---
title: "Breuken en machten"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 63
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten
---

# Hoofdstuk 63 — Breuken en machten

[Breuken](#def-g9-fractions-fraction) en [machten](#def-g9-fractions-power) zijn het dagelijkse gereedschap van het rekenen: hoeveelheden verdelen, verhoudingen vergelijken, heel grote of heel kleine getallen opschrijven. Dit hoofdstuk zet de rekenregels ervoor op een rij — met elke tussenstap uitgeschreven — en voert de [wetenschappelijke notatie](#def-g9-fractions-scientific) in.

## 63.1 Rekenen met breuken

**Definitie 63.1 (Breuk).**

Een *breuk* $\dfrac ab$ (met $b \neq 0$) is het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) van $a$ door $b$. Twee breuken zijn gelijk wanneer je de ene uit de andere krijgt door [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) en [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) met hetzelfde getal, verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), te vermenigvuldigen (of erdoor te delen):

$$
\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
$$

**Voorbeeld 63.2.**

Vereenvoudig $\dfrac{42}{56}$ stap voor stap:

$$
\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28}
= \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .
$$

(In [Hoofdstuk 64](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#ch-g9-arith) doet de grootste gemene [deler](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) dit in één stap.)

**Methode 63.3 (Breuken optellen en aftrekken).**

1. Zet beide [breuken](#def-g9-fractions-fraction) op een *gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def)* (een gemeenschappelijk [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van de twee [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) );
2. tel de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) op of trek ze af, en houd de [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) ;
3. vereenvoudig het resultaat als dat kan.

**Voorbeeld 63.4.**

Bereken $\dfrac56 + \dfrac34$. Een gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) van $6$ en $4$ is $12$:

$$
\frac56 + \frac34
= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}
= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}
= \frac{19}{12}.
$$

Bereken $2 - \dfrac37$. Schrijf $2$ als een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) op [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $7$:

$$
2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
$$

![Waarom een gemeenschappelijke noemer: door beide gehelen in 12 gelijke vakjes te snijden worden de breuken vergelijkbaar en optelbaar — samen 10 + 9 = 19 twaalfden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-fractions/fig-9e54d5042790.svg)

*Waarom een gemeenschappelijke [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def): door beide gehelen in $12$ gelijke vakjes te snijden worden de [breuken](#def-g9-fractions-fraction) vergelijkbaar en optelbaar — samen $10 + 9 = 19$ twaalfden.*

**Methode 63.5 (Breuken vermenigvuldigen en delen).**

1. Om te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de [tellers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) met elkaar en de [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) met elkaar: $\dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac{ac}{bd}$ (vereenvoudig *vóór* het vermenigvuldigen wanneer dat kan);
2. om te delen, vermenigvuldig je met het omgekeerde van de [deler](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) : $\dfrac ab \div \dfrac cd = \dfrac ab \times \dfrac dc$ .

**Voorbeeld 63.6.**

$$
\frac{7}{15} \times \frac{25}{14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 14}
= \frac{7 \times 25}{15 \times 2 \times 7}
= \frac{25}{30} = \frac56,
$$

waar we eerst door de gemeenschappelijke factor $7$ en daarna door $5$ hebben vereenvoudigd. En een deling:

$$
\frac{3}{4} \div \frac{9}{8}
= \frac34 \times \frac89
= \frac{3 \times 8}{4 \times 9}
= \frac{24}{36} = \frac23 .
$$

## 63.2 Machten

**Definitie 63.7 (Macht).**

Voor een reëel getal $a$ en een positief geheel getal $n$ is de *macht* $a^n$ het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van $n$ factoren gelijk aan $a$:

$$
a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ factoren}} .
$$

Per afspraak is $a^0 = 1$ (voor $a \neq 0$), en negatieve [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) staan voor omgekeerden:

$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
$$

**Voorbeeld 63.8.**

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$; $(-3)^2 = 9$, maar $-3^2 = -(3^2) = -9$ (de [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) bindt sterker dan het minteken); $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001$; $5^1 = 5$ en $5^0 = 1$.

