---
title: "Lichamen en inhouden"
book: "Wiskunde basisschool en onderbouw"
subject: math
language: nl
chapter: 70
exercises: 9
source: https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/70-lichamen-en-inhouden
---

# Hoofdstuk 70 — Lichamen en inhouden

De ruimtemeetkunde begint met een kleine familie van lichamen — [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism)’s, [cilinders](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism), [piramides](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def), [kegels](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def), bollen — en met twee vragen: hoeveel bevatten ze ([inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units)), en wat zie je wanneer je ze doorsnijdt ([doorsneden](#prop-g9-solids-sections))? Het hoofdstuk sluit af met een feit van groot praktisch belang: een [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met $k$ schalen vermenigvuldigt zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $k^3$.

## 70.1 De klassieke lichamen en hun inhoud

**Stelling 70.1 (Formules voor de inhoud).**

Schrijf $B$ voor de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak en $h$ voor de hoogte (de afstand tussen het grondvlak en het overstaande [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) of de top).

| [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) | [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) |
| --- | --- |
| [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism), [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) | $V = B \times h$ |
| [5pt] [piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def), [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) | $V = \dfrac13\, B \times h$ |
| [5pt] bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ | $V = \dfrac43\,\pi r^3$ |

Voor een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) en een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ is de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak $B = \pi r^2$; de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het boloppervlak is $4\pi r^2$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![De lichamen van dit hoofdstuk. Bij elk komen in de inhoud een oppervlakte van een grondvlak en een hoogte voor — behalve bij de bol, die alleen zijn radius nodig heeft.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-4cb8e0ad54e4.svg)

*De lichamen van dit hoofdstuk. Bij elk komen in de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) een [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van een grondvlak en een hoogte voor — behalve bij de bol, die alleen zijn [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) nodig heeft.*

**Voorbeeld 70.2.**

Een cilindrisch blikje heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm en hoogte $10$ cm:

$$
V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3
\approx 0.5 \text{ L}.
$$

Een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte bevat daarvan een derde: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm$^3$. Een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm$^3$.

**Voorbeeld 70.3 (Een piramide stap voor stap).**

Een [piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) heeft een vierkant grondvlak met zijde $6$ m en hoogte $5$ m.

1. [Oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
2. [Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) : $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Let op de eenheden: was de zijde in cm en de hoogte in m gegeven, dan zou eerst een van beide omgezet moeten worden.

## 70.2 Doorsneden met vlakken

**Propositie 70.4 (Doorsneden van de klassieke lichamen).**

Een [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met een vlak doorsnijden geeft een vlakke figuur, de *doorsnede*:

- een [prisma](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) of [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) , *[parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met zijn grondvlak* [doorsneden](#prop-g9-solids-sections) , geeft op elke hoogte een kopie van het grondvlak;
- een [piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) of [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) , [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met zijn grondvlak [doorsneden](#prop-g9-solids-sections) , geeft een *verkleining* van het grondvlak: op afstand $d$ van de top is de [schaalfactor](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#def-g9-thales-scaling) $k = \frac{d}{h}$ ;
- een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ , [doorsneden](#prop-g9-solids-sections) met een vlak op afstand $d < r$ van het middelpunt, geeft een cirkel met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$ (volgens de stelling van Pythagoras).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![Links: een kegel parallel met zijn grondvlak doorsnijden op afstand d van de top geeft een schijf, geschaald met k = dh. Rechts: een vlak op afstand d van het middelpunt van een bol snijdt haar in een cirkel met radius √r2 - d2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g9-solids/fig-8209e395e292.svg)

*Links: een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met zijn grondvlak doorsnijden op afstand $d$ van de top geeft een schijf, geschaald met $k = \frac dh$. Rechts: een vlak op afstand $d$ van het middelpunt van een bol snijdt haar in een cirkel met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{r^2 - d^2}$.*

**Voorbeeld 70.5.**

Een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) heeft grondradius $6$ en hoogte $9$. De [doorsnede](#prop-g9-solids-sections) met een vlak [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met het grondvlak, op afstand $3$ van de top, is een schijf geschaald met $k = \frac39 = \frac13$: haar [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) is $6 \times \frac13 = 2$.

