---
title: "De stelling van Pythagoras"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 58
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras
---

# Hoofdstuk 58 — De stelling van Pythagoras

De beroemdste stelling van de hele wiskunde legt een verband tussen de drie zijden van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles). Ermee worden lengten berekenbaar die geen enkele meetlat rechtstreeks kan meten: diagonalen, afstanden, hoogten. Het is ook onze eerste grote ontmoeting met het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen een stelling en haar omgekeerde.

## 58.1 De stelling

**Stelling 58.1 (Pythagoras).**

Is een driehoek $ABC$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$, dan geldt

$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 :
$$

het kwadraat van de schuine zijde (de zijde tegenover de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)) is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de kwadraten van de twee andere zijden.

**Idee van het bewijs.** Vier exemplaren van de driehoek, samengelegd binnen een groot vierkant met zijde $AB + AC$, laten een gekanteld vierkant op de schuine zijde onbedekt: het vergelijken van de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) geeft de gelijkheid. De uitgewerkte berekening is [Oefening 58.11](#exo-g8-pythagoras-11); de stelling volgt ook uit het scalair [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def), dat in het bovenbouwvolume aan bod komt. ∎

![De stelling als uitspraak over oppervlakte: het vierkant op de schuine zijde (25) heeft precies dezelfde oppervlakte als de twee andere vierkanten samen (16 + 9). Hier zijn de zijden 3, 4, 5.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-pythagoras/fig-1633da61d8e5.svg)

*De stelling als uitspraak over [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): het vierkant op de schuine zijde ($25$) heeft precies dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) als de twee andere vierkanten samen ($16 + 9$). Hier zijn de zijden $3$, $4$, $5$.*

**Methode 58.2 (Een lengte berekenen).**

In een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) waarvan twee zijden bekend zijn:

1. benoem de schuine zijde (tegenover de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) — altijd de langste zijde);
2. schrijf de gelijkheid van [Stelling 58.1](#thm-g8-pythagoras-direct) op met de bekende waarden;
3. los op naar het ontbrekende kwadraat: *tel* de kwadraten op als de schuine zijde onbekend is, *trek* af als een rechthoekszijde onbekend is;
4. neem de vierkantswortel, exact of met de rekenmachine, en ga na dat de schuine zijde er als langste zijde uit komt.

**Voorbeeld 58.3 (De schuine zijde vinden).**

Een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft rechthoekszijden $6$ en $8$. Voor de schuine zijde $c$ geldt:

$$
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100,
\qquad
c = \sqrt{100} = 10 .
$$

(Het getal $\sqrt{100}$, de *vierkantswortel* van $100$, is het positieve getal met kwadraat $100$; vierkantswortels krijgen een volledig hoofdstuk in [Hoofdstuk 65](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/65-vierkantswortels#ch-g9-sqrt).)

**Voorbeeld 58.4 (Een rechthoekszijde vinden).**

Een ladder van $5$ m staat tegen een muur, met zijn voet $1.4$ m van de muur. Voor de bereikte hoogte $h$ geldt, met de ladder als schuine zijde,

$$
h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04,
\qquad
h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.
$$

Aftrekken, niet optellen: de onbekende is hier een *rechthoekszijde*.

## 58.2 De omgekeerde stelling

**Stelling 58.5 (Omgekeerde stelling van Pythagoras).**

Gelden in een driehoek $ABC$ voor de zijden $BC^2 = AB^2 + AC^2$, dan is de driehoek [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Methode 58.6 (Een rechte hoek toetsen).**

Gegeven de drie zijden van een driehoek:

1. bereken afzonderlijk het kwadraat van de langste zijde, en de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de kwadraten van de twee andere;
2. zijn de twee uitkomsten gelijk, dan is de driehoek [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) (omgekeerde stelling), en wel in het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) tegenover de langste zijde;
3. verschillen ze, dan is de driehoek niet [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) — want de stelling van Pythagoras zou dan gelijkheid opleggen.

