---
title: "Piramides en kegels"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 62
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels
---

# Hoofdstuk 62 — Piramides en kegels

Na de [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism)’s en [cilinders](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) van [Hoofdstuk 53](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#ch-g7-areas) — lichamen met een constante doorsnede — komen de lichamen met een punt: [piramides](#def-g8-solids-def) en [kegels](#def-g8-solids-def). Hun formule voor de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) draagt een beroemde factor $\frac13$, die dit hoofdstuk geloofwaardig maakt en gebruikt; de studie van de lichamen gaat verder met bollen en doorsneden in [Hoofdstuk 70](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/70-lichamen-en-inhouden#ch-g9-solids).

## 62.1 Piramides en kegels beschrijven

**Definitie 62.1 (Piramide, kegel).**

- Een *piramide* heeft een [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) als *grondvlak* en een punt, de *top* , die met driehoekige [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met elk [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van het grondvlak verbonden is. Haar *hoogte* is de afstand van de top tot het vlak van het grondvlak.
- Een *kegel* is dezelfde constructie boven een schijf: een grondschijf, een top, en een gekromd [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) .

Een piramide is *regelmatig* wanneer haar grondvlak een regelmatige [veelhoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/26-lijnen-en-veelhoeken#def-g4-geometry-polygon) is (vierkant, [gelijkzijdige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles), …) en haar top verticaal boven het middelpunt van het grondvlak ligt.

![Een piramide met vierkant grondvlak en een kegel: één veelhoekig of cirkelvormig grondvlak, één top, en de hoogte loodrecht op het grondvlak gemeten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-ec12359644cd.svg)

*Een [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak en een [kegel](#def-g8-solids-def): één veelhoekig of cirkelvormig grondvlak, één top, en de hoogte [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op het grondvlak gemeten.*

**Voorbeeld 62.2 (Zijvlakken, ribben en hoekpunten tellen).**

Een [piramide](#def-g8-solids-def) met een vierkant grondvlak heeft $5$ [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ($1$ vierkant $+ 4$ driehoeken), $8$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en $5$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def). Met een grondvlak met $n$ zijden: $n + 1$ [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $2n$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $n + 1$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def). Ga het kleine patroon van Euler na: [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $+$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $=$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $+ 2$.

## 62.2 Inhoud

**Stelling 62.3 (Inhoud van een piramide of kegel).**

Voor een [piramide](#def-g8-solids-def) of een [kegel](#def-g8-solids-def) met grondvlak van [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $B$ en hoogte $h$:

$$
V = \frac{1}{3}\, B \times h
$$

— een derde van het [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) of de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Voor een [kegel](#def-g8-solids-def) met grondradius $r$: $V = \frac13 \pi r^2 h$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 62.4 (Waarom een derde?).**

Vul een holle [piramide](#def-g8-solids-def) met water en giet het in het [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte: er gaan precies drie vullingen in. Nog mooier: een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) kan in drie identieke [piramides](#def-g8-solids-def) worden verdeeld, die elk een [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) als grondvlak en één [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) als top hebben (probeer het je voor te stellen!). Een algemeen bewijs gebruikt integralen, gereedschap uit het bovenbouwvolume.

**Voorbeeld 62.5.**

Een [piramide](#def-g8-solids-def) heeft een vierkant grondvlak met zijde $5$ cm en hoogte $9$ cm:

1. [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
2. [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) : $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Een ijshoorntje met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm en hoogte $10$ cm:

$$
V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94
\text{ cm}^3 .
$$

**Voorbeeld 62.6 (Pas op met de hoogte).**

Verwar bij een [kegel](#def-g8-solids-def) de hoogte $h$ (van de top tot het middelpunt van het grondvlak, [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp)) niet met de *schuine hoogte* $s$ (van de top tot de rand). Ze hangen samen via Pythagoras ([Stelling 58.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#thm-g8-pythagoras-direct)) in de [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) top–middelpunt–rand:

$$
s^2 = h^2 + r^2 .
$$

Een [kegel](#def-g8-solids-def) met $r = 3$ en $s = 5$ heeft dus hoogte $h = \sqrt{25 - 9} = 4$, en [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$.

