--- title: "Multiplicando números maiores" book: "Matemática do ensino fundamental" subject: math language: pt chapter: 22 exercises: 11 source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/22-multiplicando-numeros-maiores --- # Capítulo 22 — Multiplicando números maiores O Ano 3 multiplicou por um algarismo ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/16-multiplicacao#ch-g3-mult)); este capítulo multiplica por números de dois algarismos — e explica a misteriosa “linha deslocada” da conta armada, que nada mais é do que uma decomposição em dezenas e unidades. ## 22.1 Multiplicar por dezenas **Proposição 22.1 (Vezes 10, 20, 300 …).** Multiplicar por $10$ acrescenta um [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero); por $100$, dois [zeros](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero). Para multiplicar por $20$, multiplique por $2$ e depois por $10$: $$ 36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 . $$ Do mesmo modo, $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ ## 22.2 A conta armada com dois algarismos **Exemplo 22.2 (Por que a linha deslocada?).** Para calcular $23 \times 12$, decomponha $12$ em $10 + 2$: $$ 23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 . $$ A conta armada escreve exatamente esses dois [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def), um embaixo do outro — o segundo deslocado para a esquerda porque é um número de *dezenas*: $$ \begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array} $$ (o ponto marca a casa das unidades da linha deslocada, muitas vezes deixada em branco). ![O desenho retangular de 23 × 12: quatro produtos fáceis, 200 + 40 + 30 + 6 = 276. A conta armada os agrupa em duas linhas: 46 (a linha do “× 2”) e 230 (a do “× 10”).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-mult/fig-cb4114601663.svg) *O desenho retangular de $23 \times 12$: quatro [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) fáceis, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$. A conta armada os agrupa em duas linhas: $46$ (a linha do “$\times 2$”) e $230$ (a do “$\times 10$”).* **Método 22.3 (Multiplicação armada por um número de dois algarismos).** Para calcular $457 \times 36$: 1. primeira linha: $457 \times 6 = 2\,742$ ; 2. segunda linha: $457 \times 3$ *dezenas* $= 1\,371$ dezenas — escreva $1\,371$ deslocado uma casa para a esquerda; 3. some as duas linhas: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ; 4. estime para conferir: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? Melhor: $450 \times 36$ dá cerca de $16\,000$ — plausível. $$ \begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array} $$ **Exemplo 22.4 (Truques de cálculo mental).** - *Decompor do jeito amigável* : $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ . - *Usar um número quase redondo* : $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ . - *Dobrar e reduzir à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half)* : $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (reduzir um fator à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) e dobrar o outro mantém o [produto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) ). ## 22.3 A multiplicação em problemas **Exemplo 22.5.** Uma escola encomenda $28$ caixas de $145$ folhas de papel. 1. Operação: $145 \times 28$ . 2. Estimativa: $150 \times 30 = 4\,500$ , um pouco por cima nas duas contas. 3. Conta armada: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ dezenas $= 2\,900$ ; total $4\,060$ . 4. Frase: a escola recebe $4\,060$ folhas. ## 22.4 Exercícios **Exercício 22.1 ★.** Calcule de cabeça: $47 \times 10$; $23 \times 100$; $36 \times 20$; $15 \times 300$; $42 \times 50$. **Solução de Exercício 22.1.** $470$; $2\,300$; $720$; $4\,500$; $2\,100$. **Exercício 22.2 ★.** Calcule $34 \times 21$ decompondo como no [Exemplo 22.2](#ex-g4-mult-why) ($34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$) e depois confira armando a conta. **Solução de Exercício 22.2.** $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$; a conta armada dá as mesmas linhas: $34$ e $680$. **Exercício 22.3 ★.** Arme a conta e calcule: $63 \times 24$; $85 \times 47$; $126 \times 53$. **Solução de Exercício 22.3.** $63 \times 24 = 1\,512$; $85 \times 47 = 3\,995$; $126 \times 53 = 6\,678$. **Exercício 22.4 ★.** Arme a conta, com uma estimativa antes: $208 \times 34$; $517 \times 62$. **Solução de Exercício 22.4.** $208 \times 34$: estimativa $200 \times 34 = 6\,800$; exatamente $7\,072$. $517 \times 62$: estimativa $500 \times 60 = 30\,000$; exatamente $32\,054$. **Exercício 22.5 ★.** Calcule com um truque do [Exemplo 22.4](#ex-g4-mult-tricks): $45 \times 11$; $32 \times 99$; $24 \times 45$ (dobre e reduza à [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) — duas vezes, se quiser). **Solução de Exercício 22.5.** $45 \times 11 = 450 + 45 = 495$. $32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$. $24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (ou mais uma vez: $6 \times 180 = 1\,080$). **Exercício 22.6 ★.** Um cinema tem $26$ fileiras de $18$ poltronas. Quantas poltronas ao todo? **Solução de Exercício 22.6.** $26 \times 18 = 468$ poltronas. **Exercício 22.7 ★.** Um caminhão leva $32$ paletes de $48$ engradados. Quantos engradados? Dê primeiro uma estimativa e depois a resposta exata. **Solução de Exercício 22.7.** Estimativa: $30 \times 50 = 1\,500$. Exatamente: $32 \times 48 = 1\,536$ engradados. **Exercício 22.8 ★.** Encontre o erro: Ana calcula $57 \times 23$ fazendo $57 \times 3 = 171$ e $57 \times 2 = 114$, e depois [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) $171 + 114 = 285$. A resposta correta é $1\,311$. O que ela esqueceu? **Solução de Exercício 22.8.** Ela esqueceu que o $2$ de $23$ conta *dezenas*: a segunda linha tem de ser $57 \times 20 = 1\,140$, e não $114$. Total correto: $171 + 1\,140 = 1\,311$. **Exercício 22.9 ★★.** Um jardineiro planta $14$ fileiras de $35$ tulipas e $12$ fileiras de $28$ narcisos. Quantas flores ao todo? (Dois [produtos](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/10-multiplicacao-primeiros-passos#def-g2-mult-def) e depois uma [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def).) **Solução de Exercício 22.9.** Tulipas: $14 \times 35 = 490$. Narcisos: $12 \times 28 = 336$. Total: $490 + 336 = 826$ flores. **Exercício 22.10 ★★.** Todo dia, uma padaria usa $67$ kg de farinha. Quanta farinha é isso, mais ou menos, num mês de $30$ dias — estime com números arredondados e depois calcule exatamente. **Solução de Exercício 22.10.** Estimativa: $70 \times 30 = 2\,100$ kg. Exatamente: $67 \times 30 = 2\,010$ kg. **Exercício 22.11 ★★.** Explique, com um desenho retangular como o deste capítulo, por que $15 \times 12$ pode ser calculado como $15 \times 10 + 15 \times 2$. Depois invente outra decomposição de $15 \times 12$ que também funcione. **Solução de Exercício 22.11.** Um retângulo $15 \times 12$ de quadradinhos pode ser cortado por uma linha vertical numa parte $15 \times 10$ e numa parte $15 \times 2$: contando cada parte, $150 + 30 = 180$. Outro corte funciona igual, por exemplo $15 = 10 + 5$: $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$. Qualquer maneira de cortar o retângulo deixa inalterado o número total de quadradinhos.