---
title: "Middens en parallellen"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 59
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen
---

# Hoofdstuk 59 — Middens en parallellen

Verbind de middens van twee zijden van een driehoek: het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) dat je krijgt is altijd [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de derde zijde, en precies half zo lang. Deze “middenparallelstelling” en haar omgekeerde zijn de eerste voorsmaak van een groot idee — parallellen verdelen lengten in gelijke verhoudingen — dat in [Hoofdstuk 68](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#ch-g9-thales) uitgroeit tot de stelling van Thales.

## 59.1 De middenparallelstelling

**Stelling 59.1 (Middenparallelstelling).**

Zij in een driehoek $ABC$ het punt $I$ het midden van $[AB]$ en $J$ het midden van $[AC]$. Dan is de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $(IJ)$ [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met $(BC)$, en

$$
IJ = \frac{BC}{2} .
$$

**Idee van het bewijs.** Zij $K$ het beeld van $I$ door de [puntspiegeling](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-def) om $J$ (een halve draai, [Hoofdstuk 52](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#ch-g7-central)). In de [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $AICK$ snijden de diagonalen $[IK]$ en $[AC]$ elkaar in hun gemeenschappelijke midden $J$: het is dus een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram), zodat $KC$ [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) is met $AI$, dat wil zeggen met $(AB)$, en $KC = AI = IB$. Dan heeft $IBCK$ twee overstaande zijden ($[IB]$ en $[KC]$) die [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) en gelijk zijn: ook dat is een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) ([Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize)), dus is $(IK) \parallel (BC)$ — dat is $(IJ) \parallel (BC)$ — en $BC = IK = 2\,IJ$. ∎

![De middenparallel (IJ) (rood) is parallel met de derde zijde (BC) en half zo lang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-c5593cfefe80.svg)

*De middenparallel $[IJ]$ (rood) is [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de derde zijde $(BC)$ en half zo lang.*

**Voorbeeld 59.2.**

In een driehoek $ABC$ met $BC = 9$ cm worden de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$ verbonden. Zonder één meting: $(IJ) \parallel (BC)$ en $IJ = \frac92 = 4.5$ cm. De kleine driehoek $AIJ$ is een op halve grootte verkleinde kopie van $ABC$ — ook zijn [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) is de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van $ABC$.

**Stelling 59.3 (Omgekeerde stelling).**

In een driehoek $ABC$ snijdt de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door het midden $I$ van $[AB]$ die *[parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)* is met $(BC)$, de zijde $[AC]$ in haar midden.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 59.4.**

Een pad steekt een driehoekig veld over, begint midden op de ene rand en loopt [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de overstaande rand. De omgekeerde stelling waarborgt dat het pad precies midden op de andere rand buitenkomt — aan de overkant hoeft niets gemeten te worden.

**Methode 59.5 (Kiezen tussen stelling en omgekeerde).**

1. *Twee middens bekend* $\Rightarrow$ gebruik de rechtstreekse stelling: besluit tot parallellisme en halve lengte.
2. *Eén midden en een [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) bekend* $\Rightarrow$ gebruik de omgekeerde: besluit dat het snijpunt een midden is.
3. Schrijf op welke driehoek, welke middens en welke stelling je gebruikt — telkens één zin.

## 59.2 Driehoeken op halve grootte

**Propositie 59.6 (De middendriehoek).**

Het verbinden van de drie middens van de zijden van een driehoek verdeelt hem in vier driehoeken met gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area), elk een op halve grootte verkleinde kopie van de oorspronkelijke.

