---
title: "Algebra en vergelijkingen"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 66
exercises: 10
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/66-algebra-en-vergelijkingen
---

# Hoofdstuk 66 — Algebra en vergelijkingen

Letters staan voor getallen, en rekenen met letters bewijst feiten over *alle* getallen tegelijk. Dit hoofdstuk oefent het [uitwerken](#def-g9-algebra-expand) en het ontbinden in factoren — met de drie merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) die je door de hele wiskunde zullen volgen — en lost [vergelijkingen](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) van de eerste graad, productvergelijkingen en eenvoudige ongelijkheden op, telkens één verantwoorde stap per keer.

## 66.1 Uitwerken

**Definitie 66.1 (Uitwerken).**

*Uitwerken* betekent een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) omzetten in een [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def), met behulp van de distributiviteit:

$$
k(a + b) = ka + kb,
\qquad
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
$$

**Voorbeeld 66.2.**

Elke term van het eerste haakje vermenigvuldigt elke term van het tweede:

$$
\begin{align*}
(x + 3)(2x + 5)
&= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\
&= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\
&= 2x^2 + 11x + 15 .
\end{align*}
$$

De tekens reizen met de termen mee:

$$
\begin{align*}
(3x - 2)(x - 4)
&= 3x^2 - 12x - 2x + 8
= 3x^2 - 14x + 8 .
\end{align*}
$$

**Stelling 66.3 (De drie merkwaardige producten).**

Voor alle getallen $a$ en $b$:

$$
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
\qquad
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,
\qquad
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .
$$

**Bewijs.** Werk elk linkerlid uit. Voor het eerste: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Voor het tweede: vervang in het eerste $b$ door $-b$. Voor het derde: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (de kruistermen vallen weg). ∎

![Het merkwaardige product (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, gezien als oppervlakten: het grote vierkant met zijde a+b bestaat uit twee vierkanten en twee gelijke rechthoeken. De “2ab” vergeten is de twee rechthoeken vergeten!](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-3f1377230717.svg)

*Het merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, gezien als [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area): het grote vierkant met zijde $a+b$ bestaat uit twee vierkanten en twee gelijke rechthoeken. De “$2ab$” vergeten is de twee rechthoeken vergeten!*

**Voorbeeld 66.4.**

$$
(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad
(2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .
$$

Hoofdrekenen: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$, en $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$.

## 66.2 Ontbinden in factoren

**Methode 66.5 (Ontbinden in factoren).**

Om een uitdrukking te ontbinden, probeer je op deze volgorde:

1. *gemeenschappelijke factor* : $ka + kb = k(a + b)$ , waarbij $k$ zelf een haakje mag zijn;
2. *[verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van kwadraten* : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
3. *volkomen kwadraat* : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (en met $-2ab$ : $(a-b)^2$ ).

Ga het resultaat altijd na door het uit te werken.

**Voorbeeld 66.6.**

*Gemeenschappelijke factor:* $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$.

*Gemeenschappelijk haakje:*

$$
(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr]
= (x+2)(4x+3).
$$

*[Verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van kwadraten:* $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$, en

$$
(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).
$$

Elke factor heeft nog een gemeenschappelijke factor: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$.

## 66.3 Vergelijkingen

**Methode 66.7 (Vergelijkingen van de eerste graad).**

Om een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) als $5x - 3 = 2x + 9$ op te lossen:

1. breng de $x$ -termen in het ene lid en de getallen in het andere, door bij beide leden dezelfde grootheid op te tellen;
2. herleid elk lid;
3. deel beide leden door de coëfficiënt van $x$ ;
4. ga de oplossing na in de oorspronkelijke [vergelijking](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) .

**Voorbeeld 66.8.**

$$
\begin{align*}
5x - 3 &= 2x + 9 \\
5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(tel $3 - 2x$ bij beide leden op)}\\
3x &= 12 \\
x &= 4 && \text{(deel door 3).}
\end{align*}
$$

Controle: $5 \times 4 - 3 = 17$ en $2 \times 4 + 9 = 17$. De oplossing is $4$.

Met haakjes werk je eerst uit: $3(x - 2) = x + 8$ wordt $3x - 6 = x + 8$, dus $2x = 14$ en $x = 7$.

