---
title: "Vierkantswortels"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 65
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/65-vierkantswortels
---

# Hoofdstuk 65 — Vierkantswortels

Hoe lang is de diagonaal van een vierkant met zijde $1$? De stelling van Pythagoras antwoordt $\sqrt 2$, een getal met kwadraat $2$ — en dat, zo blijkt, geen [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) is. Dit hoofdstuk definieert [vierkantswortels](#def-g9-sqrt-def), stelt de rekenregels ervoor vast, en leert hoe je uitdrukkingen als $\sqrt{75}$ vereenvoudigt.

## 65.1 Definitie en eerste eigenschappen

**Definitie 65.1 (Vierkantswortel).**

Zij $a \geq 0$. De *vierkantswortel* van $a$, geschreven $\sqrt a$, is het enige *niet-negatieve* getal met kwadraat $a$:

$$
\sqrt a \geq 0
\qquad\text{en}\qquad
\left(\sqrt a\right)^2 = a .
$$

Negatieve getallen hebben geen vierkantswortel, want elk kwadraat is niet-negatief.

**Voorbeeld 65.2.**

$\sqrt{49} = 7$, $\sqrt 0 = 0$, $\sqrt 1 = 1$, $\sqrt{2.25} = 1.5$. De eerste [vierkantswortels](#def-g9-sqrt-def) om uit het hoofd te kennen zijn die van de *volkomen kwadraten*: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$.

![De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte √12 + 12 = √2 1.414, volgens de stelling van Pythagoras ( haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-e4c870763528.svg)

*De diagonaal van een eenheidsvierkant heeft lengte $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$, volgens de stelling van Pythagoras ([Hoofdstuk 69](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/69-goniometrie-in-de-rechthoekige-driehoek#ch-g9-trig) haalt die weer op). Dit getal is irrationaal: zijn decimalen repeteren nooit.*

**Propositie 65.3 (Vierkantswortel van een kwadraat).**

Voor elk reëel getal $x$ (positief of niet):

$$
\sqrt{x^2} = \abs{x} =
\begin{cases}
x & \text{als } x \geq 0,\\
-x & \text{als } x < 0 .
\end{cases}
$$

**Bewijs.** Het getal $\abs{x}$ is niet-negatief en zijn kwadraat is $x^2$ (een getal en zijn [tegengestelde](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/46-negatieve-getallen#def-g7-negatives-def) hebben hetzelfde kwadraat). Omdat het het enige niet-negatieve getal met kwadraat $x^2$ is, is het $\sqrt{x^2}$. ∎

**Voorbeeld 65.4.**

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$: de [vierkantswortel](#def-g9-sqrt-def) “vergeet” het teken, hij herstelt het niet. In het bijzonder is $\sqrt{x^2} = x$ *verkeerd* voor negatieve $x$.

## 65.2 Producten en quotiënten van vierkantswortels

**Stelling 65.5 (Regels voor vermenigvuldigen en delen).**

Voor alle $a \geq 0$ en $b \geq 0$:

$$
\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b,
\qquad\text{en voor } b > 0:\quad
\sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .
$$

**Bewijs.** Het getal $\sqrt a \times \sqrt b$ is niet-negatief (een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van niet-negatieve getallen), en zijn kwadraat is

$$
\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2
= \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2
= a b .
$$

Omdat het niet-negatieve getal met kwadraat $ab$ uniek is, is het gelijk aan $\sqrt{ab}$. De regel voor het [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) bewijs je op dezelfde manier. ∎

**Opmerking 65.6 (Zo’n regel bestaat niet voor sommen!).**

$\sqrt{a + b}$ is in het algemeen *niet* $\sqrt a + \sqrt b$:

$$
\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,
\qquad\text{maar}\qquad
\sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .
$$

**Methode 65.7 (n\sqrt nn​ vereenvoudigen).**

Om de [vierkantswortel](#def-g9-sqrt-def) van een geheel getal te vereenvoudigen:

1. zoek het grootste volkomen kwadraat dat $n$ [deelt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) (ontbind $n$ als dat nodig is);
2. splits met de productregel en haal het kwadraat eruit: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
3. ga na dat geen volkomen kwadraat meer [deelt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) wat onder de wortel is overgebleven.

