---
title: "Breuken: alle vier de bewerkingen"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 55
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/55-breuken-alle-vier-de-bewerkingen
---

# Hoofdstuk 55 — Breuken: alle vier de bewerkingen

Dit hoofdstuk maakt de rekenkunde van de [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) af: optellen en aftrekken met *elke* [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def), vermenigvuldigen, en — de nieuwkomer — delen, dat een vermomde vermenigvuldiging blijkt te zijn. De tekens uit [Hoofdstuk 54](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#ch-g8-negprod) gaan mee op reis.

## 55.1 Optellen met willekeurige noemers

**Methode 55.1 (Gemeenschappelijke noemer).**

Om $\frac ab$ en $\frac cd$ op te tellen of af te trekken:

1. zoek een gemeenschappelijk [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $b$ en $d$ (het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) $b \times d$ werkt altijd; een kleiner [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) spaart werk);
2. herschrijf beide [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) met die [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) ;
3. tel de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) op of trek ze af; vereenvoudig.

**Voorbeeld 55.2.**

Reken $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ uit. Een gemeenschappelijk [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $6$ en $4$ is $12$:

$$
\frac{5}{6} = \frac{10}{12},
\qquad
\frac{3}{4} = \frac{9}{12},
\qquad
\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.
$$

Met tekens: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} =
-\dfrac{11}{15}$.

## 55.2 Breuken vermenigvuldigen

**Stelling 55.3 (Product van breuken).**

$$
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .
$$

**Waarom, op een plaatje.** Neem $\frac34$ van $\frac25$ van een vierkant: knip het vierkant in $5$ verticale stroken en houd er $2$; knip horizontaal in $4$ en houd $3$ rijen van wat er overbleef. Wat je overhoudt, is een rooster van $3 \times 2$ vakjes van de $4 \times 5$: de [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) $\frac{6}{20}$. ∎

![3/4 × 2/5: het dubbel gekleurde gebied is 3 × 2 = 6 vakjes van de 4 × 5 = 20, dus 6/20 = 3/10 — de tellers vermenigvuldigd, de noemers vermenigvuldigd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-fractions/fig-a471539f9638.svg)

*$\frac34 \times \frac25$: het dubbel gekleurde gebied is $3 \times 2 = 6$ vakjes van de $4 \times 5 = 20$, dus $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) vermenigvuldigd, de [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) vermenigvuldigd.*

**Voorbeeld 55.4.**

Vereenvoudig *voordat* je vermenigvuldigt, door gemeenschappelijke factoren weg te strepen:

$$
\frac{7}{12} \times \frac{9}{14}
= \frac{7 \times 9}{12 \times 14}
= \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7}
= \frac{3}{8}
$$

(de factor $7$ en één factor $3$ vallen boven en onder weg). Met tekens gelden eerst de regels van [Stelling 54.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#thm-g8-negprod-rules): $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} =
\frac56$.

## 55.3 Breuken delen

**Definitie 55.5 (Omgekeerde).**

De *omgekeerde* van een getal $x$ dat niet [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is, is het getal dat met $x$ vermenigvuldigd $1$ geeft. De omgekeerde van $\frac ab$ is $\frac ba$, want $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$; de omgekeerde van een geheel getal $n$ is $\frac1n$.

**Stelling 55.6 (Delen is vermenigvuldigen met de omgekeerde).**

Voor $c \neq 0$:

$$
\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .
$$

**Bewijs.** Per definitie is het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $q$ van $\frac ab$ door $\frac cd$ het getal waarvoor $q \times \frac cd = \frac ab$. Test de kandidaat $q = \frac ab \times \frac dc$:

$$
\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd
= \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right)
= \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere
$$

∎

**Voorbeeld 55.7.**

$$
\frac{3}{5} \div \frac{7}{10}
= \frac{3}{5} \times \frac{10}{7}
= \frac{3 \times 10}{5 \times 7}
= \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.
$$

Een controle op de grootte: delen door $\frac{7}{10}$, een getal kleiner dan $1$, moet een uitkomst geven die *groter* is dan $\frac35$ — en $\frac67 > \frac35$ is inderdaad zo ($\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$).

**Voorbeeld 55.8 (Breukstrepen in breukstrepen).**

Een “dubbeldekker” is niets anders dan een deling die verticaal geschreven is:

$$
\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ }
= \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}
= \frac{2}{3} \times \frac{6}{5}
= \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.
$$

Zoek eerst de *hoofdstreep* (de langste) en pas dan [Stelling 55.6](#thm-g8-fractions-div) toe.