**Methode 62.7 (Vraagstukken over inhoud).**

1. Bepaal welk [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) het is ( [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) / [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) : $V = Bh$ ; [piramide](#def-g8-solids-def) / [kegel](#def-g8-solids-def) : $V = \frac13 Bh$ );
2. bereken eerst de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $B$ van het grondvlak, als een aparte stap;
3. ga na dat de hoogte [loodrecht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) op het grondvlak staat (gebruik Pythagoras als de schuine hoogte gegeven is);
4. vermenigvuldig, houd de eenheden bij elkaar passend, en zet aan het einde om als het nodig is ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

## 62.3 Uitslagen

**Voorbeeld 62.8 (Uitslag van een piramide).**

Een regelmatige [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak uitvouwen maakt haar plat tot haar *[uitslag](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-net)*: het vierkante grondvlak met vier identieke [gelijkbenige driehoeken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) aan zijn zijden. De gelijke zijden van de driehoeken zijn de *zijribben* van de [piramide](#def-g8-solids-def) — hun lengte is niet $h$ en ook niet de schuine hoogte van een [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), dus benoem alles zorgvuldig vóór je karton knipt.

![De uitslag van een piramide met vierkant grondvlak: vouw de vier driehoeken omhoog tot hun toppen elkaar ontmoeten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g8-solids/fig-0a76254372e6.svg)

*De [uitslag](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-net) van een [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak: vouw de vier driehoeken omhoog tot hun toppen elkaar ontmoeten.*

## 62.4 Oefeningen

**Oefening 62.1 ★.**

Hoeveel [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) heeft een [piramide](#def-g8-solids-def) met een driehoekig grondvlak (een *viervlak*)? En met een zeshoekig grondvlak?

**Oplossing van Oefening 62.1.**

Viervlak: $4$ [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $6$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $4$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ($4 + 4 = 6 + 2$). Zeshoekig grondvlak: $7$ [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $12$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $7$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ($7 + 7 = 12 + 2$).

**Oefening 62.2 ★.**

Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van een [piramide](#def-g8-solids-def) met een grondvlak van $36$ cm$^2$ en hoogte $10$ cm; en van een [piramide](#def-g8-solids-def) met [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) grondvlak $6 \times 4$ cm en hoogte $7.5$ cm.

**Oplossing van Oefening 62.2.**

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm$^3$.

[Rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) grondvlak: $B = 24$ cm$^2$, dus $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm$^3$.

**Oefening 62.3 ★.**

Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van een [kegel](#def-g8-solids-def) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ cm en hoogte $9$ cm (exact met $\pi$, daarna afgerond op de cm$^3$).

**Oplossing van Oefening 62.3.**

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm$^3$.

**Oefening 62.4 ★.**

Een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) en een [kegel](#def-g8-solids-def) hebben dezelfde [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm en dezelfde hoogte $12$ cm. Bereken beide [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units). Wat is hun verhouding?

**Oplossing van Oefening 62.4.**

[Cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism): $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm$^3$. [Kegel](#def-g8-solids-def): $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm$^3$. Verhouding: de [kegel](#def-g8-solids-def) is een derde van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism).

**Oefening 62.5 ★.**

Een [piramide](#def-g8-solids-def) heeft [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $56$ cm$^3$ en hoogte $8$ cm. Wat is de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van haar grondvlak? (Schrijf de formule voor de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) op en los op.)

**Oplossing van Oefening 62.5.**

$56 = \frac13 \times B \times 8$, dus is $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm$^2$.

**Oefening 62.6 ★.**

Schets de [uitslag](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-net) van een [kegel](#def-g8-solids-def) (een schijf voor het grondvlak, en een sector van een grotere schijf voor het [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)). Welke maat van de [kegel](#def-g8-solids-def) is de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van die sector: de hoogte $h$ of de schuine hoogte $s$?

