---
title: "Simetria"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 27
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/27-simetria
---

# Capítulo 27 — Simetria

Borboletas, rostos, flocos de neve: a natureza adora figuras cujas duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) coincidem quando dobradas. Este capítulo explora a simetria com dobras e papel quadriculado — as construções com o esquadro esperam o [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#ch-g6-symmetry).

## 27.1 Dobrar e sobrepor

**Definição 27.1 (Eixo de simetria).**

Uma reta é um *eixo de simetria* de uma figura quando, dobrando a figura ao longo dessa reta, as duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) coincidem *exatamente*. Uma figura pode não ter eixo nenhum, ter um eixo, ou ter vários.

![Dobre pela linha tracejada: as metades coincidem. No último triângulo, nenhuma dobra funciona — ele não tem eixo de simetria.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-cab83e96c3ba.svg)

*Dobre pela linha tracejada: as [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) coincidem. No último triângulo, nenhuma dobra funciona — ele não tem [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def).*

**Exemplo 27.2 (Testar com papel vegetal).**

Decalque a figura, vire o papel vegetal ao longo do eixo candidato e recoloque-o: se o decalque cobrir a figura exatamente, o eixo é verdadeiro. Os olhos sozinhos se enganam com frequência — a diagonal de um retângulo *parece* um eixo, mas o teste da dobra diz que não (experimente!).

## 27.2 Completar figuras na malha

**Método 27.3 (Simétrico de uma figura em relação a uma linha da malha).**

O eixo é uma linha vertical (ou horizontal) da malha.

1. Tome cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) da figura, um de cada vez;
2. conte a distância dele até o eixo, em quadradinhos;
3. ponha o [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) imagem à *mesma* distância do *outro* lado, na mesma linha (ou coluna);
4. ligue os [vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) imagem na mesma ordem e confira: a imagem é a gêmea espelhada da figura.

![Completando em relação ao eixo vermelho: cada vértice salta para a mesma distância do outro lado. Vértices que tocam o eixo ficariam parados.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g4-symmetry/fig-7196aa6feb76.svg)

*Completando em relação ao eixo vermelho: cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) salta para a mesma distância do outro lado. [Vértices](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon) que tocam o eixo ficariam parados.*

**Exemplo 27.4 (Mesma forma, mesmo tamanho, invertida).**

A imagem tem exatamente os mesmos comprimentos e os mesmos ângulos que o original: a simetria copia a figura — mas a vira do avesso, como uma mão esquerda e uma mão direita. Se a letra original é F, a imagem espelhada é um F ao contrário, e não outro F.

## 27.3 Eixos das formas usuais

**Exemplo 27.5 (Contar eixos).**

Dobrando:

- um quadrado: $4$ eixos (dois pelos meios dos lados opostos, dois pelas diagonais);
- um retângulo: $2$ eixos (só pelos meios dos lados opostos!);
- um triângulo isósceles: $1$ ; um triângulo equilátero: $3$ ;
- um círculo: toda reta que passa pelo centro — mais eixos do que se consegue contar.

**Exemplo 27.6 (Simetria no alfabeto).**

A, M, T, U, V têm eixo vertical; B, C, D, E têm eixo horizontal; H, I, O, X têm os dois. Palavras feitas das letras certas também podem ser simétricas: OVO tem eixo vertical; OXO funciona nos dois sentidos.

## 27.4 Exercícios

**Exercício 27.1 ★.**

Decalque e dobre: quais destas têm [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def) — um quadrado; um retângulo (não quadrado); um triângulo escaleno (todos os lados diferentes); um círculo?

**Solução de Exercício 27.1.**

Quadrado: sim ($4$ eixos). Retângulo: sim ($2$). Triângulo escaleno: nenhuma dobra funciona. Círculo: sim — qualquer reta que passe pelo centro.

**Exercício 27.2 ★.**

Trace os [eixos de simetria](#def-g4-symmetry-def) de: um quadrado; um retângulo; um triângulo equilátero. Quantos para cada um?

**Solução de Exercício 27.2.**

Quadrado: $4$ (duas linhas médias e duas diagonais). Retângulo: $2$ (só as linhas médias). Triângulo equilátero: $3$ (uma por cada [vértice](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/26-retas-e-poligonos#def-g4-geometry-polygon)).