Een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ wordt [doorsneden](#prop-g9-solids-sections) met een vlak op afstand $3$ van haar middelpunt: de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections) is een cirkel met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $\sqrt{25 - 9} = 4$.

## 70.3 Lichamen schalen

**Stelling 70.6 (Gevolg van een schaling voor lengten, oppervlakten en inhouden).**

Wordt een [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) vergroot of verkleind met de [schaalfactor](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#def-g9-thales-scaling) $k > 0$, dan:

- worden alle lengten met $k$ vermenigvuldigd;
- worden alle [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) met $k^2$ vermenigvuldigd;
- worden alle [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $k^3$ vermenigvuldigd.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 70.7.**

Een modelauto op schaal $\frac{1}{18}$: de lengten zijn die van de echte auto vermenigvuldigd met $k = \frac{1}{18}$, het geverfde oppervlak vermenigvuldigd met $k^2 = \frac{1}{324}$, en de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $k^3 = \frac{1}{5832}$.

De [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van een bol verdubbelen ($k = 2$) vermenigvuldigt haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $2^3 = 8$: ga het na op de formule, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$.

**Voorbeeld 70.8 (Afgeknotte kegel).**

Een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met hoogte $9$ en grondradius $6$ ([inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$) wordt op afstand $3$ van de top [doorsneden](#prop-g9-solids-sections), en de kleine [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) boven de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections) wordt weggehaald. De kleine [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) is de verkleining met $k = \frac13$, dus is zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$. Het [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) dat overblijft (een *afgeknotte [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def)*) heeft [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$.

## 70.4 Oefeningen

**Oefening 70.1 ★.**

Bereken de [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units): een [balk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met afmetingen $4 \times 5 \times 12$; een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ en hoogte $7$ (exacte waarde met $\pi$, daarna afgerond op de eenheid).

**Oplossing van Oefening 70.1.**

[Balk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def): $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$.

[Cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism): $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$.

**Oefening 70.2 ★.**

Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $5$ en hoogte $12$, en van een [piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met [rechthoekig](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/41-driehoeken-en-vierhoeken#def-g6-shapes-triangles) grondvlak $8 \times 3$ en hoogte $10$.

**Oplossing van Oefening 70.2.**

[Kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def): $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi
\approx 314$.

[Piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def): [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak $B = 8 \times 3 = 24$, dus $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$.

**Oefening 70.3 ★.**

Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) en de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het boloppervlak van een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ (exacte waarden met $\pi$).

**Oplossing van Oefening 70.3.**

[Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units): $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$.

[Oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het boloppervlak: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$.

**Oefening 70.4 ★.**

Een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $10$ wordt [doorsneden](#prop-g9-solids-sections) met een vlak op afstand $8$ van haar middelpunt. Wat is de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de cirkel van de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections)?

**Oplossing van Oefening 70.4.**

[Radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections): $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

**Oefening 70.5 ★★.**

Een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) heeft grondradius $8$ en hoogte $12$. Een vlak [parallel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/40-lijnen-cirkels-en-hoeken#def-g6-lines-perp) met het grondvlak snijdt hem op afstand $9$ van de top. Bereken de [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections), en daarna de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de kleine [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) boven de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections).

**Oplossing van Oefening 70.5.**

[Schaalfactor](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/68-de-stelling-van-thales#def-g9-thales-scaling) van de hele [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) naar de kleine: $k = \frac{9}{12} = \frac34$. [Radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections): $8 \times \frac34 = 6$.

[Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de hele [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def): $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$. [Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de kleine [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def): $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64}
= 108\pi \approx 339$.

**Oefening 70.6 ★★.**

Een cilindrisch glas met binnenradius $3$ cm bevat water tot een hoogte van $10$ cm. Een bal met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm wordt er volledig in ondergedompeld. Hoeveel stijgt het waterpeil? (De toegevoegde [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) verdeelt zich over de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak van het glas; geef de exacte stijging, en rond daarna af op de millimeter.)