**Oplossing van Oefening 62.6.**

Het [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) rolt uit tot een sector van een schijf waarvan de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) de *schuine hoogte* $s$ is (de afstand van de top tot de rand — dat [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) ligt op het oppervlak), niet de hoogte $h$.

**Oefening 62.7 ★★.**

De [piramide](#def-g8-solids-def) van het Louvre heeft een vierkant grondvlak met zijde van ongeveer $35$ m en een hoogte van ongeveer $22$ m. Schat haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units), op honderd kubieke meter nauwkeurig.

**Oplossing van Oefening 62.7.**

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22
= \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ — ongeveer $9\,000$ kubieke meter.

**Oefening 62.8 ★★.**

Een [kegel](#def-g8-solids-def) heeft schuine hoogte $13$ cm en grondradius $5$ cm. Bereken zijn hoogte, en daarna zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) (exact met $\pi$).

**Oplossing van Oefening 62.8.**

Hoogte: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm. [Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units): $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm$^3$.

**Oefening 62.9 ★★.**

Een kegelvormig glas met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm en hoogte $9$ cm wordt tot de rand gevuld en daarna in een cilindrisch glas met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm gegoten. Welke hoogte bereikt de vloeistof in de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism)?

**Oplossing van Oefening 62.9.**

Dezelfde [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes), dus is de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de [kegel](#def-g8-solids-def) een derde van die van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) *bij dezelfde hoogte*: de vloeistof komt in de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) tot $\frac{9}{3} = 3$ cm.

**Oefening 62.10 ★★.**

Een zandloper bestaat uit twee identieke [kegels](#def-g8-solids-def) ([radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm, hoogte $4.5$ cm) die met hun toppen aan elkaar zitten. Al het zand vult precies één [kegel](#def-g8-solids-def). Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van het zand (exact, daarna in cm$^3$ afgerond op een tiende), en het deel van de totale binneninhoud van de zandloper dat het zand inneemt.

**Oplossing van Oefening 62.10.**

Zand $=$ één [kegel](#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi \approx 18.8$ cm$^3$. De zandloper bevat twee zulke [kegels](#def-g8-solids-def), dus vult het zand precies de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de totale binneninhoud.

**Oefening 62.11 ★★★.**

Een [piramide](#def-g8-solids-def) met een vierkant grondvlak met zijde $6$ cm heeft haar top rechtstreeks boven een hoek van het grondvlak, op hoogte $8$ cm.

1. Geldt de formule $V = \frac13 Bh$ nog? (Ja — de top hoeft niet in het midden te liggen. Bereken $V$ .)
2. Bereken de lengte van de langste zijribbe, van de top tot de overstaande hoek van het grondvlak (twee stappen met Pythagoras: eerst de diagonaal van het grondvlak).

**Oplossing van Oefening 62.11.**

*1.* Ja: de formule $V = \frac13 Bh$ geldt voor elke stand van de top, zolang $h$ de loodrechte afstand tot het vlak van het grondvlak is. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm$^3$.

*2.* Diagonaal van het grondvlak: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. De langste zijribbe is de schuine zijde van een [rechthoekige driehoek](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) met rechthoekszijden $6\sqrt2$ (in het vlak van het grondvlak) en $8$ (verticaal):

$$
\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7
\text{ cm}.
$$

## 62.5 Opgave: een kubus verdeeld in drie piramides

**Probleem 62.1.**

Weekendopgave — waar de factor $\frac13$ vandaan komt, en wat er met een piramide gebeurt die op halve hoogte wordt doorgesneden

De opmerking na [Stelling 62.3](#thm-g8-solids-volume) beweert dat een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) in drie identieke [piramides](#def-g8-solids-def) kan worden verdeeld — “probeer het je voor te stellen!”. Deze opgave stelt het precies voor, haalt de beroemde factor $\frac13$ er eerlijk uit, verdeelt de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) daarna op een tweede manier in *zes* [piramides](#def-g8-solids-def), en sluit af door een [piramide](#def-g8-solids-def) op halve hoogte door te snijden — met een uitkomst die weinig mensen bij de eerste poging goed raden.

