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title: "Formas e ângulos retos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 18
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos
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# Capítulo 18 — Formas e ângulos retos

Quadrados, retângulos, triângulos, círculos: as formas já são velhas conhecidas. Este capítulo as observa com olho de geômetra — o que exatamente faz de um quadrado um quadrado? — e apresenta a ferramenta que decide: o esquadro e o seu [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle).

## 18.1 O ângulo reto

**Definição 18.1 (Ângulo reto).**

Um *ângulo reto* é o ângulo do canto de uma folha de papel, ou do esquadro. Duas retas que formam um ângulo reto são *perpendiculares*. Nas figuras, o ângulo reto é marcado com um quadradinho no canto.

**Método 18.2 (Conferir um ângulo reto).**

1. Ponha o canto do esquadro exatamente sobre o canto a testar;
2. deslize uma das bordas do esquadro ao longo de um dos lados do ângulo;
3. se o outro lado do ângulo correr exatamente ao longo da outra borda, o ângulo é reto — se abrir mais ou menos, não é.

![Só o primeiro ângulo é reto — e só o quadradinho de marca, ou o esquadro, pode garantir isso: os olhos sozinhos se enganam com facilidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-1c76ee731705.svg)

*Só o primeiro ângulo é reto — e só o quadradinho de marca, ou o esquadro, pode garantir isso: os olhos sozinhos se enganam com facilidade.*

## 18.2 As formas e as suas regras

**Definição 18.3 (Quadrado, retângulo, triângulo).**

- Um *retângulo* tem $4$ lados e $4$ [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) ; os seus lados opostos têm o mesmo comprimento.
- Um *quadrado* é um retângulo cujos $4$ lados têm todos o mesmo comprimento.
- Um *triângulo* tem $3$ lados; um *triângulo retângulo* tem um [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle) .
- Um *círculo* é traçado com o compasso: todos os seus pontos estão à mesma distância (o *raio* ) do *centro* .

![A galeria de formas, com as suas marcas: quadradinhos para os ângulos retos, tracinhos para os lados iguais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-1808830bc14f.svg)

*A galeria de formas, com as suas marcas: quadradinhos para os [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle), tracinhos para os lados iguais.*

**Exemplo 18.4 (Por que as marcas importam).**

Uma forma desenhada um pouco inclinada pode *parecer* um quadrado sem ser um. As marcas dizem a verdade: $4$ quadradinhos de [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle) $+$ $4$ tracinhos $=$ um quadrado de verdade. Quando desenhar, ponha as marcas; quando ler uma figura, confie apenas nas marcas e nas medidas dadas.

## 18.3 Desenhar no papel quadriculado

**Método 18.5 (Construções na malha).**

O papel quadriculado oferece [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) de graça: as suas linhas são perpendiculares.

1. Para desenhar um retângulo $5$ por $3$ : escolha um cruzamento, conte $5$ quadradinhos para a direita e $3$ para cima, e feche a forma pelas linhas da malha;
2. para conferir comprimentos iguais, conte quadradinhos;
3. passos na diagonal fazem linhas inclinadas: repetir “ $1$ para a direita, $1$ para cima” traça uma reta de $45^\circ$ .

![Duas construções na malha: as linhas da malha garantem os ângulos retos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g3-shapes/fig-54587dc05609.svg)

*Duas construções na malha: as linhas da malha garantem os [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle).*

**Exemplo 18.6 (Um programa de construção).**

Uma figura pode ser descrita por instruções: “1. Trace um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Trace o círculo de centro $A$ que passa por $B$.” Seguindo um programa linha por linha, qualquer pessoa redesenha a mesma figura — e escrever um deles obriga a dar nome a cada ponto. Experimente em dupla: um escreve, o outro desenha.

## 18.4 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Na sala de aula, encontre (sem medir) três [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) e um ângulo que não seja reto. Como você pode *conferir* cada um deles?

**Solução de Exercício 18.1.**

[Ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) típicos: os cantos do quadro, de uma folha de papel, da porta. Um ângulo que não é reto: a abertura de uma tesoura, os ponteiros do relógio à 1 hora. Cada um é conferido com o esquadro ([Método 18.2](#met-g3-shapes-check)) — nunca só no olho.

**Exercício 18.2 ★.**

Trace um retângulo de $6$ cm por $4$ cm com régua e esquadro. Marque os seus [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) e os seus lados iguais.

**Solução de Exercício 18.2.**

Construção: um lado de $6$ cm, [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) nas duas pontas com o esquadro, lados de $4$ cm e fechar a forma. Marcas: $4$ quadradinhos nos cantos, um tracinho em cada lado de $6$ cm e dois tracinhos em cada lado de $4$ cm.