**Voorbeeld 58.7.**

Zijden $5$, $12$, $13$: het kwadraat van de langste zijde is $13^2 = 169$; de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de andere kwadraten is $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$. Gelijk: [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) (tegenover de zijde $13$).

Zijden $6$, $7$, $9$: $9^2 = 81$, maar $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$: geen [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) (hij is er “bijna” een — de getallen beslissen, niet het oog).

**Opmerking 58.8 (Stelling tegenover omgekeerde stelling).**

De stelling en haar omgekeerde zeggen verschillende dingen: de stelling *gebruikt* een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) om lengten te berekenen; de omgekeerde gebruikt lengten om een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) te *bewijzen*. Bouwers gebruiken de omgekeerde al duizenden jaren: een koord met knopen op $3$, $4$ en $5$ eenheden, strak getrokken, geeft een volmaakt [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle).

**Voorbeeld 58.9 (Diagonaal van een vierkant).**

De diagonaal van een vierkant met zijde $1$ is de schuine zijde van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden $1$ en $1$:

$$
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,
$$

dus is $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — een getal dat geen [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) is, zoals het bovenbouwvolume zal bewijzen. Voor een vierkant met zijde $c$ is de diagonaal $c\sqrt2$.

## 58.3 Oefeningen

**Oefening 58.1 ★.**

Bereken in elke [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) de schuine zijde: rechthoekszijden $9$ en $12$; rechthoekszijden $5$ en $12$; rechthoekszijden $8$ en $15$.

**Oplossing van Oefening 58.1.**

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

**Oefening 58.2 ★.**

Een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft schuine zijde $25$ en één rechthoekszijde $7$. Bereken de andere rechthoekszijde.

**Oplossing van Oefening 58.2.**

Rechthoekszijde$^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$, dus is de rechthoekszijde $\sqrt{576} = 24$.

**Oefening 58.3 ★.**

Bereken de diagonaal van een rechthoek met zijden $12$ cm en $9$ cm; en de diagonaal van een vierkant met zijde $5$ cm (exacte waarde met een vierkantswortel, daarna afgerond op de mm).

**Oplossing van Oefening 58.3.**

Rechthoek: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Vierkant: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm ([Voorbeeld 58.9](#ex-g8-pythagoras-diagonal)).

**Oefening 58.4 ★.**

Welke driehoeken zijn [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles)? Verantwoord met [Methode 58.6](#met-g8-pythagoras-test):

$$
(20,\ 21,\ 29); \qquad
(7,\ 8,\ 11); \qquad
(1.5,\ 2,\ 2.5).
$$

**Oplossing van Oefening 58.4.**

$(20, 21, 29)$: $29^2 = 841$ en $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$: [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles).

$(7, 8, 11)$: $121 \neq 49 + 64 = 113$: niet [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles).

$(1.5, 2, 2.5)$: $6.25 = 2.25 + 4$: [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) (het is $(3,4,5)$ gehalveerd).

**Oefening 58.5 ★.**

Een poort wordt verstevigd met een schuine plank. De poort is $3$ m breed en $1.6$ m hoog: hoe lang is de plank?

**Oplossing van Oefening 58.5.**

Plank $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

**Oefening 58.6 ★.**

Een [gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft twee zijden van $10$ cm en een basis van $12$ cm. Zijn hoogte verdeelt hem in twee [rechthoekige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles): bereken die hoogte, en daarna de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de driehoek.

**Oplossing van Oefening 58.6.**

De hoogte komt neer op het midden van de basis ([gelijkbenige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles)), dus heeft elke halve driehoek schuine zijde $10$ en één rechthoekszijde $6$: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. [Oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm$^2$.