Overal is $ABCDEFGH$ een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met zijde $a$: grondvlak $ABCD$, bovenvlak $EFGH$, met $E$ boven $A$, $F$ boven $B$, $G$ boven $C$ en $H$ boven $D$.

**Deel I — Drie [piramides](#def-g8-solids-def) met dezelfde top.**

1. Het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $G$ hoort bij drie [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) . Noem de drie [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die $G$ *niet* bevatten, en beschrijf de drie [piramides](#def-g8-solids-def) die je krijgt door elk van die [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) als grondvlak te nemen, telkens met top $G$ . Hoeveel [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) , [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) heeft elke [piramide](#def-g8-solids-def) ( [Voorbeeld 62.2](#ex-g8-solids-count) )?
2. Leg uit waarom een draai van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) over een derde slag om zijn lange diagonaal $(AG)$ de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) onveranderd laat, maar de drie grondvlakken van vraag 1 cyclisch verwisselt — en waarom de drie [piramides](#def-g8-solids-def) daarom identieke kopieën van elkaar zijn.
3. Neem aan dat de drie [piramides](#def-g8-solids-def) de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) zonder overlapping vullen (een model van karton is behoorlijk overtuigend), en leid daaruit de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van elk van hen af.
4. Ga dit na met de formule van [Stelling 62.3](#thm-g8-solids-volume) : de [piramide](#def-g8-solids-def) met grondvlak $ABCD$ en top $G$ heeft haar top rechtstreeks boven een *hoek* van haar grondvlak, precies zoals in [Oefening 62.11](#exo-g8-solids-11) . Bepaal haar hoogte, pas de formule toe en vergelijk.
5. Geef voor een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met zijde $6$ cm de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van elk van de drie [piramides](#def-g8-solids-def) — en leg uit wat deze verdeling te maken heeft met de gietproef uit het hoofdstuk (drie vullingen van de [piramide](#def-g8-solids-def) voor één [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) ).

**Deel II — Zes [piramides](#def-g8-solids-def) met hetzelfde middelpunt.** Zij nu $O$ het middelpunt van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), en verbind $O$ met de vier [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van elk van de zes [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

6. Beschrijf de zes [piramides](#def-g8-solids-def) die je zo krijgt, en leg uit waarom het identieke kopieën van elkaar zijn. Wat is de hoogte van elk van hen?
7. Leid, door de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) te verdelen, de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van elk van de zes [piramides](#def-g8-solids-def) af.
8. Bereken die [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) opnieuw met de formule $V = \frac13 B h$ , en ga na dat de twee antwoorden overeenstemmen.
9. De twee verdelingen bevestigen de factor $\frac13$ voor enkele heel bijzondere [piramides](#def-g8-solids-def) . Leg uit waarom ze [Stelling 62.3](#thm-g8-solids-volume) nog niet voor elke [piramide](#def-g8-solids-def) en [kegel](#def-g8-solids-def) *bewijzen* — en zeg hoe het hoofdstuk met dat gat omgaat: welke uitspraak wordt aangenomen, welke proef ondersteunt haar, en in welk [volume](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume) van de reeks wordt ze eerlijk bewezen?
10. Een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met zijde $6$ cm wordt in zijn zes [piramides](#def-g8-solids-def) om het middelpunt verdeeld. Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van elk, op beide manieren.

**Deel III — Een [piramide](#def-g8-solids-def) op halve hoogte doorsnijden.** $SABCD$ is een regelmatige [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak: zijde van het grondvlak $c$, hoogte $h$, top $S$ boven het middelpunt van het grondvlak. Snijd haar door met het vlak door de *middens* van de vier zijribben $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$, $[SD]$.