**Stelling 63.9 (Rekenregels voor exponenten).**

Voor alle $a$, $b$ verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) en alle gehele getallen $m$, $n$:

$$
a^m \times a^n = a^{m+n},
\qquad
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},
\qquad
\left(a^m\right)^n = a^{mn},
\qquad
(ab)^n = a^n b^n .
$$

**Bewijs.** Voor positieve [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) tel je de factoren. Voor de eerste regel: $a^m \times
a^n$ bestaat uit $m$ factoren $a$ gevolgd door $n$ factoren $a$, samen $m + n$ factoren. Voor de derde: $\left(a^m\right)^n$ herhaalt $n$ keer een blok van $m$ factoren, wat $mn$ factoren geeft. De twee andere regels gaan net zo; de uitbreiding naar [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) en naar negatieve [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) volgt uit $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (en maakt de afspraak $a^0 = 1$ de enige samenhangende keuze, want $a^n \times a^0$ moet $a^{n+0} = a^n$ zijn). ∎

**Voorbeeld 63.10.**

Vereenvoudig stap voor stap:

$$
\frac{3^7 \times 3^{-2}}{3^4}
= \frac{3^{7 + (-2)}}{3^4}
= \frac{3^5}{3^4}
= 3^{5-4} = 3^1 = 3 .
$$

En met twee letters: $(2a^3)^2 \times a = 4 a^6 \times a = 4a^7$.

## 63.3 Machten van tien en wetenschappelijke notatie

**Propositie 63.11 (Machten van tien).**

Voor een positief geheel getal $n$ schrijf je $10^n$ als “$1$ gevolgd door $n$ nullen”, en is $10^{-n} = 0.0\dots01$ met de $1$ op de $n$-de decimale plaats. Een [decimaal getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#def-g6-decimals-places) met $10^n$ (respectievelijk $10^{-n}$) vermenigvuldigen verschuift zijn [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) $n$ plaatsen naar rechts (respectievelijk naar links).

**Definitie 63.12 (Wetenschappelijke notatie).**

De *wetenschappelijke notatie* van een positief [decimaal getal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#def-g6-decimals-places) is de enige manier om het te schrijven als

$$
a \times 10^n,
\qquad\text{met } 1 \leq a < 10 \text{ en } n \text{ een geheel getal.}
$$

**Voorbeeld 63.13.**

De afstand Aarde–Zon is ongeveer $149\,600\,000$ km $= 1.496 \times 10^8$ km. De grootte van een watermolecule is ongeveer $0.000\,000\,000\,28$ m $= 2.8 \times 10^{-10}$ m. Om met zulke getallen te rekenen, groepeer je de decimale delen en de [machten](#def-g9-fractions-power) van tien:

$$
(3 \times 10^5) \times (2.5 \times 10^{-2})
= (3 \times 2.5) \times 10^{5 + (-2)}
= 7.5 \times 10^{3}.
$$

**Methode 63.14 (Een getal in wetenschappelijke notatie zetten).**

1. Zet het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) juist achter het eerste cijfer dat niet [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is; dat geeft de factor $a$ met $1 \leq a < 10$ ;
2. tel over hoeveel plaatsen het teken is verschoven: dat aantal is $n$ , positief als het oorspronkelijke getal $\geq 10$ was, negatief als het $< 1$ was;
3. controleer: $a \times 10^n$ moet het oorspronkelijke getal teruggeven.

## 63.4 Oefeningen

**Oefening 63.1 ★.**

Bereken en geef het resultaat als een volledig vereenvoudigde [breuk](#def-g9-fractions-fraction):

$$
\frac13 + \frac15, \qquad
\frac72 - \frac53, \qquad
\frac{5}{12} + \frac38, \qquad
3 - \frac45 .
$$

**Oplossing van Oefening 63.1.**

$\dfrac13 + \dfrac15 = \dfrac{5}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{8}{15}$.

$\dfrac72 - \dfrac53 = \dfrac{21}{6} - \dfrac{10}{6} = \dfrac{11}{6}$.

$\dfrac{5}{12} + \dfrac38 = \dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} =
\dfrac{19}{24}$.

$3 - \dfrac45 = \dfrac{15}{5} - \dfrac45 = \dfrac{11}{5}$.

**Oefening 63.2 ★.**

Bereken en vereenvoudig:

$$
\frac59 \times \frac{27}{35}, \qquad
\frac{8}{15} \div \frac{4}{5}, \qquad
\frac23 \times \frac34 \times \frac45 .
$$

**Oplossing van Oefening 63.2.**

$\dfrac59 \times \dfrac{27}{35} = \dfrac{5 \times 27}{9 \times 35}
= \dfrac{27}{9} \times \dfrac{5}{35} = 3 \times \dfrac17 = \dfrac37$ (vereenvoudigd door $9$ en door $5$).