**Oplossing van Oefening 70.6.**

[Inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de bal: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm$^3$. Die [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) verdeelt zich over de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het grondvlak $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm$^2$, dus stijgt het peil met

$$
\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}
$$

(ongeveer $12$ mm).

**Oefening 70.7 ★★.**

Een recept vult een bolvormige vorm met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm. Je hebt alleen een bolvormige vorm met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Hoeveel kleine vormen kun je vullen? (Antwoord zonder een van beide [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) uitdrukkelijk te berekenen.)

**Oplossing van Oefening 70.7.**

De kleine vorm is de verkleining van de grote met $k = \frac36 = \frac12$, dus is haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van die van de grote: het recept vult $8$ kleine vormen.

**Oefening 70.8 ★★.**

De Grote [Piramide](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) van Gizeh heeft een vierkant grondvlak met een zijde van ongeveer $230$ m en een hoogte van ongeveer $147$ m. Schat haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units), en druk die uit in miljoenen kubieke meter.

**Oplossing van Oefening 70.8.**

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147
= 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m$^3$ — ongeveer $2.6$ miljoen kubieke meter.

**Oefening 70.9 ★★★.**

Een kegelvormige trechter met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $6$ cm en hoogte $12$ cm, met de top naar onder, wordt met water gevuld tot de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van zijn *hoogte* (gemeten vanaf de top).

1. Welk deel van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de trechter is gevuld?
2. Wordt hij in de plaats daarvan met de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van zijn *[inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units)* water gevuld, toon dan aan dat de waterhoogte $d$ voldoet aan $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , en geef $d$ op de millimeter ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

**Oplossing van Oefening 70.9.**

*1.* Het water vormt een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) geschaald met $k = \frac12$ (top naar onder, de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de hoogte), dus is zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ van die van de trechter: een achtste, veel minder dan de [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half)!

*2.* Water tot hoogte $d$ vormt een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) geschaald met $k = \frac{d}{12}$, met een [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) die $k^3$ keer die van de trechter is. De [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) betekent $k^3 = \frac12$, dat wil zeggen $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$. Dan is $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$, dus $d \approx 9.5$ cm: de tweede [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) neemt maar de bovenste $2.5$ cm in — het brede deel van de [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) bevat het meeste water.

## 70.5 Opgave: de grafsteen van Archimedes

**Probleem 70.1.**

Weekendopgave — de bol is twee derde van haar cilinder (twee keer), de stapel 1:2:3, en de kwadraat-kubuswet die reuzen verbiedt

Archimedes bewees vele stellingen, maar op één was hij zo trots dat hij vroeg om haar *figuur* in zijn grafsteen te beitelen: een bol genesteld in haar nauwste [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism). Een eeuw later herkende de Romeinse schrijver Cicero, zoekend in de braamstruiken bij Syracuse, het graf “aan de bol en de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism)”. Deze opgave haalt terug wat dat beeldhouwwerk in zich draagt — een dubbel wonder van twee derde — en volgt daarna [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) en [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) ([Stelling 70.1](#thm-g9-solids-volumes), [Stelling 70.6](#thm-g9-solids-scaling)) naar een wet die reuzen, mieren en afkoelende planeten regeert.

**Deel I — Het beeldhouwwerk ontcijferd.** Een bol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ zit precies in een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism): dezelfde [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes), hoogte $2r$.

1. Bereken de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) in $r$ .
2. Bereken de verhouding van de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van de bol tot die van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) . Waarom zou Archimedes het mooi gevonden hebben dat het antwoord geen $\pi$ en geen $r$ bevat?
3. Nu de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) : vergelijk de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van het boloppervlak met de *totale* [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) (het [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) plus de twee deksels). Welke verhouding duikt op — opnieuw?
4. De lege ruimte tussen bol en [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) heeft [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Toon aan dat wat overblijft precies gelijk is aan de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van *twee [kegels](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def)* met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ en hoogte $r$ .
5. Een basketbal met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $12$ cm wordt in de nauwste cilindrische doos verkocht. Bereken beide [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) (op $100$ cm $^3$ nauwkeurig) en het percentage van de doos dat leeg is.

