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title: "Retas e polígonos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 26
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos
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# Capítulo 26 — Retas e polígonos

Com régua, esquadro e compasso, a geometria vira um ofício. Este capítulo ensina as duas posições especiais de retas — [perpendiculares](#def-g4-geometry-def) e [paralelas](#def-g4-geometry-def) — no nível das ferramentas, e faz um passeio pela família dos [polígonos](#def-g4-geometry-polygon). (A teoria dessas noções vem no [Capítulo 40](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#ch-g6-lines).)

## 26.1 Perpendiculares e paralelas

**Definição 26.1 (Perpendiculares, paralelas).**

Duas retas são *perpendiculares* quando se cruzam formando um [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) (conferido com o esquadro, marcado com um quadradinho). Duas retas são *paralelas* quando seguem a mesma direção e nunca se cruzam — como os dois trilhos de uma ferrovia, sempre à mesma distância uma da outra.

**Método 26.2 (Traçar com o esquadro).**

*Perpendicular a uma reta $d$ passando por um ponto $P$*: apoie uma das bordas do [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) sobre $d$, deslize até a outra borda alcançar $P$ e trace.

*Paralela a $d$ passando por $P$*: apoie a borda do esquadro sobre $d$, encoste a régua em outra borda para servir de trilho, deslize o esquadro ao longo da régua até $P$ e trace.

![As duas construções. Retas paralelas mantêm distância constante: medir essa distância em dois lugares é uma boa conferência.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-3a3d1ffacc31.svg)

*As duas construções. [Retas paralelas](#def-g4-geometry-def) mantêm distância constante: medir essa distância em dois lugares é uma boa conferência.*

**Exemplo 26.3 (Reconhecê-las nas figuras).**

Num retângulo, cada lado é perpendicular aos dois vizinhos e paralelo ao lado oposto. O papel quadriculado é uma rede pronta de [paralelas](#def-g4-geometry-def) e [perpendiculares](#def-g4-geometry-def) — é o que o torna tão confortável para desenhar.

## 26.2 Polígonos

**Definição 26.4 (Polígono).**

Um *polígono* é uma figura fechada cujo contorno é feito de segmentos de reta, os seus *lados*; os pontos dos cantos são os *vértices*. Os polígonos recebem nome pelo número de lados: *triângulo* ($3$), *quadrilátero* ($4$), *pentágono* ($5$), *hexágono* ($6$), *octógono* ($8$).

![A família dos polígonos (o pentágono e o hexágono desenhados aqui são regulares: lados iguais e cantos iguais). O círculo não é um polígono: o contorno dele não é feito de segmentos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-geometry/fig-927fef296e01.svg)

*A família dos [polígonos](#def-g4-geometry-polygon) (o [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) e o [hexágono](#def-g4-geometry-polygon) desenhados aqui são *regulares*: lados iguais e cantos iguais). O círculo não é um [polígono](#def-g4-geometry-polygon): o contorno dele não é feito de segmentos.*

**Exemplo 26.5 (Descrever um polígono).**

Uma brincadeira útil: descrever uma figura com tanta precisão que um colega consiga redesenhá-la sem vê-la. “Um [quadrilátero](#def-g4-geometry-polygon) $ABCD$ com $AB = 5$ cm, o ângulo em $A$ reto, $AD = 3$ cm …” — é o vocabulário que faz a mensagem funcionar.

## 26.3 O círculo e o compasso

**Definição 26.6 (Círculo).**

O *círculo* de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $3$ cm é o conjunto de todos os pontos que estão a exatamente $3$ cm de $O$. O compasso o traça: ponta seca em $O$, abertura de $3$ cm, gire. Um *diâmetro* é um segmento que passa pelo centro e liga dois pontos do círculo; ele mede o dobro do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes).

**Exemplo 26.7 (O compasso como guardador de distâncias).**

O compasso faz mais do que traçar círculos: ele *transporta distâncias*. Para marcar todos os pontos a $4$ cm de um ponto $A$, trace o círculo de centro $A$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; para comparar dois segmentos sem régua, abra o compasso sobre um e teste-o no outro.

**Método 26.8 (Reproduzir uma figura na malha).**

1. Escolha um [vértice](#def-g4-geometry-polygon) de partida e a posição dele na malha vazia;
2. percorra a figura [vértice](#def-g4-geometry-polygon) por [vértice](#def-g4-geometry-polygon) , contando os passos da malha (“ $3$ para a direita, $2$ para cima”);
3. ligue os [vértices](#def-g4-geometry-polygon) em ordem e compare com o modelo: mesmos comprimentos, mesmas direções.

## 26.4 Exercícios

**Exercício 26.1 ★.**

Trace uma reta $d$ e um ponto $P$ fora dela. Construa a perpendicular a $d$ por $P$ e depois a paralela a $d$ por $P$ (com o método da régua-trilho). Marque o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle).

**Solução de Exercício 26.1.**

Construções com o [Método 26.2](#met-g4-geometry-draw); o quadradinho marca o [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle) entre $d$ e a perpendicular.

**Exercício 26.2 ★.**

Observe as letras maiúsculas E, H, N, T, Z. Em cada uma, encontre um par de traços paralelos e um par de traços [perpendiculares](#def-g4-geometry-def), quando existirem.

**Solução de Exercício 26.2.**

E: os três traços horizontais são paralelos; cada um é perpendicular ao traço vertical. H: os dois traços verticais são paralelos, e a barra do meio é perpendicular aos dois. N: os dois traços verticais são paralelos; a diagonal não é nem uma coisa nem outra. T: os dois traços são [perpendiculares](#def-g4-geometry-def). Z: o traço de cima e o de baixo são paralelos; a diagonal não é nem uma coisa nem outra.

