---
title: "Letterrekenen en vergelijkingen"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 57
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen
---

# Hoofdstuk 57 — Letterrekenen en vergelijkingen

In het derde leerjaar van deze reeks kwamen letters aan bod en leerde je eenvoudige uitdrukkingen herleiden ([Hoofdstuk 48](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/48-uitdrukkingen-met-letters#ch-g7-literal)). Dit hoofdstuk voegt de twee vaardigheden toe die algebra krachtig maken: *haakjes wegwerken* in [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def), en het *oplossen van [vergelijkingen](#def-g8-equations-def)* — het getal vinden dat achter de letter schuilgaat.

## 57.1 Haakjes wegwerken

**Stelling 57.1 (Enkele en dubbele distributiviteit).**

Voor alle getallen geldt:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Bewijs.** De eerste regel is [Stelling 45.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/45-voorrangsregels#thm-g7-priorities-distributivity), tekens inbegrepen: $k$ en de termen mogen negatief zijn ([Hoofdstuk 54](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#ch-g8-negprod)). Voor de tweede pas je de eerste regel twee keer toe, met $(c + d)$ als één getal:

$$
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd .
\qedhere
$$

∎

**Voorbeeld 57.2.**

Let bij elke term op het teken:

$$
\begin{align*}
3(2x - 5) &= 6x - 15, \\
-2(4x - 7) &= -8x + 14
&& \text{(een minteken vooraan keert beide tekens om)}, \\
(x + 3)(x + 5) &= x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15, \\
(2x - 1)(x - 4) &= 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x^2 - 9x + 4 .
\end{align*}
$$

![Dubbele distributiviteit als oppervlakte: de rechthoek (a+b) × (c+d) valt uiteen in vier kleinere rechthoeken — één per term van het product.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-5157e40e0e48.svg)

*Dubbele distributiviteit als [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): de rechthoek $(a+b) \times (c+d)$ valt uiteen in vier kleinere rechthoeken — één per term van het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def).*

**Methode 57.3 (Haakjes wegwerken en herleiden).**

1. Werk elk [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) uit en schrijf elke term met zijn teken;
2. neem gelijksoortige termen samen ( $x^2$ bij $x^2$ , $x$ bij $x$ , getallen bij getallen);
3. controleer met een waarde: vul bijvoorbeeld $x = 2$ in, in de oorspronkelijke uitdrukking en in het resultaat — gelijke uitkomsten halen de meeste fouten eruit.

## 57.2 Vergelijkingen oplossen

**Definitie 57.4 (Vergelijking).**

Een *vergelijking* is een gelijkheid met een onbekend getal, dat je $x$ noemt (of een andere letter). Haar *oplossen* betekent: alle waarden van $x$ vinden waarvoor de gelijkheid waar is — de *oplossingen*.

**Stelling 57.5 (Balansregels).**

Een [vergelijking](#def-g8-equations-def) houdt precies dezelfde oplossingen wanneer:

1. bij beide leden hetzelfde getal wordt opgeteld (of ervan afgetrokken);
2. beide leden met hetzelfde getal, *verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero)* , worden vermenigvuldigd (of erdoor gedeeld).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![Een vergelijking is een balans in evenwicht: wat je met de ene schaal doet, moet je ook met de andere doen, en dan blijft het evenwicht — de gelijkheid — bestaan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-equations/fig-6121f2de0c6e.svg)

*Een [vergelijking](#def-g8-equations-def) is een balans in evenwicht: wat je met de ene schaal doet, moet je ook met de andere doen, en dan blijft het evenwicht — de gelijkheid — bestaan.*

**Methode 57.6 (Een eerstegraadsvergelijking oplossen).**

1. Werk indien nodig de haakjes weg en herleid elk lid;
2. tel bij beide leden op of trek van beide leden af, tot de $x$ -termen in het ene lid staan en de losse getallen in het andere;
3. herleid, en deel dan beide leden door de coëfficiënt van $x$ ;
4. *controleer* door de gevonden waarde in de oorspronkelijke [vergelijking](#def-g8-equations-def) in te vullen.