**Bewijs.** Elke zijde van de middendriehoek is [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met een zijde van $ABC$ en half zo lang ([Stelling 59.1](#thm-g8-midpoints-direct), drie keer toegepast). De vier kleine driehoeken hebben zijden met diezelfde drie lengten, dus zijn het identieke kopieën; samen betegelen ze $ABC$, dus heeft elk een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van zijn [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area). ∎

![De middendriehoek IJK verdeelt ABC in vier gelijke driehoeken — een tekening om te onthouden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-midpoints/fig-b3c1cb0867de.svg)

*De middendriehoek $IJK$ verdeelt $ABC$ in vier gelijke driehoeken — een tekening om te onthouden.*

**Opmerking 59.7 (Op weg naar Thales).**

De middenparallelstelling is het geval “één [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half)” van een algemener feit: een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met één zijde van een driehoek verdeelt de twee andere zijden in *gelijke verhoudingen* — een derde en een derde, twee vijfde en twee vijfde … Die algemene uitspraak is de stelling van Thales ([Hoofdstuk 68](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#ch-g9-thales)); dit jaar heb je alleen het geval van de middens nodig.

## 59.3 Oefeningen

**Oefening 59.1 ★.**

In een driehoek $RST$ is $M$ het midden van $[RS]$ en $N$ het midden van $[RT]$, met $ST = 7$ cm. Wat kun je zeggen over de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $(MN)$ en over de lengte $MN$? Noem de gebruikte stelling.

**Oplossing van Oefening 59.1.**

$M$ en $N$ zijn de middens van twee zijden van de driehoek $RST$: volgens de middenparallelstelling ([Stelling 59.1](#thm-g8-midpoints-direct)) is $(MN) \parallel (ST)$ en $MN = \frac{ST}{2} = 3.5$ cm.

**Oefening 59.2 ★.**

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$, en de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door $I$ [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met $(BC)$ snijdt $[AC]$ in $J$; verder is $AC = 11$ cm. Bereken $AJ$ en noem de gebruikte stelling.

**Oplossing van Oefening 59.2.**

$I$ is een midden en $(IJ) \parallel (BC)$: volgens de *omgekeerde* stelling ([Stelling 59.3](#thm-g8-midpoints-converse)) is $J$ het midden van $[AC]$, dus $AJ = \frac{11}{2} = 5.5$ cm.

**Oefening 59.3 ★.**

Teken een driehoek $ABC$ met $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm en $BC = 7$ cm, zet de middens $I$ van $[AB]$ en $J$ van $[AC]$, en meet $IJ$ om de stelling na te gaan. Bereken de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van $AIJ$ zonder nog iets anders te meten.

**Oplossing van Oefening 59.3.**

De meting geeft $IJ = 3.5$ cm $= \frac{BC}{2}$. [Omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van $AIJ$: $AI = 4$, $AJ = 3$, $IJ = 3.5$, samen $10.5$ cm — de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter) van $ABC$ ($8 + 6 + 7 = 21$ cm).

**Oefening 59.4 ★.**

$IJK$ is de middendriehoek van $ABC$, waarvan de zijden $10$, $12$ en $16$ cm meten. Geef de drie zijden van $IJK$ en zijn [omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter). Hoe verhouden de twee omtrekken zich?

**Oplossing van Oefening 59.4.**

Elke zijde van $IJK$ is de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van een zijde van $ABC$: $5$, $6$ en $8$ cm. [Omtrek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-perimeter): $19$ cm, de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $10 + 12 + 16 = 38$ cm.

**Oefening 59.5 ★.**

De [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van een driehoek is $36$ cm$^2$. Wat is de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van zijn middendriehoek? En van elk van de vier kleine driehoeken?

**Oplossing van Oefening 59.5.**

De middendriehoek is een van de vier gelijke driehoeken van [Propositie 59.6](#prop-g8-midpoints-medial): [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\frac{36}{4} = 9$ cm$^2$ — en elk van de vier kleine driehoeken heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $9$ cm$^2$.

**Oefening 59.6 ★★.**

In een driehoek $ABC$ is $I$ het midden van $[AB]$, $J$ dat van $[AC]$ en $K$ dat van $[BC]$. Toon aan dat $IJKB$ een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) is. (Vergelijk $[IJ]$ en $[BK]$: [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)? gelijk?)

