---
title: "Negatieve getallen vermenigvuldigen"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 54
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen
---

# Hoofdstuk 54 — Negatieve getallen vermenigvuldigen

In jaar 7 telden we getallen met een teken op en trokken we ze af ([Hoofdstuk 46](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#ch-g7-negatives)); nu moeten we ze nog vermenigvuldigen en delen. Eén vraag overheerst dit hoofdstuk: waarom zou “min keer min” plus zijn? We geven een reden, niet alleen een regel.

## 54.1 De tekenregels

**Stelling 54.1 (Teken van een product).**

Het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van twee getallen met een teken heeft als afstand tot [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van de afstanden, en zijn teken staat in deze tabel:

| $\times$ | $+$ | $-$ |
| --- | --- | --- |
| $+$ | $+$ | $-$ |
| $-$ | $-$ | $+$ |

*Dezelfde tekens: een positief [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def). [Tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) tekens: een negatief [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def).* Dezelfde tabel geldt voor [quotiënten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder).

**Waarom $(-1) \times (-1) = +1$.** Ten eerste betekent $3 \times (-4)$ dat $(-4) + (-4) + (-4) = -12$: een positief getal keer een negatief getal is negatief. Kijk nu naar het patroon:

$$
3 \times (-4) = -12, \quad
2 \times (-4) = -8, \quad
1 \times (-4) = -4, \quad
0 \times (-4) = 0 .
$$

Bij elke stap daalt de eerste factor met $1$ en *stijgt* de uitkomst met $4$. Als we het patroon één stap verder zetten:

$$
(-1) \times (-4) = 0 + 4 = +4 .
$$

Elke andere keuze zou de regelmaat van de rekenkunde (de distributiviteit) breken. Min keer min moet dus plus zijn. ∎

![Het patroonargument in een plaatje: de punten (k,\ k × (-4)) liggen op één lijn, en die lijn voorbij k = 0 doortrekken dwingt (-1)×(-4) = +4 en (-2)×(-4) = +8 af.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-negprod/fig-364e71576001.svg)

*Het patroonargument in een plaatje: de punten $(k,\ k \times (-4))$ liggen op één [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects), en die [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) voorbij $k = 0$ doortrekken dwingt $(-1)\times(-4) = +4$ en $(-2)\times(-4) = +8$ af.*

**Voorbeeld 54.2.**

$$
\begin{align*}
(-7) \times (+6) &= -42 && \text{(tegengestelde tekens)} \\
(-5) \times (-8) &= +40 && \text{(dezelfde tekens)} \\
(+2.5) \times (-4) &= -10 \\
(-36) \div (-9) &= +4 \\
(+15) \div (-2) &= -7.5 .
\end{align*}
$$

## 54.2 Producten van meerdere factoren

**Propositie 54.3 (Teken van een lang product).**

Het teken van een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van meerdere factoren (geen [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero)) hangt alleen af van het aantal negatieve factoren:

- een *[even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* aantal negatieve factoren geeft een positief [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ;
- een *[oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* aantal geeft een negatief [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) .

**Bewijs.** De negatieve factoren gaan twee aan twee samen, en elk paar levert een positief teken op ([Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules)); bij een [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal blijft er één negatieve factor zonder partner over, en die maakt het hele [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) negatief. ∎

**Voorbeeld 54.4.**

$(-2) \times (+3) \times (-5) \times (-1)$: drie negatieve factoren ([oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)), dus is het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) negatief; de afstanden: $2 \times 3 \times 5 \times 1 = 30$. Uitkomst: $-30$. Beslis *eerst* het teken en vermenigvuldig daarna de afstanden — twee makkelijke klusjes in plaats van één foutgevoelige.

**Voorbeeld 54.5 (Machten van negatieve getallen).**

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$, en $(-2)^3 = (-2)^2 \times (-2) = -8$: [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exponenten geven positieve waarden, [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exponenten houden het teken. Pas op met de notatie: $(-3)^2 = 9$ maar $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$.

## 54.3 Rekenen met alle vier de bewerkingen

**Methode 54.6 (Veilig rekenen met getallen met een teken).**

1. Respecteer de voorrangsregels van [Hoofdstuk 45](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#ch-g7-priorities) : haakjes, dan $\times$ en $\div$ , dan $+$ en $-$ ;
2. zoek bij elke vermenigvuldiging of deling *eerst het teken* en dan de afstand;
3. schrijf één stap per regel op.