11. Pas de middenparallelstelling ( [Stelling 59.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#thm-g8-midpoints-direct) ) toe in de driehoek $SAB$ : wat zijn de richting en de lengte van het [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) dat de middens van $[SA]$ en $[SB]$ verbindt? Leid daaruit af dat de doorsnede een vierkant met zijde $\frac{c}{2}$ is, [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met het grondvlak, op hoogte $\frac{h}{2}$ .
12. Het stuk boven de doorsnede is zelf een [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak. Geef de zijde van haar grondvlak en haar hoogte, en toon aan dat haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) precies *een achtste* van de oorspronkelijke [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $V$ is.
13. Leid de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van het onderste stuk af (de *afgeknotte [piramide](#def-g8-solids-def)* , de vorm van een onvoltooide [piramide](#def-g8-solids-def) ). In welke verhouding verdeelt de doorsnede op halve hoogte de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) ?
14. De [piramide](#def-g8-solids-def) van het Louvre ( [Oefening 62.7](#exo-g8-solids-7) : zijde van het grondvlak $35$ m, hoogte $22$ m) wordt in twee campagnes gepoetst: eerst het glas boven halve hoogte, daarna het glas eronder. Welk deel van de *[inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units)* zit onder halve hoogte? Schat het in kubieke meter, op honderd nauwkeurig.
15. De algemene les: wat gebeurt er met de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van een [piramide](#def-g8-solids-def) als *alle* afmetingen met $2$ worden vermenigvuldigd? Met welke factor groeit de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) als elke afmeting met $k$ wordt vermenigvuldigd — en hoe verklaart dat in één regel het “een achtste” van vraag 12?

**Oplossing van Probleem 62.1.**

**1.** $G$ hoort bij het bovenvlak $EFGH$ en bij de twee [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $BCGF$ en $DCGH$. De drie [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die $G$ *niet* bevatten, zijn het grondvlak $ABCD$, het voorvlak $ABFE$ en het linkervlak $ADHE$ (ze hebben alle het [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $A$ gemeen, de hoek tegenover $G$). De drie [piramides](#def-g8-solids-def) zijn $ABCDG$, $ABFEG$ en $ADHEG$: elk heeft een vierkant [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) als grondvlak en het verre [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $G$ als top. Elk is een [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak: $5$ [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $8$ [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), $5$ [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) ([Voorbeeld 62.2](#ex-g8-solids-count)).

**2.** De lange diagonaal $[AG]$ verbindt de enige twee [hoekpunten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die bij geen van de drie grondvlakken horen. Een draai over een derde slag om de [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $(AG)$ stuurt de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) naar zichzelf (de drie [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die uit $A$ vertrekken — naar $B$, $D$, $E$ — worden cyclisch verwisseld, en zo ook de drie [ribben](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) die in $G$ aankomen). Ze brengt het grondvlak $ABCD$ naar $ADHE$, dan $ADHE$ naar $ABFE$, en weer terug: de toppen blijven in $G$, de grondvlakken draaien rond. Elke [piramide](#def-g8-solids-def) wordt zo op de volgende gebracht: de drie zijn identieke kopieën.

**3.** Drie identieke stukken die de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) vullen, verdelen zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) in gelijke delen:

$$
V_{\text{piramide}} = \frac{a^3}{3} .
$$

**4.** De [piramide](#def-g8-solids-def) $ABCDG$ heeft grondvlak $ABCD$, met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $a^2$, en haar top $G$ ligt verticaal boven de hoek $C$, op hoogte $CG = a$ (een verticale [ribbe](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)). Zoals in [Oefening 62.11](#exo-g8-solids-11) geldt de formule met de loodrechte hoogte $h = a$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,
$$

in volmaakte overeenstemming met vraag 3 — de verdeling en de formule bevestigen elkaar.