**Oplossing van Oefening 59.6.**

Volgens de middenparallelstelling in $ABC$: $(IJ) \parallel (BC)$, dat wil zeggen $(IJ) \parallel (BK)$, en $IJ = \frac{BC}{2} = BK$ (want $K$ is het midden van $[BC]$). Twee overstaande zijden van $IJKB$ zijn [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) en gelijk: het is een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) ([Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize), kenmerk 3).

**Oefening 59.7 ★★.**

Een driehoekig zeil heeft een onderrand van $6.4$ m. Een versterkingsnaad verbindt de middens van de twee andere randen. Hoeveel naad is er nodig? En als de naad in de plaats daarvan de punten op een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van elke rand verbindt, gerekend vanaf het bovenste [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)? (Vermoed het met een tekening; het bewijs is dat van Thales, [Hoofdstuk 68](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#ch-g9-thales).)

**Oplossing van Oefening 59.7.**

De naad verbindt twee middens: $\frac{6.4}{2} = 3.2$ m. Op een [kwart](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) vanaf het bovenste [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) suggereert de tekening een naad van $\frac{6.4}{4} = 1.6$ m, [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de basis — wat Thales in [Hoofdstuk 68](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#ch-g9-thales) bevestigt.

**Oefening 59.8 ★★.**

In de driehoek $ABC$, [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$, is $M$ het midden van de schuine zijde $[BC]$, en de [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met $(AB)$ door $M$ ontmoet $[AC]$ in $N$.

1. Toon aan dat $N$ het midden van $[AC]$ is.
2. Leg uit waarom $(MN)$ [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $(AC)$ staat.

**Oplossing van Oefening 59.8.**

*1.* $M$ is het midden van $[BC]$ en $(MN) \parallel (AB)$: volgens de omgekeerde middenparallelstelling (in de driehoek $ABC$, zijde $[AC]$) is $N$ het midden van $[AC]$.

*2.* $(MN) \parallel (AB)$ en $(AB) \perp (AC)$ ([rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $A$): een [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met $(AB)$ staat ook [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op $(AC)$ ([Propositie 40.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#prop-g6-lines-facts)). Dus is $(MN) \perp (AC)$ — het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ligt op de [middelloodlijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie#def-g6-symmetry-bisector) van $[AC]$, wat nog eens laat zien dat $MA = MC$ ([Stelling 60.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/60-de-rechthoekige-driehoek-en-de-cosinus#thm-g8-cosine-circle)).

**Oefening 59.9 ★★★.**

Zij $ABCD$ een *willekeurige* [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon), en $I$, $J$, $K$, $L$ de middens van $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$ (het vermoeden van [Oefening 52.11](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#exo-g7-central-11)).

1. Pas de middenparallelstelling toe in de driehoek $ABC$ op het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ , en in de driehoek $ACD$ op het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[LK]$ : vergelijk elk met de diagonaal $[AC]$ .
2. Besluit dat $IJKL$ altijd een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) is.

**Oplossing van Oefening 59.9.**

*1.* In de driehoek $ABC$ zijn $I$ en $J$ de middens van $[AB]$ en $[BC]$: $(IJ) \parallel (AC)$ en $IJ = \frac{AC}{2}$. In de driehoek $ACD$ zijn $L$ en $K$ de middens van $[DA]$ en $[CD]$: $(LK) \parallel (AC)$ en $LK = \frac{AC}{2}$.

*2.* Dus zijn $[IJ]$ en $[LK]$ [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) (beide [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met de diagonaal $(AC)$) en gelijk (beide de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van $AC$): $IJKL$ is een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) ([Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize), kenmerk 3) — voor *elke* [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$, zoals in [Oefening 52.11](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#exo-g7-central-11) werd vermoed.

## 59.4 Opgave: de drie zwaartelijnen en het zwaartepunt

**Probleem 59.1.**

Weekendopgave — de zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, op twee derde van elk van hen

Knip een driehoek uit stevig karton en hij balanceert, volkomen vlak, op een punt van een potlood dat op één bijzonder punt staat: het *zwaartepunt* van de driehoek. Deze opgave zoekt dat punt. Een *zwaartelijn* van een driehoek is het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) dat een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met het *midden* van de overstaande zijde verbindt. Je zult bewijzen — met de middenparallelstelling, twee keer gebruikt op een onverwachte manier — dat de drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) alle door één punt gaan, en je zult dat punt precies aanwijzen.