**Voorbeeld 65.8.**

Vereenvoudig $\sqrt{75}$: omdat $75 = 25 \times 3$, is

$$
\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .
$$

Vereenvoudig $\sqrt{72}$: omdat $72 = 36 \times 2$, is $\sqrt{72} = 6\sqrt2$. En een [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder): $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} =
\dfrac74$.

**Voorbeeld 65.9 (Vierkantswortels optellen).**

Sommen van [vierkantswortels](#def-g9-sqrt-def) vereenvoudigen alleen wanneer de wortels *gelijksoortig* zijn. Bereken $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$, en vereenvoudig eerst elke term:

$$
\begin{align*}
\sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\
\sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\
\sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3,
\end{align*}
$$

zodat de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ is.

**Voorbeeld 65.10 (Uitwerken met vierkantswortels).**

De merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van de algebra gelden ook voor [vierkantswortels](#def-g9-sqrt-def). Werk $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ uit met $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$
\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .
$$

En met het derde [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def), $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$$
\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :
$$

het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van twee irrationale getallen kan een geheel getal zijn.

## 65.3 De vergelijking $x^2 = a$

**Stelling 65.11 (x2=ax^2 = ax2=a oplossen).**

1. Is $a > 0$ , dan heeft de [vergelijking](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) $x^2 = a$ precies twee oplossingen: $\sqrt a$ en $-\sqrt a$ ;
2. is $a = 0$ , dan is $0$ de enige oplossing;
3. is $a < 0$ , dan is er geen oplossing.

**Bewijs.** Herschrijf $x^2 = a$ als $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ wanneer $a \geq 0$, en ontbind als een [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van kwadraten:

$$
\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,
$$

dus is $x = \sqrt a$ of $x = -\sqrt a$ (die vallen samen als $a = 0$). Is $a < 0$, dan is er geen oplossing, want $x^2 \geq 0 > a$ voor elke $x$. ∎

![x2 = 3 oplossen op de parabool y = x2: de horizontale lijn y = 3 snijdt haar in de twee abscissen ±√3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-sqrt/fig-57ab6201daa2.svg)

*$x^2 = 3$ oplossen op de parabool $y = x^2$: de horizontale [lijn](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-objects) $y = 3$ snijdt haar in de twee abscissen $\pm\sqrt3$.*

**Voorbeeld 65.12.**

$x^2 = 16$: oplossingen $4$ en $-4$. $x^2 = 5$: oplossingen $\sqrt5$ en $-\sqrt5$ (exacte waarden; $\sqrt5 \approx 2.236$). $x^2 = -9$: geen oplossing. $3x^2 = 21$: deel eerst door 3, dan is $x^2 = 7$, met oplossingen $\pm\sqrt7$.

## 65.4 Oefeningen

**Oefening 65.1 ★.**

Bereken zonder rekenmachine:

$$
\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad
\sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad
\sqrt{(-4)^2} .
$$

**Oplossing van Oefening 65.1.**

$\sqrt{64} = 8$; $\sqrt{100} = 10$; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (want $0.3^2 = 0.09$); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$.

**Oefening 65.2 ★.**

Vereenvoudig:

$$
\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .
$$

**Oplossing van Oefening 65.2.**

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$.

**Oefening 65.3 ★.**

Bereken en vereenvoudig:

$$
\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad
\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad
\sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad
\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .
$$

**Oplossing van Oefening 65.3.**

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$.

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}}
= \dfrac25$.

**Oefening 65.4 ★.**

Los op: $x^2 = 36$; $x^2 = 11$; $x^2 + 4 = 0$; $2x^2 = 50$.

**Oplossing van Oefening 65.4.**

$x^2 = 36$: $x = 6$ of $x = -6$.

$x^2 = 11$: $x = \sqrt{11}$ of $x = -\sqrt{11}$.

$x^2 + 4 = 0$ betekent $x^2 = -4 < 0$: geen oplossing.

$2x^2 = 50$: $x^2 = 25$, dus $x = 5$ of $x = -5$.

**Oefening 65.5 ★.**

Breng samen tot één term: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$, en daarna $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$.

**Oplossing van Oefening 65.5.**

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$.

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2
= (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$.

**Oefening 65.6 ★★.**

Werk uit en vereenvoudig:

$$
\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad
\left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad
\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).
$$

**Oplossing van Oefening 65.6.**

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$.

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9
= 29 - 12\sqrt5$.

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$.