**Voorbeeld 57.7.**

Los $7x - 5 = 4x + 16$ op:

$$
\begin{align*}
7x - 5 &= 4x + 16 \\
7x - 4x &= 16 + 5
&& \text{(bij beide leden $5$ optellen en $4x$ aftrekken)} \\
3x &= 21 \\
x &= 7 && \text{(beide leden door 3 delen).}
\end{align*}
$$

Controle: linkerlid $7 \times 7 - 5 = 44$; rechterlid $4 \times 7 + 16 = 44$. De oplossing is $7$.

**Voorbeeld 57.8 (Met haakjes en negatieve getallen).**

Los $3(x - 4) = 5 - 2(x + 1)$ op:

$$
\begin{align*}
3x - 12 &= 5 - 2x - 2 && \text{(haakjes in beide leden wegwerken)} \\
3x - 12 &= 3 - 2x && \text{(herleiden)} \\
5x &= 15 && \text{($2x + 12$ bij beide leden optellen)} \\
x &= 3 .
\end{align*}
$$

Controle: $3(3 - 4) = -3$ en $5 - 2(3+1) = 5 - 8 = -3$. Oplossing: $3$.

**Methode 57.9 (Een vraagstuk met een vergelijking oplossen).**

1. Kies de onbekende: “zij $x$ het aantal …” (de gevraagde grootheid, of een eenvoudiger grootheid die ermee samenhangt);
2. zet het verhaal om in een [vergelijking](#def-g8-equations-def) ;
3. los die op;
4. interpreteer: antwoord in een volle zin op de gestelde vraag, met eenheden, en toets het antwoord aan het verhaal.

**Voorbeeld 57.10.**

Lucas is $4$ jaar ouder dan zijn zus; samen zijn ze $26$ jaar. Zij $x$ de leeftijd van de zus; dan is Lucas $x + 4$ jaar, en

$$
x + (x + 4) = 26
\ \Longrightarrow\
2x + 4 = 26
\ \Longrightarrow\
2x = 22
\ \Longrightarrow\
x = 11 .
$$

De zus is $11$, Lucas is $15$. Controle: $11 + 15 = 26$ en $15 - 11 = 4$.

## 57.3 Ordening en ongelijkheden

**Propositie 57.11 (Bewerkingen en ordening).**

Bij beide leden van een ongelijkheid hetzelfde getal optellen behoudt de ongelijkheid; beide leden met een *positief* getal vermenigvuldigen behoudt haar; met een *negatief* getal vermenigvuldigen *keert* haar *om*:

$$
2 < 5 \ \text{ maar }\ (-1) \times 2 > (-1) \times 5 .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 57.12.**

Los $5 - 2x \leq 11$ op: trek $5$ van beide leden af, dan is $-2x \leq 6$; deel door $-2$ *en keer om*: $x \geq -3$. Alle getallen groter dan of gelijk aan $-3$ zijn oplossingen — een [vergelijking](#def-g8-equations-def) heeft meestal één oplossing, een ongelijkheid een hele halve rechte.

## 57.4 Oefeningen

**Oefening 57.1 ★.**

Werk de haakjes weg en herleid:

$$
5(2x + 3), \qquad
-3(4x - 1), \qquad
2(3x - 2) + 4(x + 5).
$$

**Oplossing van Oefening 57.1.**

$5(2x + 3) = 10x + 15$.

$-3(4x - 1) = -12x + 3$.

$2(3x - 2) + 4(x + 5) = 6x - 4 + 4x + 20 = 10x + 16$.

**Oefening 57.2 ★.**

Werk de haakjes weg en herleid:

$$
(x + 2)(x + 7), \qquad
(3x + 1)(2x - 5), \qquad
(x - 4)(x - 6).
$$

**Oplossing van Oefening 57.2.**

$(x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$.