**Voorbeeld 54.7.**

$$
\begin{align*}
5 - 3 \times (-4)
&= 5 - (-12) && \text{(eerst het product: tegengestelde tekens)}\\
&= 5 + 12 = 17 .
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\frac{(-6) \times (-10)}{-4}
&= \frac{+60}{-4} && \text{(de teller: dezelfde tekens)}\\
&= -15 && \text{(het quotiënt: tegengestelde tekens).}
\end{align*}
$$

**Voorbeeld 54.8 (Negatieve waarden invullen).**

Reken $E = 3x^2 - 2x$ uit voor $x = -5$, met haakjes om de waarde:

$$
E = 3 \times (-5)^2 - 2 \times (-5)
= 3 \times 25 - (-10)
= 75 + 10 = 85 .
$$

De haakjes in $(-5)^2$ zijn onmisbaar: zonder haakjes zou het kwadraat alleen op de $5$ werken.

## 54.4 Oefeningen

**Oefening 54.1 ★.**

Reken uit:

$$
(-8) \times (+7), \qquad
(-9) \times (-6), \qquad
(+12) \times (-0.5), \qquad
(-1) \times (-1) \times (-1).
$$

**Oplossing van Oefening 54.1.**

$(-8) \times (+7) = -56$; $(-9) \times (-6) = +54$; $(+12) \times (-0.5) = -6$; $(-1) \times (-1) \times (-1) = -1$ (drie negatieve factoren: [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)).

**Oefening 54.2 ★.**

Reken uit:

$$
(-63) \div (+9), \qquad
(-8) \div (-16), \qquad
\frac{45}{-5}, \qquad
\frac{-7.2}{-8} .
$$

**Oplossing van Oefening 54.2.**

$(-63) \div (+9) = -7$; $(-8) \div (-16) = +0.5$; $\dfrac{45}{-5} = -9$; $\dfrac{-7.2}{-8} = +0.9$.

**Oefening 54.3 ★.**

Geef alleen het *teken* van elk [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def), zonder het uit te rekenen:

$$
(-3) \times (-7) \times (+2) \times (-5); \qquad
(-1)^{10}; \qquad
(-2)^{7}; \qquad
(-4) \times 0 \times (-6).
$$

**Oplossing van Oefening 54.3.**

Drie negatieve factoren: *negatief*. $(-1)^{10}$: tien negatieve factoren, [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *positief* (het is $1$). $(-2)^7$: zeven factoren, [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd): *negatief*. $(-4) \times 0 \times (-6) = 0$: niet positief en niet negatief.

**Oefening 54.4 ★.**

Reken uit:

$$
(-2)^4, \qquad
-2^4, \qquad
(-3)^3, \qquad
(-1)^{2026} .
$$

**Oplossing van Oefening 54.4.**

$(-2)^4 = +16$; $-2^4 = -16$ (het minteken wordt niet gekwadrateerd); $(-3)^3 = -27$; $(-1)^{2026} = +1$ ([even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exponent).

**Oefening 54.5 ★.**

Reken stap voor stap uit, met respect voor de voorrangsregels:

$$
7 + 2 \times (-6), \qquad
(-4) \times (5 - 9), \qquad
18 \div (-3) - (-2) .
$$

**Oplossing van Oefening 54.5.**

$7 + 2 \times (-6) = 7 + (-12) = -5$.

$(-4) \times (5 - 9) = (-4) \times (-4) = +16$.

$18 \div (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$.

**Oefening 54.6 ★.**

Reken uit:

$$
\frac{(-5) \times (+8)}{-4}, \qquad
\frac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} .
$$

**Oplossing van Oefening 54.6.**

$\dfrac{(-5) \times (+8)}{-4} = \dfrac{-40}{-4} = +10$.

$\dfrac{(-3) \times (-6)}{(-2) \times (+9)} = \dfrac{+18}{-18} = -1$.

**Oefening 54.7 ★.**

Reken uit voor $x = -3$:

$$
5x, \qquad x^2, \qquad -x^2, \qquad 2x^2 + 4x, \qquad (2x)^2 .
$$

**Oplossing van Oefening 54.7.**

Voor $x = -3$: $5x = -15$; $x^2 = (-3)^2 = 9$; $-x^2 = -9$; $2x^2 + 4x = 18 - 12 = 6$; $(2x)^2 = (-6)^2 = 36$.