**Oefening 65.7 ★★.**

Een vierkant veld heeft [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $6400$ m$^2$. Hoe lang is zijn zijde? En zijn diagonaal (exacte waarde, daarna afgerond op de meter)?

**Oplossing van Oefening 65.7.**

Zijde: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonaal (Pythagoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

**Oefening 65.8 ★★.**

Toon aan dat $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (vermenigvuldig [teller](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) en [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def) met $\sqrt2$). Schrijf met dezelfde truc $\dfrac{6}{\sqrt3}$ en $\dfrac{10}{\sqrt5}$ zonder [vierkantswortel](#def-g9-sqrt-def) in de [noemer](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/24-eerste-breuken#def-g4-fractions-def).

**Oplossing van Oefening 65.8.**

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2}
= \dfrac{\sqrt2}{2}$.

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$.

**Oefening 65.9 ★★.**

Waar of niet waar? Verantwoord met een bewijs of een tegenvoorbeeld.

1. Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
2. Voor alle $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
3. Voor alle $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
4. $\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

**Oplossing van Oefening 65.9.**

*1. Waar*: dat is de productregel ([Stelling 65.5](#thm-g9-sqrt-rules)).

*2. Niet waar*: $\sqrt{9 + 16} = 5$, maar $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$.

*3. Niet waar* voor negatieve $x$: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$. De juiste uitspraak is $\sqrt{x^2} = \abs{x}$.

*4. Waar*: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$.

**Oefening 65.10 ★★★.**

Zij $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$. Bereken $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ en leid daaruit een eenvoudiger uitdrukking voor $x$ af. Dezelfde vraag voor $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (mik op een kwadraat van de vorm $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$, en let op het teken).

**Oplossing van Oefening 65.10.**

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$. Dus is $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (een niet-negatief getal, zodat de wortel enkel het kwadraat weghaalt).

Net zo is $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$, en $\sqrt5 - 2 > 0$, dus is $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (niet $2 - \sqrt5$, want dat is negatief!).

## 65.5 Opgave: het getal dat geen breuk is

**Probleem 65.1.**

Weekendopgave — het legendarische bewijs dat $\sqrt2$ irrationaal is, zijn vele neefjes, en het griezelig goede recept van Heron om het te benaderen

De diagonaal van een eenheidsvierkant is een volkomen echte lengte — je hebt ze in [Voorbeeld 58.9](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#ex-g8-pythagoras-diagonal) getekend — en toch meet, zoals de pythagoreërs zo’n vijfentwintig eeuwen geleden tot hun ontzetting ontdekten, *geen enkele [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction)* haar. De legende beweert dat de ontdekking met verdrinking werd bestraft. Deze opgave loodst je door het onsterfelijke bewijs (vier vragen en het is voor het leven van jou), vermenigvuldigt de slachtoffers, en eindigt met het recept waarmee ingenieurs tweeduizend jaar lang het onhandelbare getal handelbaar maakten.

**Deel I — Het bewijs.**

1. Zit het eerst op de hielen: ga na dat $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , en daarna dat $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , door de grenzen te kwadrateren. Nog één cijfer: tussen welke getallen met drie decimalen ligt $\sqrt2$ ?
2. Stel nu — om tot een tegenspraak te komen — dat $\sqrt2 = \frac ab$ voor een zekere [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) *in eenvoudigste vorm* ( [Methode 64.16](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#met-g9-arith-simplify) ). Kwadrateer beide leden en toon aan dat $a^2 = 2 b^2$ . Wat is de pariteit van $a^2$ ?
3. De feiten over pariteit uit [Probleem 58.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#pb-g8-pythagoras-1) zeggen: [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) getallen hebben [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) kwadraten. Leid af dat $a$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is, schrijf $a = 2k$ , vul in — en toon aan dat ook $b$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) moet zijn.
4. Waar zit de tegenspraak? Besluit, en formuleer de stelling helemaal: *$\sqrt2$ is irrationaal — het is geen [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) van hele getallen* .
5. Het bewijs leunde één keer, onopvallend, op de woorden “in eenvoudigste vorm”. Wijs de precieze stap aan die zonder die woorden zou instorten, en leg uit waarom je die eenvoudigste vorm van meet af aan mocht aannemen.

