---
title: "Evenredigheid, snelheid en gemiddelden"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 61
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/61-evenredigheid-snelheid-en-gemiddelden
---

# Hoofdstuk 61 — Evenredigheid, snelheid en gemiddelden

[Evenredigheid](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/49-evenredigheid#def-g7-prop-table) ([Hoofdstuk 49](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/49-evenredigheid#ch-g7-prop)) ontmoet nu de fysieke wereld: [snelheid](#def-g8-speed-def), debieten, omzettingen van eenheden — grootheden die *[quotiënten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder)* van twee andere zijn. Het hoofdstuk sluit af met [gewogen gemiddelden](#def-g8-speed-average), waar [evenredig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#def-g6-propdata-def) denken een klassieke fout voorkomt.

## 61.1 Gemiddelde snelheid

**Definitie 61.1 (Gemiddelde snelheid).**

De *gemiddelde snelheid* van een tocht is het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder)

$$
v = \frac{d}{t}
\qquad
\left(\text{afstand gedeeld door tijdsduur}\right),
$$

in kilometer per uur (km/h), meter per seconde (m/s), … De formule draait om: $d = v \times t$ en $t = \frac{d}{v}$.

**Voorbeeld 61.2.**

Een trein legt $270$ km af in $1$ h $30$ min. Zet eerst de tijd om: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h. Dan is

$$
v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.
$$

Afstand bij $90$ km/h tijdens $2$ h $20$ min $= \frac73$ h: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km. Tijd voor $35$ km bij $14$ km/h: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min.

**Opmerking 61.3 (Minuten zijn geen decimalen).**

$1$ h $30$ min is $1.5$ h, maar $1$ h $20$ min is *niet* $1.2$ h: het is $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h. Zet minuten altijd om in een [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) van een uur ($60$ min $= 1$ h) vóór je deelt.

![Bij constante snelheid is de afstand evenredig met de tijd: een rechte lijn door de oorsprong, waarvan de steilheid de snelheid is.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-speed/fig-4acb1eda3cf7.svg)

*Bij constante [snelheid](#def-g8-speed-def) is de afstand [evenredig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/44-evenredigheid-en-gegevens#def-g6-propdata-def) met de tijd: een rechte [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door de oorsprong, waarvan de steilheid de [snelheid](#def-g8-speed-def) *is*.*

**Methode 61.4 (Snelheden omzetten).**

Om km/h in m/s om te zetten: $1$ km $= 1000$ m en $1$ h $= 3600$ s, dus is

$$
v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s}
= \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.
$$

Om m/s in km/h om te zetten, vermenigvuldig je met $3.6$.

**Voorbeeld 61.5.**

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s. Een sprinter die $100$ m in $10$ s loopt, gaat $10$ m/s $= 36$ km/h.

## 61.2 Grootheden die quotiënten zijn

**Voorbeeld 61.6 (Debiet, prijs per kilo, verbruik).**

De [snelheid](#def-g8-speed-def) heeft veel neefjes, die je alle op dezelfde manier behandelt:

- een kraan vult $48$ L in $4$ min: debiet $\frac{48}{4} = 12$ L/min, dus duurt het vullen van een kuip van $150$ L $\frac{150}{12} = 12.5$ min;
- $0.6$ kg kaas kost $9$ euro: prijs $\frac{9}{0.6} = 15$ euro per kg;
- een auto gebruikt $6.3$ L voor $90$ km: verbruik $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L per $100$ km.

Zoek het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder), en de drieledige formule ($q = \frac ab$, $a = qb$, $b = \frac aq$) doet de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder).

## 61.3 Gewogen gemiddelden

**Definitie 61.7 (Gewogen gemiddelde).**

Horen bij waarden $v_1, v_2, \dots$ aantallen (of gewichten) $n_1, n_2, \dots$, dan is hun *gewogen gemiddelde*

$$
\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :
$$

het totaal van de waarden, gedeeld door het totaal van de gewichten.

**Voorbeeld 61.8.**

Twee groepen maakten een toets: groep 1, $12$ leerlingen, gemiddelde $11$; groep 2, $18$ leerlingen, gemiddelde $14$. Gemiddelde van de hele klas:

$$
\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18}
= \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .
$$

*Niet* $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$: de grotere groep trekt het gemiddelde naar zich toe — de gewichten doen mee.

