---
title: "De rechthoekige driehoek en de cosinus"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 60
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/60-de-rechthoekige-driehoek-en-de-cosinus
---

# Hoofdstuk 60 — De rechthoekige driehoek en de cosinus

Twee mooie feiten binden de [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) aan de cirkel: een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) past precies in een halve cirkel, met zijn schuine zijde als [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle). En één getal, de *cosinus* van een hoek, legt de vorm vast van elke [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met die hoek — de eerste goniometrische verhouding, nog vóór haar zusjes sinus en tangens ([Hoofdstuk 69](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/69-goniometrie-in-de-rechthoekige-driehoek#ch-g9-trig)).

## 60.1 De rechthoekige driehoek en zijn cirkel

**Stelling 60.1 (Cirkelstelling).**

1. Is een driehoek $ABC$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$ , dan ligt $A$ op de cirkel met de schuine zijde $[BC]$ als [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) .
2. Omgekeerd: ligt $A$ op een cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (met $A \neq B, C$ ), dan is de driehoek $ABC$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$ .

[Even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) goed gezegd: in een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) ligt het midden van de schuine zijde op gelijke afstand van de drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) — de [zwaartelijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#pb-g8-midpoints-1) uit de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) meet de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de schuine zijde.

**Bewijs van 1.** Zij $O$ het midden van $[BC]$ en $D$ het beeld van $A$ door de [puntspiegeling](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-def) om $O$. De diagonalen van $ABDC$ snijden elkaar in hun gemeenschappelijke midden $O$, dus is $ABDC$ een [parallellogram](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram) ([Definitie 52.7](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/52-puntspiegeling-en-parallellogrammen#def-g7-central-parallelogram)) — met een [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $A$: het is een rechthoek. De diagonalen van een rechthoek zijn gelijk, dus is $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$: het punt $A$ ligt op afstand $\frac{BC}{2}$ van $O$, dat wil zeggen op de cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$. (Punt 2 bewijs je door het betoog in omgekeerde richting te doorlopen.) ∎

![Waar A ook op de cirkel ligt, de hoek BAC is recht — het vermoeden van , nu een stelling. De rode zwaartelijn (OA) is een radius: de helft van de schuine zijde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-104da44b3199.svg)

*Waar $A$ ook op de cirkel ligt, de hoek $\widehat{BAC}$ is recht — het vermoeden van [Oefening 41.10](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#exo-g6-shapes-10), nu een stelling. De rode [zwaartelijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#pb-g8-midpoints-1) $[OA]$ is een [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes): de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de schuine zijde.*

**Voorbeeld 60.2.**

Een driehoek heeft een schuine zijde van $10$ cm. Zonder verder iets te weten: de [zwaartelijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#pb-g8-midpoints-1) uit de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) meet $5$ cm, en de [omgeschreven cirkel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie#pb-g6-symmetry-1) van de driehoek heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm, met het midden van de schuine zijde als middelpunt.

## 60.2 De cosinus van een scherpe hoek

**Definitie 60.3 (Cosinus).**

In een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) geldt voor een scherpe hoek $\theta$:

$$
\cos\theta = \frac{\text{aanliggende zijde bij } \theta}{\text{schuine zijde}}
$$

— de rechthoekszijde die aan $\theta$ raakt, gedeeld door de schuine zijde. Deze verhouding hangt alleen van de hoek af, niet van de grootte van de driehoek: alle [rechthoekige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met dezelfde scherpe hoek zijn vergrotingen van elkaar, en vergrotingen behouden verhoudingen van lengten ([Hoofdstuk 59](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#ch-g8-midpoints) begon dit verhaal; [Hoofdstuk 68](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#ch-g9-thales) maakt het af).

