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title: "Divisão e múltiplos"
book: "Matemática do ensino fundamental"
subject: math
language: pt
chapter: 32
exercises: 11
source: https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/32-divisao-e-multiplos
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# Capítulo 32 — Divisão e múltiplos

A divisão armada aprendida no [Capítulo 23](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/23-divisao#ch-g4-division) ganha dois aperfeiçoamentos: [divisores](#def-g5-division-multiple) de dois algarismos e [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) que continuam depois do ponto — $3 \div 4$ finalmente ganha uma resposta, $0.75$. O capítulo termina com os [múltiplos](#def-g5-division-multiple), os [divisores](#def-g5-division-multiple) e os primeiros critérios de divisibilidade.

## 32.1 Dividir por um número de dois algarismos

**Método 32.1 (Divisores de dois algarismos).**

O mesmo método de antes, com uma habilidade a mais: adivinhar quantas vezes o [divisor](#def-g5-division-multiple) cabe. Escreva antes uma pequena tabela de [múltiplos](#def-g5-division-multiple) do [divisor](#def-g5-division-multiple). Para $986 \div 23$ ([múltiplos](#def-g5-division-multiple) de 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

1. $98$ dezenas: $23 \times 4 = 92$ cabe, $23 \times 5 = 115$ não: algarismo $4$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $6$ ;
2. baixe o $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ cabe: algarismo $2$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $20$ ;
3. [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $42$ , [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $20$ . Conferência: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

## 32.2 Quocientes decimais

**Exemplo 32.2 (A divisão que se recusa a parar no resto).**

Repartir $3$ pizzas entre $4$ crianças: $3 \div 4$ tem [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$ e [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $3$ — não serve de nada! Continue a divisão depois do ponto:

1. $3$ unidades $= 30$ décimos; $30 \div 4$ : $7$ décimos, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $2$ décimos;
2. $2$ décimos $= 20$ centésimos; $20 \div 4 = 5$ centésimos, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$ .

Logo $3 \div 4 = 0.75$: cada criança fica com $0.75$ pizza — três quartos, como a linguagem das frações já sabia ([Proposição 31.3](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/31-fracoes-como-numeros#prop-g5-fractions-decimal)).

**Método 32.3 (Continuar uma divisão depois do ponto).**

Quando as unidades acabam e ainda há [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder):

1. escreva o [ponto decimal](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/25-decimos-e-centesimos#def-g4-decimals-point) no [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) ;
2. acrescente um [zero](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/1-contando-ate-20#def-g1-counting-zero) ao [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) (as unidades viram décimos, os décimos viram centésimos …) e continue dividindo;
3. pare quando o [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) for $0$ — ou quando os algarismos começarem a se repetir para sempre, como em $1 \div 3 = 0.333\dots$ : aí dê um valor arredondado.

**Exemplo 32.4.**

$27 \div 6$: [quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $4$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $3$; ponto; $30$ décimos $\div\ 6 = 5$: logo $27 \div 6 = 4.5$. $22 \div 8$: $2$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $6$; depois $60 \div 8 = 7$ e [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $4$; depois $40 \div 8 = 5$: logo $22 \div 8 = 2.75$.

## 32.3 Múltiplos e divisores

**Definição 32.5 (Múltiplo, divisor).**

Os *múltiplos* de $6$ são a tabuada dele continuada para sempre: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Quando $24$ é múltiplo de $6$, também se diz que $6$ é *divisor* de $24$, ou que $24$ é *divisível* por $6$: a divisão $24 \div 6$ não deixa [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder).

**Proposição 32.6 (Critérios de divisibilidade).**

Sem dividir, um número é divisível:

- por $2$ quando o último algarismo é $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ (os [números pares](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd) );
- por $5$ quando o último algarismo é $0$ ou $5$ ;
- por $10$ quando o último algarismo é $0$ ;
- por $3$ quando a *[soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos* é divisível por $3$ (por exemplo $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisível — e de fato $741 = 3 \times 247$ ).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Os números de 1 a 30: os múltiplos de 2 e de 3 formam padrões — e os números que carregam as duas marcas (6, 12, 18, 24, 30) são exatamente os múltiplos de 6.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/math-1/g5-division/fig-7bf985e96de0.svg)

*Os números de $1$ a $30$: os [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $2$ e de $3$ formam padrões — e os números que carregam as duas marcas ($6$, $12$, $18$, $24$, $30$) são exatamente os [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $6$.*

**Exemplo 32.7.**

$534$ é divisível por $2$? Termina em $4$: sim. Por $5$? Não. Por $3$? $5 + 3 + 4 = 12$: sim. Então $534$ também é divisível por $6$ (por $2$ *e* por $3$) — confira: $534 = 6 \times 89$.

## 32.4 Exercícios

**Exercício 32.1 ★.**

Faça as divisões armadas (tabela de [múltiplos](#def-g5-division-multiple) primeiro): $851 \div 23$; $704 \div 32$.