$(3x+1)(2x-5) = 6x^2 - 15x + 2x - 5 = 6x^2 - 13x - 5$.

$(x-4)(x-6) = x^2 - 6x - 4x + 24 = x^2 - 10x + 24$.

**Oefening 57.3 ★.**

Is $x = 3$ een oplossing van $4x - 5 = 7$? Van $2x + 1 = x + 4$? Van $x^2 = 6x - 9$? (Vul in en vergelijk beide leden.)

**Oplossing van Oefening 57.3.**

$4 \times 3 - 5 = 7$: ja. $2 \times 3 + 1 = 7$ en $3 + 4 = 7$: ja. $3^2 = 9$ en $6 \times 3 - 9 = 9$: ja — $x = 3$ is een oplossing van alle drie.

**Oefening 57.4 ★.**

Los op, met controle:

$$
x + 9 = 4, \qquad
5x = -35, \qquad
\frac{x}{3} = 8, \qquad
2x - 7 = 13 .
$$

**Oplossing van Oefening 57.4.**

$x + 9 = 4$: $x = -5$ (controle: $-5 + 9 = 4$).

$5x = -35$: $x = -7$.

$\frac x3 = 8$: $x = 24$.

$2x - 7 = 13$: $2x = 20$, $x = 10$ (controle: $20 - 7 = 13$).

**Oefening 57.5 ★.**

Los op:

$$
6x + 5 = 2x + 25, \qquad
9 - 4x = x - 11, \qquad
3(x + 2) = 2x + 11 .
$$

**Oplossing van Oefening 57.5.**

$6x + 5 = 2x + 25$: $4x = 20$, dus $x = 5$.

$9 - 4x = x - 11$: $20 = 5x$, dus $x = 4$.

$3(x + 2) = 2x + 11$: $3x + 6 = 2x + 11$, dus $x = 5$.

**Oefening 57.6 ★.**

Los $4(2x - 3) = 5(x + 6)$ op door eerst de haakjes weg te werken, en controleer je oplossing.

**Oplossing van Oefening 57.6.**

$8x - 12 = 5x + 30$, dus $3x = 42$ en $x = 14$. Controle: $4(28 - 3) = 100$ en $5(14 + 6) = 100$.

**Oefening 57.7 ★.**

Zet om in een [vergelijking](#def-g8-equations-def) en los op: “drie keer een getal, verminderd met $8$, is $19$”; “het dubbel van een getal, vermeerderd met $5$, is het getal vermeerderd met $12$”.

**Oplossing van Oefening 57.7.**

“$3x - 8 = 19$”: $3x = 27$, $x = 9$.

“$2x + 5 = x + 12$”: $x = 7$.

**Oefening 57.8 ★★.**

De lengte van een rechthoek is $5$ cm groter dan de breedte, en de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) is $58$ cm. Zij $x$ de breedte: schrijf een [vergelijking](#def-g8-equations-def) op, los die op en geef de twee afmetingen.

**Oplossing van Oefening 57.8.**

Breedte $x$, lengte $x + 5$; [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) $2\bigl(x + (x + 5)\bigr) = 4x + 10 = 58$, dus $4x = 48$ en $x = 12$: breedte $12$ cm, lengte $17$ cm (controle: $2 \times (12 + 17) = 58$).

**Oefening 57.9 ★★.**

Drie opeenvolgende hele getallen hebben [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $141$. Noem het middelste $n$ en zoek alle drie.

**Oplossing van Oefening 57.9.**

De getallen zijn $n - 1$, $n$, $n + 1$ met [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $3n = 141$, dus is $n = 47$: de getallen zijn $46$, $47$, $48$.