**Stelling 66.9 (Nulproductregel).**

Een [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) is [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) als en slechts als minstens één factor [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero) is:

$$
A \times B = 0
\quad\Longleftrightarrow\quad
A = 0 \ \text{ of } \ B = 0 .
$$

**Bewijs.** Is een factor [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero), dan is het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) dat duidelijk ook. Omgekeerd: is $A B = 0$ met $A \neq 0$, dan geeft beide leden door $A$ delen $B = 0$. ∎

**Voorbeeld 66.10.**

Los $(x - 3)(2x + 10) = 0$ op: ofwel $x - 3 = 0$, ofwel $2x + 10 = 0$, dus zijn de oplossingen $3$ en $-5$.

Los $x^2 - 49 = 0$ op: ontbind eerst, $(x-7)(x+7) = 0$, met oplossingen $7$ en $-7$.

Los $x^2 = 3x$ op: deel nooit door $x$! Breng over en ontbind: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$, met oplossingen $0$ en $3$.

## 66.4 Ongelijkheden

**Propositie 66.11 (Regels voor ongelijkheden).**

Een ongelijkheid blijft bewaard wanneer je bij beide leden hetzelfde getal optelt, en wanneer je beide leden met hetzelfde *positieve* getal vermenigvuldigt. Beide leden met een *negatief* getal vermenigvuldigen keert het ongelijkheidsteken om.

**Bewijs.** Is $a \leq b$, dan is $b - a \geq 0$. Tel $c$ op: $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$, dus is $a + c \leq b + c$. Vermenigvuldig met $c > 0$: $bc - ac = (b-a)c \geq 0$, dus is $ac \leq bc$. Vermenigvuldig met $c < 0$: $(b-a)c \leq 0$, dus is $ac \geq bc$: de orde is omgekeerd. ∎

**Voorbeeld 66.12.**

Los $7 - 2x < 15$ op:

$$
\begin{align*}
7 - 2x &< 15 \\
-2x &< 8 && \text{(trek 7 af)} \\
x &> -4 && \text{(deel door $-2$: keer het teken om).}
\end{align*}
$$

De oplossingen zijn alle getallen groter dan $-4$: op een getallenlijn een open bolletje bij $-4$ en arcering naar rechts.

![De oplossingen van 7 - 2x < 15: alle x > -4 (open bolletje: -4 zelf is geen oplossing).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-algebra/fig-754390be3efb.svg)

*De oplossingen van $7 - 2x < 15$: alle $x > -4$ (open bolletje: $-4$ zelf is geen oplossing).*

## 66.5 Oefeningen

**Oefening 66.1 ★.**

Werk uit en herleid:

$$
4(3x - 2), \qquad
(x + 6)(x + 2), \qquad
(2x - 3)(x + 5), \qquad
(x - 1)(x - 9).
$$

**Oplossing van Oefening 66.1.**

$4(3x - 2) = 12x - 8$.

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$.

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$.

**Oefening 66.2 ★.**

Werk uit met de merkwaardige [producten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def):

$$
(x + 8)^2, \qquad
(3x - 4)^2, \qquad
(x + 10)(x - 10), \qquad
(5x + 2)(5x - 2).
$$

**Oplossing van Oefening 66.2.**

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$.

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$.

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$.

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$.

**Oefening 66.3 ★.**

Bereken uit het hoofd, met een merkwaardig [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def): $101^2$; $59^2$ (schrijf $59 = 60 - 1$); $53 \times 47$.

**Oplossing van Oefening 66.3.**

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$.

**Oefening 66.4 ★.**

Ontbind in factoren:

$$
9x + 12, \qquad
x^2 - 64, \qquad
x^2 + 14x + 49, \qquad
18x^2 - 6x .
$$

**Oplossing van Oefening 66.4.**

$9x + 12 = 3(3x + 4)$.

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$.

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$.

**Oefening 66.5 ★.**

Los op en schrijf elke stap uit:

$$
4x + 7 = 19, \qquad
6x - 5 = 2x + 11, \qquad
5(x - 3) = 3x + 1 .
$$

**Oplossing van Oefening 66.5.**

$4x + 7 = 19$: $4x = 12$, dus $x = 3$.

$6x - 5 = 2x + 11$: $4x = 16$, dus $x = 4$.

$5(x-3) = 3x + 1$: $5x - 15 = 3x + 1$, dus $2x = 16$ en $x = 8$.

**Oefening 66.6 ★★.**

Los op met de nulproductregel:

$$
(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad
x^2 - 121 = 0, \qquad
(2x - 1)^2 = 0, \qquad
x^2 = 8x .
$$

**Oplossing van Oefening 66.6.**

$(x+4)(3x-12) = 0$: $x = -4$ of $x = 4$.

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$: $x = 11$ of $x = -11$.