**Solução de Exercício 32.1.**

$851 \div 23$: [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $23$: $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161,
184, 207$. Então $85 \div 23$: $3$ vezes ($69$), [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $16$; baixe o $1$: $161 \div 23 = 7$ exatamente. [Quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $37$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$ ($23 \times 37 = 851$).

$704 \div 32$: $70 \div 32$: $2$ vezes ($64$), [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $6$; baixe o $4$: $64 \div 32 = 2$. [Quociente](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $22$, [resto](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) $0$.

**Exercício 32.2 ★.**

Calcule os [quocientes](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/17-partilha-e-divisao#def-g3-division-remainder) decimais exatos: $9 \div 2$; $27 \div 4$; $33 \div 5$; $21 \div 8$.

**Solução de Exercício 32.2.**

$9 \div 2 = 4.5$; $27 \div 4 = 6.75$; $33 \div 5 = 6.6$; $21 \div 8 = 2.625$.

**Exercício 32.3 ★.**

Quatro amigos dividem igualmente uma conta de restaurante de $54$. Quanto cada um paga? (Continue depois do ponto.)

**Solução de Exercício 32.3.**

$54 \div 4 = 13.5$: cada um paga $13.50$.

**Exercício 32.4 ★.**

Calcule $10 \div 3$, continuando três algarismos depois do ponto. O que você observa? Dê o valor arredondado ao centésimo.

**Solução de Exercício 32.4.**

$10 \div 3 = 3.333\dots$: o algarismo $3$ se repete para sempre — a divisão nunca acaba. Arredondado ao centésimo: $3.33$.

**Exercício 32.5 ★.**

Liste: os [múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $7$ até $70$; os [divisores](#def-g5-division-multiple) de $18$; os [divisores](#def-g5-division-multiple) de $24$.

**Solução de Exercício 32.5.**

[Múltiplos](#def-g5-division-multiple) de $7$ até $70$: $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$. [Divisores](#def-g5-division-multiple) de $18$: $1, 2, 3, 6, 9, 18$. [Divisores](#def-g5-division-multiple) de $24$: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.

**Exercício 32.6 ★.**

Divisível por $2$? por $5$? por $10$? por $3$? Teste cada critério em: $470$; $735$; $8\,001$; $1\,314$.

**Solução de Exercício 32.6.**

$470$: por $2$ (termina em $0$), por $5$ e por $10$; [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $11$: não por $3$.

$735$: termina em $5$: por $5$, nem por $2$ nem por $10$; [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $15$: por $3$.

$8\,001$: [ímpar](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/14-numeros-ate-10-000#def-g3-numbers-evenodd); [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $9$: só por $3$.

$1\,314$: par; [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos $9$: por $2$ e por $3$ (logo por $6$), não por $5$.

**Exercício 32.7 ★.**

Encontre todos os números entre $60$ e $80$ que são divisíveis por $3$ *e* por $5$. (Que divisibilidade única isso combina?)

**Solução de Exercício 32.7.**

Divisível por $3$ e por $5$ significa divisível por $15$: entre $60$ e $80$, os números $60$ e $75$.

**Exercício 32.8 ★.**

Uma fita de $7.2$ m é cortada em $6$ pedaços iguais. Qual o comprimento de cada pedaço? (Divida um decimal por um inteiro: reparta os metros e depois os décimos.)

**Solução de Exercício 32.8.**

$7.2 \div 6 = 1.2$: cada pedaço mede $1.2$ m (confere: $1.2 \times 6 = 7.2$).

**Exercício 32.9 ★.**

$1\,000$ bolinhas são embaladas em saquinhos de $24$. Quantos saquinhos cheios, e quantas bolinhas sobram? ([Divisor](#def-g5-division-multiple) de dois algarismos.)

**Solução de Exercício 32.9.**

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$: quarenta e um saquinhos cheios e sobram $16$ bolinhas.

**Exercício 32.10 ★★.**

$5$ amigos conseguem repartir $7$ barras de chocolate igualmente, sem sobra? Dê a parte de cada um como decimal. A mesma pergunta para $7$ amigos repartindo $5$ barras — o que muda?

**Solução de Exercício 32.10.**

$7 \div 5 = 1.4$: cada um dos $5$ amigos fica com $1.4$ barra — possível cortando as barras em décimos. Para $5 \div 7$: a divisão dá $0.714285\dots$, que nunca acaba — não existe partilha decimal exata; só a [fração](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/24-primeiras-fracoes#def-g4-fractions-def) $\frac57$ a nomeia com exatidão.

**Exercício 32.11 ★★.**

Usando o critério da [soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos, encontre o menor algarismo $d$ que torna $52d$ (um número de três algarismos terminado em $d$) divisível por $3$. Depois encontre todos esses algarismos $d$.

**Solução de Exercício 32.11.**

[Soma](https://one-course.com/books/math/1/pt/chapter/2-adicao-primeiros-passos#def-g1-addition-def) dos algarismos: $5 + 2 + d = 7 + d$. É divisível por $3$ quando $7 + d$ vale $9$, $12$ ou $15$: $d = 2$, $5$ ou $8$. O menor é $d = 2$ (dando $522 = 3 \times 174$).