**Deel II — Schalen, vormen en manen.**

6. Een halfbolvormige schaal heeft [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm. Bereken haar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) , in cm $^3$ en in liter (op de deciliter).
7. De stapel 1:2:3: een [kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) , een halve bol en een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) , alle met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $10$ cm en hoogte $10$ cm. Bereken de drie [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) en ga de legendarische verhouding $1 : 2 : 3$ na. (Ook deze zou Archimedes gesmaakt hebben.)
8. Een chocoladebol met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm wordt gesmolten in een cilindrische vorm met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm. Welke hoogte bereikt de chocolade? (Exacte [breuk](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-fraction) , en daarna op de millimeter.)
9. De [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van de Aarde is ongeveer $6\,371$ km, die van de Maan ongeveer $1\,737$ km. Bereken de verhouding van de radiussen, en daarna — met [Stelling 70.6](#thm-g9-solids-scaling) — de verhouding van de [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) : hoeveel Manen zouden er, naar [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) , in een holle Aarde passen?
10. Uit dezelfde stelling: wat is de verhouding van de *[oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area)* van Aarde en Maan? En in het algemeen: wat gebeurt er met de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) en met het oppervlak van een ballon wanneer zijn [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) verdubbelt? Formuleer de *kwadraat-kubuswet* : schaalt een vorm op, dan lopen de [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) de [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) voorbij.

**Deel III — De kwadraat-kubuswet regeert de wereld.**

11. Het argument van Galilei tegen reuzen: stel je een mens voor die met een factor $10$ is opgeschaald, met dezelfde verhoudingen. Met welke factor groeit het gewicht (gewicht volgt de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) )? Met welke factor groeit de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections) van de beenderen (een [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) )? Met welke factor groeit dan de *druk* op elke vierkante centimeter been — en wat gebeurt er met de reus?
12. Dezelfde wet in omgekeerde richting verklaart het heldendom van mieren: kracht volgt de [doorsnede](#prop-g9-solids-sections) van de spieren (een [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) ), gewicht volgt de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) . Met welke factoren krimpen gewicht en kracht voor een dier dat in elke richting $100$ keer kleiner is, en met welke factor verbetert de verhouding van kracht tot gewicht?
13. Warmte wordt geproduceerd door de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) van het [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) en verloren via zijn oppervlak. Toon aan dat de verhouding van oppervlak tot [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) voor een bol $\frac{3}{r}$ is, en bereken die voor $r = 1$ en $r = 2$ . Wat koelt sneller af, een muis of een beer — en waarom hebben baby’s in de winter een muts nodig?
14. Twee bolvormige sinaasappels met radiussen $4$ cm en $5$ cm worden voor dezelfde prijs verkocht. Bereken de verhouding van hun [inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) : hoeveel meer sinaasappel geeft de grote voor hetzelfde geld?
15. Slot: beschrijf precies wat de figuur op de grafsteen in zich draagt — de twee keer “twee derde” van vragen 2 en 3 — en antwoord Cicero in één zin: waarom zou een wiskundige, boven elke verovering van zijn ingenieursgenie, een bol in een [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) kiezen?

**Oplossing van Probleem 70.1.**

**1.** $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$.

**2.** $\dfrac{V_{\text{bol}}}{V_{\text{cil}}}
= \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$. De $\pi$ en de $r^3$ vallen weg: de verhouding is *universeel* — waar voor een knikker en voor een planeet. Een verband tussen vormen, niet tussen getallen: precies het soort waarheid dat het verdient in steen gebeiteld te worden.

**3.** Bol: $4\pi r^2$. [Cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism): het [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, plus twee deksels $2 \times \pi r^2$: samen $6\pi r^2$. Verhouding: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — dezelfde twee derde, nu voor [oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area). (En een extraatje: de [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) van de bol is precies gelijk aan die van het [zijvlak](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism).)