**Oefening 58.7 ★★.**

Een televisiescherm is een $16{:}9$-rechthoek van $88.5$ cm bij $49.8$ cm. Schermen worden verkocht op hun diagonaal, in inch ($1$ inch $= 2.54$ cm). Bereken de diagonaal in cm, en daarna in inch (afgerond op de dichtstbijzijnde inch).

**Oplossing van Oefening 58.7.**

Diagonaal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04}
= \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. In inch: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ inch.

**Oefening 58.8 ★★.**

Een boot vaart $24$ km naar het oosten en daarna $10$ km naar het noorden. Hoe ver ligt hij dan in vogelvlucht van zijn vertrekpunt? Maak eerst een tekening.

**Oplossing van Oefening 58.8.**

De twee rechthoekszijden zijn $24$ km en $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

**Oefening 58.9 ★★.**

Een ladder van $2.5$ m moet een vensterbank op $2.4$ m boven de grond bereiken. Op welke afstand van de muur moet zijn voet staan? Past het antwoord bij het veiligheidsadvies (voet op ongeveer een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de ladderlengte van de muur)?

**Oplossing van Oefening 58.9.**

Afstand van de voet: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} =
\sqrt{0.49} = 0.7$ m. Een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de ladder is $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: de gevonden $0.7$ m ligt dicht bij de aangeraden plaatsing — aanvaardbaar.

**Oefening 58.10 ★★.**

Zet in een assenstelsel de punten $A(1, 2)$ en $B(5, 5)$, en teken de [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de assen waarvan $[AB]$ de schuine zijde is. Bereken $AB$. (Deze constructie, voor twee willekeurige punten, wordt de afstandsformule van de analytische meetkunde, in het bovenbouwvolume.)

**Oplossing van Oefening 58.10.**

De rechthoekszijden meten $5 - 1 = 4$ (horizontaal) en $5 - 2 = 3$ (verticaal), dus is

$$
AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .
$$

**Oefening 58.11 ★★★.**

Vier exemplaren van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden $a$ en $b$ en schuine zijde $c$ worden in de hoeken van een vierkant met zijde $a + b$ gelegd; in het midden blijft een gekanteld vierkant met zijde $c$ onbedekt.

1. Druk de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grote vierkant op twee manieren uit: rechtstreeks, en als (vier driehoeken) $+$ (gekanteld vierkant).
2. Werk $(a + b)^2$ uit (zie [Stelling 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#thm-g8-equations-expand) ) en leid daaruit $c^2 = a^2 + b^2$ af: je hebt de stelling van Pythagoras bewezen.

**Oplossing van Oefening 58.11.**

*1.* Rechtstreeks: $(a + b)^2$. Als stukken: vier driehoeken met elk [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\frac{ab}{2}$, plus het gekantelde vierkant $c^2$:

$$
(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .
$$

*2.* Het linkerlid uitwerken geeft $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Dus is

$$
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 + b^2 = c^2 . \qed
$$

## 58.4 Opgave: pythagorese drietallen

**Probleem 58.1.**

Weekendopgave — rechthoekige driehoeken met hele getallen, en het merkwaardige product $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ dat ze allemaal voortbrengt

Een *pythagorees drietal* is een drietal hele getallen $(a, b, c)$ met

$$
a^2 + b^2 = c^2 ,
$$

zoals de $(3, 4, 5)$ van de bouwers. Een Babylonisch kleitablet bracht er enorme in kaart — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ is er één van — meer dan duizend jaar vóór Pythagoras. Deze opgave jaagt eerst op drietallen en bouwt daarna de machine die ze voortbrengt: een algebraïsche gelijkheid, rechtstreeks uit [Hoofdstuk 57](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#ch-g8-equations), in dienst van de meetkunde.