**Methode 55.9 (Gemengde berekeningen).**

In een uitdrukking met [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) en de vier bewerkingen:

1. pas de gewone voorrangsregels toe ( [Hoofdstuk 45](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#ch-g7-priorities) );
2. zet elke deling om in een vermenigvuldiging met de [omgekeerde](#def-g8-fractions-inverse) ;
3. beslis eerst de tekens ( [Methode 54.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#met-g8-negprod-compute) ) en vermenigvuldig daarna, of zoek gemeenschappelijke [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) ;
4. vereenvoudig bij de eerste gelegenheid.

**Voorbeeld 55.10.**

$$
\begin{align*}
\frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4}
&= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4}
&& \text{(eerst het product!)} \\
&= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32
= \frac{4}{2} = 2 .
\end{align*}
$$

## 55.4 Oefeningen

**Oefening 55.1 ★.**

Reken uit en vereenvoudig:

$$
\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad
\frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad
\frac{7}{10} + \frac{8}{15} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.1.**

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$.

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$.

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$.

**Oefening 55.2 ★.**

Reken uit (eerst de tekens):

$$
-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad
\frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad
-\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.2.**

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$.

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$.

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$.

**Oefening 55.3 ★.**

Reken uit, en vereenvoudig voordat je vermenigvuldigt:

$$
\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad
\frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad
\left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.3.**

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} =
\dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (vereenvoudig door $5$ en door $4$).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (vereenvoudig door $7$ en door $3$).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ ([tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) tekens: negatief).

**Oefening 55.4 ★.**

Geef de [omgekeerde](#def-g8-fractions-inverse) van: $\dfrac{3}{7}$; $5$; $\dfrac{1}{4}$; $-\dfrac{2}{9}$.

**Oplossing van Oefening 55.4.**

[Omgekeerden](#def-g8-fractions-inverse): $\dfrac73$; $\dfrac15$; $4$; $-\dfrac92$ (de [omgekeerde](#def-g8-fractions-inverse) houdt het teken).

**Oefening 55.5 ★.**

Reken uit:

$$
\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad
\frac{7}{5} \div 14, \qquad
6 \div \frac{3}{4} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.5.**

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$.

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$.

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$.

**Oefening 55.6 ★.**

Reken de dubbeldekkers uit:

$$
\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ },
\qquad
\frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ },
\qquad
\frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .
$$

**Oplossing van Oefening 55.6.**

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$.

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$.

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$.

**Oefening 55.7 ★.**

Reken uit, met respect voor de voorrangsregels:

$$
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5},
\qquad
\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.7.**

Eerst het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def): $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} +
\dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$.

Eerst de haakjes: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 =
\dfrac{20}{30} = \dfrac23$.

**Oefening 55.8 ★★.**

Een tank is voor $\frac{2}{5}$ gevuld. Er wordt $\frac{1}{3}$ *van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de tank* bij gedaan. Welke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van de tank is nu gevuld? En welke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) is nog leeg?

**Oplossing van Oefening 55.8.**

Gevuld: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ van de tank. Leeg: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$.

**Oefening 55.9 ★★.**

Driekwart van de leerlingen van een klas haalde een toets; van hen kreeg twee derde meer dan $14$ van de $20$. Welke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van de klas kreeg meer dan $14$? Als dat $12$ leerlingen zijn, hoe groot is de klas dan?

**Oplossing van Oefening 55.9.**

De [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) met meer dan $14$: $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ van de klas. Als dat $12$ leerlingen zijn, heeft de klas $24$ leerlingen.

**Oefening 55.10 ★★.**

Een touw van $\frac{15}{2}$ m moet in stukken van elk $\frac{3}{4}$ m geknipt worden. Hoeveel stukken krijg je? (Een deling van [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) — ga na dat het antwoord een heel getal is.)

**Oplossing van Oefening 55.10.**

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ stukken — een heel getal, geen touw verspild.

**Oefening 55.11 ★★.**

Reken uit:

$$
E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9},
\qquad
F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .
$$

**Oplossing van Oefening 55.11.**

$E$: eerst de deling: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} =
\dfrac34$; en dan $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$.

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 =
\dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (het kwadraat is positief).

**Oefening 55.12 ★★★.**

Vereenvoudig de uitdrukking

$$
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}
$$

(begin bij de binnenste [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) en werk naar buiten, één streep per keer).

