) heen en weer tussen één meer en één minder dan het kwadraat ($5 \times 13 = 65 = 8^2 + 1$, en dan $8 \times 21 = 168 = 13^2 - 1$): de goochelaar “wint” en “verliest” afwisselend een eenheid. [Oppervlaktes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) liegen nooit: stukken die samen $64$ zijn, bedekken $64$, waar je ze ook heen schuift — elke ontbrekende of extra eenheid zit in een spie verstopt, en wacht op een hellingcontrole om ontmaskerd te worden.