**Deel I — Opwarming.**

1. Teken een grote driehoek $ABC$ (geen bijzondere vorm), construeer de middens $I$ van $[AB]$ , $J$ van $[AC]$ en $K$ van $[BC]$ , en teken de drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ , $[BJ]$ , $[CI]$ . Wat neem je waar?
2. Bewijs dat een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) de driehoek in twee driehoeken met gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) verdeelt. (Vergelijk basissen en hoogten, en gebruik de formule voor de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) : basis $\times$ hoogte $\div\ 2$ .) Wat zijn voor een driehoek met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm $^2$ de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de twee stukken?
3. Wat zegt [Stelling 59.1](#thm-g8-midpoints-direct) in de driehoek $ABC$ over het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[IJ]$ ?

**Deel II — Twee [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) snijden elkaar op twee derde.** De [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ en $[CI]$ snijden elkaar in een punt; noem het $G$. Zij $M$ het midden van $[GB]$ en $N$ het midden van $[GC]$.

4. Pas de middenparallelstelling toe *in de driehoek $GBC$* : wat zegt ze over het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[MN]$ ?
5. Leid af dat $(IJ) \parallel (MN)$ en $IJ = MN$ , en besluit met [Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize) dat $IJNM$ een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) is.
6. Leg uit waarom $I$ en $N$ beide op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $(CI)$ liggen, en $J$ en $M$ beide op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $(BJ)$ — zodat de diagonalen van het [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ de lijnstukken $[IN]$ en $[JM]$ zijn, en ze elkaar precies in $G$ snijden. Wat zegt de *definitie* van een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) dan over $G$ ?
7. Leid af dat $BM = MG = GJ$, en besluit: $$BG = 2 \times GJ$$ — het punt $G$ ligt op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ op twee derde van de weg vanaf het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $B$. Formuleer en verantwoord het overeenkomstige resultaat op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$.
8. Vergeet nu $[CI]$ en voer precies hetzelfde betoog uit voor het paar [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ en $[AK]$ : ook hun snijpunt ligt op twee derde van $[BJ]$ vanaf $B$ . Leg uit waarom dat dwingt dat het *hetzelfde* punt $G$ is — en besluit dat alle drie de [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) door $G$ gaan.
9. Hoe ver ligt $G$ van $B$ , en van $J$ , in een driehoek waarvan de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ $9$ cm meet?
10. Verantwoord in één zin dat ook $AG = 2 \times GK$ .

**Deel III — Zes gelijke stukken, en coördinaten.** De drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) verdelen de driehoek in zes kleine driehoeken rond $G$.

11. In de driehoek $GBC$ is het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[GK]$ een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) . Leid af dat de twee kleine driehoeken $GBK$ en $GKC$ gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) hebben.
12. Toon met vraag 2 in de driehoeken $ABK$ en $AKC$ (beide verdeeld door de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ van $ABC$ ) aan dat de driehoeken $ABG$ en $ACG$ gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) hebben. Herhaal met een andere [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) en besluit dat de drie driehoeken $ABG$ , $BCG$ , $CAG$ alle een [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) hebben die een derde is van die van $ABC$ .
13. Elk van deze drie driehoeken wordt door een stuk [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) in twee gelijke [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) verdeeld ( $[GI]$ is bijvoorbeeld een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) van de driehoek $ABG$ — vanuit welk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) gezien?). Besluit: de zes kleine stukken rond $G$ hebben alle dezelfde [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) , een zesde van die van de driehoek.
14. Zet in een assenstelsel de punten $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ en $C(0, 6)$, met $K(3, 3)$ het midden van $[BC]$. Bereken met de stelling over twee derde uit deel II de coördinaten van $G$ op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$; ga daarna na dat hetzelfde punt op twee derde van de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ ligt, met $J(0, 3)$. Vergelijk de coördinaten van $G$ met de gemiddelden $$\frac{0 + 6 + 0}{3},  \qquad  \frac{0 + 0 + 6}{3} .$$
15. Slot over het evenwicht: leg met vragen 2 en 8 uit waarom de kartonnen driehoek balanceert op een mesrand die langs een willekeurige [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) wordt gelegd — aan elke kant evenveel karton — en waarom de potloodpunt dus in $G$ moet staan, het punt dat de fysici het [zwaartepunt](#pb-g8-midpoints-1) noemen. (Een volkomen sluitend bewijs van dat evenwicht vraagt de integraalrekening uit de universitaire [volumes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) ; de gelijke [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) maken het vandaag geloofwaardig.)