**Oefening 54.8 ★★.**

Vul elke gelijkheid aan:

$$
(-6) \times \;?\; = 42, \qquad
\;?\; \div (-4) = -2.5, \qquad
(-5) \times \;?\; = -1 .
$$

**Oplossing van Oefening 54.8.**

$(-6) \times (-7) = 42$; $10 \div (-4) = -2.5$; $(-5) \times \frac15 = -1$, dus is het ontbrekende getal $+\frac15 = 0.2$.

**Oefening 54.9 ★★.**

Waar of niet waar? Verantwoord het of geef een tegenvoorbeeld.

1. Het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van twee getallen met een teken is altijd minstens zo groot als hun [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) .
2. Het kwadraat van een [getal met een teken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) is nooit negatief.
3. Is een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van drie factoren positief, dan zijn alle drie de factoren positief.

**Oplossing van Oefening 54.9.**

*1. Niet waar*: $0.5 \times 0.5 = 0.25$ is kleiner dan $0.5 + 0.5 = 1$ (of: $2 \times 3 = 6 > 5$, maar de bewering moet altijd gelden).

*2. Waar*: een kwadraat is een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van twee getallen met hetzelfde teken, en dus positief of [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero).

*3. Niet waar*: $(-2) \times (-3) \times 4 = +24$ is positief met twee negatieve factoren.

**Oefening 54.10 ★★.**

Bij een quiz kost elk verkeerd antwoord $-3$ punten en levert elk goed antwoord $+5$ punten op. Zoë antwoordde op $20$ vragen en haalde $36$ punten. Hoeveel antwoorden waren goed? (Probeer waarden, of zet de berekening $5r - 3(20 - r) = 36$ op.)

**Oplossing van Oefening 54.10.**

Zij $r$ het aantal goede antwoorden; dan zijn er $20 - r$ verkeerd, en

$$
5r - 3(20 - r) = 36
\ \Longrightarrow\
5r - 60 + 3r = 36
\ \Longrightarrow\
8r = 96
\ \Longrightarrow\
r = 12 .
$$

Twaalf goede antwoorden (en acht verkeerde: controle, $60 - 24 = 36$).

**Oefening 54.11 ★★★.**

Werk met de distributiviteit (zoals in het bewijs van [Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules)) elke stap van

$$
0 = (-1) \times 0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
$$

uit en verantwoord haar, en besluit dat $(-1) \times (-1)$ gelijk moet zijn aan $+1$.

**Oplossing van Oefening 54.11.**

[Nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) keer wat dan ook is [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), dus $(-1) \times 0 = 0$. Schrijf $0 = 1 + (-1)$ en werk uit:

$$
0 = (-1) \times \bigl(1 + (-1)\bigr)
= (-1) \times 1 + (-1) \times (-1)
= -1 + (-1) \times (-1).
$$

Het getal $(-1) \times (-1)$, opgeteld bij $-1$, geeft $0$: het moet dus het [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) van $-1$ zijn, en dat is $+1$. De distributiviteit laat geen andere keuze.

## 54.5 Opgave: waarom min keer min plus is

**Probleem 54.1.**

Weekendopgave — de tekenregels afgeleid uit de distributiviteit, en de alternerende som $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

Het bewijs van [Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules) zette een patroon voort en beweerde dat “elke andere keuze de distributiviteit zou breken”. In deze opgave maak je die bewering precies: vanuit de distributiviteit alleen ([Stelling 45.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#thm-g7-priorities-distributivity)) ga je de tekenregels *bewijzen* — geen plaatje, geen patroon, zoals de algebra het doet — en zet je ze daarna aan het werk op machten van $-1$ en op een beroemde [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) met wisselende tekens. Overal zijn $a$ en $b$ getallen met een teken; we nemen de optelregels van [Hoofdstuk 46](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#ch-g7-negatives) aan, dat $1 \times a = a$, en dat je een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) in elke volgorde mag uitrekenen (zodat de distributiviteit aan beide kanten van een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) geldt).