$\dfrac{8}{15} \div \dfrac45 = \dfrac{8}{15} \times \dfrac54
= \dfrac{8 \times 5}{15 \times 4} = \dfrac{40}{60} = \dfrac23$.

$\dfrac23 \times \dfrac34 \times \dfrac45 = \dfrac{2 \times 3 \times 4}
{3 \times 4 \times 5} = \dfrac25$ (de $3$’s en de $4$’s vallen weg).

**Oefening 63.3 ★.**

Bereken:

$$
2^5, \qquad (-2)^4, \qquad -2^4, \qquad 4^{-2}, \qquad
\left(\tfrac23\right)^3, \qquad 7^0 .
$$

**Oplossing van Oefening 63.3.**

$2^5 = 32$; $(-2)^4 = 16$; $-2^4 = -16$; $4^{-2} = \frac{1}{16}$; $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}$; $7^0 = 1$.

**Oefening 63.4 ★.**

Schrijf als één [macht](#def-g9-fractions-power):

$$
5^3 \times 5^6, \qquad
\frac{7^9}{7^5}, \qquad
\left(2^3\right)^4, \qquad
\frac{3^2 \times 3^7}{3^5}, \qquad
2^5 \times 4 .
$$

**Oplossing van Oefening 63.4.**

$5^3 \times 5^6 = 5^9$; $\dfrac{7^9}{7^5} = 7^4$; $\left(2^3\right)^4 = 2^{12}$; $\dfrac{3^2 \times 3^7}{3^5} = 3^{9-5} = 3^4$; $2^5 \times 4 = 2^5 \times 2^2 = 2^7$.

**Oefening 63.5 ★.**

Schrijf in [wetenschappelijke notatie](#def-g9-fractions-scientific): $45\,000$; $0.0072$; $302.5$; $0.000\,000\,9$; twaalf miljoen.

**Oplossing van Oefening 63.5.**

$45\,000 = 4.5 \times 10^4$; $0.0072 = 7.2 \times 10^{-3}$; $302.5 = 3.025 \times 10^2$; $0.000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$; twaalf miljoen $= 1.2 \times 10^7$.

**Oefening 63.6 ★★.**

Bereken, en geef het resultaat in [wetenschappelijke notatie](#def-g9-fractions-scientific):

$$
(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}),
\qquad
\frac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}},
\qquad
(5 \times 10^3)^2 .
$$

**Oplossing van Oefening 63.6.**

$(2 \times 10^7) \times (4.5 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^{4}$.

$\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{5 - (-2)}
= 3 \times 10^7$.

$(5 \times 10^3)^2 = 25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^7$.

**Oefening 63.7 ★★.**

Een tank is voor $\frac35$ vol. Na het toevoegen van $30$ liter is hij voor $\frac34$ vol. Wat is de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de tank? (Druk eerst uit welk deel van de tank erbij is gekomen.)

**Oplossing van Oefening 63.7.**

Het toegevoegde water is $\dfrac34 - \dfrac35 = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$ van de tank. Dus is $\frac{3}{20}$ van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $30$ liter: $\frac{1}{20}$ is $10$ liter, en de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) is $200$ liter.

**Oefening 63.8 ★★.**

Alice eet $\frac14$ van een cake op, daarna eet Ben $\frac13$ van wat overblijft, en daarna eet Carla $\frac12$ van wat er dan nog over is. Welk deel van de cake blijft er aan het einde over? (Bereken na elke stap de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder).)

**Oplossing van Oefening 63.8.**

Na Alice blijft $1 - \frac14 = \frac34$ van de cake over. Ben eet $\frac13 \times \frac34 = \frac14$ op, waardoor $\frac34 - \frac14 = \frac12$ overblijft. Carla eet daarvan de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) op, $\frac14$, waardoor $\frac14$ van de cake overblijft.

**Oefening 63.9 ★★.**

Licht legt $3 \times 10^8$ meter per seconde af. De Zon staat ongeveer $1.5 \times 10^{11}$ m ver. Hoe lang doet zonlicht erover om ons te bereiken? Geef het antwoord in seconden ([wetenschappelijke notatie](#def-g9-fractions-scientific) is niet nodig), en daarna in minuten en seconden.