**Oplossing van Probleem 59.1.**

**1.** Welke driehoek je ook tekent, de drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) lijken door één punt te gaan, dat binnen de driehoek ligt en zichtbaar dichter bij het midden van elke zijde dan bij het overstaande [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def). De [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) van de opgave bewijst het.

**2.** Neem de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ van de driehoek $ABC$: de driehoeken $ABK$ en $AKC$ hebben basissen $BK$ en $KC$ van dezelfde lengte ($K$ is het midden van $[BC]$) op dezelfde [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $(BC)$, en dezelfde hoogte: de afstand van $A$ tot $(BC)$. Volgens de formule voor de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) heeft elk als [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) basis $\times$ hoogte $\div\ 2$, met gelijke basissen en gelijke hoogten: de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) zijn gelijk. Voor een driehoek met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $36$ cm$^2$: twee stukken van elk $18$ cm$^2$.

**3.** $I$ en $J$ zijn de middens van de zijden $[AB]$ en $[AC]$ van de driehoek $ABC$, dus volgens [Stelling 59.1](#thm-g8-midpoints-direct): $(IJ) \parallel (BC)$ en $IJ = \frac{BC}{2}$.

**4.** $M$ en $N$ zijn de middens van de zijden $[GB]$ en $[GC]$ van de driehoek $GBC$, dus volgens dezelfde stelling: $(MN) \parallel (BC)$ en $MN = \frac{BC}{2}$.

**5.** Zowel $(IJ)$ als $(MN)$ is [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met $(BC)$, en dus zijn ze [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met elkaar; en $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. De [vierhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) $IJNM$ heeft dus twee overstaande zijden, $[IJ]$ en $[NM]$, die [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) en even lang zijn: volgens kenmerk 3 van [Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize) is $IJNM$ een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram).

**6.** $G$ ligt op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$, en $N$ is het midden van $[GC]$, een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) op diezelfde [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1): $I$, $N$ (en $G$, $C$) liggen dus alle op $(CI)$. Net zo liggen $J$, $M$ en $G$ op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $(BJ)$. In het [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) $IJNM$ zijn de diagonalen $[IN]$ en $[JM]$; ze liggen op de twee [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1), die elkaar in $G$ snijden — dus snijden de diagonalen elkaar in $G$. Volgens de *definitie* van een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) (kenmerk 1 van [Stelling 52.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#thm-g7-central-recognize): de diagonalen hebben hetzelfde midden) is $G$ het midden van $[IN]$ *en* van $[JM]$: $GI = GN$ en $GJ = GM$.

**7.** $M$ is het midden van $[GB]$, dus $BM = MG$; en $MG = GJ$ volgens vraag 6. Bijgevolg is $BM = MG = GJ$: de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ wordt in drie gelijke stukken verdeeld, waarvan $BG$ er twee neemt:

$$
BG = 2 \times GJ .
$$

Symmetrisch is $N$ het midden van $[GC]$ en $GN = GI$, dus $CN = NG = GI$ en $CG = 2 \times GI$: ook op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[CI]$ ligt het snijpunt op twee derde van de weg vanaf het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

**8.** Het betoog gebruikte niets bijzonders van het paar $[BJ]$, $[CI]$: uitgevoerd op het paar $[BJ]$, $[AK]$ laat het zien dat ook hun snijpunt op $[BJ]$ ligt, op twee derde van de weg vanaf $B$. Maar er is slechts *één* punt van het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[BJ]$ op afstand $\frac23 BJ$ van $B$ — dus is het snijpunt van $[BJ]$ en $[AK]$ precies diezelfde $G$. De drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) gaan dus alle door $G$: ze zijn *concurrent*.