$(2x-1)^2 = 0$: de enige oplossing $x = \frac12$.

$x^2 = 8x$: $x(x - 8) = 0$, dus $x = 0$ of $x = 8$.

**Oefening 66.7 ★★.**

Ontbind $E = (3x + 2)^2 - 25$ in factoren, en los daarna $E = 0$ op.

**Oplossing van Oefening 66.7.**

[Verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van kwadraten met $a = 3x + 2$ en $b = 5$:

$$
E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).
$$

Nulproductregel: $3x + 7 = 0$ geeft $x = -\frac73$, en $3x - 3 = 0$ geeft $x = 1$.

**Oefening 66.8 ★★.**

Los de ongelijkheden op en stel de oplossingen voor op een getallenlijn:

$$
3x - 4 \geq 8, \qquad
5 - 2x > 1, \qquad
4(x + 1) \leq x - 5 .
$$

**Oplossing van Oefening 66.8.**

$3x - 4 \geq 8$: $3x \geq 12$, dus $x \geq 4$ (gevuld bolletje bij $4$, arcering naar rechts).

$5 - 2x > 1$: $-2x > -4$; delen door $-2$ keert het teken om: $x < 2$ (open bolletje bij $2$, arcering naar links).

$4(x+1) \leq x - 5$: $4x + 4 \leq x - 5$, dus $3x \leq -9$ en $x \leq -3$ (gevuld bolletje bij $-3$, arcering naar links).

**Oefening 66.9 ★★.**

Ik denk aan een getal, vermenigvuldig het met $3$, tel er $7$ bij op, en krijg hetzelfde resultaat als wanneer ik het met $5$ had vermenigvuldigd en er $9$ van had afgetrokken. Wat is mijn getal? (Stel een [vergelijking](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/57-letterrekenen-en-vergelijkingen#def-g8-equations-def) op en los die op.)

**Oplossing van Oefening 66.9.**

Zij $x$ het getal: $3x + 7 = 5x - 9$. Dan is $16 = 2x$, dus $x = 8$. Controle: $3 \times 8 + 7 = 31$ en $5 \times 8 - 9 = 31$.

**Oefening 66.10 ★★★.**

Zij $n$ een heel getal.

1. Werk $(n + 1)(n - 1)$ uit en leid daaruit af dat het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) van de twee buren van $n$ altijd $n^2 - 1$ is (bijvoorbeeld $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
2. Toon aan dat de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van drie opeenvolgende gehele getallen altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $3$ is.

**Oplossing van Oefening 66.10.**

*1.* $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (het derde merkwaardige [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def)). De buren van $n$ zijn $n - 1$ en $n + 1$, dus is hun [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) $n^2 - 1$: bijvoorbeeld $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$.

*2.* Drie opeenvolgende gehele getallen kun je schrijven als $n - 1$, $n$, $n + 1$. Hun [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) is

$$
(n-1) + n + (n+1) = 3n ,
$$

een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $3$ (drie keer het middelste).

## 66.6 Opgave: de algebra van de cijfers

**Probleem 66.1.**

Weekendopgave — waarom de deelbaarheidsregels werken, de truc met 1089 ontmaskerd, en hoofdrekenen dat op toverkunst lijkt

Op de basisschool leerde je *regels* (een getal is [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) door $9$ wanneer zijn cijfersom dat is); goochelaars voeren *trucs* op (iedereen eindigt op $1089$); op de markt kennen ze *kortere wegen* ($35^2 = 1225$, in een oogwenk). Het is allemaal hetzelfde geheim: een getal met cijfers $a$, $b$, $c$ is de uitdrukking $100a + 10b + c$, en de algebra van dit hoofdstuk ([Stelling 66.3](#thm-g9-algebra-identities), [uitwerken](#def-g9-algebra-expand), ontbinden) kan die uit elkaar halen. Aan het einde van deze opgave heb je de regels bewezen, de truc ontmaskerd en de toverkunst geleerd.