**Oplossing van Oefening 63.9.**

Tijd $= \dfrac{\text{afstand}}{\text{snelheid}} =
\dfrac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 = 500$ seconden, dat wil zeggen $8$ minuten en $20$ seconden.

**Oefening 63.10 ★★★.**

Wat is groter, $2^{30}$ of $3^{20}$? (Tip: schrijf beide als [machten](#def-g9-fractions-power) met [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) $10$ met behulp van $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$, en vergelijk $2^3$ met $3^2$.)

**Oplossing van Oefening 63.10.**

Schrijf beide getallen als [machten](#def-g9-fractions-power) met [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) $10$:

$$
2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10},
\qquad
3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}.
$$

Omdat $8 < 9$, geldt na het vermenigvuldigen van tien exemplaren van elk: $8^{10} < 9^{10}$, dus $2^{30} < 3^{20}$.

## 63.5 Opgave: de geheime code van de repeterende decimalen

**Probleem 63.1.**

Weekendopgave — elke breuk heeft een decimale schrijfwijze die stopt of repeteert, elke repeterende decimale schrijfwijze is een breuk, en $0.999\ldots$ is precies $1$

Deel $3$ door $11$ en de cijfers vallen in een dreun: $0.272727\ldots$, eindeloos. Deel $1$ door $4$ en de cijfers stoppen abrupt: $0.25$. Deze opgave bewijst dat dit de enige twee mogelijke gedragingen van een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) zijn — en zet daarna de machine in omgekeerde richting: gegeven een repeterende decimale schrijfwijze, bouwt ze de [breuk](#def-g9-fractions-fraction) terug die erachter schuilt. Onderweg beslecht ze, eens en voor altijd, de meest bediscussieerde gelijkheid van de schoolwiskunde.

**Deel I — Van [breuk](#def-g9-fractions-fraction) naar decimale schrijfwijze.**

1. Bereken met een staartdeling de decimale schrijfwijzen van $\frac14$ , $\frac13$ , $\frac56$ en $\frac{3}{11}$ . Welke stoppen, welke repeteren, en met welk repeterend blok?
2. Leg uit waarom de decimale schrijfwijze van *elke* [breuk](#def-g9-fractions-fraction) $\frac ab$ ofwel moet stoppen, ofwel vanaf een zeker punt moet repeteren. (Welke waarden kunnen de opeenvolgende [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) in de staartdeling door $b$ aannemen? Wat gebeurt er op het ogenblik dat een [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) voor de tweede keer opduikt?)
3. Zet de deling van $1$ door $7$ ver genoeg voort om het repeterende blok te vinden. Hoe lang is het, en hoe verhoudt die lengte zich tot de grens die vraag 2 belooft?
4. Sommige [breuken](#def-g9-fractions-fraction) stoppen doordat hun [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) tot een [macht](#def-g9-fractions-power) van tien kan worden opgeblazen: $\frac14 = \frac{25}{100}$ , $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000}$ . Leg het criterium uit, en ook waarom geen enkele vermenigvuldiger die een heel getal is, $3$ , $6$ of $11$ ooit in $10$ , $100$ , $1000, \dots$ kan omzetten (op welk cijfer zou het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) eindigen?).
5. Verdeel zonder te delen $\frac{9}{40}$ , $\frac{5}{12}$ en $\frac{33}{50}$ over “stopt” en “repeteert”, en geef daarna de decimale schrijfwijze van de twee die stoppen.

**Deel II — Van repeterende decimale schrijfwijze terug naar de [breuk](#def-g9-fractions-fraction).**

6. De verschuiftruc. Zij $x = 0.7777\ldots$ Bereken $10x$ , daarna $10x - x$ , en leid $x$ als [breuk](#def-g9-fractions-fraction) af. Ga het na door te delen.
7. Zij $x = 0.727272\ldots$ Welke [macht](#def-g9-fractions-power) van tien verschuift $x$ over precies één repeterend blok? Schrijf $x$ ermee als een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) in eenvoudigste vorm.
8. Een gemengd geval: $x = 0.58333\ldots$ (alleen de $3$ repeteert). Bereken $1000x - 100x$ en leid $x$ als [breuk](#def-g9-fractions-fraction) in eenvoudigste vorm af.
9. De beroemde: pas de verschuiftruc toe op $x = 0.9999\ldots$ Welke [breuk](#def-g9-fractions-fraction) — welk *getal* — vind je? Verzoen het resultaat met je aanvoelen, en denk daarbij aan de spookbuur van [Probleem 38.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#pb-g6-decimals-1) en de krimpende [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) van [Probleem 39.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#pb-g6-fractions-1) : ligt $0.999\ldots$ “net onder” $1$ , of is het een andere naam voor $1$ ?
10. Zet $2.454545\ldots$ en $0.123123123\ldots$ om in [breuken](#def-g9-fractions-fraction) in eenvoudigste vorm.