**Exercício 26.3 ★.**

Dê o nome de cada [polígono](#def-g4-geometry-polygon): $6$ lados; $4$ lados; $3$ lados; $8$ lados; $5$ lados. Quantos *[vértices](#def-g4-geometry-polygon)* cada um tem?

**Solução de Exercício 26.3.**

[Hexágono](#def-g4-geometry-polygon); [quadrilátero](#def-g4-geometry-polygon); triângulo; [octógono](#def-g4-geometry-polygon); [pentágono](#def-g4-geometry-polygon). Um [polígono](#def-g4-geometry-polygon) tem tantos [vértices](#def-g4-geometry-polygon) quantos lados: $6$, $4$, $3$, $8$, $5$.

**Exercício 26.4 ★.**

Trace um [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) qualquer (não necessariamente regular) e nomeie os [vértices](#def-g4-geometry-polygon) $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Quantos lados ele tem? Trace as diagonais que saem de $A$ (segmentos que ligam $A$ a [vértices](#def-g4-geometry-polygon) não vizinhos): quantas são?

**Solução de Exercício 26.4.**

Um [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) tem $5$ lados. A partir de $A$, os [vértices](#def-g4-geometry-polygon) não vizinhos são $C$ e $D$: duas diagonais, $[AC]$ e $[AD]$.

**Exercício 26.5 ★.**

Trace um círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $4$ cm; um [diâmetro](#def-g4-geometry-circle) $[AB]$; e um ponto $M$ do círculo fora de $[AB]$. Dê os comprimentos $OA$, $OM$ e $AB$ sem medir.

**Solução de Exercício 26.5.**

$OA = 4$ cm ([raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes)); $OM = 4$ cm (todo ponto do círculo); $AB = 8$ cm (um [diâmetro](#def-g4-geometry-circle) é o dobro do [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes)).

**Exercício 26.6 ★.**

Com o compasso como guardador de distâncias ([Exemplo 26.7](#ex-g4-geometry-compass)), compare os lados de um triângulo traçado por um colega e decida se ele tem dois lados iguais.

**Solução de Exercício 26.6.**

Abra o compasso sobre um dos lados e leve essa abertura aos outros dois: se o vão entre ponta seca e grafite couber exatamente num segundo lado, esses dois lados são iguais.

**Exercício 26.7 ★.**

No papel quadriculado, reproduza este caminho e feche-o num [polígono](#def-g4-geometry-polygon): comece num ponto $A$; ande $4$ para a direita; $2$ para cima; $3$ para a esquerda; $2$ para cima; depois volte a $A$ em linha reta. Qual é o nome do [polígono](#def-g4-geometry-polygon) que você obtém (conte os lados)?

**Solução de Exercício 26.7.**

O caminho se fecha num [polígono](#def-g4-geometry-polygon) de $5$ lados — um [pentágono](#def-g4-geometry-polygon) (não regular!).

**Exercício 26.8 ★.**

Verdadeiro ou falso? Explique com um desenho. “Duas [retas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) sempre se cruzam.” “Duas [retas paralelas](#def-g4-geometry-def) nunca se cruzam.” “Uma reta pode ser paralela a uma reta e perpendicular a outra.”

**Solução de Exercício 26.8.**

“[Retas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) sempre se cruzam”: verdadeiro — elas se cruzam no próprio [ângulo reto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-rightangle).

“[Retas paralelas](#def-g4-geometry-def) nunca se cruzam”: verdadeiro — é a definição delas.

“Uma reta pode ser paralela a uma reta e perpendicular a outra”: verdadeiro — no papel quadriculado, uma linha horizontal é paralela a toda linha horizontal e perpendicular a toda linha vertical.

**Exercício 26.9 ★★.**

Trace uma reta $d$, depois uma reta $e$ perpendicular a $d$, depois uma reta $f$ perpendicular a $e$. Olhe para $d$ e $f$: o que você percebe? (Essa observação vira um teorema no [Capítulo 40](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#ch-g6-lines).)

**Solução de Exercício 26.9.**

As retas $d$ e $f$ parecem [paralelas](#def-g4-geometry-def) — e sempre são: duas [retas perpendiculares](#def-g4-geometry-def) a uma mesma reta são [paralelas](#def-g4-geometry-def) ([Proposição 40.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/40-retas-circulos-e-angulos#prop-g6-lines-facts) torna isso oficial).

**Exercício 26.10 ★★.**

Descreva a figura abaixo com palavras para um colega, sem mostrá-la: um quadrado de lado $4$ cm, com um círculo de [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm centrado no meio do quadrado (tocando os quatro lados). Escreva a descrição como instruções numeradas.

**Solução de Exercício 26.10.**

Um programa correto: “1. Trace um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Marque o ponto $O$ onde as diagonais dele se cruzam. 3. Trace o círculo de centro $O$ e [raio](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/18-formas-e-angulos-retos#def-g3-shapes-shapes) $2$ cm.” O círculo toca cada lado no meio dele.

**Exercício 26.11 ★★.**

Quantas diagonais tem um [quadrilátero](#def-g4-geometry-polygon)? E um [pentágono](#def-g4-geometry-polygon)? E um [hexágono](#def-g4-geometry-polygon)? Desenhe os três casos, conte com cuidado e descreva o padrão que você observa.

**Solução de Exercício 26.11.**

[Quadrilátero](#def-g4-geometry-polygon): $2$ diagonais. [Pentágono](#def-g4-geometry-polygon): $5$. [Hexágono](#def-g4-geometry-polygon): $9$. Cada [vértice](#def-g4-geometry-polygon) novo acrescenta mais e mais diagonais — as contagens crescem cada vez mais depressa ($+3$, depois $+4$, …).