**Deel I — De tekenregels zijn stellingen.**

1. Bewijs dat $0 \times a = 0$ voor elk getal $a$ met een teken. (Schrijf $0 = 0 + 0$ , werk $(0 + 0) \times a$ uit, en vraag je af welk getal, opgeteld bij $0 \times a$ , weer $0 \times a$ teruggeeft.)
2. Werk $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ uit om te laten zien dat $(-1) \times a + a = 0$, en besluit dat $$(-1) \times a = -a :$$ met $-1$ vermenigvuldigen geeft het [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def). Vergelijk met [Oefening 54.11](#exo-g8-negprod-11), het geval $a = -1$.
3. Leid af dat $(-a) \times b = -(a \times b)$ : één minteken komt onveranderd uit een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) .
4. Leid af dat $(-a) \times (-b) = a \times b$ : twee mintekens heffen elkaar op.
5. Elk [getal met een teken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) is zijn afstand tot [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) met een teken ervoor: $a = +d$ of $a = -d$ . Leg uit hoe de vragen 3 en 4 alle vier de gevallen van de tekentabel van [Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules) bewijzen, afstanden inbegrepen.

**Deel II — Machten van $-1$.**

6. Reken $(-1)^2$ , $(-1)^3$ , $(-1)^4$ en $(-1)^5$ uit, en geef daarna, met een verantwoording vanuit [Propositie 54.3](#prop-g8-negprod-many) , de waarde van $(-1)^n$ voor elk heel getal $n \geq 1$ .
7. Geef (zonder één afstand uit te rekenen) het teken van $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$ en schrijf de afstand van dit [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) als een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van hele getallen, zonder het uit te werken.
8. Laat zien dat $(-a)^2 = a^2$ en dat $(-a)^3 = -a^3$ . Bij welke exponenten overleeft het minteken?
9. Laat met de tekenregels zien dat het kwadraat van een [getal met een teken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) nooit negatief is, en leid af dat geen enkel getal $x$ met een teken aan $x^2 = -4$ voldoet.
10. Zoë beweert: “ $(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$ , en algemener heffen twee opeenvolgende machten van $-1$ elkaar altijd op.” Heeft ze gelijk? Verantwoord het.

**Deel III — De alternerende [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def).** Met de tekenregels in de hand kunnen we sommen uitrekenen waarin beide tekens door elkaar staan. Zij voor een heel getal $n \geq 1$

$$
A_n = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots
$$

de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de hele getallen van $1$ tot $n$ met wisselende tekens: de laatste term is $+n$ als $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is, en $-n$ als $n$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is. Dus $A_1 = 1$ en $A_2 = 1 - 2 = -1$.

11. Reken $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ , $A_6$ en $A_7$ uit. Wat vermoed je?
12. Neem aan dat $n$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is. Groepeer de termen twee aan twee, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$ , tel de paren, en bewijs dat $A_n = -\frac{n}{2}$ .
13. Neem aan dat $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is. Leg uit waarom $A_n = A_{n-1} + n$ , en leid met de vorige vraag af dat $A_n = \frac{n + 1}{2}$ .
14. Reken $A_{100}$ , $A_{101}$ en $A_{2026}$ uit.
15. Alma rekende $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ uit en was verrast dat er precies $101$ uitkwam. Had ze verrast moeten zijn? Leg het in één zin uit, en geef de waarde van $A_{2027} - A_{2026}$ zonder verder te rekenen.

**Oplossing van Probleem 54.1.**

**1.** Omdat $0 = 0 + 0$, geeft de distributiviteit ([Stelling 45.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#thm-g7-priorities-distributivity))

$$
0 \times a = (0 + 0) \times a = 0 \times a + 0 \times a .
$$

$0 \times a$ bij zichzelf optellen verandert dus niets — en het enige getal dat je zonder gevolgen kunt optellen, is $0$. (Rechtstreeks: trek $0 \times a$ van beide kanten af.) Bijgevolg is $0 \times a = 0$.

**2.** Uitwerken, en dan $1 + (-1) = 0$ en vraag 1 gebruiken:

$$
a + (-1) \times a
= 1 \times a + (-1) \times a
= \bigl(1 + (-1)\bigr) \times a
= 0 \times a = 0 .
$$

Dus is $(-1) \times a$ het getal dat, opgeteld bij $a$, $0$ geeft: precies het [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) van $a$, en dus $(-1) \times a = -a$. [Oefening 54.11](#exo-g8-negprod-11) is het bijzondere geval $a = -1$: daar is $(-1) \times (-1) = -(-1) = +1$.

**3.** Schrijf $-a = (-1) \times a$ (vraag 2) en groepeer de factoren opnieuw:

$$
(-a) \times b
= \bigl((-1) \times a\bigr) \times b
= (-1) \times (a \times b)
= -(a \times b) .
$$

**4.** Pas vraag 3 twee keer toe (één keer op elke factor):

$$
(-a) \times (-b)
= -\bigl(a \times (-b)\bigr)
= -\bigl(-(a \times b)\bigr)
= a \times b ,
$$

want het [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) van het [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) van een getal is het getal zelf.