**Deel I — Op jacht naar drietallen.**

1. Ga na dat $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ en $(20, 21, 29)$ pythagorese drietallen zijn. Wat zegt [Stelling 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) over driehoeken met deze zijden?
2. Leg uit waarom een strak koord met twaalf gelijke stukken, uitgelegd als een driehoek met zijden van $3$ , $4$ en $5$ stukken, bouwers een volmaakt [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) geeft.
3. Toon aan: is $(a, b, c)$ een [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1) , dan is $(ka, kb, kc)$ dat ook, voor elk heel getal $k \geq 1$ . Leid uit $(3, 4, 5)$ drie nieuwe drietallen af.
4. De [veelvouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $(3, 4, 5)$ zijn de drietallen $(3k, 4k, 5k)$ . Toon aan dat $(5, 12, 13)$ daar *niet* bij hoort.
5. Leg uit waarom vragen 3 en 4 samen bewijzen dat het vermenigvuldigen van $(3, 4, 5)$ nooit elk [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1) kan opleveren: er is een andere machine nodig.

**Deel II — De machine.** Neem twee hele getallen $m > n \geq 1$ en vorm de drie getallen

$$
a = m^2 - n^2,
\qquad
b = 2mn,
\qquad
c = m^2 + n^2 .
$$

6. Werk met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van [Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1) (schrijf $A = m^2$ en $B = n^2$) de kwadraten $a^2$ en $b^2$ uit, en bewijs dat $$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2  = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$$ de machine levert altijd een [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1).
7. Laat de machine lopen op $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ en $(4, 3)$ , en zet de vijf drietallen in een tabel.
8. Eén drietal in je tabel is een vermenigvuldigd exemplaar van een kleiner drietal. Welk, en van welk?
9. Zoek de $(m, n)$ waarvoor de machine het drietal $(20, 21, 29)$ van vraag 1 oplevert (rechthoekszijden in willekeurige volgorde).
10. Zoek $m$ en $n$ met $m^2 + n^2 = 100$ , en leid daaruit een [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1) af met schuine zijde $100$ .

**Deel III — Families, en een slot over pariteit.**

11. Laat de machine lopen met $m = n + 1$ . Toon aan dat de [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde $2n + 1$ is, de [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde $2n^2 + 2n$ , en de schuine zijde $2n^2 + 2n + 1$ — zodat de schuine zijde en de [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde precies $1$ verschillen. Schrijf de drietallen uit voor $n = 1, 2, 3, 4$ .
12. Leid af dat *elk* [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) $3, 5, 7, 9, \dots$ een zijde is van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met hele getallen, en geef een drietal waarin $11$ voorkomt.
13. Ook [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen lukken: laat de machine lopen met $n = 1$ en breng een drietal voort waarin $14$ voorkomt. Verkrijg daarna hetzelfde drietal een tweede keer, door een drietal uit je tabel van vraag 7 te vermenigvuldigen.
14. Toon aan dat het kwadraat van een [even getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is en dat het kwadraat van een [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is. (Schrijf het getal als $2k$ of $2k + 1$ en gebruik een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) .)
15. Besluit het slot over pariteit: er is geen [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1) waarvan alle drie de getallen [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) zijn — in elke [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met hele getallen is minstens één zijde [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) .

**Oplossing van Probleem 58.1.**

**1.** $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$. Alle drie zijn drietallen, en volgens [Stelling 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse) is een driehoek met deze zijden [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles), met de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) tegenover de langste zijde.

**2.** Het koord vormt een driehoek met zijden $3$, $4$, $5$ (in stukken), en $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$: volgens de omgekeerde stelling ([Stelling 58.5](#thm-g8-pythagoras-converse)) is de hoek tussen de zijden van $3$ en $4$ stukken precies recht — geen gradenboog nodig, alleen knopen.

**3.** Is $a^2 + b^2 = c^2$, dan is

$$
(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2
= k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .
$$

Uit $(3, 4, 5)$: bijvoorbeeld $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ en $(30, 40, 50)$.