![Twee rechthoekige driehoeken met dezelfde hoek : de kleine is een verkleining van de grote, dus is aanliggend schuine zijde voor beide hetzelfde — die gemeenschappelijke waarde is .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-cosine/fig-a17d051dd077.svg)

*Twee [rechthoekige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met dezelfde hoek $\theta$: de kleine is een verkleining van de grote, dus is $\frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ voor beide hetzelfde — die gemeenschappelijke waarde is $\cos\theta$.*

**Propositie 60.4 (Eerste waarden en grenzen).**

Voor elke scherpe hoek $\theta$ geldt $0 < \cos\theta < 1$, en de cosinus *daalt* als de hoek verder opengaat: een wijdere hoek heeft een kleinere cosinus. Herkenningspunten: $\cos 0^\circ = 1$, $\cos 60^\circ = \frac12$, $\cos 90^\circ = 0$ (de uiterste waarden horen bij platgedrukte driehoeken).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Methode 60.5 (De cosinus gebruiken).**

In een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles), wanneer de bekende en de gevraagde grootheden een scherpe hoek, zijn aanliggende zijde en de schuine zijde zijn:

1. schrijf de definitie op: $\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuine zijde}}$ , met de bekende waarden ingevuld;
2. los de kleine [vergelijking](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) op naar de onbekende (vermenigvuldig of deel);
3. is de *hoek* onbekend, pas dan de $\cos^{-1}$ van de rekenmachine toe op de berekende verhouding;
4. controles op het gezond verstand: een lengte moet korter uitkomen dan de schuine zijde; een hoek strikt tussen $0^\circ$ en $90^\circ$ .

**Voorbeeld 60.6 (Een zijde vinden).**

Een helling van $6$ m maakt een hoek van $20^\circ$ met de horizontale grond. De afgelegde horizontale afstand (aanliggend bij $20^\circ$, schuine zijde $6$ m):

$$
\cos 20^\circ = \frac{d}{6}
\quad\Longrightarrow\quad
d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.
$$

**Voorbeeld 60.7 (Een hoek vinden).**

In een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) meet de zijde die aan de hoek $\theta$ ligt $3.5$ en de schuine zijde $5$:

$$
\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7,
\qquad
\theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .
$$

## 60.3 Oefeningen

**Oefening 60.1 ★.**

Een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) heeft een schuine zijde van $13$ cm. Hoe lang is de [zwaartelijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#pb-g8-midpoints-1) uit het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle)? Wat is de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de cirkel door de drie [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)?

**Oplossing van Oefening 60.1.**

[Zwaartelijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#pb-g8-midpoints-1) uit de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle): de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de schuine zijde, $6.5$ cm ([Stelling 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). De [omgeschreven cirkel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie#pb-g6-symmetry-1) heeft het midden van de schuine zijde als middelpunt en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6.5$ cm.

**Oefening 60.2 ★.**

Teken een cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $8$ cm en daarin een [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, kies een willekeurig punt $A$ op de cirkel en teken $ABC$. Welke hoek is recht? Noem de stelling. Meet $AB$ en $AC$ en ga Pythagoras na.

**Oplossing van Oefening 60.2.**

De hoek in $A$ is recht ($[BC]$ is een [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle): punt 2 van [Stelling 60.1](#thm-g8-cosine-circle)). De metingen geven $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$, op de meetnauwkeurigheid na.

**Oefening 60.3 ★.**

Benoem in een driehoek $DEF$, [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $D$, de zijde die aan de hoek $\widehat E$ ligt, de zijde tegenover die hoek, en de schuine zijde. Schrijf $\cos \widehat E$ als een verhouding.

**Oplossing van Oefening 60.3.**

Schuine zijde: $[EF]$ (tegenover de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) $D$). Aanliggend bij $\widehat E$: $[ED]$. Tegenover: $[DF]$. Dus is $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$.

**Oefening 60.4 ★.**

Bereken de ontbrekende grootheid ($\cos 35^\circ \approx 0.819$, $\cos 50^\circ \approx 0.643$):

1. schuine zijde $10$ , hoek $35^\circ$ : aanliggende zijde?
2. aanliggende zijde $6$ , hoek $50^\circ$ : schuine zijde?