**Deel I — Cijfers onder de microscoop.**

1. Een getal van twee cijfers met tiental $a$ en eenheid $b$ is $10a + b$ . Werk het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen het getal en zijn omkering, $(10a + b) - (10b + a)$ , uit en ontbind het, en formuleer de ontdekking. Ga het na op $72 - 27$ .
2. Bewijs de deelbaarheidsregel voor $9$ voor getallen van drie cijfers: ga de gelijkheid $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c)$$ na, en leg uit waarom die laat zien dat een getal en zijn cijfersom *dezelfde [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder)* laten bij de deling door $9$ — zodat het ene precies dan [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) is door $9$ als het andere dat is ([Propositie 64.3](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#prop-g9-arith-rules), nu bewezen).
3. Leid de regel voor $3$ in één zin uit dezelfde gelijkheid af.
4. De negenproef, de controle van de boekhouders: om $47 \times 86 = 4\,042$ te toetsen, vervang je elk getal door de cijfersom van zijn cijfersom: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , en $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; en dan $4\,042 \to 10 \to 1$ : samenhangend. Leg uit waarom een juist [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) de proef moet doorstaan (schrijf $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ en werk uit), en zoek een verkeerd resultaat dat de proef niet opmerkt (waarom zijn verwisselde cijfers voor haar onzichtbaar?).
5. Bewijs de deelbaarheidsregel voor $11$ voor getallen van vier cijfers: ga $$1000a + 100b + 10c + d  = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d)$$ na, en gebruik die om te beslissen of $2\,926$ [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) is door $11$.

**Deel II — De truc met 1089.** De truc: denk aan een getal van drie cijfers waarvan het eerste en het laatste cijfer minstens $2$ verschillen; keer het om; trek het kleinste van het grootste af; keer het resultaat om; tel de laatste twee getallen op. De goochelaar kondigt aan: *1089*.

6. Voer de truc uit op $742$ en op een getal van je keuze.
7. Zij het getal met cijfers $a$ , $b$ , $c$ en $a > c$ . Ontbind de eerste aftrekking, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , en noem alle waarden die ze kan aannemen wanneer $a - c$ van $2$ tot $9$ loopt.
8. Elk van die [veelvouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/32-delen-en-veelvouden#def-g5-division-multiple) van $99$ heeft een opvallend cijferpatroon. Ga, met $m = a - c$, de gelijkheid $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m)$$ na, en lees de drie cijfers van $99m$ af.
9. Tel $99m$ bij zijn eigen omkering op, met de cijfers van vraag 8, en bewijs dat het totaal $1089$ is — wat $m$ ook is. De truc is dood; lang leve de algebra.
10. Waarom eiste de goochelaar dat het eerste en het laatste cijfer minstens $2$ verschillen? Bekijk de gevallen $a = c$ en $a - c = 1$ (waar de aftrekking $99$ geeft, dat als $099$ geschreven moet worden om de omkering te laten werken), en formuleer de kleine lettertjes die de truc eerlijk houden.

**Deel III — Toverkunst voor dagelijks gebruik.**

11. De verjaardagstruc: “vermenigvuldig je geboortemaand met $5$ , tel er $7$ bij op, verdubbel, tel je geboortedag erbij op, trek er $14$ van af.” Toon aan dat het resultaat altijd $10m + d$ is — maand en dag, in één oogopslag leesbaar. (Probeer het op iemand uit.)
12. Je herontwerpt de truc als: “vermenigvuldig de maand met $5$ , tel er $9$ bij op, verdubbel, tel de dag erbij op.” Welk getal moet de kijker nu aan het einde aftrekken om dezelfde uitkomst met maand en dag te lezen?
13. De truc van het ontbrekende cijfer: de kijker kiest een willekeurig getal, trekt er zijn cijfersom van af (vraag 2 zegt dat het resultaat altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$ is — leg dat uit voor een getal van drie cijfers), streept daarna één cijfer *verschillend van [nul](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/1-tellen-tot-20#def-g1-counting-zero)* door en leest je de overblijvende cijfers voor. Leg uit hoe je het doorgestreepte cijfer terugvindt, en waarom $0$ uitgesloten moest worden.
14. Toverkunst van de markt: bewijs de gelijkheid $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , formuleer de regel om elk getal dat op $5$ eindigt te kwadrateren, en bereken $45^2$ , $85^2$ en $105^2$ uit het hoofd.
15. Slot, in het verlengde van [Oefening 66.10](#exo-g9-algebra-10) : bewijs dat de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van vijf opeenvolgende gehele getallen altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $5$ is, maar dat de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van *vier* opeenvolgende gehele getallen *nooit* een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $4$ is. (Twee korte berekeningen — en één les over wat de algebra met de woorden “altijd” en “nooit” doet.)

**Oplossing van Probleem 66.1.**

**1.** $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$: het [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) tussen een getal van twee cijfers en zijn omkering is altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$. Controle: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$, en $a - b = 7 - 2 = 5$.