**Voorbeeld 61.9 (Gemiddelde snelheid over twee stukken).**

Een wielrenner rijdt $30$ km bij $30$ km/h, en daarna $30$ km bij $15$ km/h. De [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) over de hele tocht is *niet* $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h. Reken met de definitie:

1. tijden: $\frac{30}{30} = 1$ h, en daarna $\frac{30}{15} = 2$ h; samen $3$ h;
2. totale afstand $60$ km, dus is $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h.

Het langzame stuk duurt langer, en weegt dus zwaarder — een gemiddelde van snelheden moet gewogen worden met de *tijd*.

## 61.4 Oefeningen

**Oefening 61.1 ★.**

Bereken de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def): $150$ km in $2$ h; $27$ km in $45$ min; $100$ m in $12.5$ s.

**Oplossing van Oefening 61.1.**

$\frac{150}{2} = 75$ km/h. $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h. $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s.

**Oefening 61.2 ★.**

Bereken de afstand: $2$ h bij $85$ km/h; $40$ min bij $90$ km/h. Bereken de tijd: $315$ km bij $90$ km/h (in h en min).

**Oplossing van Oefening 61.2.**

$2 \times 85 = 170$ km. $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km. $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min.

**Oefening 61.3 ★.**

Zet om: $72$ km/h in m/s; $5$ m/s in km/h; $108$ km/h in m/s.

**Oplossing van Oefening 61.3.**

$72 \div 3.6 = 20$ m/s. $5 \times 3.6 = 18$ km/h. $108 \div 3.6 = 30$ m/s.

**Oefening 61.4 ★.**

Een kraan levert $15$ L/min. Hoe lang duurt het vullen van een tank van $600$ L? Hoeveel liter in $2$ h $30$?

**Oplossing van Oefening 61.4.**

$600 \div 15 = 40$ min. $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L.

**Oefening 61.5 ★.**

Wat is de betere koop: $1.2$ kg appels voor $3.30$ euro, of $0.8$ kg voor $2.16$ euro? Vergelijk de prijzen per kilogram.

**Oplossing van Oefening 61.5.**

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ euro/kg tegenover $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ euro/kg: het tweede aanbod is (net) de betere koop.

**Oefening 61.6 ★.**

Een klas van $25$ leerlingen heeft een gemiddelde van $12.4$ op een toets; een andere klas van $35$ leerlingen heeft een gemiddelde van $10$. Bereken het gemiddelde van de twee klassen samen.

**Oplossing van Oefening 61.6.**

$$
\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60}
= \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .
$$

**Oefening 61.7 ★.**

Geluid gaat ongeveer $340$ m/s. Je ziet een bliksemflits en hoort $6$ seconden later de donder. Hoe ver sloeg de bliksem in (op $100$ m nauwkeurig)?

**Oplossing van Oefening 61.7.**

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km.

**Oefening 61.8 ★★.**

Een wandelaar loopt $2$ h bij $5$ km/h, rust $30$ min, en loopt daarna $1$ h $30$ bij $4$ km/h. Bereken de totale afstand en de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) *met de rust erbij* (totale afstand gedeeld door de totaal verstreken tijd).

**Oplossing van Oefening 61.8.**

Afstanden: $2 \times 5 = 10$ km, en daarna $1.5 \times 4 = 6$ km: samen $16$ km. Verstreken tijd: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h. [Gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def): $\frac{16}{4} = 4$ km/h.

**Oefening 61.9 ★★.**

Cijfers met wegingsfactoren: een leerling haalde $15$ (wegingsfactor $3$), $9$ (wegingsfactor $2$) en $12$ (wegingsfactor $1$). Bereken het [gewogen gemiddelde](#def-g8-speed-average). Welk gewoon (ongewogen) gemiddelde zou ze hebben, en waarom verschillen de twee?

**Oplossing van Oefening 61.9.**

Gewogen: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1}
= \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$. Ongewogen: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$. Ze verschillen doordat de wegingsfactoren het cijfer $15$ drie keer zo zwaar laten wegen als het cijfer $12$.