**Oefening 57.10 ★★.**

Los de ongelijkheden op en beschrijf de oplossingen:

$$
3x + 4 > 19, \qquad
7 - 2x \geq 1, \qquad
5(x - 1) < 2x + 7 .
$$

**Oplossing van Oefening 57.10.**

$3x + 4 > 19$: $3x > 15$, dus $x > 5$.

$7 - 2x \geq 1$: $-2x \geq -6$; delen door $-2$ keert de ongelijkheid om: $x \leq 3$.

$5(x-1) < 2x + 7$: $5x - 5 < 2x + 7$, dus $3x < 12$ en $x < 4$.

**Oefening 57.11 ★★.**

Mia heeft $140$ euro spaargeld en legt er elke maand $15$ euro bij; Tom heeft $200$ euro en legt er elke maand $10$ euro bij. Na hoeveel maanden heeft Mia strikt meer dan Tom? (Stel een ongelijkheid op.)

**Oplossing van Oefening 57.11.**

Na $n$ maanden heeft Mia $140 + 15n$ en Tom $200 + 10n$. Mia loopt voorop wanneer

$$
140 + 15n > 200 + 10n
\ \Longleftrightarrow\
5n > 60
\ \Longleftrightarrow\
n > 12 :
$$

vanaf de $13$de maand.

**Oefening 57.12 ★★★.**

Los de [vergelijking](#def-g8-equations-def) $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{5}$ op. (Vermenigvuldig beide leden met $20$, de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def), en werk dan zoals gewoonlijk verder; controleer je oplossing in de oorspronkelijke [vergelijking](#def-g8-equations-def).)

**Oplossing van Oefening 57.12.**

Vermenigvuldig beide leden met $20$:

$$
5(x + 3) = 4(2x - 1)
\ \Longrightarrow\
5x + 15 = 8x - 4
\ \Longrightarrow\
19 = 3x
\ \Longrightarrow\
x = \frac{19}{3}.
$$

Controle: $\frac{19/3 + 3}{4} = \frac{28/3}{4} = \frac{28}{12} =
\frac73$, en $\frac{2 \times 19/3 - 1}{5} = \frac{35/3}{5} =
\frac{35}{15} = \frac73$. Gelijk: de oplossing is $\frac{19}{3}$.

## 57.5 Opgave: merkwaardige producten en de trap van de oneven getallen

**Probleem 57.1.**

Weekendopgave — $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$, en de som $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$

Drie uitwerkingen komen zo vaak voor dat de algebra ze uit het hoofd kent: ze heten de *merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def)*. Deze opgave leidt ze af uit de dubbele distributiviteit ([Stelling 57.1](#thm-g8-equations-expand)), maakt er een superkracht voor hoofdrekenen van, bewijst er een prachtig feit over [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen mee, en eindigt met [vergelijkingen](#def-g8-equations-def) van een geheel nieuw soort: [vergelijkingen](#def-g8-equations-def) met een kwadraat erin.

**Deel I — De drie [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def).**

1. Werk $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ uit en herleid, om te bewijzen dat $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$$
2. Bewijs op dezelfde manier de twee tegenhangers: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,  \qquad  (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 .$$
3. Teken een vierkant met zijde $a + b$ , verdeel elke zijde in $a$ en $b$ , en knip het vierkant in vier stukken. Welk stuk van het eerste [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) stelt elk deel van de tekening voor?
4. Hoofdrekenen: gebruik de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) om zonder één vermenigvuldiging op papier te berekenen: $$101^2, \qquad 99^2, \qquad 49 \times 51 .$$
5. Een klassieke valkuil: Zoë schrijft “ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ ”. Toets haar formule met $a = 3$ , $b = 4$ , en leg op de tekening van vraag 3 precies uit welke stukken haar formule vergeet.

