--- title: "Machten" book: "Wiskunde basisschool en onderbouw" subject: math language: nl chapter: 56 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten --- # Hoofdstuk 56 — Machten Vouw een blad papier $10$ keer dubbel (als je kunt!): de dikte verdubbelt elke keer, en $10$ verdubbelingen vermenigvuldigen haar met $2^{10} = 1024$. Machten zijn de korte schrijfwijze van het herhaald vermenigvuldigen; dit hoofdstuk zet de notatie en haar regels op, met een bijzondere rol voor de machten van $10$. ## 56.1 Definitie **Definitie 56.1 (Macht).** Voor een getal $a$ en een heel getal $n \geq 1$: $$ a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factoren}}, $$ gelezen als “$a$ tot de macht $n$”; $a$ is het *grondtal*, $n$ de *exponent*. Bijzondere namen: $a^2$ is “$a$ kwadraat”, $a^3$ “$a$ tot de derde”. Per afspraak: $$ a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}. $$ **Voorbeeld 56.2.** $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$; $10^3 = 1000$; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$; $(-2)^3 = -8$ en $(-2)^4 = +16$ ([Voorbeeld 54.5](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#ex-g8-negprod-powers)). Pas op: $a^n$ is *niet* $a \times n$: $2^5 = 32$, en niet $10$. ![Machten van 2: elke staaf is twee keer de vorige. Groei door herhaald vermenigvuldigen loopt veel sneller weg dan groei door herhaald optellen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-powers/fig-73c0637d8084.svg) *Machten van $2$: elke staaf is twee keer de vorige. Groei door herhaald vermenigvuldigen loopt veel sneller weg dan groei door herhaald optellen.* ## 56.2 De rekenregels voor machten **Stelling 56.3 (Rekenregels voor machten).** Voor een grondtal $a$ dat niet [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is en hele [exponenten](#def-g8-powers-def) $m$ en $n$: $$ a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n . $$ **Bewijs door factoren te tellen.** $a^m \times a^n$ zet $m$ factoren $a$ op een rij, gevolgd door nog $n$: samen $m + n$. $\left(a^m\right)^n$ herhaalt een blok van $m$ factoren $n$ keer: $mn$ factoren. $(ab)^n$ bevat $n$ letters $a$ en $n$ letters $b$, die je kunt hergroeperen. De regel voor het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) komt van het wegstrepen van $n$ van de $m$ factoren; met de afspraken $a^0 = 1$ en $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ blijft ze zelfs geldig als $n \geq m$. ∎ **Voorbeeld 56.4.** $$ 2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 . $$ Een valstrik: de regels gelden bij een *gemeenschappelijk grondtal* (of, bij de laatste, een gemeenschappelijke [exponent](#def-g8-powers-def)). Geen enkele regel vereenvoudigt $2^3 \times 5^2$ — reken het gewoon uit: $8 \times 25 = 200$. ## 56.3 Machten van tien **Propositie 56.5 (Machten van tien).** Voor $n \geq 1$ is $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ en $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$. De rekenregels voor machten zeggen: bij het vermenigvuldigen van machten van tien tel je de [exponenten](#def-g8-powers-def) op. **Voorbeeld 56.6.** $10^4 \times 10^3 = 10^7$; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$. Grote en kleine hoeveelheden worden leesbaar: $$ \text{een miljard} = 10^9, \qquad \text{een miljoenste} = 10^{-6}. $$ Samen met decimalen: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ en $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (schuif het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point), [Propositie 38.7](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#prop-g6-decimals-shift)). Het stelselmatige gebruik van deze schrijfwijze — de *wetenschappelijke notatie* — wordt in [Hoofdstuk 63](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#ch-g9-fractions) uitgewerkt. **Voorbeeld 56.7 (Grootteordes).** Licht legt ongeveer $3 \times 10^8$ m/s af; een jaar heeft ongeveer $3.2 \times 10^7$ seconden. Een lichtjaar is dus ongeveer $$ 3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m} $$ — tien miljoen miljard meter. Met machten van tien passen astronomische berekeningen op één regel. **Methode 56.8 (Een uitdrukking met machten vereenvoudigen).** 1. Groepeer de factoren per grondtal; 2. pas binnen elk grondtal de rekenregels voor de [exponenten](#def-g8-powers-def) toe; 3. reken de kleine machten die overblijven uit, of laat het antwoord als macht staan als het groot is. **Voorbeeld 56.9.** $$ \frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 . $$ ## 56.4 Oefeningen **Oefening 56.1 ★.