**Oefening 61.10 ★★.**

Een auto rijdt $120$ km bij $80$ km/h en daarna $120$ km bij $120$ km/h.

1. Bereken de duur van elk stuk, en daarna de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) over de hele rit.
2. Leg uit waarom de uitkomst kleiner is dan $100$ km/h, het midden van de twee snelheden.

**Oplossing van Oefening 61.10.**

*1.* Tijden: $\frac{120}{80} = 1.5$ h en $\frac{120}{120} = 1$ h. [Gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def): $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h.

*2.* De auto brengt *meer tijd* door bij $80$ km/h ($1.5$ h) dan bij $120$ km/h ($1$ h): de langzame [snelheid](#def-g8-speed-def) weegt zwaarder in het met tijd [gewogen gemiddelde](#def-g8-speed-average), en trekt het onder het midden $100$.

**Oefening 61.11 ★★★.**

Twee dorpen liggen $18$ km van elkaar. Anna vertrekt om $10{:}00$ uit het eerste en wandelt met $5$ km/h naar het tweede; Boris vertrekt op hetzelfde ogenblik uit het tweede en wandelt met $4$ km/h naar het eerste. Hoe laat ontmoeten ze elkaar, en op welke afstand van het dorp van Anna? (Samen dichten ze de kloof met $5 + 4$ km/h.)

**Oplossing van Oefening 61.11.**

De kloof van $18$ km sluit met $5 + 4 = 9$ km/h: ze ontmoeten elkaar na $\frac{18}{9} = 2$ h, om $12{:}00$. Anna heeft dan $2 \times 5 = 10$ km gelopen: ze ontmoeten elkaar $10$ km van het dorp van Anna (en $8$ km van dat van Boris — controle: $10 + 8 = 18$).

## 61.5 Opgave: het harmonisch gemiddelde, of waarom de terugrit het gemiddelde verpest

**Probleem 61.1.**

Weekendopgave — de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) over gelijke afstanden is $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, en ze haalt het midden van de snelheden nooit

[Voorbeeld 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) en [Oefening 61.10](#exo-g8-speed-10) eindigden beide met dezelfde verrassing: heen met de ene [snelheid](#def-g8-speed-def), terug met de andere, en de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) landt *onder* het midden van de twee. Deze opgave vindt de precieze formule achter die verrassing — een nieuw soort gemiddelde, het *harmonisch gemiddelde* — bewijst dat de verrassing een stelling is, en drijft ze op tot haar logische uiterste: een inhaalmanoeuvre die geen enkele [snelheid](#def-g8-speed-def) ter wereld voor elkaar krijgt.

**Deel I — De formule voor een heen-en-terugrit.** Een tocht legt een afstand $d$ af met [snelheid](#def-g8-speed-def) $v_1$, en daarna diezelfde afstand $d$ nog eens met [snelheid](#def-g8-speed-def) $v_2$ (allemaal positieve getallen).

1. Druk de twee tijdsduren uit, en daarna de totale duur, als [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#def-g6-fractions-def) waarin $d$ , $v_1$ en $v_2$ voorkomen.
2. De [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) van de hele tocht is $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ — een dubbeldekker ([Voorbeeld 55.8](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/55-breuken-alle-vier-de-bewerkingen#ex-g8-fractions-complex)). Vereenvoudig die en bewijs: $$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$$
3. Ga de formule na aan beide hierboven aangehaalde berekeningen: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h ( [Voorbeeld 61.9](#ex-g8-speed-twolegs) ), en $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h ( [Oefening 61.10](#exo-g8-speed-10) ).
4. De afstand $d$ is uit de formule verdwenen. Wat betekent dat concreet voor de wielrenner?
5. Stel nu dat de tocht in de plaats daarvan met elke [snelheid](#def-g8-speed-def) dezelfde *tijd* $T$ doorbrengt. Toon aan dat de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) dan $\frac{v_1 + v_2}{2}$ is, het gewone midden. In de taal van [Definitie 61.7](#def-g8-speed-average) : met welke grootheid moet een gemiddelde van snelheden altijd gewogen worden, en wat verandert er tussen de twee scenario’s?