**Deel III — Het woordenboek afgemaakt.**

11. Vragen 6–10 suggereren een woordenboek: een blok van $k$ cijfers dat vanaf het [decimaalteken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/25-tienden-en-honderdsten#def-g4-decimals-point) repeteert, is dat blok gedeeld door $k$ negens ( $0.727272\ldots = \frac{72}{99}$ ). Voorspel met het woordenboek $0.037037\ldots$ als [breuk](#def-g9-fractions-fraction) , vereenvoudig — en verwonder je: welke verrassend eenvoudige [breuk](#def-g9-fractions-fraction) dreunt “ $037$ ”? Ga het na door te delen.
12. Combineer het woordenboek met een verschuiving: schrijf $0.0272727\ldots$ als een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) in eenvoudigste vorm.
13. Het getal $0.101001000100001\ldots$ (een $1$ , dan één $0$ , dan een $1$ , dan twee nullen, dan een $1$ , dan drie nullen, en zo verder) stopt nooit. Is het een repeterende decimale schrijfwijze? Wat zegt deel I er dan over — kan het een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) zijn? (Je hebt net je eerste bewijsbaar *irrationale* getal ontmoet; het beroemdste wordt in [Hoofdstuk 65](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/65-vierkantswortels#ch-g9-sqrt) gevangen.)
14. Hoeveel cijfers heeft $2^{30}$ ongeveer? Gebruik $2^{10} = 1\,024 \approx 1.024 \times 10^3$ en de rekenregels voor [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) ( [Stelling 63.9](#thm-g9-fractions-rules) ) om $2^{30}$ in (benaderde) [wetenschappelijke notatie](#def-g9-fractions-scientific) te schrijven, en besluit. (Vergelijk [Oefening 63.10](#exo-g9-fractions-10) .)
15. Slot: schrijf $0.20262026\ldots$ als een [breuk](#def-g9-fractions-fraction) , en formuleer de les in twee richtingen van de hele opgave: welke decimale schrijfwijzen zijn [breuken](#def-g9-fractions-fraction) , en welke [breuken](#def-g9-fractions-fraction) hebben welke decimale schrijfwijze?

**Oplossing van Probleem 63.1.**

**1.** $\frac14 = 0.25$ (stopt); $\frac13 = 0.333\ldots$ (blok $3$); $\frac56 = 0.8333\ldots$ (blok $3$ na de $8$); $\frac{3}{11} = 0.272727\ldots$ (blok $27$).

**2.** Bij elke stap van de deling door $b$ is de [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) een van de $b$ waarden $0, 1, \dots, b - 1$ ([Stelling 37.7](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#thm-g6-wholes-division)). Duikt er een [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $0$ op, dan stopt de deling. Zo niet, dan moet na ten hoogste $b$ stappen een [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) voor de tweede keer opduiken — er zijn meer stappen dan mogelijke [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) — en vanaf dat ogenblik herhaalt de deling precies de rij cijfers die ze na de eerste keer voortbracht: de decimale schrijfwijze draait eeuwig rond. Stoppen of repeteren: een derde gedrag bestaat niet.

**3.** $\frac17 = 0.142857\,142857\ldots$: het blok $142857$ heeft lengte $6$. Vraag 2 beloofde een herhaling binnen ten hoogste $7$ stappen — hier duiken de [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $1, 3, 2, 6, 4, 5$ alle op vóór de $1$ terugkeert: de langst mogelijke dreun voor een deling door $7$.

**4.** $\frac ab$ stopt precies wanneer een zekere $\frac{a \times k}{b \times k}$ als [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) $10$, $100$, $1000, \dots$ heeft — dat wil zeggen wanneer de [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) tot een [macht](#def-g9-fractions-power) van tien kan worden vermenigvuldigd, zoals $4 \times 25 = 100$ of $8 \times 125 = 1\,000$. Voor $3$ en $6$ is dat hopeloos: een [macht](#def-g9-fractions-power) van tien heeft cijfersom $1$, en elk [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $3$ heeft een cijfersom die een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $3$ is — dus is geen enkel [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $3$ (en dus ook niet van $6$) ooit $10$, $100$, $1\,000, \dots$ Voor $11$: $10$, $100$, $1\,000$ en $10\,000$ door $11$ delen laat altijd een [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) ($10$, $1$, $10$, $1, \dots$), nooit $0$. [Noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) die een [macht](#def-g9-fractions-power) van tien bereiken, stoppen; alle andere repeteren.