**Oplossing van Oefening 55.12.**

Van binnen naar buiten: $1 + 1 = 2$; dan $1 + \dfrac12 = \dfrac32$; en dan

$$
1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .
$$

## 55.5 Opgave: Egyptische breuken

**Probleem 55.1.**

Weekendopgave — elke breuk is een som van verschillende stambreuken

Een *stambreuk* is een [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) met [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $1$. De schrijvers van het oude Egypte — de Rhind-papyrus werd rond $1550$ v.Chr. gekopieerd — schreven elke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) als een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van *verschillende* stambreuken: nooit $\frac27 = \frac17 + \frac17$, maar $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$. Zo’n [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) heet een *Egyptische schrijfwijze* van de [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def). In deze opgave werk je de optel- en vergelijktechnieken van dit hoofdstuk ([Methode 55.1](#met-g8-fractions-add)) uit tot een methode — in $1202$ door Fibonacci gepubliceerd — die van elke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) tussen $0$ en $1$ een Egyptische schrijfwijze oplevert, en eindig je met een gevierde erfenispuzzel.

**Deel I — Stambreuken en de splitsingsformule.**

1. Reken $\frac12 + \frac13$ en $\frac12 + \frac14$ uit, en leid Egyptische schrijfwijzen van $\frac56$ en $\frac34$ af.
2. Ga de vermelding van de schrijvers voor $\frac27$ na: laat zien dat $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
3. Ga na dat $\frac13 + \frac16 = \frac12$ en dat $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$. Bewijs daarna de *splitsingsformule*: voor elk heel getal $n \geq 1$ geldt $$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$$
4. Leid een Egyptische schrijfwijze van $1$ zelf af, als [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van drie verschillende stambreuken.
5. Splits de laatste term van $\frac56 = \frac12 + \frac13$ om een *tweede* Egyptische schrijfwijze van $\frac56$ te krijgen, met drie stambreuken. Leg uit waarom geen enkele [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) een unieke Egyptische schrijfwijze heeft.

**Deel II — De hebberige methode van Fibonacci.** De methode is: trek de *grootste* stambreuk af die past, en herhaal met wat overblijft.

6. Laat met gemeenschappelijke [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) zien dat $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Waarom bewijst dat dat $\frac14$ de grootste stambreuk kleiner dan $\frac27$ is?
7. Reken $\frac27 - \frac14$ uit. Welke schrijfwijze van $\frac27$ levert de hebberige methode op?
8. Neem nu $\frac57$ . Laat zien dat de grootste stambreuk kleiner dan $\frac57$ gelijk is aan $\frac12$ , en reken $\frac57 - \frac12$ uit.
9. Laat zien dat de grootste stambreuk kleiner dan $\frac{3}{14}$ gelijk is aan $\frac15$ (vergelijk $\frac{3}{14}$ met $\frac14$ en met $\frac15$), reken $\frac{3}{14} - \frac15$ uit, en besluit: $$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$$ Ga die schrijfwijze rechtstreeks na met de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $70$.
10. Laat de hebberige methode op $\frac45$ lopen, ga bij elke stap na dat je stambreuk de grootste is die past, en controleer de uiteindelijke schrijfwijze.

**Deel III — Waarom de methode altijd stopt, en de achttiende kameel.**

11. In de vragen 7–10 is de methode toegepast op $\frac27$ , $\frac57$ en $\frac45$ . Noem voor elk de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van de opeenvolgende [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) (voordat je vereenvoudigt). Wat valt je op?
12. Laat voor een [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) $\frac ab$ en een heel getal $n$ zien dat $$\frac{a}{b} - \frac{1}{n}  = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$$
13. Stel dat de hebberige methode $\frac1n$ van $\frac ab$ aftrekt: dan past $\frac1n$, maar is $\frac{1}{n-1}$ al te groot, dus $\frac{1}{n-1} > \frac ab$. Zet beide op de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $b \times (n - 1)$ en leid af dat $b > a \times n - a$, en dus dat de nieuwe [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) voldoet aan $$a \times n - b < a .$$ Leg uit waarom dat bewijst dat de methode altijd stopt.
14. Een oud verhaal: een vader sterft en laat $17$ kamelen achter, met in zijn testament $\frac12$ van de kudde voor zijn oudste kind, $\frac13$ voor het tweede en $\frac19$ voor het derde — en geen van de delen is een heel aantal kamelen. Een buurman leent het gezin een achttiende kameel; de kinderen nemen $9$ , $6$ en $2$ kamelen, en de geleende kameel gaat terug. Reken $\frac12 + \frac13 + \frac19$ uit en verklaar de truc: waarom kon de kudde in hele kamelen verdeeld worden, en waarom kreeg geen enkel kind minder dan het testament beloofde?
15. Repareer het testament: stel drie *verschillende* stambreuken voor die samen precies $1$ zijn, en geef de kleinste kudde waarvoor alle drie de delen hele aantallen kamelen zijn.

