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title: "Números grandes"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 21
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/21-numeros-grandes
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# Capítulo 21 — Números grandes

Os milhares eram o teto do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#ch-g3-numbers); agora o teto sobe até os *milhões*. O truque que torna os números enormes legíveis é cortar os seus algarismos em grupos de três — as [classes](#def-g4-numbers-classes).

## 21.1 Classes de três algarismos

**Definição 21.1 (Classes).**

A partir da direita, os algarismos de um número são agrupados em *classes* de três: a classe das *unidades*, a classe dos *milhares*, a classe dos *milhões*. Cada classe tem as suas próprias unidades, dezenas e centenas. Por exemplo,

$$
6\,309\,452 = 6 \text{ milhões} + 309 \text{ milhares}
+ 452 \text{ unidades},
$$

que se lê “seis milhões trezentos e nove mil quatrocentos e cinquenta e dois”.

![O quadro de classes de 6\,309\,452 (c = centenas, d = dezenas, u = unidades de cada classe). Ler um número grande é ler cada classe, seguida do nome dela.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-numbers/fig-fa24b989b6f3.svg)

*O quadro de [classes](#def-g4-numbers-classes) de $6\,309\,452$ (c $=$ centenas, d $=$ dezenas, u $=$ unidades de cada classe). Ler um número grande é ler cada classe, seguida do nome dela.*

**Exemplo 21.2 (Escrever com as classes).**

“Doze milhões quarenta mil e quinhentos” tem $12$ na classe dos milhões, $040$ na classe dos milhares e $500$ na classe das unidades:

$$
12\,040\,500 .
$$

Os [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) de $040$ são essenciais: cada classe (exceto a mais à esquerda) tem de mostrar os seus três algarismos.

**Exemplo 21.3 (Quantos milhares?).**

O número $6\,309\,452$ *contém* $6\,309$ milhares (tudo o que está à esquerda da classe das unidades): $6\,309\,452 = 6\,309 \times
1\,000 + 452$. Perguntar “quantos milhares” não é pedir um algarismo, e sim todo um começo do número.

## 21.2 Comparar e arredondar

**Método 21.4 (Comparar números grandes).**

Exatamente como no [Método 14.4](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#met-g3-numbers-compare), com as [classes](#def-g4-numbers-classes) servindo de atalho: mais algarismos vence; com a mesma quantidade de algarismos, compare da esquerda para a direita — classe por classe e depois algarismo por algarismo.

**Exemplo 21.5.**

$2\,145\,890$ e $2\,148\,540$: os milhões são iguais ($2$) e, na classe dos milhares, $145 < 148$, logo

$$
2\,145\,890 < 2\,148\,540 .
$$

**Definição 21.6 (Arredondamento).**

*Arredondar* um número para o milhar mais próximo (ou para a dezena, a centena, o milhão …) é substituí-lo pelo múltiplo de $1\,000$ mais próximo. Se o número estiver exatamente no meio, arredonde para cima. Na prática: olhe o algarismo imediatamente abaixo da casa de arredondamento — $5$ ou mais sobe, $4$ ou menos desce.

**Exemplo 21.7.**

$37\,614$ arredondado para o milhar mais próximo: o algarismo das centenas é $6$, então sobe: $38\,000$. Para a centena mais próxima: $37\,600$. Para a dezena de milhar mais próxima: $40\,000$.

![Arredondar 37\,614 para o milhar mais próximo: ele passa da marca do meio, 37\,500, então sobe para 38\,000.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-numbers/fig-c6769ea21dd6.svg)

*[Arredondar](#def-g4-numbers-round) $37\,614$ para o milhar mais próximo: ele passa da marca do meio, $37\,500$, então sobe para $38\,000$.*

**Exemplo 21.8 (Ordens de grandeza no mundo).**

É assim que os números grandes são de fato usados: um país de $67\,842\,591$ habitantes tem “cerca de $68$ milhões”; uma cidade de $214\,376$ pessoas tem “cerca de $200\,000$”. O número exato muda todo dia, de qualquer maneira — é o arredondado que carrega a informação útil.

## 21.3 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Escreva em algarismos, com as [classes](#def-g4-numbers-classes) separadas: “três milhões quinhentos e vinte mil”; “sete milhões e oito”; “duzentos e quarenta mil e sessenta”.