**5.** Voor $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ per [piramide](#def-g8-solids-def). De gietproef is deze verdeling in vloeibare vorm: het [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) op het grondvlak $ABCD$ met hoogte $a$ is de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) zelf, en er gaan precies drie piramidevullingen in — hier zetten de drie vullingen zich zelfs meetkundig in elkaar tot de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def).

**6.** Het middelpunt $O$ met de vier hoeken van elk [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) verbinden geeft zes [piramides](#def-g8-solids-def), één per [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): vierkant grondvlak, top $O$. Het middelpunt ligt ten opzichte van de zes [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) even goed geplaatst (elke draaiing of spiegeling van de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) laat $O$ liggen en verwisselt de [zijvlakken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def)), dus zijn de zes [piramides](#def-g8-solids-def) identiek. De hoogte van elk is de afstand van $O$ tot een [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de zijde, $\frac{a}{2}$.

**7.** Zes identieke stukken verdelen de [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): elk $V = \frac{a^3}{6}$.

**8.** Met de formule: grondvlak van [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $a^2$, hoogte $\frac a2$:

$$
V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .
$$

De twee antwoorden stemmen overeen.

**9.** Beide verdelingen gaan over [piramides](#def-g8-solids-def) met heel bijzondere verhoudingen, uit een [kubus](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) gesneden; een slanke [piramide](#def-g8-solids-def), een scheve [piramide](#def-g8-solids-def) of een [kegel](#def-g8-solids-def) kun je zo niet in elkaar zetten (geen drie [kegels](#def-g8-solids-def) vullen een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism)). Daarom wordt [Stelling 62.3](#thm-g8-solids-volume) op dit niveau *aangenomen*: de verdelingen en de gietproef maken de $\frac13$ volkomen geloofwaardig, en het eerlijke algemene bewijs — met integralen — staat in het bovenbouwvolume.

**10.** $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; en met de formule: $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Ze stemmen overeen.

**11.** In de driehoek $SAB$ worden de middens van de zijden $[SA]$ en $[SB]$ verbonden door een [lijnstuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) dat [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) is met $(AB)$ en lengte $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ heeft ([Stelling 59.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/59-middens-en-parallellen#thm-g8-midpoints-direct)). Hetzelfde geldt op elk [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def), dus vormen de vier middens een vierkant met zijde $\frac c2$, met zijden [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met het grondvlak. Op de verticale [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) door de top gaat de doorsnede door het midden van de hoogte (weer de middenparallelstelling, in een driehoek door $S$, het middelpunt van het grondvlak en een [hoekpunt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van het grondvlak): het snijvlak zit op hoogte $\frac h2$.

**12.** Het bovenste stuk is een regelmatige [piramide](#def-g8-solids-def) met vierkant grondvlak met zijde $\frac c2$ en hoogte $\frac h2$ (haar grondvlak is de doorsnede, haar top is $S$). Haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) is

$$
\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2
= \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2
= \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3}
= \frac{V}{8} :
$$

een achtste van het geheel — niet de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half).

**13.** De afgeknotte [piramide](#def-g8-solids-def) houdt de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder): $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. De doorsnede op halve hoogte verdeelt de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) in de verhouding $1 : 7$ — het bescheiden uitziende onderstuk bevat zeven keer de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de spitse top.

**14.** Onder halve hoogte zit $\frac78$ van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units). Met $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ ([Oefening 62.7](#exo-g8-solids-7)):

$$
\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx
7\,900 \text{ m}^3
$$

op honderd nauwkeurig — de campagne van de “onderste [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half)” poetst bijna acht keer zo veel glasinhoud als die van de bovenste.

**15.** Elke afmeting verdubbelen vermenigvuldigt de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak met $2^2 = 4$ en de hoogte met $2$, en dus de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Vergroten met een factor $k$ vermenigvuldigt [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) met $k^2$ en nog één lengte met $k$: [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) groeien met de factor $k^3$. Het bovenste stuk van vraag 12 is een verkleinde kopie van de hele [piramide](#def-g8-solids-def) met $k = \frac12$, dus is zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van het geheel — de verklaring in één regel.