**Oplossing van Oefening 60.4.**

*1.* aanliggende zijde $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$.

*2.* schuine zijde $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx
\dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$.

**Oefening 60.5 ★.**

In een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) meet de zijde die aan $\theta$ ligt $8$ en de schuine zijde $10$. Bereken $\cos\theta$, en daarna $\theta$ ($\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$).

**Oplossing van Oefening 60.5.**

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$, dus is $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$.

**Oefening 60.6 ★.**

Leg uit waarom $\cos\theta$ nooit $1.2$ kan zijn voor een scherpe hoek van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles).

**Oplossing van Oefening 60.6.**

$\cos\theta$ is een rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde, en de schuine zijde is de *langste* zijde van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles): het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) is altijd kleiner dan $1$. Een waarde van $1.2$ zou een rechthoekszijde betekenen die langer is dan de schuine zijde — onmogelijk.

**Oefening 60.7 ★★.**

Een tokkelbaan van $25$ m daalt van een platform naar de grond en maakt een hoek van $12^\circ$ met de horizontale ($\cos 12^\circ \approx 0.978$). Welke horizontale afstand overspant hij?

**Oplossing van Oefening 60.7.**

Horizontale overspanning $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx
24.5$ m.

**Oefening 60.8 ★★.**

Zet op volgorde zonder rekenmachine: $\cos 20^\circ$, $\cos 70^\circ$, $\cos 45^\circ$ (gebruik [Propositie 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)). Ga het daarna na met de rekenmachine.

**Oplossing van Oefening 60.8.**

De cosinus daalt als de hoek groter wordt ([Propositie 60.4](#prop-g8-cosine-bounds)):

$$
\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .
$$

(Rekenmachine: $0.342 < 0.707 < 0.940$.)

**Oefening 60.9 ★★.**

Een ladder met lengte $L$ staat tegen een muur, met een hoek $\theta$ tussen ladder en *grond*. Zijn voet staat $1.2$ m van de muur en $\theta = 68^\circ$ ($\cos 68^\circ \approx 0.375$). Bereken $L$, en daarna de bereikte hoogte (Pythagoras).

**Oplossing van Oefening 60.9.**

De afstand op de grond ligt aan $\theta$: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$, dus is $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Hoogte (Pythagoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

**Oefening 60.10 ★★.**

$[BC]$ is een [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) van een cirkel met middelpunt $O$ en [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4.5$ cm, en $A$ is een punt van de cirkel met $AB = 5.4$ cm.

1. Waarom is $ABC$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$ ?
2. Bereken $AC$ , en daarna $\cos \widehat B$ .

**Oplossing van Oefening 60.10.**

*1.* $A$ ligt op een cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$: [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) in $A$ ([Stelling 60.1](#thm-g8-cosine-circle)).

*2.* $BC = 9$ cm (twee keer de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes)). Pythagoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. En $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$.

**Oefening 60.11 ★★★.**

Verantwoord met de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van een [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met zijde $1$ (geknipt langs een hoogtelijn) het herkenningspunt $\cos 60^\circ = \frac12$ van [Propositie 60.4](#prop-g8-cosine-bounds). (Waar komt de voet van de hoogtelijn op de basis terecht? De volledige goniometrische versie is [Voorbeeld 69.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/69-goniometrie-in-de-rechthoekige-driehoek#ex-g9-trig-special).)