**Deel II — De slachtoffers vermenigvuldigen zich.**

6. Een tweede bewijsstijl, via priemfactorontbindingen ( [Stelling 64.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#thm-g9-arith-factorization) ): vergelijk in $a^2 = 3b^2$ de pariteit van de *[exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) van $3$* in beide leden ( [Probleem 64.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#pb-g9-arith-1) : kwadraten dragen [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) ). Besluit dat $\sqrt3$ irrationaal is.
7. Voer hetzelfde argument met [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) uit op $a^2 = n b^2$ voor een willekeurig heel getal $n$ : voor welke $n$ levert het een tegenspraak, en voor welke mislukt het? Formuleer het volledige resultaat: $\sqrt n$ is irrationaal precies wanneer …
8. Bewijs het schildlemma: een rationaal getal verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) maal een irrationaal getal is irrationaal. (Stel $r x = q$ met $r$ , $q$ rationaal en $r \neq 0$ , en los op naar $x$ .) Leid af dat $2\sqrt2$ en $\frac{\sqrt2}{2}$ irrationaal zijn.
9. Bewijs dat $1 + \sqrt2$ irrationaal is. En dan de mooie: stel dat $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationaal zou zijn, bereken $s^2$ , zonder $\sqrt6$ af, en vind de tegenspraak.
10. Tem het enthousiasme: geef twee irrationale getallen waarvan de *[som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def)* rationaal is, en twee waarvan het *[product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def)* rationaal is. (Irrationaliteit blijft niet bewaard onder rekenkundige bewerkingen — elk geval vraagt zijn eigen bewijs.)

**Deel III — Het recept van Heron.** Tweeduizend jaar vóór de rekenmachines benaderde Heron van Alexandrië $\sqrt2$ zo: *neem een schatting $x$; vervang de schatting door het gemiddelde van $x$ en $\frac2x$; herhaal.*

11. Begin bij de schatting $x = 1$ en bereken de volgende twee schattingen als exacte [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) .
12. Bereken de derde schatting, opnieuw als een exacte [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) , en haar decimale waarde. Vergelijk met vraag 1: hoeveel decimalen van $\sqrt2$ zijn al juist?
13. Het idee achter het recept: een rechthoek met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $2$ en één zijde $x$ heeft als andere zijde $\frac2x$ . Toon aan dat $\sqrt2$ altijd *tussen* $x$ en $\frac2x$ ligt (bekijk de twee gevallen $x^2 > 2$ en $x^2 < 2$ ), zodat het gemiddelde nemen van de twee zijden de rechthoek naar het vierkant toe knijpt.
14. In de schattingen $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ zit een juweel verborgen: bereken $3^2 - 2 \times 2^2$ , daarna $17^2 - 2 \times 12^2$ , en daarna $577^2 - 2 \times 408^2$ . Deel I bewees dat $a^2 - 2b^2 = 0$ onmogelijk is — hoe dicht komen de [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) van Heron bij het onmogelijke?
15. Slot, in twee zinnen: de diagonaal van het eenheidsvierkant bestaat op papier, geen enkele [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) meet haar, en haar decimale schrijfwijze kan nooit repeteren ( [Probleem 63.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#pb-g9-fractions-1) ). Welk soort “nieuwe getallen” moet de getallenlijn dus bevatten — en waar in deze reeks wordt hun volledige verhaal verteld?

**Oplossing van Probleem 65.1.**

**1.** $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$. Met drie decimalen: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, dus is $1.414 < \sqrt2 < 1.415$.

**2.** $\sqrt2 = \frac ab$ kwadrateren geeft $2 = \frac{a^2}{b^2}$, en dus $a^2 = 2b^2$: het getal $a^2$ is twee keer een heel getal — *[even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)*.

**3.** Was $a$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dan zou $a^2$ [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) zijn ([Probleem 58.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/58-de-stelling-van-pythagoras#pb-g8-pythagoras-1)); omdat $a^2$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) is, is $a$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd): $a = 2k$. Invullen geeft $4k^2 = 2b^2$, dus is $b^2 = 2k^2$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd), en volgens hetzelfde feit over pariteit is $b$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd).