** Reken uit: $$ 2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 . $$ **Oplossing van Oefening 56.1.** $2^6 = 64$; $3^3 = 27$; $10^5 = 100\,000$; $1^{100} = 1$; $0.1^2 = 0.01$; $6^0 = 1$. **Oefening 56.2 ★.** Reken uit: $$ (-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 . $$ **Oplossing van Oefening 56.2.** $(-3)^2 = 9$; $-3^2 = -9$; $(-1)^{15} = -1$; $(-5)^3 = -125$; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$. **Oefening 56.3 ★.** Schrijf als één macht: $$ 7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 . $$ **Oplossing van Oefening 56.3.** $7^4 \times 7^5 = 7^9$; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (dezelfde [exponent](#def-g8-powers-def): vermenigvuldig de grondtallen). **Oefening 56.4 ★.** Schrijf als [decimaal getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#def-g6-decimals-places): $10^{-2}$; $4 \times 10^3$; $2.5 \times 10^{-4}$; $10^0$. **Oplossing van Oefening 56.4.** $10^{-2} = 0.01$; $4 \times 10^3 = 4000$; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$; $10^0 = 1$. **Oefening 56.5 ★.** Schrijf met een macht van tien: honderdduizend; een tiende; tien miljard; $0.000\,001$. **Oplossing van Oefening 56.5.** $10^5$; $10^{-1}$; $10^{10}$; $10^{-6}$. **Oefening 56.6 ★.** Vereenvoudig en reken daarna uit: $$ \frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} . $$ **Oplossing van Oefening 56.6.** $\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$. $\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$. $\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$. **Oefening 56.7 ★.** Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste. $$ 2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 . $$ **Oplossing van Oefening 56.7.** $2^3 \times 2^4 = 2^{12}$: *niet waar* — [exponenten](#def-g8-powers-def) tel je op: $2^7$. $5^2 + 5^3 = 5^5$: *niet waar* — er is geen regel voor sommen: $25 + 125 = 150$, terwijl $5^5 = 3125$. $(3^2)^4 = 3^8$: *waar*. $10^3 \times 10^3 = 100^3$: *waar* — beide zijn $10^6$ (links: $10^{3+3}$; rechts: $(10^2)^3$). **Oefening 56.8 ★★.** Een gerucht doet de ronde: op dag 1 kennen drie mensen het; elke dag vertelt elke persoon die het kent, het aan drie nieuwe mensen. Schrijf met een macht het aantal *nieuwe* mensen dat op dag $4$ wordt ingelicht, en reken uit hoeveel mensen het gerucht aan het einde van dag 4 kennen (de oorspronkelijke drie meegerekend). **Oplossing van Oefening 56.8.** Nieuwe mensen op dag $4$: elk van de $3^3 = 27$ mensen die op dag 3 zijn ingelicht, vertelt het aan drie anderen: $3^4 = 81$. Aan het einde van dag 4 kennen $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ mensen het gerucht. **Oefening 56.9 ★★.** Een blad papier is $0.1$ mm dik, dus $10^{-4}$ m. Elke keer dubbelvouwen verdubbelt de dikte. 1. Druk de dikte na $10$ vouwen als een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) uit, en reken haar in centimeters uit ( $2^{10} = 1024$ ). 2. Na $42$ vouwen zou de dikte $2^{42} \times 10^{-4}$ m zijn, met $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ . Laat zien dat dat meer is dan de afstand van de aarde tot de maan, ongeveer $3.8 \times 10^8$ m. **Oplossing van Oefening 56.9.** *1.* Dikte: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm. *2.* $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, groter dan $3.8 \times 10^8$ m: na $42$ (theoretische!) vouwen zou de prop papier de maan voorbij zijn. **Oefening 56.10 ★★.** Zet op volgorde, van klein naar groot, zonder rekenmachine: $$ 2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 . $$ (Reken ze elk uit; $2^{10}$ en $10^3$ zijn beroemde buren.) **Oplossing van Oefening 56.10.** $2^{10} = 1024$; $10^3 = 1000$; $3^6 = 729$; $5^4 = 625$. Op volgorde: $$ 5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} . $$ **Oefening 56.11 ★★★.** Wat is groter, $2^{100}$ of $10^{30}$? Gebruik $2^{10} = 1024 > 10^3$ om $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ met $\left(10^3\right)^{10}$ te vergelijken. **Oplossing van Oefening 56.11.** $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ en $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$. Omdat $1024 > 1000$, blijft de ongelijkheid gelden als je van elk tien exemplaren met elkaar vermenigvuldigt: $2^{100} > 10^{30}$. ## 56.5 Opgave: het schaakbord en de machten van twee **Probleem 56.1.