**Deel II — De trap van de [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen.**

6. Bereken $1$ , dan $1 + 3$ , dan $1 + 3 + 5$ , dan $1 + 3 + 5 + 7$ , dan $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ . Wat valt je op aan de uitkomsten?
7. Leg uit waarom het $n$ -de [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $2n - 1$ is (controle: $n = 1, 2, 3$ geven $1, 3, 5$ ).
8. Gebruik een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) uit deel I om $(n + 1)^2 - n^2$ uit te werken en te herleiden. Wat heeft de uitkomst met vraag 7 te maken?
9. Vraag 8 zegt: om van een vierkant met zijde $n$ naar een vierkant met zijde $n + 1$ te gaan, voeg je precies het volgende [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) eenheidsvakjes toe — een L-vormige rand langs twee zijden, met het hoekvakje erbij. Begin bij $1 = 1^2$ en laat het vierkant laag na laag groeien; leg uit waarom $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 :$$ de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de eerste $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen is het $n$-de kwadraat.
10. Leid af, zonder ze één voor één op te tellen: de waarde van $1 + 3 + 5 + \dots + 99$ ; en hoeveel [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen, te beginnen bij $1$ , samen precies $400$ zijn.

**Deel III — [Vergelijkingen](#def-g8-equations-def) met een kwadraat.**

11. Herken een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) in $x^2 + 6x + 9$ , en los de [vergelijking](#def-g8-equations-def) $x^2 + 6x + 9 = 0$ op.
12. Leg met de regel van teken en afstand uit [Stelling 54.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#thm-g8-negprod-rules) uit waarom een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van twee getallen *alleen* [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) kan zijn als een van de twee factoren [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is. Los daarmee $(x - 2)(x + 5) = 0$ op.
13. Los $x^2 = 49$ op door alles naar één lid te brengen en $x^2 - 49$ te ontbinden met het derde merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) . Hoeveel oplossingen heeft deze [vergelijking](#def-g8-equations-def) — en waarin verschilt dat van elke [vergelijking](#def-g8-equations-def) die in dit hoofdstuk tot nu toe is opgelost?
14. In [Oefening 57.3](#exo-g8-equations-3) heb je nagegaan dat $x = 3$ een oplossing is van $x^2 = 6x - 9$ . Toon aan dat het de *enige* is: breng alles naar één lid, herken een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) en besluit.
15. Slot: bereken $2026^2 - 2025^2$ uit het hoofd, en leg met een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) uit waarom het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van twee opeenvolgende kwadraten altijd de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de twee getallen is — wat weer precies vraag 8 is.

**Oplossing van Probleem 57.1.**

**1.** Dubbele distributiviteit ([Stelling 57.1](#thm-g8-equations-expand)) met $c = a$, $d = b$:

$$
(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 ,
$$

want $ab$ en $ba$ zijn hetzelfde [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def).

**2.** Dezelfde uitwerking, met aandacht voor de tekens:

$$
(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 ,
$$

$$
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 :
$$

deze keer heffen de kruistermen $-ab$ en $+ba$ elkaar op in plaats van te verdubbelen.

**3.** Het vierkant met zijde $a + b$ valt uiteen in vier stukken: een vierkant $a \times a$ (de $a^2$), een vierkant $b \times b$ (de $b^2$), en *twee* rechthoeken $a \times b$ (samen de $2ab$). Het merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ zegt precies dat de vier [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) het grote vierkant volledig vullen — het is de tekening van de dubbele distributiviteit met beide zijden op dezelfde manier verdeeld.

**4.** Met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def):

$$
\begin{align*}
101^2 &= (100 + 1)^2 = 10\,000 + 2 \times 100 + 1 = 10\,201, \\
99^2 &= (100 - 1)^2 = 10\,000 - 200 + 1 = 9\,801, \\
49 \times 51 &= (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1^2 = 2\,499 .
\end{align*}
$$

**5.** Voor $a = 3$, $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$, maar $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. De formule van Zoë vergeet de twee rechthoeken $a \times b$ van de tekening — de ontbrekende $2ab = 24$, en inderdaad is $25 + 24 = 49$.