**5.** $\frac{9}{40}$: $40 \times 25 = 1\,000$, stopt: $\frac{225}{1000} = 0.225$. $\frac{33}{50}$: $50 \times 2 = 100$, stopt: $\frac{66}{100} = 0.66$. $\frac{5}{12}$: $12$ is een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $3$, repeteert ($0.41666\ldots$).

**6.** $10x = 7.777\ldots$, dus is $10x - x = 7$ (de staarten vallen precies tegen elkaar weg), $9x = 7$ en $x = \frac79$. Controle door te delen: $7 \div 9 = 0.777\ldots$

**7.** Het blok heeft twee cijfers, dus verschuif je met $100$: $100x - x = 72.7272\ldots - 0.7272\ldots = 72$, en dus is $99x = 72$ en $x = \frac{72}{99} = \frac{8}{11}$.

**8.** $1000x = 583.333\ldots$ en $100x = 58.333\ldots$; aftrekken geeft $900x = 525$, dus $x = \frac{525}{900} = \frac{7}{12}$ (deel door $75$). En inderdaad is $\frac{7}{12} = 0.58333\ldots$

**9.** $10x - x = 9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$, dus is $9x = 9$ en $x = 1$. Niet “net onder” $1$: $0.999\ldots$ *is* het getal $1$, in een tweede kostuum geschreven. Elk getal strikt onder $1$ laat een gaatje open, en [Probleem 38.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/38-decimale-getallen#pb-g6-decimals-1) liet zien dat in een gaatje altijd nog getallen zitten — terwijl er tussen $0.999\ldots$ en $1$ niets past. De eindeloze negens zijn de chocoladerest van [Probleem 39.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/39-breuken-eerste-stappen#pb-g6-fractions-1), gekrompen onder elke positieve hoeveelheid: er blijft niets over.

**10.** $2.4545\ldots = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} =
\frac{27}{11}$. En $0.123123\ldots = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$ (deel door $3$).

**11.** Volgens het woordenboek: $0.037037\ldots = \frac{37}{999}$. Omdat $999 = 27 \times 37$, vereenvoudigt dat tot $\frac{1}{27}$: de [breuk](#def-g9-fractions-fraction) $\frac{1}{27}$ dreunt “$037$”. Controle door te delen: $1 \div 27 = 0.037037\ldots$

**12.** $0.0272727\ldots = \frac{1}{10} \times 0.272727\ldots
= \frac{1}{10} \times \frac{27}{99} = \frac{27}{990} = \frac{3}{110}$ (deel door $9$).

**13.** De blokken nullen groeien eindeloos, dus kan geen vast blok eeuwig repeteren: het is *geen* repeterende decimale schrijfwijze (en ze stopt ook nooit). Volgens deel I stopt of repeteert elke [breuk](#def-g9-fractions-fraction) — dus is dit getal helemaal geen [breuk](#def-g9-fractions-fraction): het is irrationaal, op maat gemaakt. De superstar van de irrationaliteit, $\sqrt2$, wordt in [Hoofdstuk 65](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/65-vierkantswortels#ch-g9-sqrt) ontmaskerd.

**14.** $2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 \approx (1.024)^3 \times 10^9
\approx 1.07 \times 10^9$: een getal net boven $10^9$, en dus met $10$ cijfers. (Precies: $2^{30} = 1\,073\,741\,824$.)

**15.** $0.20262026\ldots = \frac{2026}{9999}$, al in eenvoudigste vorm ($9999 = 3 \times 3 \times 11 \times 101$ heeft geen factor gemeen met $2026 = 2 \times 1013$). Het afgemaakte woordenboek: *de [breuken](#def-g9-fractions-fraction) zijn precies de decimale schrijfwijzen die stoppen of repeteren* — [noemers](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) die vriendjes van tien zijn stoppen, alle andere dreunen een blok; en omgekeerd is elke dreun, zelfs je afstudeerjaar, een vermomde [breuk](#def-g9-fractions-fraction).