** Weekendopgave — de meetkundige [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$, van een beroemde legende tot binaire getallen De legende: als belofte voor het uitvinden van het schaakspel vroeg de wijze Sissa zijn koning één graankorrel op het eerste veld van het bord, twee op het tweede, vier op het derde — verdubbelend van veld tot veld, tot het vierenzestigste. De koning lachte om zoveel bescheidenheid. In deze opgave reken je uit wat de koning beloofde, met de rekenregels voor machten van [Stelling 56.3](#thm-g8-powers-rules), en eindig je waar het verhaal in stilte naartoe leidt: de binaire getallen in elke computer. **Deel I — De verdubbeltruc.** Zij voor $n \geq 1$ $S_n$ het totale aantal korrels op de eerste $n$ velden. 1. Druk het aantal korrels op veld $k$ uit als een macht van $2$ . Welke macht staat op veld $64$ ? 2. Reken $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ en $S_5$ uit, en vergelijk elk met een nabijgelegen macht van $2$ . Vermoed een formule voor $S_n$ . 3. De *verdubbeltruc*: schrijf de sommen $S_n$ en $2 \times S_n$ onder elkaar, trek ze af, en bewijs je vermoeden: $$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$$ 4. Hoeveel korrels beloofde de koning in totaal? Druk het antwoord uit met een macht van $2$ , en maak de klassieke opmerking af: “het hele bord bevat één korrel minder dan één enkel vijfenzestigste veld zou bevatten.” 5. Laat zien dat de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van het bord (de velden $33$ tot $64$ ) *precies* $2^{32}$ keer zoveel korrels bevat als de eerste [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) . **Deel II — Hoe groot is $2^{64}$?** De vergelijking $2^{10} = 1024 > 10^3$ uit [Oefening 56.11](#exo-g8-powers-11) is de sleutel tot alle schattingen hieronder. 6. Laat zien dat $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ . 7. Een graankorrel weegt ongeveer $0.05$ g, dus $5 \times 10^{-2}$ g. Laat zien dat het beloofde graan meer dan $8 \times 10^{17}$ g weegt, en zet dat om in tonnen ( $1$ ton $= 10^6$ g). 8. De hele wereld oogst momenteel ongeveer $8 \times 10^8$ ton graan per jaar. Hoeveel jaar wereldoogst beloofde de koning minstens? 9. Zoek het kleinste hele getal $n$ waarvoor $2^n > 10^6$ — dus hoeveel verdubbelingen er nodig zijn om een miljoen voorbij te gaan. (Reken $2^{19}$ en $2^{20}$ precies uit met $2^{10} = 1024$ .) 10. Een grappenmaker biedt je een maandsalaris aan: $1$ cent op dag $1$ , en daarna elke dag het dubbele van de dag ervoor. Op welke dag gaat het *dagloon* alleen al voor het eerst boven een miljoen euro ( $10^8$ cent)? (Reken $2^{26}$ en $2^{27}$ precies uit.) **Deel III — Binaire gewichten.** Een marktkoopvrouw heeft vijf gewichten: $1$, $2$, $4$, $8$ en $16$ gram, van elk één. Ze legt er een aantal van op de ene schaal van een balans om waren op de andere te wegen. 11. Welke gewichten legt ze neer om $21$ g te wegen? En om $27$ g te wegen? 12. Leg uit waarom elk doelgewicht van $16$ g of meer het gewicht van $16$ g *moet* gebruiken, en waarom elk doelgewicht van $15$ g of minder het *niet* mag gebruiken. (Vraag 3 vertelt je wat de gewichten $1, 2, 4, 8$ hoogstens kunnen bereiken.) Leg uit waarom dezelfde redenering zich bij het volgende grootste gewicht herhaalt, en zo bij elke stap. 13. Leid af dat elk heel doelgewicht van $1$ tot $31$ g gewogen kan worden, en *op precies één manier* : elk getal tussen $1$ en $31$ is op één enkele manier een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van verschillende machten van $2$ . 14. De koopvrouw koopt een zesde gewicht, van $32$ g. Tot welk doelgewicht kan ze nu wegen? Schrijf $45$ g als een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van verschillende machten van $2$ . 15. In een computer wordt een “64-bits” getal op $64$ velden bewaard, die elk een $0$ of een $1$ bevatten — veld $k$ draagt $2^{k-1}$ bij als het een $1$ bevat, zoals de korrels van de legende. Leg met deel I uit waarom de hele getallen die zo’n machine kan bewaren precies van $0$ tot $2^{64} - 1$ lopen. **Oplossing van Probleem 56.1.** **1.** De korrels verdubbelen van veld tot veld vanaf $1 = 2^0$: veld $k$ bevat $2^{k-1}$ korrels ([Definitie 56.1](#def-g8-powers-def)). Veld $64$ bevat $2^{63}$. **2.** $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 2 = 3$, $S_3 = 3 + 4 = 7$, $S_4 = 7 + 8 = 15$, $S_5 = 15 + 16 = 31$: altijd één minder dan de volgende macht van $2$ ($2$, $4$, $8$, $16$, $32$). Vermoeden: $S_n = 2^n - 1$. **3.