**Oplossing van Oefening 60.11.**

In de [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met zijde $1$ komt de hoogtelijn uit een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) op het *midden* van de overstaande zijde terecht ([symmetrieas](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/42-spiegelsymmetrie#def-g6-symmetry-axis)). De [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de driehoek is [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met schuine zijde $1$ (een volledige zijde), een hoek van $60^\circ$ in het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) op de basis, en aanliggende zijde $\frac12$ (de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de basis). Bijgevolg is

$$
\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .
$$

## 60.4 Opgave: de betrekkingen van Euclides, en Pythagoras nog een keer

**Probleem 60.1.**

Weekendopgave — de hoogtelijn van een rechthoekige driehoek: $AB^2 = BH \times BC$, $AH^2 = BH \times HC$, een tweede bewijs van Pythagoras, en een machine om vierkantswortels te construeren

Laat uit de [rechte hoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-rightangle) van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) de loodlijn op de schuine zijde neer: dat korte [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) — de *hoogtelijn* — voldoet aan betrekkingen die zo nuttig zijn dat Euclides ze in het hart van zijn *Elementen* plaatste. In deze opgave bewijst de bepalende eigenschap van de cosinus, “de verhouding hangt alleen van de hoek af” ([Definitie 60.3](#def-g8-cosine-def)), ze alle; onderweg bewijs je de stelling van Pythagoras opnieuw, langs een volstrekt andere weg, en aan het einde staat een machine met passer en lat die $\sqrt2$, $\sqrt5$ en $\sqrt{n}$ voor elk heel getal $n$ construeert.

Overal is $ABC$ een driehoek die [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) is in $A$, en is $H$ de voet van de loodlijn uit $A$ op de schuine zijde $[BC]$, zodat $H$ tussen $B$ en $C$ ligt en $AH \perp BC$.

**Deel I — Één hoek, twee driehoeken.**

1. Toon met de hoekensom van een driehoek ( [Stelling 51.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#thm-g7-triangles-sum) ) in $ABH$ en in $ABC$ aan dat $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : de hoogtelijn verdeelt de [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in twee kleinere driehoeken met *dezelfde hoeken* als de oorspronkelijke.
2. De driehoeken $ABC$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$) en $ABH$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$) hebben de hoek $\widehat B$ gemeen. Schrijf $\cos\widehat B$ in elk van beide op en leid uit [Definitie 60.3](#def-g8-cosine-def) af dat $$AB^2 = BH \times BC .$$ (Om van gelijke verhoudingen naar gelijke [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) te gaan, vermenigvuldig je beide leden met beide [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def), [Stelling 57.5](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#thm-g8-equations-balance).)
3. Formuleer en bewijs de tegenhanger in het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $C$: $$AC^2 = CH \times CB .$$
4. Neem de $3$ – $4$ – $5$ -driehoek: $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Bereken $BH$ en $CH$ met vragen 2 en 3, en ga na dat $BH + HC = BC$ .
5. Druk $BH$ en $CH$ in het algemeen uit als [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) waarin alleen de drie zijden voorkomen. In welke zin verdeelt de voet $H$ de schuine zijde “ [evenredig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#def-g6-propdata-def) met de kwadraten van de rechthoekszijden”?

**Deel II — Pythagoras opnieuw, en de hoogtelijn.**

6. Tel de betrekkingen van vragen 2 en 3 op en gebruik $BH + HC = BC$ om te komen tot $$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$$ de stelling van Pythagoras ([Stelling 58.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct)), opnieuw bewezen — zonder ook maar één oppervlakteraadsel in zicht (vergelijk [Oefening 58.11](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#exo-g8-pythagoras-11)).
7. Pas Pythagoras toe in de kleine driehoek $ABH$ om $AH^2 = AB^2 - BH^2$ te schrijven, vervang $AB^2$ door $BH \times BC$, en breng $BH$ buiten haakjes om de *hoogtelijnbetrekking van Euclides* te bewijzen: $$AH^2 = BH \times HC .$$
8. Bereken de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van $ABC$ op twee manieren — met de rechthoekszijden als basis en hoogte, en daarna met de schuine zijde als basis ([Stelling 53.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#thm-g7-areas-triangle)) — en leid de derde betrekking af: $$AB \times AC = BC \times AH .$$
9. Terug naar de $3$ – $4$ – $5$ -driehoek: bereken $AH$ met vraag 8, en ga daarna de hoogtelijnbetrekking van vraag 7 met getallen na, met de in vraag 4 gevonden waarden van $BH$ en $CH$ .
10. De voet van de hoogtelijn verdeelt de schuine zijde van een zekere [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in de stukken $BH = 2$ cm en $HC = 8$ cm. Bereken de hoogtelijn $AH$ .