**Deel II — Harmonisch tegenover rekenkundig.** Stel voor twee positieve getallen $v_1$ en $v_2$

$$
H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2}
\quad\text{(hun \emph{harmonisch gemiddelde}),}
\qquad
A = \frac{v_1 + v_2}{2}
\quad\text{(hun \emph{rekenkundig gemiddelde}).}
$$

6. Bereken $H$ en $A$ voor de paren $(30, 15)$ en $(80, 120)$ . Welk van de twee gemiddelden wint elke keer?
7. Zet $A - H$ op de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $2(v_1 + v_2)$, werk de [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) uit met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) ([Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1)), en bewijs: $$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$$
8. Leid de stelling af die achter alle verrassingen zit: voor positieve snelheden is altijd $H \leq A$ , met gelijkheid precies als $v_1 = v_2$ . Waarom beslecht een kwadraat in de [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) de zaak?
9. Bewijs de elegante gelijkheid $H \times A = v_1 \times v_2$ : de twee gemiddelden vermenigvuldigen terug naar het oorspronkelijke [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) .
10. Een auto legt $60$ km af bij $40$ km/h en $60$ km bij $60$ km/h. Voorspel de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) met de formule, en bevestig ze daarna langs de lange weg, met tijden en totale afstand.

**Deel III — De onmogelijke inhaalmanoeuvre.**

11. Een wielrenster start in een wedstrijd van $30$ km met de hoop gemiddeld $30$ km/h te halen. Hoeveel tijd mag de wedstrijd haar ten hoogste kosten? Ze rijdt de eerste $15$ km bij $15$ km/h: hoeveel van dat tijdbudget blijft er over?
12. Toon aan dat het gehoopte gemiddelde letterlijk onmogelijk is geworden: bereken haar [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) als ze de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) bij $90$ km/h rijdt, en leg uit waarom zelfs een willekeurig enorme [snelheid](#def-g8-speed-def) haar onder de $30$ km/h laat.
13. Ze verlaagt haar doel tot $20$ km/h. Welke [snelheid](#def-g8-speed-def) op de tweede $15$ km haalt dat? Ga je antwoord na met de formule van het [harmonisch gemiddelde](#pb-g8-speed-1) .
14. Een koudwaterkraan vult een kuip alleen in $20$ min; een warmwaterkraan alleen in $30$ min. Welk deel van de kuip vullen de twee kranen samen per minuut, en hoe lang doen ze erover? Vergelijk je antwoord met $H(20, 30)$ — wat valt je op?
15. Een vliegtuig vliegt dezelfde route heen en terug: $900$ km/h met de wind mee, $700$ km/h tegen de wind in. Bereken de [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def) van de heen-en-terugvlucht, en leg in één zin uit waarom wind, hoe hij ook waait, een heen-en-terugvlucht altijd *langer* maakt.

**Oplossing van Probleem 61.1.**

**1.** Volgens [Definitie 61.1](#def-g8-speed-def) is $t_1 = \frac{d}{v_1}$ en $t_2 = \frac{d}{v_2}$; de hele tocht duurt $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ voor een afstand van $2d$.

**2.** Breng $d$ in de [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) buiten haakjes en streep het weg:

$$
\bar v
= \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)}
= \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .
$$

Binnenin op gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def): $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$, en delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde ([Stelling 55.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/55-breuken-alle-vier-de-bewerkingen#thm-g8-fractions-div)):

$$
\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2}
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .
$$

**3.** $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, zoals in [Voorbeeld 61.9](#ex-g8-speed-twolegs); en $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, zoals gevonden in [Oefening 61.10](#exo-g8-speed-10).

**4.** Het gemiddelde hangt alleen van de twee snelheden af, niet van $d$: een heen-en-terugrit van $1$ km en een van $100$ km met dezelfde twee snelheden hebben precies dezelfde [gemiddelde snelheid](#def-g8-speed-def). (Daarom kon de formule op tochten van verschillende lengte nagegaan worden.)