**9.** $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm en $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

**10.** Volgens vraag 8 geldt dezelfde berekening met twee derde op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ (voer het betoog van vragen 4–7 uit met het paar $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

**11.** In de driehoek $GBC$ is het punt $K$ het midden van de zijde $[BC]$, dus is $[GK]$ een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) van $GBC$; volgens vraag 2 hebben de driehoeken $GBK$ en $GKC$ gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area).

**12.** De [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$ verdeelt $ABC$ in $ABK$ en $AKC$ met gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) (vraag 2). Haal uit elk zijn kleine driehoek van vraag 11 weg:

$$
\text{opp}(ABG) = \text{opp}(ABK) - \text{opp}(GBK),
\qquad
\text{opp}(ACG) = \text{opp}(AKC) - \text{opp}(GKC),
$$

en de weggehaalde [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) zijn gelijk, dus is $\text{opp}(ABG) = \text{opp}(ACG)$. Dezelfde berekening langs de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$ — die $ABC$ in twee gelijke [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) $ABJ$ en $CBJ$ verdeelt, terwijl $[GJ]$, een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) van de driehoek $GAC$, die in $GAJ$ en $GCJ$ halveert — geeft $\text{opp}(ABG) = \text{opp}(CBG)$. De drie driehoeken $ABG$, $BCG$, $CAG$ hebben dus gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area), en omdat ze samen $ABC$ betegelen, heeft elk als [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) een derde van het geheel.

**13.** In de driehoek $ABG$ is het punt $I$ het midden van de zijde $[AB]$, dus is $[GI]$ een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) van $ABG$ *vanuit het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $G$*: die verdeelt $ABG$ in twee driehoeken met gelijke [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) (vraag 2), namelijk $AIG$ en $IBG$. Hetzelfde gebeurt in $BCG$ ([zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[GK]$) en in $CAG$ ([zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[GJ]$). Elk derde van $ABC$ wordt in twee gelijke [helften](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) verdeeld: de zes stukken rond $G$ hebben elk als [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ van de driehoek.

**14.** Op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[AK]$, van $A(0,0)$ naar $K(3,3)$: $G$ ligt op twee derde van de weg, dus zijn zijn coördinaten $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. Op de [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) $[BJ]$, van $B(6, 0)$ naar $J(0, 3)$: twee derde van de weg betekent dat je twee derde van de verplaatsing optelt ($-6$ horizontaal, $+3$ verticaal):

$$
\left(6 + \tfrac23 \times (-6),\ 0 + \tfrac23 \times 3\right)
= (2, 2) .
$$

Hetzelfde punt — zoals vraag 8 beloofde. En $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: de coördinaten van het [zwaartepunt](#pb-g8-midpoints-1) zijn de *gemiddelden* van de coördinaten van de drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

**15.** Volgens vraag 2 heeft een mesrand die langs een [zwaartelijn](#pb-g8-midpoints-1) wordt gelegd, aan elke kant evenveel karton (gelijke [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)), dus balanceert de driehoek langs elk van de drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1). Een punt van evenwicht moet op alle drie die evenwichtslijnen tegelijk liggen, en volgens vraag 8 hebben de drie [zwaartelijnen](#pb-g8-midpoints-1) precies één punt gemeen: $G$. Daar hoort de potloodpunt. (Gelijke [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) aan beide kanten is de geloofwaardige versie van het argument; de eerlijke versie, die weegt *waar* het karton zit en niet alleen hoeveel er is, vraagt de integraalrekening uit de universitaire [volumes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) — en die bevestigt $G$.)