**Deel III — Een machine voor vierkantswortels.** Teken een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[BC]$ dat uit twee stukken achter elkaar bestaat: $BH = p$ en $HC = q$. Teken de halve cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$, en zij $A$ het punt waar de loodlijn op $(BC)$ in $H$ die halve cirkel ontmoet.

11. Leg met [Stelling 60.1](#thm-g8-cosine-circle) uit waarom de driehoek $ABC$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) is in $A$ — zodat vraag 7 van toepassing is en $$AH^2 = p \times q .$$ (De lengte $AH$ heet het *meetkundig gemiddelde* van $p$ en $q$.)
12. Neem $p = 1$ en $q = 2$ . Wat is $AH^2$ ? Welke beroemde lengte uit [Voorbeeld 58.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) heeft je figuur met passer en lat net geconstrueerd?
13. Beschrijf het recept dat een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) met lengte $\sqrt n$ construeert voor elk heel getal $n \geq 1$ , en zeg welke keuze van $p$ en $q$ $\sqrt 5$ construeert.
14. Zij $O$ het middelpunt van de halve cirkel. Leg uit waarom $AH$ nooit groter kan zijn dan de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $\frac{p + q}{2}$ , en voor welke stand van $H$ de twee gelijk zijn.
15. Leid de ongelijkheid af: voor alle positieve getallen $p$ en $q$ geldt $$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$$ met gelijkheid precies als $p = q$. Bewijs die daarna opnieuw zonder een greintje meetkunde: werk $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ uit en herken een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ([Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1)).

**Oplossing van Probleem 60.1.**

**1.** In de driehoek $ABH$, [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$, geeft de hoekensom ([Stelling 51.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/51-driehoeken-en-hoeken#thm-g7-triangles-sum)) dat $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$, dus $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$. In de driehoek $ABC$, [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$, dus $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$. Bijgevolg is $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$: beide kleine driehoeken herhalen de hoeken $\widehat B$, $\widehat C$, $90^\circ$ van de oorspronkelijke.

**2.** In $ABC$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$) is de zijde die aan $\widehat B$ ligt $AB$ en is de schuine zijde $BC$: $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$. In $ABH$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$) is de zijde die aan $\widehat B$ ligt $BH$ en is de schuine zijde $AB$: $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$. De verhouding hangt alleen van de hoek af ([Definitie 60.3](#def-g8-cosine-def)), dus is

$$
\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;
$$

beide leden met $BC \times AB$ vermenigvuldigen ([Stelling 57.5](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#thm-g8-equations-balance)) geeft $AB^2 = BH \times BC$.

**3.** De driehoeken $ABC$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$) en $ACH$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$) hebben de hoek $\widehat C$ gemeen. Aanliggende zijde gedeeld door schuine zijde, in elk van beide:

$$
\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC}
\qquad\Longrightarrow\qquad
AC^2 = CH \times CB .
$$

**4.** $AB^2 = BH \times BC$ luidt $9 = BH \times 5$, dus is $BH = 1.8$; en $16 = CH \times 5$ geeft $CH = 3.2$. Controle: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — zoals het moet, want $H$ ligt op de schuine zijde tussen $B$ en $C$.