**6.** $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. De uitkomsten zijn de kwadraten $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

**7.** De [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen beginnen bij $1$ en gaan met stappen van $2$ omhoog: het $n$-de bereik je na $n - 1$ stappen van $2$ vanaf $1$, dus is het $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Controle: $n = 1, 2, 3$ geven $1, 3, 5$.

**8.** Volgens het eerste merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) is

$$
(n + 1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 :
$$

het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen twee opeenvolgende kwadraten is precies het $(n+1)$-de [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (vraag 7 met $n + 1$ in de plaats van $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

**9.** Bouw de vierkanten na elkaar op. Begin met één vakje: $1 = 1^2$. Om van het vierkant met zijde $1$ naar het vierkant met zijde $2$ te gaan, voeg je $2 \times 1 + 1 = 3$ vakjes toe (vraag 8): $1 + 3 = 2^2$. Om naar zijde $3$ te gaan, voeg je $2 \times 2 + 1 = 5$ vakjes toe: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Elk nieuw [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is precies de L-vormige laag die het volgende vierkant afmaakt, dus is na het toevoegen van de eerste $n$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen het vierkant met zijde $n$ volledig: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

**10.** De [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen van $1$ tot $99$ zijn de eerste $50$ ervan ($2n - 1 = 99$ geeft $n = 50$), dus is

$$
1 + 3 + 5 + \dots + 99 = 50^2 = 2\,500 .
$$

En $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ vraagt $n = 20$: de eerste *twintig* [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen ($1$ tot en met $39$) zijn samen $400$.

**11.** $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: het eerste merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) met $a = x$, $b = 3$. De [vergelijking](#def-g8-equations-def) luidt dus $(x + 3)^2 = 0$. Een kwadraat is alleen [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) als het getal zelf [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is ([Stelling 54.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#thm-g8-negprod-rules): een getal verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) heeft een afstand verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), en dus ook zijn kwadraat). Bijgevolg is $x + 3 = 0$: de enige oplossing is $x = -3$.

**12.** Volgens [Stelling 54.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/54-negatieve-getallen-vermenigvuldigen#thm-g8-negprod-rules) is de afstand van een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van de afstanden. Zijn beide factoren verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), dan zijn beide afstanden verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), en dus ook de afstand van het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def): het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) kan dan geen $0$ zijn. Een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) dat [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is, dwingt dus minstens één factor [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) te zijn. Voor $(x - 2)(x + 5) = 0$: ofwel $x - 2 = 0$, ofwel $x + 5 = 0$, wat de twee oplossingen $x = 2$ en $x = -5$ geeft.

**13.** $x^2 = 49$ wordt $x^2 - 49 = 0$, en het derde merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ontbindt het:

$$
x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7) = 0 .
$$

Volgens vraag 12 is $x = 7$ of $x = -7$: *twee* oplossingen. Elke [vergelijking](#def-g8-equations-def) die in dit hoofdstuk tot nu toe is opgelost, was van de eerste graad en had precies één oplossing; een kwadraat in de [vergelijking](#def-g8-equations-def) kan er twee opleveren.

**14.** Breng alles naar het linkerlid: $x^2 - 6x + 9 = 0$, en herken het tweede merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def): $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. De [vergelijking](#def-g8-equations-def) is dus $(x - 3)^2 = 0$, wat $x - 3 = 0$ dwingt (net als in vraag 11): $x = 3$ is de enige oplossing — de controle van [Oefening 57.3](#exo-g8-equations-3) vond die oplossing, en de ontbinding bewijst dat er geen andere zijn.

**15.** Volgens het derde merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) is

$$
2026^2 - 2025^2 = (2026 - 2025)(2026 + 2025)
= 1 \times 4051 = 4\,051 .
$$

In het algemeen is $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van twee opeenvolgende kwadraten is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de twee getallen — weer dezelfde $2n + 1$ als in vraag 8, nu verkregen uit het derde merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) in plaats van uit het eerste.