**4.** Een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) $(3k, 4k, 5k)$ met $5$ als kleinste getal zou $3k = 5$ vragen, en geen enkel heel getal $k$ voldoet daaraan ($k = 1$ geeft $3$, $k = 2$ geeft $6$). Dus is $(5, 12, 13)$ geen [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $(3, 4, 5)$.

**5.** Vraag 3 laat zien dat vermenigvuldigen alleen de drietallen $(3k, 4k, 5k)$ oplevert; vraag 4 toont een echt drietal dat niet van die vorm is. De familie van alle pythagorese drietallen is dus strikt groter dan de [veelvouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $(3, 4, 5)$: om ze voort te brengen is iets nieuws nodig.

**6.** Schrijf $A = m^2$ en $B = n^2$. Met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ([Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1)):

$$
a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2,
\qquad
b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .
$$

Optellen:

$$
a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB
= A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
= \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .
$$

**7.**

| $(m, n)$ | $m^2 - n^2$ | $2mn$ | $m^2 + n^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $(2, 1)$ | $3$ | $4$ | $5$ |
| $(3, 1)$ | $8$ | $6$ | $10$ |
| $(3, 2)$ | $5$ | $12$ | $13$ |
| $(4, 1)$ | $15$ | $8$ | $17$ |
| $(4, 3)$ | $7$ | $24$ | $25$ |

**8.** $(8, 6, 10)$ is het dubbel van $(4, 3, 5)$ — dat wil zeggen van de $(3, 4, 5)$ van de bouwers. De machine vindt [soms](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) een oud drietal in vermomming terug.

**9.** We hebben $m^2 - n^2 = 21$ en $2mn = 20$ nodig, dus $mn = 10$: met $m = 5$, $n = 2$ geeft dat $25 - 4 = 21$ en $2 \times 10 = 20$, met schuine zijde $25 + 4 = 29$. Voor $(m, n) = (5, 2)$ levert de machine $(21, 20, 29)$.

**10.** $m = 8$, $n = 6$ geeft $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$. Het drietal is

$$
\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),
$$

en inderdaad is $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$.

**11.** Met $m = n + 1$:

$$
m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1
$$

([verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van opeenvolgende kwadraten, [Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1)); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$; en $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$. De schuine zijde is precies $1$ groter dan de [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde. Voor $n = 1, 2, 3, 4$:

$$
(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad
(9, 40, 41) .
$$

**12.** Elk [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) vanaf $3$ is $2n + 1$ voor een zekere $n \geq 1$, en vraag 11 geeft een drietal waarvan de [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde precies $2n + 1$ is. Voor $11 = 2 \times 5 + 1$ neem je $n = 5$:

$$
(11,\ 60,\ 61),
\qquad
11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .
$$

**13.** Met $n = 1$ geeft de machine $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$, waarvan de [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) rechthoekszijde $2m$ elk [even getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) vanaf $4$ kan zijn. Voor $14 = 2 \times 7$ neem je $m = 7$: het drietal $(48, 14, 50)$. Hetzelfde drietal komt er ook uit door $(7, 24, 25)$ uit de tabel van vraag 7 te verdubbelen: $(14, 48, 50)$ — dezelfde drie getallen.

**14.** Een [even getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is $2k$, en $(2k)^2 = 4k^2$ is [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) (een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $4$, en dus [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)). Een [oneven getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is $2k + 1$, en het eerste merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) geeft

$$
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,
$$

een [even getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) plus $1$: [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**15.** Stel dat $a$, $b$ en $c$ alle drie [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) zouden zijn. Volgens vraag 14 zijn $a^2$ en $b^2$ dan [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dus is $a^2 + b^2$ een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van twee [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen: *[even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*. Maar $c^2$ zou *[oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* zijn. De gelijkheid $a^2 + b^2 = c^2$ is dan onmogelijk. In elk [pythagorees drietal](#pb-g8-pythagoras-1) is dus minstens één van de drie getallen [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) — zoals elke regel van de tabel van vraag 7 bevestigt.