**5.** Schrijf $a = +d$ of $a = -d$ en $b = +e$ of $b = -e$, waarbij $d$ en $e$ de afstanden tot [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) zijn. De vier gevallen:

$$
(+d) \times (+e) = de, \quad
(+d) \times (-e) = -de, \quad
(-d) \times (+e) = -de, \quad
(-d) \times (-e) = +de,
$$

de middelste twee volgens vraag 3, de laatste volgens vraag 4. In elk geval is de afstand van de uitkomst $d \times e$, het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van de afstanden, en is het teken dat wat de tabel van [Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules) aankondigt: dezelfde tekens positief, [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) tekens negatief.

**6.** $(-1)^2 = +1$, $(-1)^3 = -1$, $(-1)^4 = +1$, $(-1)^5 = -1$. In het algemeen is $(-1)^n$ een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van $n$ negatieve factoren met elk afstand $1$: volgens [Propositie 54.3](#prop-g8-negprod-many) is het $+1$ als $n$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is en $-1$ als $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is.

**7.** Er zijn tien negatieve factoren — een [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) aantal — dus is het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) *positief* ([Propositie 54.3](#prop-g8-negprod-many)). Zijn afstand is $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 10$.

**8.** Volgens vraag 4 is $(-a)^2 = (-a) \times (-a) = a \times a = a^2$. En dan volgens vraag 3:

$$
(-a)^3 = (-a)^2 \times (-a) = a^2 \times (-a) = -(a^2 \times a)
= -a^3 .
$$

Het minteken verdwijnt bij [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exponenten en overleeft bij [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) exponenten, in [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) met [Voorbeeld 54.5](#ex-g8-negprod-powers).

**9.** Is $a = 0$, dan is $a^2 = 0$. Anders hebben $a$ en $a$ *hetzelfde* teken, dus is $a^2 = a \times a$ positief ([Stelling 54.1](#thm-g8-negprod-rules)). Een kwadraat is dus nooit negatief; en omdat $-4$ negatief is, voldoet geen enkel getal $x$ met een teken aan $x^2 = -4$.

**10.** Zoë heeft gelijk. De exponenten $2026$ en $2027$ hebben verschillende pariteit, dus is $(-1)^{2026} = +1$ en $(-1)^{2027} = -1$, en die zijn samen $0$. In het algemeen is van twee opeenvolgende exponenten er één [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) en één [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dus zijn de twee machten $+1$ en $-1$ in een of andere volgorde: [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) getallen, met [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) altijd $0$.

**11.** $A_3 = 1 - 2 + 3 = 2$, en dan $A_4 = A_3 - 4 = -2$, $A_5 = A_4 + 5 = 3$, $A_6 = A_5 - 6 = -3$, $A_7 = A_6 + 7 = 4$. Vermoeden: $A_n = -\frac{n}{2}$ voor [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$, en $A_n = \frac{n+1}{2}$ voor [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$.

**12.** Voor [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$ gaan de termen volledig in paren:

$$
A_n = (1 - 2) + (3 - 4) + \dots + \bigl((n-1) - n\bigr),
$$

en elk paar is $-1$. Er zijn $\frac{n}{2}$ paren (twee termen per paar, $n$ termen in totaal), dus is $A_n = \frac{n}{2} \times (-1) = -\frac{n}{2}$.

**13.** Voor [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $n$ is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $A_n$ de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $A_{n-1}$ van de eerste $n - 1$ termen, plus de laatste term, die $+n$ is omdat $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is. Omdat $n - 1$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is, geeft vraag 12

$$
A_n = A_{n-1} + n = -\frac{n-1}{2} + n
= \frac{-(n-1) + 2n}{2} = \frac{n+1}{2} .
$$

**14.** $A_{100} = -\frac{100}{2} = -50$, $A_{101} = \frac{102}{2} = 51$, $A_{2026} = -\frac{2026}{2} = -1013$.

**15.** Geen verrassing: van $A_{100}$ naar $A_{101}$ komt er precies één term bij, namelijk $+101$, dus moest het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) $101$ zijn. Om dezelfde reden is $A_{2027} - A_{2026} = +2027$ — zonder $A_{2027}$ ook maar uit te rekenen.