**5.** Elke betrekking door $BC$ delen geeft

$$
BH = \frac{AB^2}{BC},
\qquad
CH = \frac{AC^2}{BC} .
$$

Dus zijn $BH$ en $CH$ [evenredig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#def-g6-propdata-def) met $AB^2$ en $AC^2$: de voet van de hoogtelijn verdeelt de schuine zijde in de verhouding van de kwadraten van de rechthoekszijden ($1.8 : 3.2 = 9 : 16$ in vraag 4).

**6.** De twee betrekkingen optellen en $BC$ buiten haakjes brengen (distributiviteit):

$$
AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC
= (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .
$$

Dit is [Stelling 58.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct), verkregen uit de cosinus alleen — een werkelijk ander bewijs dan het oppervlakteraadsel met de vier driehoeken uit [Oefening 58.11](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#exo-g8-pythagoras-11).

**7.** Pythagoras in $ABH$ ([rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$, schuine zijde $[AB]$): $AH^2 = AB^2 - BH^2$. Vervang $AB^2$ door $BH \times BC$ (vraag 2) en breng $BH$ buiten haakjes:

$$
AH^2 = BH \times BC - BH^2
= BH \times (BC - BH)
= BH \times HC .
$$

**8.** Met de rechthoekszijden als basis en hoogte is de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van $ABC$ gelijk aan $\frac{AB \times AC}{2}$; met de schuine zijde $[BC]$ als basis is de hoogte precies $AH$, dus is de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) ook $\frac{BC \times AH}{2}$ ([Stelling 53.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#thm-g7-areas-triangle)). Gelijkstellen en verdubbelen: $AB \times AC = BC \times AH$.

**9.** $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$. Nagaan van vraag 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ en $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$. Gelijk.

**10.** $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$, dus is $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

**11.** Het punt $A$ ligt op de cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $[BC]$ (en is verschillend van $B$ en $C$), dus is de driehoek $ABC$ volgens punt 2 van [Stelling 60.1](#thm-g8-cosine-circle) [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $A$. Door de constructie is $(AH) \perp (BC)$ met $H$ tussen $B$ en $C$: het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $[AH]$ is precies de hoogtelijn van vraag 7, en $AH^2 = BH \times HC = p \times q$.

**12.** $AH^2 = 1 \times 2 = 2$: de figuur construeert, met passer en lat alleen, een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) waarvan het kwadraat $2$ is — de diagonaal van het eenheidsvierkant, $\sqrt2 \approx 1.414$, uit [Voorbeeld 58.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal).

**13.** Recept: leg twee lijnstukken met lengten $p = 1$ en $q = n$ achter elkaar; teken de halve cirkel met het hele [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) (lengte $n + 1$) als [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle); richt de loodlijn op in het verbindingspunt; die ontmoet de halve cirkel in een punt waarvan de afstand tot het verbindingspunt $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ is. Voor $\sqrt5$: neem $p = 1$ en $q = 5$ (een halve cirkel met [diameter](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-circle) $6$).

**14.** $A$ ligt op de cirkel met middelpunt $O$, dus is $OA = \frac{p+q}{2}$, de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes). Is $H \neq O$, dan is de driehoek $AHO$ [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) in $H$ met schuine zijde $[OA]$, en een rechthoekszijde is korter dan de schuine zijde: $AH < OA$. Is $H = O$, dan is $AH = OA$ precies. In alle gevallen is $AH \leq \frac{p+q}{2}$, met gelijkheid precies als $H$ het middelpunt is — dat wil zeggen als $p = q$.

**15.** $AH \leq \frac{p+q}{2}$ kwadrateren (beide leden positief) en $AH^2 = pq$ gebruiken geeft

$$
p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,
$$

met gelijkheid precies voor $p = q$. Algebraïsch nogmaals bewezen, met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ([Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1)):

$$
\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq
= \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4}
= \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}
= \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,
$$

een kwadraat, en dus nooit negatief — en [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) precies als $p = q$. Het [meetkundig gemiddelde](#pb-g8-cosine-1) van twee getallen is nooit groter dan hun halve [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def).