**2.** Het rechterlid [uitwerken](#def-g9-algebra-expand) geeft $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$. Het getal is dus een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$ plus zijn cijfersom: bij deling door $9$ laten beide dezelfde [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder). In het bijzonder betekent [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $0$ voor het ene [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $0$ voor het andere: de deelbaarheidsregel voor $9$, bewezen.

**3.** $9(11a + b)$ is ook een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $3$, dus laat dezelfde gelijkheid zien dat het getal en zijn cijfersom bij deling door $3$ dezelfde [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) laten: de regel voor $3$.

**4.** Schrijf $47 = 9k + 2$ en $86 = 9l + 5$. Dan is

$$
47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5)
= 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :
$$

het [product](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/10-vermenigvuldigen-eerste-stappen#def-g2-mult-def) laat dezelfde [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) als $2 \times 5 = 10$, namelijk $1$. Een juist resultaat moet dus ook [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $1$ laten — en dat doet $4\,042$. Maar de proef ziet alleen [resten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder): $4\,042$ en $4\,402$ (met verwisselde cijfers) doorstaan haar even goed, dus bewijst doorstaan niets — alleen zakken is bezwarend.

**5.** [Uitwerken](#def-g9-algebra-expand): $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d
= 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$. Het getal is dus precies dan [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) door $11$ wanneer zijn alternerende [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) $-a + b - c + d$ dat is. Voor $2\,926$: $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$, [deelbaar](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/37-gehele-getallen#def-g6-wholes-divisible) door $11$: ja, $2\,926 = 11 \times 266$.

**6.** $742 - 247 = 495$; $495 + 594 = 1\,089$. Elk geldig voorbeeld landt ook op $1\,089$.

**7.** $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$. Voor $a - c = 2, 3, \dots, 9$:

$$
198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .
$$

**8.** $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$. De drie cijfers van $99m$ zijn dus $m - 1$, dan $9$, dan $10 - m$ (controle op $495$: $m = 5$ geeft $4$, $9$, $5$).

**9.** De omkering van $99m$ heeft de cijfers $10 - m$, $9$, $m - 1$, en is dus gelijk aan $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$. Optellen:

$$
100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1)
= 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,
$$

onafhankelijk van $m$. Wat het beginnetal ook is, de goochelaar zit veilig.

**10.** Is $a = c$, dan geeft de aftrekking $0$ en sterft de truc onmiddellijk. Is $a - c = 1$, dan geeft ze $99$, dat als de rij van drie cijfers $099$ behandeld moet worden (omkering $990$, en $99 + 990 = 1\,089$: gered!). De kleine lettertjes: verschillen van $1$ werken alleen als de kijker het resultaat van de aftrekking met drie cijfers opschrijft, voorloopnul inbegrepen — een [verschil](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/3-aftrekken-eerste-stappen#ex-g1-subtraction-difference) van minstens $2$ eisen omzeilt de discussie.

**11.** $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$: de tientallen (en honderdtallen, voor oktober–december) geven de maand, de eenheden (en tientallen) de dag.

**12.** $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$: trek $18$ af.

**13.** Volgens vraag 2 is $n - (\text{cijfersom van } n) = 9(11a + b)$ voor een $n$ van drie cijfers: altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$ (voor elke lengte werken soortgelijke gelijkheden). Een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$ heeft een cijfersom die een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$ is (weer vraag 2), dus moeten de cijfers die de kijker voorleest aangevuld worden tot het volgende [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$: het ontbrekende cijfer is die aanvulling. Dubbelzinnigheid: is de [som](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/2-optellen-eerste-stappen#def-g1-addition-def) van de voorgelezen cijfers al een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $9$, dan kan het doorgestreepte cijfer $0$ of $9$ zijn — $0$ uitsluiten haalt de twijfel weg.

**14.** $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$: schrijf $t(t+1)$, en plak er $25$ achter. $45^2$: $4 \times 5 = 20$, dus $2\,025$. $85^2$: $8 \times 9 = 72$, dus $7\,225$. $105^2$: $10 \times 11 = 110$, dus $11\,025$.

**15.** Vijf opeenvolgende: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10
= 5(n + 2)$: altijd een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor) van $5$. Vier opeenvolgende: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$: [rest](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-remainder) $2$ bij de deling door $4$, dus nooit een [veelvoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/64-getaltheorie-delers-en-priemgetallen#def-g9-arith-divisor). De algebra zet “het lijkt te werken” om in *altijd*, en “ik vond geen voorbeeld” in *nooit* — twee woorden die geen enkele hoeveelheid proberen kan bereiken ([Methode 48.8](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/48-uitdrukkingen-met-letters#met-g7-literal-test)).