**Exercício 18.3 ★.**

Trace um quadrado de lado $5$ cm. Quantos [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) ele tem? Quantos lados iguais? Marque tudo.

**Solução de Exercício 18.3.**

Um quadrado tem $4$ [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) e $4$ lados iguais — todos marcados.

**Exercício 18.4 ★.**

No papel quadriculado, desenhe: um quadrado $4 \times 4$; um retângulo $7 \times 2$; um triângulo retângulo com catetos de $3$ e $5$ quadradinhos.

**Solução de Exercício 18.4.**

Construções na malha; a malha garante os [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle), e contar quadradinhos garante os comprimentos.

**Exercício 18.5 ★.**

Verdadeiro ou falso? Explique. “Todo quadrado é um retângulo.” “Todo retângulo é um quadrado.” “Um triângulo pode ter dois [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle).” (Tente desenhar um!)

**Solução de Exercício 18.5.**

“Todo quadrado é um retângulo”: *verdadeiro* — ele tem $4$ [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle), que é tudo o que um retângulo exige.

“Todo retângulo é um quadrado”: *falso* — um retângulo $6 \times 4$ tem lados desiguais.

“Um triângulo pode ter dois [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle)”: *falso* — os dois lados traçados a partir dos dois [ângulos retos](#def-g3-shapes-rightangle) seriam perpendiculares à mesma base e, portanto, nunca se encontrariam para fechar o triângulo.

**Exercício 18.6 ★.**

Trace um círculo de [raio](#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm. Marque o seu centro $O$, um ponto $A$ sobre o círculo, e trace o [raio](#def-g3-shapes-shapes) $[OA]$. Quanto mede $OA$? E se $B$ for outro ponto do círculo, quanto mede $OB$?

**Solução de Exercício 18.6.**

$OA = 4$ cm (o [raio](#def-g3-shapes-shapes)). $OB = 4$ cm também: *todo* ponto do círculo está à mesma distância do centro.

**Exercício 18.7 ★.**

Siga este programa: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 6$ cm e $BC = 3$ cm. 2. Marque o ponto $M$ no meio de $[AB]$. 3. Ligue $M$ a $C$ e a $D$.” Em que formas o retângulo ficou dividido?

**Solução de Exercício 18.7.**

O retângulo fica dividido em três triângulos: dois triângulos retângulos ($AMD$ e $MBC$, com o [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle) em $A$ e em $B$) e o triângulo do meio $MCD$.

**Exercício 18.8 ★.**

Separe as formas: quais destas têm pelo menos um [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle)? Um quadrado; um retângulo (não quadrado); um triângulo retângulo; um círculo; a letra L desenhada com traços grossos.

**Solução de Exercício 18.8.**

Com pelo menos um [ângulo reto](#def-g3-shapes-rightangle): o quadrado, o retângulo, o triângulo retângulo e a letra L (os cantos internos e externos dela). O círculo não tem canto nenhum.

**Exercício 18.9 ★★.**

No papel quadriculado, desenhe um quadrado inclinado cujos lados sigam “$2$ para a direita, $1$ para cima” (e as viradas correspondentes). Conte quadradinhos para se convencer de que os quatro lados têm o mesmo comprimento.

**Solução de Exercício 18.9.**

Cada lado percorre “$2$ para a direita, $1$ para cima” (ou as versões giradas “$1$ para a direita, $2$ para baixo” etc.): cada lado é a diagonal de um bloco $2 \times 1$ de quadradinhos, então os quatro têm o mesmo comprimento.

**Exercício 18.10 ★★.**

Escreva um programa de construção (instruções numeradas, pontos com nome) para: um quadrado de lado $3$ cm apoiado em cima de um retângulo de $3$ cm $\times$ $2$ cm, como uma casa sobre o seu térreo. Teste o seu programa com um colega.

**Solução de Exercício 18.10.**

Um programa correto: “1. Trace um retângulo $ABCD$ com $AB = 3$ cm (embaixo) e $BC = 2$ cm. 2. Sobre o lado $[DC]$, trace o quadrado $DCEF$ de lado $3$ cm, do lado de fora do retângulo.” Qualquer programa claro, numerado e completo está correto — teste-o seguindo-o ao pé da letra.

**Exercício 18.11 ★★.**

Quantos quadrados você consegue encontrar numa malha $3 \times 3$ de quadradinhos? (Conte os $1 \times 1$, os $2 \times 2$ e os $3 \times 3$.)

**Solução de Exercício 18.11.**

Quadrados $1 \times 1$: $9$. Quadrados $2 \times 2$: $4$. $3 \times 3$: $1$. Total: $9 + 4 + 1 = 14$ quadrados.