**Solução de Exercício 21.1.**

$3\,520\,000$; $7\,000\,008$; $240\,060$.

**Exercício 21.2 ★.**

Escreva por extenso: $5\,204\,300$; $10\,050\,000$; $999\,999$.

**Solução de Exercício 21.2.**

$5\,204\,300$: cinco milhões duzentos e quatro mil e trezentos.

$10\,050\,000$: dez milhões e cinquenta mil.

$999\,999$: novecentos e noventa e nove mil novecentos e noventa e nove.

**Exercício 21.3 ★.**

Em $8\,472\,156$: qual é o algarismo das dezenas de milhar? E o das centenas da classe dos milhões? Quantos *milhares* o número contém (veja o [Exemplo 21.3](#ex-g4-numbers-contained))?

**Solução de Exercício 21.3.**

Dezenas de milhar: $7$. Centenas da classe dos milhões: num número de sete algarismos não há algarismo de centenas de milhão — a classe dos milhões de $8\,472\,156$ contém apenas o algarismo $8$ (unidades de milhão). Milhares contidos: $8\,472$ (pois $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$).

**Exercício 21.4 ★.**

Copie e complete com $<$ ou $>$:

$$
980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad
3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad
7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .
$$

**Solução de Exercício 21.4.**

$980\,000 < 1\,020\,000$; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (classe dos milhares $456 < 465$); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$.

**Exercício 21.5 ★.**

Ordene do menor para o maior: $2\,300\,000$; $980\,500$; $2\,030\,000$; $2\,299\,999$.

**Solução de Exercício 21.5.**

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$.

**Exercício 21.6 ★.**

Arredonde $63\,782$: para a dezena mais próxima; para a centena; para o milhar; para a dezena de milhar.

**Solução de Exercício 21.6.**

Para a dezena: $63\,780$. Para a centena: $63\,800$. Para o milhar: $64\,000$. Para a dezena de milhar: $60\,000$.

**Exercício 21.7 ★.**

Arredonde para o milhão mais próximo: $4\,721\,000$; $6\,499\,999$; $9\,500\,000$.

**Solução de Exercício 21.7.**

$5\,000\,000$; $6\,000\,000$ (os $499\,999$ não chegam a meio milhão); $10\,000\,000$ (exatamente no meio, arredonda para cima).

**Exercício 21.8 ★.**

Conte por etapas: três etapas de $1\,000$ a partir de $998\,500$; duas etapas de $100\,000$ a partir de $950\,000$. O que acontece com as [classes](#def-g4-numbers-classes) quando você atravessa o milhão?

**Solução de Exercício 21.8.**

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$: a segunda etapa atravessa o milhão, e uma classe nova se acende à esquerda.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$: a mesma travessia, já na primeira etapa.

**Exercício 21.9 ★.**

Um estádio comporta $81\,338$ espectadores. Um jornal escreve “mais de $80\,000$ torcedores”; uma rádio diz “cerca de $81\,000$”. Os dois estão certos? Para que casa cada um arredondou?

**Solução de Exercício 21.9.**

Os dois estão certos. “Mais de $80\,000$” arredonda para baixo até a dezena de milhar ($81\,338 \to 80\,000$); “cerca de $81\,000$” arredonda para o milhar mais próximo ($81\,338 \to 81\,000$).

**Exercício 21.10 ★★.**

Usando cada um dos algarismos de $1$ a $7$ exatamente uma vez, escreva o maior número possível de sete algarismos, o menor, e o mais próximo de $4\,000\,000$.

**Solução de Exercício 21.10.**

Maior: $7\,654\,321$. Menor: $1\,234\,567$. Mais próximo de $4\,000\,000$: por baixo, o melhor é $3\,765\,421$, que fica a $234\,579$; por cima, $4\,123\,567$ fica a apenas $123\,567$: o mais próximo é $4\,123\,567$.

**Exercício 21.11 ★★.**

Qual é o maior número inteiro que, arredondado para o milhar mais próximo, dá $50\,000$? E o menor?

**Solução de Exercício 21.11.**

Arredondando para o milhar mais próximo, dá $50\,000$ para todos os números de $49\,500$ (o meio arredonda para cima) até $50\,499$. Maior: $50\,499$; menor: $49\,500$.