**Exercício 27.3 ★.**

Use o teste do papel vegetal do [Exemplo 27.2](#ex-g4-symmetry-trace) para mostrar que a diagonal de um retângulo $6 \times 4$ *não* é um [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def).

**Solução de Exercício 27.3.**

Dobrando pela diagonal, as duas [metades](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) triangulares têm a mesma forma, mas não caem uma sobre a outra — uma delas está “virada ao contrário”: o decalque cai ao lado da figura, e não sobre ela. Logo a diagonal não é um eixo.

**Exercício 27.4 ★.**

No papel quadriculado, trace um eixo vertical e a letra L (três quadradinhos de altura, dois de largura) a $2$ quadradinhos do eixo. Construa a imagem espelhada dela.

**Solução de Exercício 27.4.**

O L imagem fica a $2$ quadradinhos do *outro* lado do eixo, escrito ao contrário (um L espelhado), com os mesmos tamanhos.

**Exercício 27.5 ★.**

No papel quadriculado, trace um eixo horizontal e uma bandeirinha (um triângulo $1 \times 1$ num mastro de $3$ quadradinhos) acima dele. Complete a figura por simetria abaixo do eixo.

**Solução de Exercício 27.5.**

A figura completa mostra a bandeirinha e o reflexo dela de cabeça para baixo abaixo do eixo, mastro debaixo de mastro.

**Exercício 27.6 ★.**

Uma figura toca o seu [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def) num ponto $P$. Onde fica a imagem de $P$? Explique com o desenho da dobra.

**Solução de Exercício 27.6.**

$P$ não se mexe: dobrar pelo eixo deixa todo ponto que está *sobre* o eixo exatamente onde estava — $P$ é a imagem de si mesmo.

**Exercício 27.7 ★.**

Classifique as letras maiúsculas A, B, E, F, H, N, O, T: eixo vertical? eixo horizontal? os dois? nenhum?

**Solução de Exercício 27.7.**

Eixo vertical: A, H, O, T. Eixo horizontal: B, E, H, O. Os dois: H, O. Nenhum: F, N.

**Exercício 27.8 ★.**

Um triângulo tem lados de $5$ cm, $5$ cm e $3$ cm. Ele tem [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def)? Quais lados a dobra troca de lugar?

**Solução de Exercício 27.8.**

Sim: o triângulo é isósceles, e o eixo dele passa pela ponta entre os dois lados de $5$ cm e pelo meio da base de $3$ cm. A dobra troca os dois lados iguais.

**Exercício 27.9 ★★.**

No papel quadriculado, desenhe uma figura sua que tenha *exatamente dois* [eixos de simetria](#def-g4-symmetry-def), e trace os dois eixos. (Dica: pense num retângulo, ou numa cruz.)

**Solução de Exercício 27.9.**

Serve qualquer figura com exatamente dois eixos: um retângulo (não quadrado), um sinal de mais com braços de dois comprimentos diferentes (horizontal longo, vertical curto), uma elipse. Os dois eixos sempre se cruzam no centro da figura.

**Exercício 27.10 ★★.**

É dada a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) de um desenho simétrico: a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) esquerda de uma casa (uma parede quadrada e meio telhado triangular), com um eixo vertical ao longo da borda direita dela. Descreva ou desenhe a casa completa. Como os comprimentos da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) direita completada se comparam aos da [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) esquerda?

**Solução de Exercício 27.10.**

A casa completa é a [metade](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-half) esquerda mais a gêmea espelhada dela: uma parede com o dobro da largura da meia parede, sob um telhado triangular inteiro. Cada comprimento da direita é igual ao seu par da esquerda — a simetria copia comprimentos exatamente.

**Exercício 27.11 ★★.**

Aya afirma: “todo triângulo com dois lados iguais tem [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def), e todo triângulo com [eixo de simetria](#def-g4-symmetry-def) tem dois lados iguais.” Teste a dupla afirmação dela em desenhos: um triângulo isósceles, um equilátero e um escaleno. A dobra dá razão a ela?

**Solução de Exercício 27.11.**

Os desenhos dão razão nos dois sentidos: o triângulo isósceles dobra pela reta que passa pela ponta (dois lados iguais $\to$ eixo); o equilátero dobra de três maneiras; o escaleno não tem eixo (nenhum lado igual $\to$ nenhum eixo). A dupla afirmação de Aya está certa — ela será demonstrada no [Capítulo 42](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/42-simetria-axial#ch-g6-symmetry).