**4.** $a$ en $b$ beide [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) betekent: beide [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) door $2$ — maar $\frac ab$ stond in eenvoudigste vorm en had geen gemeenschappelijke [deler](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor). Tegenspraak: de veronderstelde [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) kan niet bestaan. *Stelling: $\sqrt2$ is irrationaal.*

**5.** De tegenspraak zit volledig in “in eenvoudigste vorm”: zonder die woorden spreekt “$a$ en $b$ beide [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)” niets tegen. De eenvoudigste vorm aannemen mag, doordat elke [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) zo’n vorm *heeft* ([Methode 64.16](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#met-g9-arith-simplify): deel de ggd eruit) — was $\sqrt2$ hoe dan ook een [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction), dan zou het een [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) in eenvoudigste vorm zijn, en die is onmogelijk.

**6.** In priemfactorontbindingen dragen kwadraten [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) ([Probleem 64.1](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#pb-g9-arith-1)). In $a^2 = 3b^2$ is de [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) van $3$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) in het linkerlid, maar [oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) in het rechterlid ([even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd) uit $b^2$, plus één). Geen enkel getal heeft twee ontbindingen ([Stelling 64.6](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#thm-g9-arith-factorization)): tegenspraak, en $\sqrt3$ is irrationaal.

**7.** In $a^2 = n b^2$ vindt het argument precies dan een [priemgetal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-prime) met tegenstrijdige pariteit van de [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def), wanneer een [priemgetal](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-prime) in $n$ met een *[oneven](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd)* [exponent](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) voorkomt. Zijn alle [exponenten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/56-machten#def-g8-powers-def) van $n$ [even](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/14-getallen-tot-10-000#def-g3-numbers-evenodd), dan is $n$ een volkomen kwadraat ($n = m^2$, en $\sqrt n = m$ is heel). Volledig resultaat: $\sqrt n$ is irrationaal voor elk heel getal $n$ dat geen volkomen kwadraat is — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

**8.** Uit $r x = q$ met $r \neq 0$ volgt $x = \frac qr$, een [quotiënt](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) van rationale getallen, en dus rationaal. Is $x$ dus irrationaal, dan kan $r x$ niet rationaal zijn: $2\sqrt2$ en $\frac{\sqrt2}{2}$ zijn irrationaal (met vermenigvuldigers $2$ en $\frac12$).

**9.** Was $1 + \sqrt2 = q$ rationaal, dan zou $\sqrt2 = q - 1$ rationaal zijn: tegenspraak. Was $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationaal, dan zou $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ dat ook zijn, wat $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ rationaal maakt — maar $\sqrt6$ is irrationaal (vraag 7). Dus is $\sqrt2 + \sqrt3$ irrationaal.

**10.** Sommen: $\sqrt2$ en $-\sqrt2$ (of $\sqrt2$ en $1 - \sqrt2$) zijn elk irrationaal, met de rationale sommen $0$ en $1$. [Producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def): $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. Irrationaliteit kan in het rekenen verdampen — vandaar de bewijzen geval per geval.

**11.** Vanuit $x = 1$: het gemiddelde van $1$ en $\frac21 = 2$ is $x_1 = \frac32$. Daarna het gemiddelde van $\frac32$ en $\frac{2}{3/2} = \frac43$: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right)
= \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$.

**12.** $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right)
= \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Tegenover $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$: vijf juiste decimalen na drie stappen — het recept verdubbelt het aantal juiste decimalen ruwweg bij elke ronde.

**13.** Is $x^2 > 2$ (schatting te groot), dan is $x > \sqrt2$ en $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: de bijhorende zijde is te klein. Is $x^2 < 2$, dan keren de ongelijkheden om. In beide gevallen ligt $\sqrt2$ tussen $x$ en $\frac2x$, zodat hun gemiddelde — de volgende schatting — dichterbij ligt dan de slechtste van de twee zijden: de rechthoek met [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) $2$ wordt bij elke stap vierkanter.

**14.** $9 - 8 = 1$; $289 - 288 = 1$; $332\,929 - 332\,928 = 1$. Elke schatting $\frac ab$ van Heron voldoet aan $a^2 - 2b^2 = 1$: deel I bewees dat $0$ treffen onmogelijk is, en deze [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) missen het onmogelijke met precies één eenheid — dichterbij kunnen hele getallen nooit komen.

**15.** De getallenlijn moet getallen bevatten die verder gaan dan de [breuken](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) — lengten als $\sqrt2$, waarvan de decimale schrijfwijze eindeloos doorloopt zonder te repeteren: de *reële getallen*. Hun eerlijke opbouw is een verhaal voor het bovenbouwvolume en, in volle strengheid, voor de universitaire [volumes](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-volume).