**Oplossing van Probleem 55.1.**

**1.** $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ en $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$. Dus zijn $\frac56 = \frac12 + \frac13$ en $\frac34 = \frac12 + \frac14$ Egyptische schrijfwijzen (met in elk verschillende stambreuken).

**2.** Met de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $28$:

$$
\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28}
= \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .
$$

**3.** $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$, en $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$. In het algemeen is de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van $\frac{1}{n+1}$ en $\frac{1}{n(n+1)}$ gelijk aan $n(n+1)$:

$$
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)}
= \frac{n+1}{n(n+1)}
= \frac{1}{n} .
$$

**4.** Begin bij $1 = \frac12 + \frac12$ en splits de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) met vraag 3:

$$
1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,
$$

drie verschillende stambreuken.

**5.** De $\frac13$ in $\frac56 = \frac12 + \frac13$ splitsen geeft

$$
\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .
$$

Geen enkele Egyptische schrijfwijze is ooit uniek: de splitsingsformule kan altijd de stambreuk met de grootste [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) door twee nieuwe, nog kleinere stambreuken vervangen — en zo maak je uit elke schrijfwijze een volgende.

**6.** Met [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $21$: $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$. Met [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$. Stambreuken krimpen als hun [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) groeien, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$; en omdat $\frac13$ (en alles daarboven) te groot is en $\frac14$ past, is $\frac14$ de grootste stambreuk kleiner dan $\frac27$.

**7.** $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$: de hebberige methode levert $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ op, precies de vermelding van de schrijvers uit vraag 2.

**8.** Met [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $14$: $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$, terwijl de enige grotere stambreuk, $1$, groter is dan $\frac57$. Dus is $\frac12$ de grootste die past, en

$$
\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .
$$

**9.** Met [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $28$: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$, dus is $\frac14$ te groot. Met [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $70$: $\frac15 = \frac{14}{70} <
\frac{15}{70} = \frac{3}{14}$, dus past $\frac15$: het is de grootste stambreuk kleiner dan $\frac{3}{14}$. Dan is

$$
\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70}
= \frac{1}{70},
\qquad\text{en dus}\qquad
\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .
$$

Controle: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$.

**10.** Eerste stap: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ en $1 > \frac45$, dus trek $\frac12$ af: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$. Tweede stap: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ is te groot, en $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ past, dus trek $\frac14$ af: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$. Besluit:

$$
\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20},
\qquad
\frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20}
= \frac45 . \checkmark
$$

**11.** De [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van de opeenvolgende [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) zijn: voor $\frac27$: $2$, dan $1$; voor $\frac57$: $5$, dan $3$, dan $1$; voor $\frac45$: $4$, dan $3$, dan $1$. Elk rijtje is *strikt dalend*.

**12.** De gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van $\frac ab$ en $\frac1n$ is $b \times n$:

$$
\frac{a}{b} - \frac{1}{n}
= \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n}
= \frac{a \times n - b}{b \times n} .
$$

**13.** Op de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $b \times (n-1)$ vergelijkt de ongelijkheid $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $b$ en $a \times (n - 1)$:

$$
b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,
$$

en $a - b$ bij beide kanten optellen geeft $a > a \times n - b$. Na elke hebberige stap is de [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) (vraag 12) dus een heel getal dat strikt kleiner is dan de vorige. Hele getallen kunnen niet eeuwig strikt dalen: na hoogstens $a$ stappen heeft de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $1$ — een stambreuk — of is hij $0$, en stopt de methode.

**14.** Met de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $18$:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac19
= \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}
= \frac{17}{18} ,
$$

en dat is *minder dan* $1$: het testament vergat $\frac{1}{18}$ van de kudde. Dat gat is de hele truc. Van $18$ kamelen zijn de delen $\frac12$, $\frac13$ en $\frac19$ de hele getallen $9$, $6$ en $2$, die samen $9 + 6 + 2 = 17$ maken: precies de kudde, en de achttiende kameel gaat naar huis. En niemand kan klagen: het testament beloofde, van $17$ kamelen, $\frac{17}{2} = 8.5$, dan $\frac{17}{3} \approx 5.67$, dan $\frac{17}{9} \approx 1.89$ kamelen, en elk kind kreeg strikt meer ($9$, $6$ en $2$). De vergeten $\frac{1}{18}$ is wat de kameel van de buurman tijdelijk opvulde.

**15.** Vraag 4 levert het gerepareerde testament:

$$
\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .
$$

De delen zijn hele getallen als de kudde [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) is door $2$, door $3$ en door $6$ — dus [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) door $6$. De kleinste zulke kudde is $6$ kamelen: delen $3$, $2$ en $1$, en er blijft niets over.