**4.** Wat overblijft: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$. Twee [kegels](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def) met [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) $r$ en hoogte $r$: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r
= \frac23 \pi r^3$. Gelijk.

**5.** Bal: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; doos: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$. Leeg: een derde van de doos, ongeveer $33\,\%$ — gewaarborgd door vraag 2, wat de grootte van de bal ook is.

**6.** De [helft](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/17-verdelen-en-delen#def-g3-division-half) van een bol: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx
2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L.

**7.** [Kegel](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/62-piramides-en-kegels#def-g8-solids-def): $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3}
\approx 1\,047$ cm$^3$. Halve bol: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$. [Cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism): $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$. Verhoudingen: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$, precies.

**8.** $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ geeft $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, precies.

**9.** Radiussen: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$. [Inhouden](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) schalen met de derde [macht](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/63-breuken-en-machten#def-g9-fractions-power) ([Stelling 70.6](#thm-g9-solids-scaling)): $3.67^3 \approx 49$. Er passen ongeveer vijftig Manen in de Aarde.

**10.** [Oppervlakten](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) schalen met het kwadraat: $3.67^2 \approx 13.5$. De [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes) van een ballon verdubbelen vermenigvuldigt zijn [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) met $2^3 = 8$, maar zijn oppervlak met slechts $2^2 = 4$: als dingen groeien, loopt de [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units) (gewicht, vulling, geproduceerde warmte) het oppervlak (huid, materiaal, verloren warmte) voorbij — de kwadraat-kubuswet.

**11.** Gewicht: $\times 10^3 = 1\,000$. [Doorsnede](#prop-g9-solids-sections) van het been: $\times 10^2 = 100$. Druk — gewicht per [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) been: $\times \frac{1000}{100} = 10$. Beenderen die voor menselijke druk gebouwd zijn, krijgen er tien keer zoveel: het skelet van de reus knapt onder zijn eigen gewicht. Reuzen zijn meetkundig onmogelijk; grote dieren hebben onevenredig dikke beenderen nodig (vergelijk de benen van een olifant met die van een gazelle).

**12.** Gewicht: $\div 100^3 = 10^6$. Kracht ([doorsnede](#prop-g9-solids-sections) van de spieren): $\div 100^2 = 10^4$. Kracht ten opzichte van gewicht: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$. De mier die vijftig keer haar gewicht tilt is geen superatleet — ze is alleen maar klein; een mens die tot mierengrootte krimpt, zou hetzelfde kunnen.

**13.** $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$: voor $r = 1$ is de verhouding $3$, voor $r = 2$ is ze $1.5$ — de grootte halveren verdubbelt het beschikbare oppervlak per eenheid warmteproducerende [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units). Kleine lichamen bloeden warmte weg: de muis moet onophoudelijk eten, de beer kan een winterslaap houden, en de baby — kleine bol, grote $\frac Sr$ — heeft de muts nodig.

**14.** $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$: de grote sinaasappel bevat bijna *twee keer* zoveel vrucht voor dezelfde prijs. Koop [radius](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/18-figuren-en-rechte-hoeken#def-g3-shapes-shapes).

**15.** Het beeldhouwwerk zegt: de bol is $\frac23$ van de [cilinder](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/53-oppervlaktes-en-volumes#def-g7-areas-prism) in [inhoud](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/12-geld-en-maten#def-g2-measure-units), *en* $\frac23$ ervan in totale [oppervlakte](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/43-omtrek-oppervlakte-volume#def-g6-measure-area) — twee exacte, universele verhoudingen die het rondste [lichaam](https://one-course.com/books/math/1/nl/chapter/35-kubussen-en-balken#def-g5-solids-def) met het eenvoudigste verbinden. Het antwoord aan Cicero: omdat een stelling het enige monument is dat legers noch eeuwen afslijten — de machines van Archimedes verbrandden met Syracuse, maar de twee derde is nog steeds precies twee derde.