**5.** Bij een tijd $T$ met elke [snelheid](#def-g8-speed-def) zijn de afstanden $v_1 T$ en $v_2 T$, dus is

$$
\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T}
= \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T}
= \frac{v_1 + v_2}{2} .
$$

Een gemiddelde van snelheden wordt altijd gewogen met de *tijd* ([Definitie 61.7](#def-g8-speed-average)). Bij gelijke tijden dragen de twee snelheden gelijke gewichten: het gewone midden. Bij gelijke afstanden neemt de langzamere [snelheid](#def-g8-speed-def) *meer* tijd in, en dus meer gewicht — en schuift het gemiddelde naar haar toe.

**6.** Voor $(30, 15)$: $H = 20$ en $A = 22.5$. Voor $(80, 120)$: $H = 96$ en $A = 100$. Het rekenkundig gemiddelde wint beide keren.

**7.** Op de gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $2(v_1 + v_2)$:

$$
A - H
= \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,
$$

en de [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) werk je uit met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van [Probleem 57.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#pb-g8-equations-1):

$$
(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2
= v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2
= (v_1 - v_2)^2 .
$$

**8.** Een kwadraat is nooit negatief, en $2(v_1 + v_2)$ is positief: dus is $A - H \geq 0$, dat wil zeggen $H \leq A$, voor elk paar positieve snelheden. Gelijkheid vraagt $(v_1 - v_2)^2 = 0$, dat wil zeggen $v_1 = v_2$: zodra de twee snelheden verschillen, zakt het gemiddelde van de heen-en-terugrit strikt onder het midden — de verrassing is een stelling.

**9.** Vermenigvuldigen:

$$
H \times A
= \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2}
= v_1 v_2 ,
$$

na het wegstrepen van de factor $2$ en de factor $v_1 + v_2$.

**10.** Met de formule: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60}{40 + 60}
= \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h. Langs de lange weg: $\frac{60}{40} = 1.5$ h en $\frac{60}{60} = 1$ h, dus $120$ km in $2.5$ h: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h. Ze stemmen overeen.

**11.** Gemiddeld $30$ km/h over $30$ km betekent een totale tijd van ten hoogste $\frac{30}{30} = 1$ h. De eerste $15$ km bij $15$ km/h kosten al $\frac{15}{15} = 1$ h: het *hele* tijdbudget is op, met nog de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van het parcours te gaan.

**12.** Bij $90$ km/h kost de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) $\frac{15}{90} = \frac16$ h, dus duurt de wedstrijd $\frac76$ h en is

$$
\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7
\text{ km/h} < 30 .
$$

Wat de [snelheid](#def-g8-speed-def) op de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) ook is, haar duur is een positief getal, dus komt de totale tijd boven $1$ h en blijft het gemiddelde strikt onder $30$ km/h. (Met de formule: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ zou $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ opleggen, dat wil zeggen $0 = 450$ — geen enkele [snelheid](#def-g8-speed-def) $v_2$ werkt.)

**13.** Een gemiddelde van $20$ km/h laat $\frac{30}{20} = 1.5$ h toe; na het eerste uur blijven er $15$ km over voor $0.5$ h: ze heeft $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h nodig. Controle: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h.

**14.** Per minuut vullen de kranen $\frac{1}{20}$ en $\frac{1}{30}$ van de kuip; samen

$$
\frac{1}{20} + \frac{1}{30}
= \frac{3}{60} + \frac{2}{60}
= \frac{5}{60} = \frac{1}{12}
$$

van de kuip per minuut: de kuip is in $12$ min vol. En $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$: de twee kranen samen doen er precies *de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van het [harmonisch gemiddelde](#pb-g8-speed-1)* van hun soloduren over — debieten tellen op, dus zit je weer op het terrein van het [harmonisch gemiddelde](#pb-g8-speed-1).

**15.** Dezelfde afstand in beide richtingen, dus is

$$
\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700}
= \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},
$$

onder de $800$ km/h van windstil weer. In één zin: het vliegtuig vliegt *langer* tegen de wind in dan met de wind mee, dus krijgt het langzame stuk het grotere gewicht in het met tijd [gewogen gemiddelde](#def-g8-speed-average) — wind kan een heen-en-terugvlucht alleen maar verlengen.