** Elke term van $S_n$ verdubbelen schuift elke macht één op ($2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$): $$ \begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*} $$ Trek de eerste regel van de tweede af: elke term van $2$ tot $2^{n-1}$ staat in beide en valt weg: $$ 2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{dus}\qquad S_n = 2^n - 1 . $$ **4.** Het totaal is $S_{64} = 2^{64} - 1$ korrels. Een vijfenzestigste veld zou $2^{64}$ korrels bevatten: het hele bord draagt precies één korrel minder dan dat ene veld. **5.** De eerste [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) bevat $S_{32} = 2^{32} - 1$ korrels. Het hele bord bevat $2^{64} - 1$, dus bevat de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) $$ \left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right) $$ ($2^{32}$ buiten haakjes gebracht, met $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$, [Stelling 56.3](#thm-g8-powers-rules)): precies $2^{32}$ keer de eerste [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half). **6.** Met de rekenregels is $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$. Omdat $2^{10} = 1024 > 10^3$, geldt $$ 2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} . $$ **7.** Meer dan $1.6 \times 10^{19}$ korrels van elk $5 \times 10^{-2}$ g: $$ 1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} . $$ Delen door $10^6$ g per ton: meer dan $8 \times 10^{11}$ ton — achthonderd miljard ton. **8.** $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$: de koning beloofde minstens *duizend jaar* van de hele huidige wereldoogst. (De legende zegt dat zijn raadgevers hem dat vertelden.) **9.** $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$, terwijl $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$. De kleinste [exponent](#def-g8-powers-def) is dus $n = 20$: twintig verdubbelingen gaan het miljoen voorbij. **10.** Het loon op dag $n$ is $2^{n-1}$ cent (dag 1: $2^0 = 1$). Nu is $$ 2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8, $$ $$ 2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 . $$ Het dagloon gaat dus voor het eerst boven $10^8$ cent als $n - 1 = 27$: op dag $28$. **11.** $21 = 16 + 4 + 1$: de gewichten $16$, $4$ en $1$ g. $27 = 16 + 8 + 2 + 1$: de gewichten $16$, $8$, $2$ en $1$ g. **12.** Volgens vraag 3 wegen de gewichten $1, 2, 4, 8$ samen $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g. Zonder het gewicht van $16$ g komt de koopvrouw dus niet voorbij $15$ g: elk doelgewicht van $16$ g of meer moet het gebruiken. En een doelgewicht van $15$ g of minder mag het niet gebruiken, want het gewicht van $16$ g alleen is al te zwaar. De keuze van het grootste gewicht is dus *gedwongen*. Wat overblijft, is een doelgewicht van hoogstens $15$ g dat met $1, 2, 4, 8$ gevormd moet worden — en daar herhaalt hetzelfde argument zich: $8$ is gedwongen (gebruikt als het resterende doel $\geq 8$ is, anders niet, want $1 + 2 + 4 = 7$), dan $4$ (want $1 + 2 = 3$), dan $2$, dan $1$. **13.** Als je de gedwongen keuzes volgt, is het resterende doel na elke stap hoogstens het totaal van de resterende gewichten, dus eindigt het proces met [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $0$: elk doel van $1$ tot $31$ wordt bereikt. En omdat elke keuze onderweg gedwongen was, kan geen andere selectie gewichten hetzelfde doel bereiken: de schrijfwijze van elk getal van $1$ tot $31$ als een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van verschillende machten van $2$ bestaat en is *uniek*. **14.** De zes gewichten zijn samen $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g, en hetzelfde argument met gedwongen keuzes dekt elk doel van $1$ tot $63$ g. Voor $45$: het doel is $\geq 32$, dus gebruik $32$; er blijft $13 < 16$, dus $16$ overslaan; gebruik $8$ (blijft $5$), gebruik $4$ (blijft $1$), sla $2$ over, gebruik $1$: $$ 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 . $$ **15.** Op elk van de $64$ velden een $0$ of een $1$ kiezen komt neer op kiezen welke machten $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ in een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) meedoen — precies het wegen van de koopvrouw met $64$ gewichten. Het kleinste getal dat je kunt bewaren is $0$ (alle velden op $0$); het grootste is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van *alle* machten, en dat is het totaal van de koning: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (deel I). Volgens het argument met de gedwongen keuzes wordt elk heel getal daartussen precies één keer bereikt: een $64$-bitsmachine bewaart precies de hele getallen van $0$ tot $2^{64} - 1$.